(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Sir Isaac Newtons Principia"

(20 



<^/:^ 



NEWTONS PRINCIPIA. 



MDCCCLXXI. 

Published by 
JAMES MACLEHOSE, GLASGOW, PUBLISHER TO THE UNIVERSITY. 



LONDON, CAMBRIDGE AND NEW YORK: 
MACMILLAN AND CO. 



SIR ISAAC NEWTON'S 



PRINCIPIA 



REPRINTED FOR 



SIR WILLIAM THOMSON LL.D. 

LATE PBIXOW OF ST. PETER's COLLEGB, CAMBRIOGB 
AND 

HUGH BLACKBURN M.A. 

LATE FELLOW OF TRINITY COLLEGB, CAMBRIUGB 
PROFESSORS OP NATURAL PHILOSOPHY AND MATHEMATICS IN THE UNIVERSITY OF GLASGOW 



GLASGOW 
JAMES MACLEHOSE, PUBLISHER TO THE UNIVERSITY 



PRINTED BY ROBERT MACLEHOSE 
MDCCCLXXI 



f 






NOTICE, 

Finding that all the Editions of the PRINCIPIA are now out of 
print, we have been induced to reprint Newton's last Editioii without 
note or comment, ofily introducing the " Corrigenda' of the old copy 
afid correcting typographical errors. 

W. T. 

i H. B. 

University of Glasgow, 1871. 



m 



PHILOSOPHIt^ 

NATURALIS 

PRINCIPIA 



MATHEMATICA. 



A U C T O R E 

ISAACO NEWTONO.Eq, AuR. 

Editio tertia audta & emendata. 

LO N D I N I: 

Apud GuiL. & JoH. In-nys, Regiae Societatis typographos 

MDCCXXVI. 



iSyi — Rcprinted hy Robert MacLehose. 
Published hy Jaines MncLehose, C/as^imi, Publisher to the University, 



ILLUSTRISSIM^ 
SOCIETATI REGALI 

A 

SERENISSIMO REGE 

C A RO L O II 

AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM 

FUNDAT.E 

ET 
AUSPICIIS 

SERENISSIMI REGIS 

G E O RG I I 

FLORENTI 
TRACTATUM HUNC D.D.D. 

/5. NEIVTON. 



I N 
VIRI PR^STANTISSIMI 

ISAACI NEWTONI 

OPUS HOCCE 

MATHEMATICO-PHYSICUM 

SECULI GENTISQUE NOSTR^ DECUS EGREGIUM, 



T7 N tibi norma poli, & divae libramina molis, 

^^ Computus en Jovis; & quas, dum primordia rerum 

Pangeret, omniparens leges violare creator 

Noluit, atque operum quse fundamenta locarit. 

Intima panduntur victi penetralia cseli, 

Nec latet extremos quse vis circumrotat orbes. 

Sol solio residens ad se jubet omnia prono 

Tendere descensu, nec recto tramite currus 

Sidereos patitur vastum per inane moveri ; 

Sed rapit immotis, se centro, singula gyris. 

Jam patet horrificis quae sit via flexa cometis ; 

Jam non miramur barbati phaenomena astri. 

Discimus hinc tandem qua causa argentea Phcebe 

Passibus haud aequis graditur ; cur subdita nulli 

Hactenus astronomo numerorum fraena recuset : 

Cur remeant nodi, curque auges progrediuntur. 

Discimus & quantis refluum vaga-Cynthia pontum 

Viribus impelHt, fessis dum fluctlbus ulvam 

Deserit, ac nautis suspectas nudat arenas ; 

Alternis vicibus suprema ad littora pulsans. 

Quae toties animos veterum torsere sophorum, 



Xll 



IN VIRI PR^STANTISSIMI 

Quseque scholas frustra rauco certamine vexant, 
Obvia conspicimus, nubem pellente mathesi. 
Jam dubios nulla cahgine praegravat error, 
Queis superum penetrare domos atque ardua caeli 
Scandere subHmis genii concessit acumen. 
Surgite mortales, terrenas mittite curas ; 
Atque hinc caeligenae vires dignoscite mentis, 
A pecudum vita longe lateque remotae. 
Qui scriptis jussit tabuHs compescere caedes, 
Furta & adulteria, & perjurae crimina fraudis ; 
Quive vagis populis circundare moenibus urbes 
Auctor erat ; Cererisve beavit munere gentes ; 
Vel qui curarum lenimen pressit ab uva ; 
Vel qui NiHaca monstravit arundine pictos 
Consociare sonos, ocuHsque exppnere voces ; 
Humanam sortem minus extuHt : utpote pauca 
Respiciens miserae tantum solamina vitae. 
Jam vero superis convivae admittimur, alti 
Jura poH tractare Hcet, jamque abdita caecae 
Claustra patent terrae, rerumque immobiHs ordo, 
Et quae praeteriti latuerunt secula mundi. 
- TaHa monstrantem mecum celebrate camaenis, 
Vos 6 caeHcolum gaudentes nectare vesci, 
Newtonum clausi reserantem scrinia veri, 
Newtonum Musis charum, cui pectore puro 
Phoebus adest, totoque incessit numine mentem : 
Nec fas est propius mortaH attingere divos. 

EDM, HALLEY. 



A UCTORI S PRJEFA TIO 

AD LECTOREM. 

r^UM vetei^es mechanicam {tcti aicctor est Pappus) in rerum natur- 
alitim i7ivestigatio7ie 7naximi feceri^it; & recentiores, ntissis 
formis stibstantialibus & qualitatibus occtiltis, phcenomena naticrce ad 
leges mathematicas revocare aggressi sint : Visum est in hoc tractatu 
mathesin excolere, quatenus ea ad philosophiam spectat. Mechanicam 
vero duplicem veteres constituerunt : rationalem, quce per denion- 
stratio7ies accuraie procedit, & practicam. Ad practicam spectant 
artes om7ies ma^iuales^ a quibtcs utique mechanica nomen 77tutuata est. 
Cu7n autem artifces parum accurate operari soleant^ fit ut mechanica 
om7iis a geometria ita disti^iguatur, ut quicquid acctcratum sit ad 
geometriam referatur, qtiicquid mi^ius accuratu7n ad mechanicam. 
Attanu7t errores no7t sunt artis, sed artifictmt. Qui minus accurate 
operattcr, imperfectior est mecharticus, & si quis accuratissime operari 
posset, hic foret mecha^tictcs omnitim perfectissimtcs. Nam & lineartcm 
rectartC77i & circtclorum descriptiones, in quibus geometria fundattcr, 
ad mechanicam pertine7tt. Has li^ieas describere geometria rton docet, 
sed posttclat. Posttclat e7tim tct tyro easde77t accurate describere prius 
didiceret, qua77t limen atti^igat geometriae ; dein, qtcomodo per has 
operationes problemata solva^tttcr, docet ; rectas & circulos describere 
problemata su7tt, sed 7ton geometrica. Ex mechanica posttclattcr hortmt 
soltctioy itt geometria docettcr soltctoru7n ustcs. Ac gloriattcr geometria 
qtcod tam patccis pri^tcipiis alitcnde petitis ta77t multa prcestet. Ftm- 
datur igittcr geometria itt praxi mechanica, & nihil aliud est qtcam 
mechanicai universaHs pars illa, qucB artem menstirandi accurate pro- 
p07tit ac demottstt^at. Cti77t atitem artes manuales i7t corporibtcs movett- 
dis prceciptce vet^se^tttcr, fit tct geometria ad magttittcdi^tem, mechanica 
ad mottctn vtclgo referattir. Qtco se7tsu mechanica rationahs ertt 
scie7itia motutim, qtii ex vi^nbus qtcibtiscu7tqtce i^estcltant, & vtrtum 



xl V A UCTORIS PR^FA TIO. 

qucB ad motus quoscunque requirufitur , acmrate proposita ac demon- 
strata. Pars hcec mechanicae a veteribus in potentils quinque ad 
artes manuales spectantibus exculta fuit, qui gravitatem (ctcm potentia 
manualis non sit) vix aliter qttam in ponderibus per pote^itias illas 
movendis considerarunt. Nos autem non artibus sed philosophice con- 
sulentesy deque potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea 
maxime tractamtis, qtcce ad gravitatem, levitate^n, vim elasticam, 
resistentiam fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu irnpulsivas 
spectant : Et ea propter, hcec nostra tanquam philosophice principia 
mathematica proponimus. Omnis enim philosophice difficiUtas in eo 
versari videttcr, ut a phcenomenis mottmm investigemus vires naturcey 
dei^ide ab his viribus de^nonstremus phcenomena reliqua. Et huc 
spectant propositiones generaleSy quas libro primo & secimdo pertrac- 
tavimtis. In libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per 
explicatio7ie7n systematis mundani. Ibi enim, ex phcBnomenis coelestibtcSy 
per propositiones iri libris prioribus mathematice demonstratas, deri- 
vantur vires gravitatis, quibus corpora ad solem & planetas singulos 
tendunt. Deinde ex his viribus per propositiones etiam mathematicas, 
deducuntiir motus planetarum^ cometarum, hmcE & maris. Utinam 
ccetera naturce phcenomena ex principiis mechanicis eodem argtmientandi 
genere derivare liceret. Najn multa me movent, ut fionnihil suspicer 
ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corportcm 
partictclcB per catcsas nondum cognitas vel in se mutuo impelltmttcr & 
secicndtcm figuras regulares cohcerent, vel ab invicem fugantur & rece- 
dunt : quibus viribus ignotis, philosophi hactenus naturam frustra 
tefitarunt. Spero autem quod vel huic philosophandi modo^ vel veriori 
alicui, principia hic posita hccem ahquam prcebebunt. 

In his edendis, vir acutissimus & in omni hterarum ge^iere eru- 
ditissimus Edmundus Halleius operam navavity nec solum typothetartcm 
sphalmata correxit & schemata incidi curavit, sed etiam auctor fuit, 
ut hortcm editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me 
figuram orbium ccelestium impetraverat, rogare non destitit, ut eandem 
cum Societate Regali communicarem, quce deinde hortatibus & be- 
nignis suis atcspiciis efiicit, ut de eadem in hccem emittenda cogitare 
inciperem. At postqtcam motutcm hcnaritcm iucequalitates aggressus 
essem, deinde etiam alia tentare ccepissem, quce ad leges & menstcras 
gravitatis & aliarzcm virium, & figuras a corporibus secundum 



AUCTORIS FRyEFATIO. 



XV 



datas qitasctmque leges atiractis describendas, ad motus co7'portim 
phiriicm iriter se, ad motus corporu^n in mediis resistentibus^ ad vires, 
densitates & motus fnediortcm, ad orbes cojnetariim & similia spectant^ 
editionem i^i aliud te^npus differe^idarn esse putavi^ ut ccetera rimarer & 
una in publicum darem. Qucb ad motus lunares spectant (imperfecta 
cum sint) ifi corollariis propositio7iis LXVI simul complex^cs sum, 
ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & 
sigillatim demoftstrare tejierer, & seriem reliquartim propositionum 
interrumpere. Nonnulla sero inventa locis mimcs idoneis inserere 
malici, quam 7iumerum propositiontcm & citationes mutare. Ut omnia 
candide leganticry & defectus in materia tam difficili non tam repre- 
hendanttcr, qtcam novis lectorum conatibus investigentur, & benigne 
suppleajitur, enixe rogo. 



\ 



Dabam Ca?itabrigice^ e Collegio 
S. Trinitatis, Maii 8, 1686. 



IS. NEWTON. 



A UCTORIS PRyEFA TIO 



IN 



EDITIONEM SECUNDAM. 



TN hac secmida Principiorum editione multa sparsim e^ftendantur, 
& nonnulla adjiciuntur. In libri primi sectione 1 1 inventio 
virium, qiubus corpora in orbibus datis revolvi possint, /acilior reddittir 
& amplior. In libri secundi sectione VII theoria resistenticB fluidorum 
accicratitis investigatur, & novis experimentis confirmatur. In libro 
tertio theoria luncB & prcEcessio csquinoctiorum ex principiis suis 
plenius deducuntur, & theoria cometai^um pluribus & accuratius 
computatis orbitim exemplis confirmatur. 

Dabam Londini^ Mar. 28, 17 13. 

IS. NEWTON. 



EDITORIS PR^FA TIO 



IN 



EDITIONEM SECUNDAM, 



XTEWTONIANi^ philosophiae novam tibi, lector benevole, 
^ ^ diuque desideratam editionem, plurimum nunc emendatam 
atque auctiorem exhibemus. Quae potissimum contineantur in hoc 
opere celeberrimo, intelHgere potes ex indicibus adjectis : quae vel 
addantur vel immutentur, ipsa te fere docebit auctoris prsefatio. 
Rehquum est, ut adjiciantur nonnulla de methodo hujus philosophiae. 

Oui physicam tractandam susceperunt, ad tres fere classes revo- 
cari possunt. Extiterunt enim, qui singuHs rerum speciebus quaH- 
tates specificas & occultas tribuerint ; ex quibus deinde corporum 
singulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere voluerunt. 
In hoc posita est summa doctrinae scholasticae, ab Aristotele & Peri- 
pateticis derivatae : Affirmant utique singulos effectus ex corporum 
singularibus naturis oriri ; at unde sint illae naturae non docent ; nihil 
itaque docent. Cumque toti sint in rerum nominibus, non in ipsis 
rebus ; sermonem quendam philosophicum censendi sunt adinvenisse, 
philosophiam tradidisse non sunt censendi. 

Alii ergo meHoris diHgentiae laudem consequi sperarunt rejecta 
vocabulorum inutiH farragine. Statuerunt itaque materiam univer- 
sam homogeneam esse, omnem vero formarum varietatem, quae in 
corporibus cernitur, ex particularum componentium simpHcissimis 
quibusdam & inteHectu faciHimis affectionibus oriri. Et recte 
quidem progressio instituitur a simpHcioribus ad magis composita, si 
particularum primariis iHis affectionibus non aHos tribuunt modos. 



xvili EDITORIS PRJEFATIO. 

quam quos ipsa trlbuit natura. Verum ubi licentiam sibi assumunt, 
ponendi quascunque llbet ignotas partium figuras & magnitudines, 
incertosque situs & motus ; quin & fingendi fluida qusedam occulta, 
quae corporum poros liberrime permeent, omnlpotente praedlta sub- 
tllitate, motlbusque occultis agitata; jam ad somnla delabuntur, 
neglecta rerum constitutlone vera : quae sane frustra petenda est ex 
fallacibus conjecturis, cum vix etlam per certlssimas observationes 
investlgari possit. Qui speculationum suarum fundamentum desu- 
munt ab hypothesibus ; etiamsi deinde secundum leges mechanicas 
accuratisslme procedant ; fabulam quidem elegantem forte & venus- 
tam, fabulam tamen concinnare dicendi sunt. 

ReHnquItur adeo tertium genus, qui philosophiam scIHcet expe- 
rimentalem profitentur. Hi quidem ex simpHcIssimis qulbus possunt 
prlnciplls rerum omnlum causas derivandas esse volunt : nlhil autem 
princlpii loco assumunt, quod nondum ex phaenomenis comproba- 
tum fuerit. Hypotheses non commlnlscuntur, neque in physicam 
recipiunt, nisi ut quaestiones de quarum veritate disputetur. DupHci 
itaque methodo incedunt, analytica & synthetlca. Naturae vires 
legesque virium slmpHciores ex selectls quibusdam phaenomenls 
per analysln deducunt, ex quibus deinde per synthesln reHquorum 
constitutlonem tradunt. Haec IHa est philosophandi ratio longe 
optlma, quam prae caeteris merito amplectendum censult celeberrlmus 
auctor noster. Hanc solam utique dignam judlcavit, in qua excolenda 
atque adornanda operam suam collocaret. Hujus igitur illustrissi- 
mum dedlt exemplum, mundani nempe systematls expllcationem e 
theorla gravitatls fellcisslme deductam. Gravitatls vlrtutem universis 
corporibus inesse suspicati sunt vel finxerunt alii : primus ille & 
solus ex apparentiis demonstrare potuit, & speculatlonlbus egregiis 
firmissimum ponere fundamentum. 

Scio equidem nonnullos magni etiam nominis viros, praejudiciis 
qulbusdam plus aequo occupatos, huic novo princlpio aegre assentlri 
potulsse, & certis incerta identidem praetullsse. Horum famam 
velllcare non est anlmus : tibi potius, benevole lector, illa paucis 
exponere lubet, ex qulbus tute ipse judlcium non iniquum feras. 

Igltur ut argumenti sumatur exordlum a slmpllclsslmis & proxlmis ; 
displclamus paullsper qualis slt in terrestribus natura gravltatls, ut 
deinde tutius progrediamur ubi ad corpora caelestia, longissime a se- 



EDITORIS FR.EFATIO. xix 

dibus nostris remota, perventum fuerit. Convenit jam inter omnes 
philosophos corpora universa circumterrestria gravitare in terram. 
Nulla dari corpora vere levia jamdudum confirmavit experientia 
multiplex. Qu^ dicitur levitas relativa, non est vera Hevitas, sed 
apparens solummodo ; & oritur a pr3epollente[]^gravitate corporum 
contiguorum. 

Porro, ut corpora universa gravitent in terram, ita terra vicissim 
in corpora eequaliter gravitat ; gravitatis enim actionem esse mutuam 
& utrinque sequalem sic ostenditur. Distinguatur terrae totius moles 
in binas quascunque partes, vel sequales vel utcunque insequales : 
jam si pondera partium non essent in se mutuo sequalia; cederet 
pondus minus majori, & partes conjunctae pergerent recta moveri ad 
infinitum, versus plagam in quam tendit pondus majus: omnino contra 
experientiam. Itaque dicendum erit pondera partium in sequilibrio 
esse constituta : hoc est, gravitatis actionem esse mutuam & utrinque 
aequalem. 

Pondera corporum, sequaliter a centro terrse distantium, sunt ut 
quantitates materiae in corporibus. Hoc utique colligitur ex aequali 
acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires 
cadentium : nam vires quibus inaequalia corpora aequaliter acceleran- 
tur, debent esse proportionales quantitatibus materiae movendae. Jam 
vero corpora universa cadentia aequaliter accelerari ex eo patet, 
quod in vacuo Boyliano temporibus aequalibus aequalia spatia cadendo 
describunt, sublata scilicet aeris resistentia : accuratius autem 
comprobatur per experimenta pendulorum. 

Vires attractivae corporum, in aequalibus distantiis, sunt ut quan- 
titates materiae in corporibus. Nam cum corpora in terram & terra 
vicissim in corpora momentis aequalibus gravitent; terrae pondus in 
unumquodque corpus, seu vis qua corpus terram attrahit, aequabitur 
ponderi corporis ejusdem in terram. Hoc autem pondus erat ut 
quantitas materiae in corpore : itaque vis qua corpus unumquodque 
terram attrahit, sive corporis vis absoluta, erit ut eadem quantitas 
materiae. 

Oritur ergo & componitur vis attractiva corporum integrorum 
ex viribus attractivis partium : siquidem aucta vel diminuta mole 
materise ostensum est proportionaliter augeri vel diminui ejus 
virtutem. Actio itaque telluris ex conjunctis partium actionibus 



1 



XX EDirORIS PR.EFATIO. ^ 

conflarl censenda erit ; atque adeo corpora omnia terrestria se mutuo 
trahere oportet viribus absolutis, quae sint in ratione materise trahentis. 
Haec est riatura gravitatis apud terram : videamus jam qualis sit in 
ceelis. 

Corpus omne perseverare in statu suo vel quiescendi vel movendi 
uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur 
statum illum mutare ; naturae lex est ab omnibus recepta philosophis. 
Inde vero sequitur corpora, quae in curvis moventur, atque adeo 
de lineis rectis orbitas suas tangentibus jugiter abeunt, vi aliqua 
perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur in 
orbibus curvis revolventibus necessario aderit vis aliqua, per cujus 
actiones repetitas indesinenter a tangentibus deflectantur. 

Jam illud concedi aequum est, quod mathematicis rationibus 
colHgitur & certissime demonstratur ; corpora nempe omnia, quae 
moventur in linea aliqua curva in plano descripta, quaeque radio ducto 
ad punctum vel quiescens vel utcunque motum describunt areas circa 
punctum illud temporibus proportionales, urgeri a viribus quse ad 
idem punctum tendunt. Cum igitur in confesso sit apud astronomos 
planetas primarios circum solem, secandarios vero circum suos 
primarios, areas describere temporibus proportionales ; consequens 
est ut vis illa, qua perpetuo detorquentur a tangentibus rectilineis 
& in orbitis curvilineis revolvi coguntur, versus corpora dirigatur 
quae sita sunt in orbitarum centris. Haec itaque vis non inepte vocari 
potest, respectu quidem corporis revolventis, centripeta ; respectu 
autem corporis centralis, attractiva ; a quacunque demum causa oriri 
fingatur. 

Ouin & haec quoque concedenda sunt, & mathematice demon- 
strantur : Si corpora plura motu aequabili revolvantur in circulis 
concentricis, & quadrata temporum periodicorum sint ut cubi 
distantiarum a centro communi ; vires centripetas revolventium fore 
reciproce ut quadrata distantiarum. Vel, si corpora revolvantur in 
orbitis quae sunt circulis finitimae, & quiescant orbitarum apsides ; 
vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata distantiarum. 
Obtinere casum alterutrum in planetis universis consentiunt astronomi. 
Itaque vires centripetae planetarum omnium sunt reciproce ut 
quadrata distantiarum ab orbium centris. Si quis objiciat planetarum, 
& lunae praesertim, apsides non penitus quiescere ; sed motu quodam 



EDITORIS PR^FATIO. 



XXI 



lento ferri m consequentia : responderi potest, etiamsi concedamus 
hunc motum tardissimum exinde profectum esse quod vis centripet^ 
proportio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per 
computum mathematicum inveniri posse & plane insensibilem esse. 
Ipsa enim ratio vis centripetse lunaris, quae omnium maxime turbari 
debet, paululum quidem dupHcatam superabit; ad hanc vero sexaginta 
fere vicibus propius accedet quam ad tripHcatam. Sed verior erit 
responsio, si dicamus hanc apsidum progressionem, non ex aberrati- 
one a dupHcata proportione, sed ex aHa prorsus diversa causa oriri, 
quemadmodum egregie commonstratur in hac philosophia. Restat 
ergo ut vires centripetae, quibus planetae primarii tendunt versus 
solem & secundarii Versus primarios suos, sint accurate ut quadrata 
distantiarum reciproce. 

Ex iis quae hactenus dicta sunt constat planetas in orbitis suis 
retineri per vim aHquam in ipsos perpetuo agentem : constat vim 
illam dirigi semper versus orbitarum centra : constat hujus efficaciam 
augeri in accessu ad centrum, diminui in recessu ab eodem : & augeri 
quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum distanti^, 
diminui in eadem proportione qua distantiae quadratum augetur. 
Videamus jam, comparatione instituta inter planetarum vires centri- 
petas & vim gravitatis, annon ejusdem forte sint generis. Ejusdem 
vero generis erunt, si deprehendantur hinc & inde leges eaedem, 
eaedemque affectiones. Primo itaque lunae, quae nobis proxima est, 
vim centripetam expendamus. 

Spatia rectilinea, quae a corporibus e quiete demissis dato tempore 
sub ipso motus initio describuntur, ubi a viribus quibuscunque 
urgentur, proportionalia sunt ipsis viribus : hoc utique consequitur 
ex ratiociniis mathematicis. Erit igitur vis centripeta lunae, in orbita 
sua revolventis, ad vim gravitatis in superficie terrae, ut spatium 
quod tempore quam minimo describeret luna descendendo per vim 
centripetam versus terram, si circulari omni motu privari fingeretur, 
ad spatium quod eodem tempore quam minimo describit grave 
corpus in vicinia terrae, per vim gravitatis suae cadendo. Horum 
spatiorum prius aequale est arcus a luna per idem tempus descripti 
sinui verso, quippe qui lunae translationem de tangente, factam a vi 
centripeta, metitur ; atque adeo computari potest ex datis tum lunae 

b 



xxu 



EDITORIS FR.EFATIO. 



tempore periodico, tum distantia ejus a centro terrae. Spatium poste- 
rius invenitur per experimenta pendulorum, quemadmodum docuit 
Hugenius. ' Inito itaque calculo, spatium prius ad spatium posterius, 
seu vis centripeta lunae in orbita sua revolventis ad vim gravitatis in 
superficie terrae, erit ut quadratum semidiametri terrae ad orbit^ 
semidiametri quadratum. Eandem habet rationem, per ea qu^ 
superius ostenduntur, vis centripeta lunse in orbita sua revolventis 
ad vim lun^ centripetam prope terrae superficiem. Vis itaque 
centripeta prope terrae superficiem aequalis est vi gravitatis. Non 
ergo diversae sunt vires, sed una atque eadem : si enim diversae essent, 
corpora viribus conjunctis duplo celerius in terram caderent quam ex 
vi sola gravitatis. Constat igitur vim illam centripetam, qua luna 
perpetuo de tangente vel trahitur vel impellitur & in orbita retine- 
tur, ipsam esse vim gravitatis terrestris ad lunam usque pertingentem. 
Et rationi quidem consentaneum est ut ad ingentes distantias illa sese 
virtus extendat, cum nullam ejus sensibilem imminutionem, vel in 
altissimis montium cacuminibus, observare licet. Gravitat itaque 
luna in terram : quin & actione mutua terra vicissim in lunam 
aequaliter gravitat : id quod abunde quidem confirmatur in hac 
philosophia, ubi agitur de maris aestu & aequinoctiorum praecessione, 
ab actione tum lunae tum solis in terram oriundus. . Hinc & illud 
tandem edocemur, qua nimirum lege vis gravitatis decrescat in 
majoribus a tellure distantiis. Nam cum gravitas non diversa sit a 
vi centripeta lunari, haec vero sit reciproce proportionalis quadrato 
distantiae ; diminuetur & gravitas in eadem ratione. 

Progrediamur jam ad planetas reliquos. Quoniam revolutiones 
primariorum circa solem & secundariorum circa jovem & saturnum 
sunt phaenomena generis ejusdem ac revolutio lunae circa terram, 
quoniam porro demonstratum est vires centripetas primariorum 
dirigi versus centrum solis, secundariorum versus centra jovis & 
saturni, quemadmodum lunae vis centripeta versus terrae centrum 
dirigitur ; adhaec, quoniam omnes illae vires sunt reciproce ut quadrata 
distantiarum a centris, quemadmodum vis lunae est ut quadratum 
distantiae a terra : concludendum erit eandem esse naturam universis. 
Itaque ut luna gravitat in terram, & terra vicissim in lunam ; sic etiam 
gravitabunt omnes secundarii in primarios suos, & primarii vicissim 



EDITORIS PR^FATIO. xxiii 

in secundarios; sic & omnes primarii in solem, & sol vicissim in 
primarios. 

Igitur sol in planetas universos gravitat & universi in solem. Nam 
secundarii dum primarios suos comitantur, revolvuntur interea circum 
solem una cum primariis. Eodem itaque argumento, utriusque 
generis planetae gravitant in solem, & sol in ipsos. Secundarios vero 
planetas in solem gravitare abunde insuper constat ex inaequalitatibus 
lunaribus ; quarum accuratissimara theoriam, admiranda sagacitate 
patefactam, in tertio hujus operis Hbro expositam habemus. 

SoHs virtutem attractivam quoquoversum propagari ad ingentes 
usque distantias, & sese diffundere ad singulas circumjecti spatii 
partes, apertissime coHigi potest ex motu cometarum; qui ab immensis 
intervaHis profecti feruntur in viciniam soHs, & nonnunquam adeo ad 
ipsum proxime accedunt ut globum ejus, in periheHis suis versant€s, 
tantum non contingere videantur. Horum theoriam, ab astronomis 
antehac frustra quaesitam, nostro tandem sseculo feHciter inventam & 
per observationes certissime demonstratam praestantissimo nostro 
auctori debemus. Patet igitur cometas in sectionibus conicis umbi- 
Hcos in centro soHs habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas 
temporibus proportionales describere. Ex hisce vero phaenomenis 
manifestum est & mathematice comprobatur vires iHas, quibus 
cometse retinentur in orbitis suis, respicere solem & esse reciproce ut 
quadrata distantiarum ab ipsius centro. Gravitant itaque cometae 
in solem : atque adeo soh*s vis attractiva non tantum ad corpora 
planetarum in datis distantiis & in eodem fere plano coHocata, sed 
etiam ad cometas in diversissimis caelorum regionibus & in diversissi- 
mis distantiis positos pertingit. Haec igitur est natura corporum 
gravitantium, ut vires suas edant ad omnes distantias in omnia corpora 
gravitantia. Inde vero sequitur planetas & cometas universos se 
mutuo trahere, & in se mutuo graves esse : quod etiam confirmatur 
ex perturbatione jovis & saturni, astronomis non • incognita, & ab 
actionibus horum planetarum in se invicem oriunda ; quin & ex motu 
iHo lentissimo apsidum, qui supra memoratus est, quique a causa 
consimiH proficiscitur. 

Eo demum pervenimus ut dicendum sit & terram & solem & cor- 
pora omnia caelestia, quae solem comitantur, se mutuo attrahere. 



xxiv EDITORIS PR^FATIO. 

Singulorum ergo particulae quseque minimae vires suas attractivas 
habebunt, pro quantitate materiae pollentes ; quemadmodum supra de 
terrestribus ' ostensum est. In diversis autem distantiis erunt & 
harum vires in duplicata ratione distantiarum reciproce : nam ex 
particulis hac lege trahentibus componi debere globos eadem lege 
trahentes mathematice demonstratur. 

Conclusiones praecedentes huic innituntur Axiomati, quod a nulHs 
non recipitur philosophis ; effectuum sciHcet ejusdem generis, quorum 
nempe quae cognoscuntur proprietates eaedem sunt, easdem esse 
causas & easdem esse proprietates quae nondum cognoscuntur. Quis 
enim dubitat, si gravitas sit causa descensus lapidis in Etiropa, quin 
eadem sit causa descensus in America ? Si gravitas mutua fuerit inter 
lapidem & terram in Etcropa ; quis negabit mutuam esse in America ? 
Si-^vis attractiva lapidis & terrae componatur in Europa ex viribus 
attractivis partium ; quis negabit similem esse compositionem in 
America ? Si attractio terrae ad omnium corporum genera & ad omnes 
distantias propagetur in Europa ; quidni pariter propagari dicamus in 
America ? In hac regula fundatur omnis philosophia : quippe qua 
sublata nihil affirmare possimus de universis. Constitutio rerum 
singularum innotescit per observationes & experimenta : inde vero non 
nisi per hanc regulam de rerum universarum natura judicamus. 

Jam cum gravia sint omnia corpora, quae apud terram vel in caelis 
reperiuntur, de quibus experimenta vel observationes instituere licet ; 
omnino dicendum erit gravitatem corporibus universis competere. 
Et quemadmodum nulla concipi debent corpora, quae non sint ex- 
tensa, mobilia & impenetrabilia ; ita nulla concipi debere, quae non 
sint gravia. Corporum extensio, mobilitas & impenetrabilitas non 
nisi per experimenta innotescunt : eodem plane modo gravitas 
innotescit. Corpora omnia de quibus observationes habemus, ex- 
tensa sunt & mobilia & impenetrabilia : & inde concludimus corpora 
universa, etiam illa de quibus observationes non habemus, extensa 
esse & mobilia & impenetrabilia. Ita corpora omnia sunt gravia, de 
quibus observationes habemus : & inde concludimus corpora universa, 
etiam illa de quibus observationes non habemus, gravia esse. Si quis 
dicat corpora stellarum inerrantium non esse gravia, quandoquidem 
eorum gravitas nondum est observata ; eodem argumento dicere li- 



EDITORISPR^FATIO. xxv 

cebit neque extensa esse, nec mobllia, nec impenetrabilia, cum h^ 
fixarum affectiones nondum ^int observatae. Quid opus est verbis ? 
inter primarias qualitates corporum universorum vel gravitas habebit 
locum ; vel extensio, mobilitas & impenetrabiHtas non habebunt. 
Et natura rerum vel recte expHcabitur per corporum gravitatem, 
vel non recte expHcabitur per corporum extensionem, mobiHtatem 
& impenetrabiHtatem. 

Audio nonnuHos hanc improbare conclusionem, & de occultis 
quaHtatibus nescio quid mussitare. Gravitatem sciHcet occultum esse 
quid, perpetuo argutari solent; occultas vero causas procul esse 
ablegandas a philosophia. His autem facile respondetur; occultas 
esse causas, non iHas quidem quarum existentia per observationes 
clarissime demonstratur, sed has solum quarum occulta est & ficta 
existentia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta 
causamotuum cselestium; siquidem ex phsenomenis ostensum est, h?inc 
virtutem revera existere. H i potius ad occultas confugiunt causas ; 
qui nescio quos vortices, materiae cujusdam prorsus fictitiae & sensibus 
omnino ignotae, motibus iisdem regendis praeficiunt. 

Ideone autem gravitas occulta causa dicetur, eoque nomine 
rejicietur e philosophia, quod causa ipsius gravitatis occulta est & 
nondum inventa ? Qui sic statuunt, videant nequid statuant absurdi, 
unde totius tandem philosophiae fundamenta conveHantur. Etenim 
causae continuo nexu procedere solent a compositis ad simpHciora : ubi 
ad causam simpHcissimam perveneris, jam non Hcebit ulterius progredi. 
Causse igitur simpHcissimae nuHa dari potest mechanica expHcatio : si 
daretur enim, causa nondum esset simpHcissima. Has tu proinde 
causas simpHcissimas appeHabis occultas, & exulare jubebis ? Simul 
vero exulabunt & ab his proxime pendentes & quae ab iHis porro 
pendent, usque dum a causis omnibus vacua fuerit & probe purgata 
philosophia. 

Sunt qui gravitatem praeter naturam esse dicunt, & miraculum 
perpetuum vocant. Itaque rejiciendam esse volunt, cum in physica 
praeternaturales causae locum non habeant. Huic ineptae prorsus 
objectioni diluendae, quae & ipsa philosophiam subruit universam, vix 
operae pretium est immorari. Vel enim gravitatem corporibus 
omnibus inditam esse negabunt, quod tamen dici non potest : vel 



xxvi EDITORIS PR^FATIO. 

eo nomine praeter naturam esse affirmabunt, quod ex aliis corporum 
affectionibus atque adeo ex causis mechanicis origineni non habeat. 
Dantur certe primariae corporum affectiones ; quae, quoniam sunt 
primarise, non pendent ab ahis. Viderint igitur annon & hse omnes 
sint pariter prseter naturam, eoque pariter rejiciendae : viderint vero 
quahs sit deinde futura philosophia. 

Nonnulh sunt quibus haec tota physica caelestis vel ideo minus 
placet, quod cum Cartesii dogmatibus pugnare & vix concihari 
posse videatur. His sua hcebit opinione frui ; ex aequo autem agant 
oportet : non ergo denegabunt ahis eandem hbertatem quam sibi 
concedi postulant. Newtonianam itaque philosophiam, quae nobis 
verior habetur, retinere & amplecti hcebit, & causas sequi per 
phaenomena comprobatas, potius quam fictas & nondum comprobatas. 
Ad veram philosophiam pertinet, rerum naturas ex causis vere 
existentibus derivare : eas vero leges quaerere, quibus voluit summus 
opifex hunc mundi pulcherrimum ordinem stabihre ; non eas quibus 
potuit, si ita visum fuisset. Rationi enim consonum est, ut a 
pluribus causis, ab invicem nonnihil diversis, idem possit effectus 
proficisci : haec autem vera erit causa, ex qua vere atque actu 
proficiscitur ; rehquae locum non habent in philosophia vera. In 
horologiis automatis idem indicis horarii motus vel ab appenso 
pondere vel ab intus concluso elatere oriri potest. Quod si oblatum 
horologium revera sit instructum pondere ; ridebitur qui finget 
elaterem, & ex hypothesi sic praepropere conficta motum indicis 
exphcare suscipiet : oportuit enim internam machinae fabricam 
penitius perscrutari, ut ita motus propositi principium verum explo- 
ratum habere posset. Idem vel non absimile feretur judicium de 
philosophis iUis, qui materia quadam subtihssima caelos esse repletos, 
hanc autem in vortices indesinentur agi voluerunt. Nam si phaeno- 
menis vel accuratissime satisfacere possent ex hypothesibus suis ; 
veram tamen philosophiam tradidisse, & veras causas motuum 
c^elestium invenisse nondum dicendi sunt; nisi vel has revera existere, 
vel saltem ahas non existere demonstraverint. Igitur si ostensum 
fuerit, universorum corporum attractionem habere verum locum in 
rerum natura ; quinetiam ostensum fuerit, qua ratione motus omnes 
caelestes abinde solutionem recipiant ; vana fuerit & merito deridenda 



I 



EDITORIS PR^FATIO. xxvii 

objectio, si quls dixerit eosdem motus per vortices explicarl debere, 
etiamsl Id fieri posse vel maxime concesserimus. Non autem conce- 
dimus : nequeunt enim ullo pacto phaenomena per vortices explicarl ; 
quod ab auctore nostro abunde quidem & clarissimis rationlbus evln- 
cltur ; ut somnls plus aequo indulgeant oporteat, qui Ineptlsslmo fig- 
mento resarclendo, novlsque porro commentis ornando Infellcem 
operam addicunt. 

SI corpora planetarum & cometarum clrca solem deferantur a 
vorticibus ; oportet corpora delata & vorticum partes proxlme ambi- 
entes eadem velocitate eademque cursus determlnatlone moverl, & 
eandem habere densltatem vel eandem vlm inertlse pro mole materlse. 
Constat vero planetas & cometas, dum versantur in Ilsdem reglonlbus 
caelorum, velocitatibus varlls variaque cursus determlnatlone moverl. 
Necessarlo itaque sequltur, ut fluldl caelestls partes Illae, quae sunt 
ad easdem distantlas a sole, revolvantur eodem tempore In plagas 
diversas cum dlversis velocltatlbus : etenlm alla opus erlt dlrectione 
& velocitate, ut translre posslnt planetae ; aHa, ut transire posslnt 
cometae. Ouod cum expHcarl nequeat ; vel fatendum erlt, universa 
corpora caelestla non deferri a materia vortlcls ; vel dlcendum erit, 
eorundem motus repetendos esse non ab uno eodemque vortice, sed 
a pluribus qul ab invlcem diversi slnt, idemque spatlum soH clrcum- 
jectum pervadant. 

SI plures vortices In eodem spatlo contlnerl, & sese mutuo pene- 
trare motlbusque dlversis revolvi ponantur ; quonlam hl motus debent 
esse conformes delatorum corporum motlbus, qui sunt summe regu- 
lares, & peraguntur In sectlonibus conicls nunc valde eccentrlcis, nunc 
ad circulorum proxlme formam accedentibus ; jure quaerendum erlt, 
qui fierl possit, ut iidem Integri conserventur nec ab actlonibus 
materlae occursantls per tot saecula quicquam perturbentur. Sane si 
motus hi fictitii sunt magls composltl & dlfficIHus expHcantur, quam 
verl IHi motus planetarum & cometarum ; frustra mihl videntur in 
phllosophiam recipl : omnls enim causa debet esse effectu suo slm- 
pHcIoT. Concessa fabularum Hcentla, affirmaverlt aHquIs planetas 
omnes & cometas clrcumcingl atmosphaeris, adlnstar teHuris nostrae ; 
quae quldem hypothesls rationi magls consentanea videbitur quam 
hypothesls vortlcum. Affirmaverlt deinde has atmosphaeras, ex na- 



xxviii EDITORIS FRyEFATIO. 

tura sua, circa solem moveri & sectiones conicas describere ; qui sane 
motus multo facilius concipi potest, quam consimilis motus vorticum 
se invicem permeantium. Denique planetas ipsos & cometas circa 
solem deferri ab atmosphaeris suis credendum esse statuat, & ob 
repertas motuum cselestium causas triumphum agat. Quisquis autem 
hanc fabulam rejiciendam esse putet, idem & alteram fabulam rejiciet: 
nam ovum non est ovo simiHus, quam hypothesis atmosphaerarum 
hypothesi vorticum. 

Docuit Galilmis lapidis projecti & in parabola moti deflexionem 
a cursu rectiHneo oriri a gravitate lapidis in terram, ab occulta sci- 
licet quahtate. Fieri tamen potest ut ahus ahquis, nasi acutioris, 
philosophus causam aliam comminiscatur. Finget igitur ille mate- 
riam quandam subtilem, quae nec visu nec tactu neque uUo sensu 
percipitur, versari in regionibus quae proxime contingunt telluris 
superficiem. Hanc autem materiam, in diversas plagas, variis & 
plerumque contrariis motibus ferri, & Hneas paraboHcas describere 
contendet. Deinde vero lapidis deflexionem pulchre sic expediet, & 
vulgi plausum merebitur. Lapis, inquiet, in fluido iHo subtiH natat 
& cursui ejus obsequendo, non potest non eandem una semitam de- 
scribere. Fluidum vero movetur in Hneis paraboHcis ; ergo lapidem 
in parabola moveri necesse est. Quis nunc non mirabitur acutis- 
simum hujusce philosophi ingenium, ex causis mechanicis, materia 
sciHcet & motu, phaenomena naturae ad vulgi etiam captum praeclare 
deducentis ? Quis vero non subsannabit bonum iHum Galilcsumy qui 
magno moHmine mathematico quaHtates occultas, e philosophia feli- 
citer exclusas, denuo revocare sustinuerit ? Sed pudet nugis diutius 
immorari. 

Summa rei huc tandem redit : cometarum ingens est numerus ; 
motus eorum sunt summe regulares, & easdem leges cum planetarum 
motibus observant. Moventur in orbibus conicis, hi orbes sunt valde 
admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes caelorum partes, 
& planetarum regiones liberrime pertranseunt, & saepe contra signo- 
rum ordinem incedunt. Haec phaenomena certissime confirmantur 
ex observationibus astronomicis : & per vortices nequeunt explicari. 
Imo, ne quidem cum vorticibus planetarum consistere possunt. Co- 



EDITORIS PRyEFATIO. xxlx 

metarum motlbus omnlno locus non erit; nlsl materla illa fictitia 
penitus e caells amoveatur. 

Si enim planetae circum solem a vorticibus devehuntur ; vorticum 
partes, quae proxime ambiunt unumquemque planetam, ejusdem 
densitatis erunt ac planeta ; uti supra dictum est. Itaque materia illa 
omnis, quae contigua est orbis magni perimetro, parem habebit ac 
tellus densltatem : quae vero jacet intra orbem magnum atque orbem 
saturni, vel parem vel majorem habeblt. Nam ut constitutio vorticis 
permanere possit, debent partes mlnus densae centrum occupare, 
magis densae longlus a centro ablre. Cum enlm planetarum tempora 
periodica sint In ratlone sesquiplicata distantlarum a sole, oportet 
partlum vorticls periodos eandem rationem servare. Inde vero 
sequitur vlres centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata 
distantlarum. Quae Igltur majore intervallo distant a centro, nltuntur 
ab eodem recedere minore vi : unde si minus densae fuerlnt, necesse 
est ut cedant vi majori, qua partes centro propiores ascendere con- 
antur. Ascendent ergo denslores, descendent mlnus densae, & 
locorum fiet Invlcem permutatlo ; donec ita fuerit disposita atque 
ordinata materia flulda totlus vortlcis, ut conquiescere jam posslt in 
aequIHbrlo constituta. SI bina flulda, quorum dlversa est densltas, 
in eodem vase contlnentur; utique futurum est ut fluidum, cujus major 
est densitas, majore vi gravitatls infimum petat locum : & ratione 
non abslmili omnino dlcendum est, densiores vortlcis partes majore 
vi centrlfuga petere supremum locum. Tota igltur Illa & multo 
maxlma pars vortlcis, quae jacet extra tellurls orbem, densltatem 
habebit atque adeo vlm inertlae pro mole materiae, quae non minor 
erit quam densltas & vis inertlae telluris : Inde vero cometis trajectls 
orietur ingens reslstentia, & valde admodum sensibilis ; ne dlcam, 
quae motum eorundem penitus slstere atque absorbere posse merito 
videatur. Constat autem ex motu cometarum prorsus regulari, 
nullam ipsos resistentlam pati quae vel mlnimum sentlri potest ; 
atque adeo neutiquam in materiam ullam incursare, cujus aHqua sit 
vis resistendi, vel prolnde cujus aHqua sit densltas seu vis inertiae. 
Nam resistentia mediorum oritur vel ab inertla riiateriae fluidae, vel a 
defectu lubricitatls. Quae orltur a defectu lubricitatls, admodum ex- 
igua est ; & sane vix observari potest in fluidis vulgo notis, nisi valde 



XXX EDITORIS PR^FATIO. 

tenacia fuerint adinstar olei & mellis. Resistentia quae sentitur in 
aere, aqua, hydrargyro, & hujusmodi fluidis non tenacibus fere tota 
est prioris generis ; & minui non potest per ulteriorem quemcunque 
gradum subtilitatis, manente fluidi densitate vel vi inertise, cui semper 
proportionaHs est haec resistentia ; quemadmodum clarissime demon- 
stratum est ab auctore nostro in peregregia resistentiarum theoria, 
quae paulo nunc accuratius exponitur, hac secunda vice, & per experi- 
menta corporum cadentium plenius confirmatur. 

Corpora progrediendo motum suum fluido ambienti paulatim 
communicant, & communicando amittunt, amittendo autem retardan- 
tur. Est itaque retardatio motui communicato proportionaHs ; 
motus vero communicatus, ubi datur corporis progredientis velocitas» 
est ut fluidi densitas ; ergo retardatio seu resistentia erit ut eadem 
fluidi densitas ; neque ullo pacto tolli potest, nisi a fluido ad partes 
corporis posticas recurrente restituatur motus amissus. Hoc autem 
dici non poterit, nisi impressio fluidi in corpus ad partes posticas 
sequalis fuerit impressioni corporis in fluidum ad partes anticas, 
hoc est, nisi velocitas relativa qua fluidum irruit in corpus a tergo, 
sequalis fuerit velocitati qua corpus irruit in fluidum, id est, nisi 
velocitas absoluta fluidi recurrentis duplo major fuerit quam velocitas 
absoluta fluidi propulsi ; quod fieri nequit. NuIIo igitur modo toIH 
potest fluidorum resistentia, quae oritur ab eorundem densitate & 
vi inertise. Itaque concludendum erit ; fluidi caelestis nullam esse 
vim inertiae, cum nulla sit vis resistendi : nullam esse vim qua mo- 
tus communicetur, cum nulla sit vis inertiae : nullam esse vim qua 
mutatio quaelibet vel corporibus singulis vel pluribus inducatur, 
cum nulla sit vis qua motus communicetur ; nullam esse omnino 
efficaciam, cum nulla sit facultas mutationem quamlibet inducendi. 
Quidni ergo hanc hypothesin, quae fundamento plane destituitur, 
quaeque naturae rerum explicandae ne minimum quidem inservit, in- 
eptissimam vocare liceat & philosopho prorsus indignam. Qui caelos 
materia fluida repletos esse volunt, hanc vero non inertem esse sta- 
tuunt ; hi verbis tollunt vacuum, re ponunt. Nam cum hujusmodi 
materia fluida ratione nulla secerni possit ab inani spatio ; disputatio 
tota fit de rerum nominibus, non de naturis. Quod si aliqui sint adeo 
usque dediti materiae, ut spatium a corporibus vacuum nullo pacto 



EDITORIS PR^FATIO. xxxi 

admittendum credere velint ; videamus quo tandem oporteat illos 
pervenire. 

Vel enim dicent hanc, quam confingunt, mundi per omnia pleni 
constitutionem ex voluntate dei profectam esse, propter eum finem, 
ut operationibus naturae subsidium praesens haberi posset ab aethere 
subtilissimo cuncta permeante & implente ; quod tamen dici non 
potest, siquidem jam ostensum est ex cometarum phaenomenis, nullam 
esse hujus aetheris efficaciam : vel dicent ex voluntate dei profectam 
esse, propter finem aHquem ignotum; quod neque dici debet, siquidem 
diversa mundi constitutio eodem argumento pariter stabiHri posset : 
vel denique non dicent ex voluntate dei profectam esse, sed 
ex necessitate quadam naturae. Tandem igitur delabi oportet 
in faeces sordidas gregis impurissimi. Hi sunt qui somniant fato 
universa regi, non providentia ; materiam ex necessitate sua semper 
& ubique extitisse, infinitam esse & aeternam. Quibus positis, erit 
etiam undiquaque uniformis : nam varietas formarum cum necessitate 
omnino pugnat. Erit etiam immota : nam si necessario moveatur in 
plagam ahquam determinatam, cum determinata aHqua velocitate ; 
pari necessitate movebitur in plagam diversam cum diversa velocitate ; 
in plagas autem diversas, cum diversis velocitatibus, moveri non 
potest; oportet igitur immotam esse. Neutiquam profecto potuit 
oriri mundus, pulcherrima formarum & motuum varietate distinctus, 
nisi ex Hberrima voluntate cuncta providentis & gubernantis dei. 

Ex hoc igitur fonte promanarunt ihae omnes quse dicuntur naturae 
leges : in quibus multa sane sapientissimi consiHi, nuHa necessitatis 
apparent vestigia. Has proinde non ab incertis conjecturis petere, 
sed observando atque experiendo addiscere debemus. Qui vere 
physicae principia legesque rerum, sola mentis vi & interno rationis 
lumine fretum, invenire se posse confidit ; hunc oportet vel statuere 
mundum ex necessitate fuisse, legesque propositas ex eadem necessitate 
sequi; vel si per voluntatem dei constitutus sit ordo naturae, se tamen, 
homuncionem miseHum, quid optimum factu sit perspectum habere. 
Sana omnis & vera philosophia fundatur in phaenomenis rerum : quae si 
nos vel invitos & reluctantes ad hujusmodi principia deducunt, in qui- 
bus clarissime cernuntur consiHum optimum & dominium summum 
sapientissimi & potentissimi entis ; non erunt haec ideo non admittenda 



xxxii EDITORIS PR^FATIO, 

principia, quod quibusdam forsan hominibus minus grata sint futura. 
His vel rniracula vel qualitates occultae dicantur, quae displicent : 
verum nomina malitiose indita non sunt ipsis rebus vitio vertenda ; 
nisi illud fateri tandem velint, utique debere philosophiam in atheismo 
fundari. Horum hominum gratia non erit labefactanda philosophia, 
siquidem rerum ordo non vult immutari. 

Obtinebit igitur apud probos & aequos judices praestantissima 
philosophandi ratio, quae fundatur in experimentis & observationibus. 
Huic vero, dici vix poterit, quanta lux accedat, quanta dignitas, 
ab hoc opere praeclaro illustrissimi nostri auctoris ; cujus eximiam 
ingenii feHcitatem, difficillima quaeque problemata enodantis, & ad ea 
porro pertingentis ad quae nec spes erat humanam mentem assurgere 
potuisse, merito admirantur & suspiciunt quicunque paulo profundius 
in hisce rebus versati sunt. Claustris ergo reseratis, aditum nobis 
aperuit ad pulcherrima rerum mysteria. Systematis mundani 
compagem elegantissimam ita tandem patefecit & penitius perspec- 
tandam dedit; ut nec ipse, si nunc revivisceret, rex Alphonsiis vel 
simpHcitatem vel harmoniae gratiam in ea desideraret. Itaque naturae 
majestatem propius jam Hcet intueri, & dulcissima contemplatione 
frui, conditorum vero ac dominum universorum impensius colere 
& venerari, qui fructus est philosophiae multo uberrimus. Caecum 
esse oportet, qui ex optimis & sapientissimis rerum structuris non 
statim videat fabricatoris omnipotentis infinitam sapientiam & 
bonitatem : insanum, qui profiteri noHt. 

Extabit igitur eximium Newtoni opus adversus atheorum impetus 
munitissimum praesidium : neque enim aHcunde feHcius, quam ex hac 
pharetra, contra impiam catervam tela deprompseris. Hoc sensit 
pridem, & in pereruditis concionibus angHce latineque editis, primus 
egregie demonstravit vir in omni H*terarum genere praeclarus idemque 
bonarum artium fautor eximius Richardus Bentleius, secuH sui 
& academiae nostrse magnum ornamentum, coHegii nostri S. Tri^iitatis 
magister dignissimus & integerrfmus. Huic ego me pluribus 
nominibus obstrictum fateri debeo : huic & tuas quae debentur gratias, 
lector benevole, non denegabis. Is enim, cum a longo tempore 
celeberrimi auctoris amicitia intima frueretur, (qua etiam apud 
posteros censeri non minoris aestimat, quam propriis scriptis quae 



ED2T0RIS PRyEFATlO. xxxiii 

literato orbi in deliciis sunt inclarescere) amici simul famae & scien- 
tiarum incremento consuluit. Itaque cum exemplaria prioris editionis 
rarissima admodum & immani pretio coemenda superessent ; suasit 
ille crebris efflagitationibus, & tantum non objurgando perpulit 
denique virum prsestantissimum, nec modestia minus quam eruditione 
summa insignem, ut novam hanc operis editionem, per omnia 
elimatam denuo & egregiis insuper accessionibus ditatam, suis 
sumptibus & auspiciis prodire pateretur : mihi vero, pro jure suo, 
pensum non ingratum demandavit, ut quam posset emendate id fieri 
curarem. 



CantabrigicB, Maii 12, 17 13. 



RoGERUS CoTES collegii .S. Trinitatis socius, 
astronomise & philosophise experimentalis 
professor Phmtiatms. 



4 



AUCTORIS PRy^FATIO 

IN 

EDITIONEM TERTIAM. 

T N Editione kacce tertia, quam Henricus Pemberton M.D. vir 

harum rerum peritissimus ctcravit, nonnulla in libro secundo de 

resistentia mediorum paulo fusius explica^itur quam antea, & adduntur 

experimenta nova de resistentia gravium qucB cadunt in aere. In 

libro tertio argumentum qua hmam i7i orbe suo per gravitatem retineri 

probattir, paulo ficsitcs exponitur : & Hovcb adduntur observationes de 

proportione diametrorum Jovis ad hivicem a D. Poundio factcE. 

Addufitur etiam observationes aliquot cometcB illitcs qui anno 1680 

apparuit, a D. Kirk mense Novembri in Germania habit(^, qucB nuper 

ad manus nostras venerunt^ & quartc^n ope constet quam prope orbes 

parabolici motibics cometarum respondent. Et orbita cornetcs illius, 

computaiite Hslleio, pazclo accuratizcs determinatur qicam antea, idque 

in ellipsi. Et ostenditur cometam in hac orbita elliptica, per novem 

ccElortcm signa, non mimis accurate cursum peregisse, qtca^n solent 

planetcB in orbitis ellipticis per astronomiam definitis moveri. Orbis 

etiam cometcB qtci anno 1723 apparuit, a D. Bradleio astronomice apud 

Oxonienses professore comptctatuSy adjicitur. 



IS. NEWTON. 

Dabam Londini, Jan. 12, 1725-6. 



INDEX CAPITUM 

TOTIUS OPERIS. 

Pag. 
Definitiones, I 

AXIOMATA, SIVE LeGES MoTUS, I3 

DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS. 

Sect. I. De methodo ratiomim primarum & ultimarum, . 28 

II. De inve7itione virium centripetarum, . . • 3^ 

III. De motu corporum in conicis sectio7iibus eccentricis, 54 

IV. De inventione orbium ellipticorumy parabolicorum 

& hyperbolicorum ex umbilico dato, . . -65 

V. De inventione orbium tibi umbilicics rieuter datur^ . 73 

VI. De inventione motuum in orbibtcs datis, . .104 

VII. De corporum ascensu & descensu rectilineo, . .112 

VIII. De inventione orbium in quibus corpora viribus 

quibuscimque centripetis agitata revolvuntur, . 123 
IX. De motu corportim in orbibus mobilibus, deque motu 

apsidum, 129 

X. De motu corporum in superficiebus datis, deque 

/unependulorum motu reciproco, . . .142 

XI. De motu corporum viribus centripetis se mutuo 

petentitim, . . . . . . .160 

XII. De corporum sphcBricorum viribus attractivis, . 189 

XIII. De corporum non sphcsricorum viribus attractivis, 210 

XIV. De motu corporum mi^iimorum, qucs viribus centri- 

petis ad singulas magni alicujus corporis partes 
tendentibus agitantur, . . . . .222 



xxxvi INDEX CAPITUM. 



DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS. 



Pag. 



Sect. r. De ntotiL corporum quibiis resistitur in ratione 

velocitatis, . . . . . • .230 
II. De inotu corporum quibtis resistiticr in duplicata 

ratione velocitatis, . . . . . «239 

III. De mottc corporum quibus resistitur partim in 

ratio7ie velocitatis, partim in ejusdem ratio7ie 
dtcplicata, . . . . . • .265 

IV. De corporum circulari motu in mediis resistentibus, 274 
V. De densitate & compressione fluidoricm, deque hydro- 

statica, 282 

VI. De motu & resistentia corporum ftmepejid^clorum, . 294 

VII. De motufluidorum & resistentia projectilium, . 318 

VIII. De 7notu perfluida propagato^ . . . -357 

I X. De motu circulari flicidorum^ . . . . • 3 74 

DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS. 

Regul^ Philosophandi, '. ' 2>^7 

PHiENOMENA, 390 

Propositiones, 395 

SCHOLIUM GeNERALE, ... . . . . .526 



PHILOSOPHI^ NATURALIS 

PRINCIPIA MATHEMATICA. 

DEFINITIONES, 

DEFINITIO I. 

Quantitas materice est mensura ejusdem orta ex illius densiiate et 

magnitudine conjuncti^n, 

AER densitate duplicata, in spatio etiam duplicato, fit quadruplus ; 
in triplicato sextuplus. Idem intellige de nive & pulveribus 
per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio 
corporum omnium, quse per causas quascunque diversimode conden- 
santur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere per- 
vadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub 
nomine corporis vel massse in sequentibus passim intelligo. Innotescit 
ea per corporis cujusque pondus : Nam ponderi proportionalem esse 
reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac 
docebitur. 

DEFINITIO II. 

Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex velocitate et quantitate 

matericB conjunctim, 

Motus totius est summa motuum in partibus singuh*s ; ideoque in 
corpore duplo majore, aequah cum velocitate, duplus est, & dupla cum 
velocitate quadruplus. 

A 



DEFINITIONES. 



DEFINITIO III. 



MatericB vis insita est potentia resistendi, qtia corpus unumqModque, 
quanticm in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movefidi 
tmiformiter in directum. 

H^ec semper proportionalis est suo corpori, neque differt quic- 
quam ab inertia massae, nisi in modo concipiendi. Per inertiam 
materia^ fit, ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi 
difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo 
vis inertiae dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo 
in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta ; 
estque exercitium illud sub diverso respectu & resistentia & impetus : 
Resistentia, quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur 
vi impressse ; impetus, quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi 
difficulter cedendo, conatur statum obstaculi illius mutare. Vulgus 
resistentiam quiescentibus & impetum moventibus tribuit : sed 
motus & quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur 
ab invicem; neque semper vere quiescunt, quae vulgo tanquam 
quiescentia spectantur. 



DEFINITIO IV. 

J^isjmpressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum 
vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum, 

Consistit haec vis in actione sola, neque post actionem permanet 
in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam 
vim inertiae. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex 
ictu, ex pressione, ex vi centripeta. 



DEFINITJONES. 



DEFINITIO V. 



Vis centripeta est, qita corpora verstis punctum aliqicod, ta^iqtcam ad 
centrum, undique trahu^itur, impelluntur, vel utcunqice tendzcnt. 

Hujus generis est gravitas, qua corpora tendunt ad centrum 
terrae ; vis magnetica, qua ferrum petit magnetem ; & vis illa, quae- 
cunque sit, qua planetae perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, 
& in lineis curvis revolvi coguntur. Lapis, in funda circumactus, 
a circumagente manu abire conatur ; & conatu suo fundam distendit, 
eoque fortius quo celerius revolvitur ; &, quamprimum dimittitur, 
avolat. Vim conatui illi contrariam, qua funda lapidem in manum 
perpetuo retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis 
centrum dirigitur, centripetam appello. Et par est ratio corporum 
omnium, quse in gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris 
orbium recedere ; & nisi adsit vis aliqua conatui isti contraria, 
qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamque ideo centripetam 
appello, abibunt in rectis lineis uniformi cum motu. Projectile» 
si vi gravitatis destitueretur, non deflecteretur in terram, sed in 
linea recta abiret in coelos ; idque uniformi cum motu, si modo 
aeris resistentia tolleretur. Per gravitatem suam retrahitur a cursu 
rectilineo & in terram perpetuo flectitur, idque magis vel minus 
pro gravitate sua & velocitate motus. Quo minor fuerit ejus gravitas 
pro quantitate materiae, vel major velocitas quacum projicitur, eo 
minus deviabit a cursu rectiHneo & longius perget. Si globus plum- 
beus, data cum velocitate secundum lineam horizontalem a montis 
alicujus vertice vi pulveris tormentarii projectus, pergeret in Hnea 
curva ad distantiam duorum milliarium, priusquam in terram deci- 
deret : hic dupla cum velocitate quasi duplo longius pergeret, & 
decupla cum velocitate quasi decuplo longius : si modo aeris resi- 
stentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri posset pro lubitu 
distantia in quam projiceretur, & minui curvatura lineae quam de- 
scriberet, ita ut tandem caderet ad distantiam graduum decem vel 
triginta vel nonaginta; vel etiam ut terram totam circuiret vel 
denique ut in cceIos abiret, & motu abeundi pergeret in infinitum. 
Et eadem ratione, qua projectile vi gravitatis in orbem flecti posset & 



. DEFINITIONES. 

terram totam circuire, potest & luna vel vi gravitatis, si modo gravis 
sit, vel alia quacunque vi, qua in terram urgeatur, retrahi semper a 
cursu rectilineo terram versus, & in orbem suum flecti : & sine 
tali vi luna in orbe suo retineri non potest. Hsec vis, si justo minor 
esset, non satis flecteret lunam de cursu rectilineo : si justo major, 
plus satis flecteret, ac de orbe terram versus deduceret. Requiritur 
quippe, ut sit justse magnitudinis : & Mathematicorum est invenire 
vim, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accurate 
retineri possit; & vicissim invenire viam curviHneam, in quam corpus 
e dato quovis loco data cum velocitate egressum a data vi flectatur. 
Est autem vis hujus centripet^ quantitas trium generum, absoluta, 
acceleratrix, & motrix. 



DEFINITIO VI. 

Vis centripetcB quantitas absohita est mefistira ejusdem major vel 
minor pro efficacia causce eam propagantis a centro per regiones 
in circuitu. 

Ut vis magnetica pro mole magnetis vel intensione virtutis major 
in uno magnete, minor in aho. 



DEFINITIO VII. 

Vis centripetcE quantitas acceleratrix est ipsius menstira velocitati 
proportionalis, quam dato tempore generat, 

Uti virtus magnetis ejusdem major in minori distantia, minor 
in majori : vel vis gravitans major in valHbus, minor in cacumini- 
bus altorum montium, atque adhuc minor (ut posthac patebit) 
in majoribus distantiis a globo terrae ; in sequaHbus autem distantiis 
eadem undique, propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an 
levia, magna an parva) sublata aeris resistentia, sequaHter accelerat. 



DEFINITIONES. 



DEFINITIO VIII. 



Vis ce7itripetcB quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis 
motui, quem dato tempore generat, 

Utl pondus majus in majore corpore, minus in minore ; & in 
corpore eodem majus prope terram, minus in coelis. Haec quantitas 
est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum, & (ut ita 
dicam) pondus ; & innotescit semper per vim ipsi contrariam & 
sequalem, qua descensus corporis impediri potest. 

Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires 
motrices, acceleratrices, & absolutas ; & dlstinctionis gratla referre 
ad corpora centrum petentia, ad corporum loca, & ad centrum 
virium : nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum totius 
in centrum ex conatibus omnium partium compositum ; & vim 
acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de 
centro per loca singula in circultu diffiisam, ad movenda corpora 
quae in ipsis sunt; vlm autem absolutam ad centrum, tanquam 
causa aliqua prseditum, slne qua vires motrices non propagantur 
per regiones in circuitu ; sive causa illa sit corpus allquod centrale 
(quale est magnes in centro vls magnetlcae, vel terra in centro vis 
gravitantis) slve alia aliqua quae non apparet. Mathematicus 
duntaxat est hic conceptus : Nam virlum causas & sedes physicas 
jam non expendo. 

Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. 
Oritur enlm quantltas motus ex celeritate & ex quantltate materiae, 
& vis motrix ex vi acceleratrice & ex quantitate ejusdem materiae 
conjunctlm. Nam summa actionum vis acceleratrlcis in slngulas 
corporls particulas est vls motrix totlus. Unde juxta superficiem 
terrae, ubi gravltas acceleratrix seu vis gravitans in corporlbus 
universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus : at si 
in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus 
pariter mlnuetur, eritque semper ut corpus & gravitas acceleratrix 
conjunctlm. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo 
minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo 
vel sextuplo minus. 



DEFINITIONES. 



Porro attractiones & impulsus eodem sensu acceleratrices & 
motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus, vel propen- 
sionis cujuscunque in centrum, indifferenter & pro se mutuo promiscue 
usurpo ; has vires non physice sed mathematice tantum considerando. 
Unde caveat lector, ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel 
modum actionis causamve aut rationem physicam aHcubi definire, vel 
centris (quae sunt puncta mathematica) vires vere & physice tribuere ; 
si forte aut centra trahere, aut vires centrorum esse dixero. 



Scholium, 

Hactenus voces minus notas, quo sensu in sequentibus accipiendae 
sint, expHcare visum est. Tempus, spatium, locus & motus, sunt 
omnibus notissima. Notandum tamen, quod vulgus quantitates 
hasce non aHter quam ex relatione ad sensibiHa concipiat. Et 
inde oriuntur prsejudicia quaedam, quibus toHendis convenit easdem 
in absolutas & relativas, veras & apparentes, mathematicas & vulgares 
distingui. 

I. Tempus absolutum, verum, & mathematicum, in se & natura 
sua sine relatione ad externum quodvis, aequabiHter fluit, aHoque 
nomine dicitur duratio : Relativum, apparens, & vulgare est sensibiHs 
& externa quaevis durationis per motum mensura (seu accurata 
seu inaequabiHs) qua vulgus vice veri temporis utitur ; ut hora, dies, 
mensis, annus. 

II. Spatium absolutum, natura sua sine relatione ad externum 
quodvis, semper manet similare & immobile : Relativum est spatii 
hujus mensura seu dimensio quaeHbet mobiHs, quae a sensibus nostris 
per situm suum ad corpora definitur, & a vulgo pro spatio immobiH 
usurpatur : uti dimensio spatii subterranei, aerii vel ccelestis definita 
per situm suum ad terram. Idem sunt spatium absokitum & 
relativum, specie & magnitudine; sed non permanent idem semper 
numero. Nam si terra, verbi gratia, moveatur, spatium aeris nostri, 
quod relative & respectu terrae semper manet idem, nunc erit una 
pars spatii absoluti in quam aer transit, nunc aHa pars ejus ; & sic 
absohite mutabitur perpetuo. 



DEFINITIONES. . ^, 

III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estque pro ratione 
spatii vel absolutus vel relativus. Pars, inquam, spatii ; non situs cor- 
poris, vel superficies ambiens. Nam solidorum aequalium ^quales 
semper sunt loci ; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut 
plurimum inaequales sunt; Situs vero proprie loquendo quantitatem 
non habent, neque tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus 
totius idem est cum summa motuum partium ; hoc est, translatio totius 
de suo loco eadem est cum summa translationum partium de locis 
suis ; ideoque locus totius idem est cum summa locorum partium, & 
propterea internus & in corpore toto. 

IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in 
locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in navi quse 
veHs passis fertur, relativus corporis locus est navigii regio illa in qua 
corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, 
quaeque adeo movetur una cum navi : & quies relativa est permansio 
corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis. At quies 
vera est permansio corporis in eadem parte spatii ilHus immoti, in 
qua navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur. 
Unde si terra vere quiescat, corpus, quod relative quiescit in navi, 
movebitur vere & absolute ea cum velocitate, qua navis movetur in 
terra. Sin terra etiam moveatur ; orietur verus & absolutus corporis 
motus, partim ex terrse motu vero in spatio immoto, partim ex navis 
motu relativo in terra. Et si corpus etiam mbveatur relative in 
navi ; orietur verus ejus motus, partim ex vero motu terrae in 
spatio immoto, partim ex relativis motibus tum navis in terra tum 
corporis in navi : & ex his motibus relativis orietur corporis 
motus relativus in terra. Ut si terrae pars illa, ubi navis versatur, 
moveatur vere in orientem cum velocitate partium looio; & velis 
ventoque feratur navis in occidentem cum velocitate partium decem ; 
nauta autem ambulet in navi orientem versus cum velocitatis parte 
una : movebitur nauta vere & absolute in spatio immoto cum velo- 
citatis partibus loooi in orientem, & relative in terra occidentem 
versus cum velocitatis partibus novem. 

Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per 
aequationem temporis vulgi. Inaequales enim sunt dies naturales^ 
qui vulgo tanquam aequales pro mensura temporis habentur. Hanc 
inaequaHtatem corrigunt Astronomi, ut ex veriore tempore mensurent 



8 DEFINITIONES. 

motus coelestes. Possibile est, ut nullus sit motus aequabilis, quo 
tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus 
omnes, sed, fluxus temporis absoluti mutari nequit. Eadem est 
duratio seu perseverantia existentiae rerum, sive motus sint celeres, 
sive tardi, sive nulli : proinde haec a mensuris suis sensibilibus merito 
distinguitur, & ex iisdem colligitur per aequationem astronomicam. 
Hujus autem aequationis in determinandis phaenomenis necessitas, 
tum per experimentum horologii oscillatorii, tum etiam per eclipses 
satellitum Jovis evincitur. 

Ut ordo partium temporis est immutabilis, sic etiam ordo partium 
spatii. Moveantur hae de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de 
seipsis. Nam tempora & spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium 
quasi loca. In tempore quoad ordinem successionis, in spatio quoad 
ordinem situs, locantur universa. De illorum essentia est ut sint 
loca : & loca primaria moveri absurdum est. Haec sunt igitur 
absoluta loca; & solae translationes de his locis sunt absoluti 
motus. 

Verum quoniam h^ spatii partes videri nequeunt, & ab invicem 
per sensus nostros distingui ; earum vice adhibemus mensuras 
sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore ali- 
quo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa : deinde 
etiam & omnes motus aestimamus cum respectu ad praedicta loca, 
quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus. Sic vice locorum 
& motuum absolutorum relativis utimur; nec incommode in rebus 
humanis : in philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri 
etenim potest, ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca 
motusque referantur. 

Distinguuntur autem quies & motus absoluti & relativi ab invicem 
per proprietates suas & causas & effectus. Quietis proprietas est, 
quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideoque cum 
possibile sit, ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, 
quiescat absolute ; sciri autem non possit ex situ corporum ad 
invicem in regionibus nostris, horumne aliquod ad longinquum illud 
datam positionem servet necne; quies vera ex horum situ inter se 
definiri nequit. 

Motus proprietas est, quod partes, quae datas servant positiones 
ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium 



DEFINITIONES. g 

partes omnes conantur recedere ab axe motus, & progredientium 
impetus oritur ex conjuncto impetu partium singulanim. Motis 
igitur corporibus ambientibus, moventur quae in ambientibus rela- 
tive quiescunt. Et propterea motus verus & absolutus definiri 
nequit per translationem e vicinia corporum, quae tanquam quies- 
centia spectantur. Debent enim corpora externa non solum tanquam 
quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa 
omnia, praeter translationem e vicinia ambientium, participabunt 
etiam ambientium motus veros ; & sublata illa translatione non 
vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur. 
Sunt enim ambientia ad inclusa, ut totius pars exterior ad partem 
interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nu- 
cleus etiam, sine translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, 
movetur. 

Prsecedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una 
locatum : ideoque corpus, quod de loco moto movetur, participat 
etiam loci sui motum. Motus igitur omnes, qui de locis motis 
fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum & absolutorum : 
& motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo 
primo, & motu loci hujus de loco suo, & sic deinceps ; usque dum 
perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo nautse supra me- 
morato. Unde motus integri & absoluti non nisi per loca immota 
definiri possunt : & propterea hos ad loca immota, relativos ad 
mobiha supra retuH. Loca autem immota non sunt, nisi quse 
omnia ab infinito in infinitum datas servant positiones ad invicem ; 
atque adeo semper manent immota, spatiumque constituunt quod 
immobile appello. 

Causae, quibus motus veri & relativi distinguuntur ab invicem, 
sunt vires in corpora impressae ad motum generandum. Motus verus 
nec generatur nec mutatur, nisi per vires in ipsum corpus motum 
impressas : at motus relativus generari & mutari potest sine viribus 
impressis in hoc corpus. Sufticit enim ut imprimantur in aHa solum 
corpora ad quae fit relatio, ut iis cedentibus mutetur relatio illa, in 
qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursum motus verus 
a viribus in corpus motum impressis semper mutatur ; at motus 
relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eaedem 
vires in aHa etiam corpora, ad quae fit relatio, sic imprimantur, ut 



lO 



DEFINITIONES, 



situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus rela- 
tivus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus, ubi 
verus conservatur, & conservari ubi verus mutatur; & propterea 
motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit. 

Effectus, quibus motus absoluti & relativi distinguuntur ab 
invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in 
motu circulari nude relativo hse vires nullae sunt, in vero autem 
& absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat 
situla a filo praelongo, agaturque perpetuo in orbem, donec filum 
a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, & una cum 
aqua quiescat ; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in 
orbem, & filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu ; super- 
ficies aquae sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis : 
At postquam vas, vi in aquam paulatim impressa, effecit ut haec 
quoque sensibiHter revolvi incipiat ; recedet ipsa paulatim a medio, 
ascendetque ad latera vasis, figuram concavam induens (ut ipse 
expertus sum), & incitatiore semper motu ascendet magis & magis, 
donec revolutiones in aequaHbus cum vase temporibus peragendo, 
quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum rece- 
dendi ab axe motus, & per talem conatum innotescit & mensura- 
tur motus aquae circularis verus & absolutus, motuique relativo 
hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aquae motus 
relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi 
ab axe : aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera 
vasis, sed plana manebat, & propterea illius verus motus circularis 
nondum inceperat. Postea vero, ubi aquae motus relativus decrevit, 
ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe ; 
atque hic conatus monstrabat motum illius circularem verum per- 
petuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat 
in vase relative. Quare conatus iste non pendet a translatione 
aquae respectu corporum ambientium, & propterea motus circularis 
verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis 
cujusque revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam 
proprio & adaequato effectui respondens : motus autem relativi 
pro variis relationibus ad externa innumeri sunt ; & relationum 
instar, effectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus verum 
illum & unicum motum participant. Unde & in systemate eorum. 



DEFINITIONES. I j 

qui ccelos nostros infra coelos fixarum in orbem revolvi volunt, 
& planetas secum deferre; singulae ccelorum partes, & planetae 
qui relative quidem in coelis suis proximis quiescunt, moventur 
vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in 
vere quiescentibus) unaque cum coelis delati participant eorum 
motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere 
conantur. 

Quantitates relativse non sunt igitur eae ipsae quantitates, quarum 
nomina prae se ferunt, sed sunt earum mensurae illae sensibiles (verae 
an errantes) quibus vulgus loco quantitatum mensuratarum utitur. 
At si ex usu definiendae sunt verborum significationes ; per nomina 
illa temporis, spatii, loci & motus proprie intelligendae erunt hae 
mensurae sensibiles ; & sermo erit insolens & pure mathematicus, si 
quantitates mensuratae hic intelHgantur. Proinde vim inferunt sacris 
Hteris, qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpre- 
tantur. Neque minus contaminant mathesin & philosophiam, qui 
quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris 
confundunt. 

Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab 
apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod 
partes spatii iUius immobilis, in quo corpora vere moventur, non 
incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam 
argumenta desumi possunt, partim ex motibus apparentibus qui sunt 
motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae sunt motuum 
verorum causae & effectus. Ut si globi duo, ad datam ab invicem 
distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune 
gravitatis centrum ; innotesceret ex tensione fili conatus globorum 
recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari 
posset. Deinde si vires quaelibet aequales in alternas globorum 
facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul im- 
primerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fiH tensione 
augmentum vet decrementum motus ; & inde tandem inveniri 
possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus 
maxime augeretur ; id est, facies postic^, sive quae in motu circulari 
sequuntur. Cognitis autem faciebus' quae sequuntur, & faciebus 
oppositis quae praecedunt, cognosceretur determinatio motus. In 
hunc modum inveniri posset & quantitas & determinatio motus 



I^ DEFINITIONES. 

hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum 
& sensibile quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur 
in spatio illo corpora aHqua longinqua datam inter se positionem 
servantia, quaHa sunt steHae fixae in regionibus ccelorum : sciri quidem 
non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum 
his an iHis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad filum, 
& deprehenderetur tensionem ejus iham ipsam esse quam motus 
globorum requireret; conckidere Hceret motum esse globorum, 
& corpora quiescere; & tum demum ex translatione globorum 
inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem 
veros ex eorum causis, effectibus, & apparentibus differentiis colligere, 
& contra ex motibus seu veris seu apparentibus eorum causas 
& effectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem 
tractatum sequentem composui. 



A X lOMA TA, 



SIVE 



LEGES MOTUS. 



LE X I 



Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni- 
formiter in directum, nisi quatenus illud, a viribus impressis cogitur 
statum suum mutare, 

PROJECTILIA perseverant in motibus suis, nisi quatenus a 
resistentia aeris retardantur, & vi gravitatis impelluntur deor- 
sum. Trochus, cujus partes cohserendo perpetuo retrahunt sese a 
motibus rectiHneis, non cessat rotari, nisi quatenus ab aere retardatur. 
Majora autem planetarum & cometarum corpora motus suos & 
progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos con- 
servant diutius. 

LE X II. 

Mutationem motus proportionalein esse vi ^notrici impresscs, & fieri 
sectmdum lineam rectam qua vis illa imprimitur, 

Si vis aliqua motum quemvis generet ; dupla duplum, tripla 
triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive 
impressa fuerit. Et hic motus (quoniam in eandem semper plagam 
cum vi generatrice determinatur) si corpus antea movebatur, motui 
ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo 
obHque adjicitur, & cum eo secuhdum utriusque determinationem 
componitur. 



14 AXIOMATA, SIVE 



L E X III 



Adioni contrariam semper & cEqualem esse reactiofie^n : sive corportwt 
dtiorum actiones iit se miituo se^nper esse csquales & in partes 
contrarias dirigi, 

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur 
vel trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus 
digitus a lapide. Si equus lapidem funi alligatum trahit, retrahe- 
tur etiam & equus (ut ita dicam) aequaliter in lapidem : nam funis 
utrinque distentus eodem relaxandi se conatu urgebit equum versus 
lapidem, ac lapidem versus equum ; tantumque impediet progressum 
unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod 
in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunque 
mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem 
in partem contrariam vi alterius (ob sequalitatem pressionis mutuae) 
subibit. His actionibus sequales fiunt mutationes, non veloci- 
tatum, sed motuum ; scilicet in corporibus non aliunde impeditis. 
Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factae, 
quia motus aequaliter mutantur, sunt corporibus reciproce propor- 
tionales. Obtinet etiam haec lex in attractionibus, ut in scholio 
proximo probabitur. 



COROLLARIUM I. 

Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem te77tpore 
describere, quo latera separatis. 

Si corpus datcr tempore, vi sola M ^ 
in loco A impressa, ferretur uniformi 
cum motu ab ^ ad -5 ; & vi sola N in 
eodem loco impressa, ferretur ab ^ ad C ; 
compleatur parallelogrammum ABDC, 
& vi utraque feretur corpus illud eodem 
tempore in diagonali ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secun- 
dum lineam A C ipsi BD parallelam, haec vis per legem 1 1 nihil 




LEGES MOTUS. 



15 



mutabit velocltatem accedendi ad llneam illam BD a vi altera 
genitam. Accedet igltur corpus eodem tempore ad lineam BD, 
slve vls N imprimatur, slve non ; atque ideo in fine Illlus temporis 
reperletur allcubi in Ilnea Illa BD. Eodem argumento in fine 
temporls ejusdem reperletur alicubi in llnea CD, & idcirco in utri- 
usque llnese concursu D reperlri necesse est. Perget autem motu 
rectlllneo ab ^ ad Z^ per legem i. 




COROLLARIUM II 

El hinc patet compositio vis directce AD 
ex viribus qtcibusvis obliquis AB df 
BD, & vicissim resolutio vis cujusvis 
directcB AD in obliquas quascunque A^ 
& BD. Quce quidem compositio & 
resolutio abtmde confirmatur ex mechanica, 

Ut sl de rotae alicujus centro O exeuntes radii inaequales O M, 
O N filis M A, N P sustineant pondera A & P, & quserantur vires 
ponderum ad movendam rotam : Per centrum O agatur recta K O L 
filis perpendiculariter occurrens in K and Z, c^ntroque O & inter- 
vallorum O K, OL majore OL 
describatur circulus occurrens filo 
M A in D: &: actse rectae OD 
parallela sit A Cy 8c perpendicu- 
laris DC Quonlam nlhil refert, 
utrum filorum puncta K, L, D 
affixa sint an non affixa ad planum 
rotae ; pondera idem valebunt, ac 
si suspenderentur a punctis K & 
L vd D 8i L. Ponderis autem 
A exponatur vis tota per llneam 
A D, 81 haec resolvetur in vires 
A C, CD, quarum A C trahendo 
radlum OD directe a centro nihil valet ad movendam rotam ; vis 
autem altera D C, trahendo radium D O perpendiculariter, idem 




i6 



AXIOMATA, SIVE 



valet, ac si perpendiculariter traheret radium O L ipsi O D aequalem ; 
hoc est, idem atque pondus P, si modo pondus illud sit ad pondus 
A ut v\s D C ad vim DA, id est (ob similia triangula A D C, 
DOKJ ut OK 2id OD seu O L. Pondera igitur A & P, quae 
sunt reciproce ut radii in directum positi O K & O L, idem pollebunt, 
& sic consistent in sequilibrio : quae est proprietas notissima Hbrae, 
vectis, & axis in peritrochio. Sin pondus alterutrum sit majus 
quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto 
major. 

Quod si pondus/ ponderi P sequale partim suspendatur filo iV/, 
partim incumbat plano obhquo / G: agantur p H, N H, prior 
horizonti, posterior plano / G perpendicularis ; & si vis ponderis / 
deorsum tendens, exponatur per Hneam p H, resolvi potest hsec in 
vires / N, HN, Si filo / iV^ per- 
pendiculare esset planum aHquod 
p Q, secans planum alterum p G 
in Hnea ad horizontem paraHela ; 
& pondus / his planis p Q, p G 
solummodo incumberet ; urgeret 
iHud haic plana viribus / Ny HN, 
perpendiculariter nimirum planum 
/ Q w\ p Ny 8i planum p G v\ 
HN. Ideoque si tollatur planum 
p Qy ut pondus tendat filum ; 
quoniam filum sustinendo pondus 
jam vicem praestat plani sublati, 
tendetur illud eadem vi p N, qua planum antea urgebatur. Unde 
tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis 
PNy ut p N 2id p H. Ideoque si pondus p sit ad pondus A 
in ratione, quse componitur ex ratione reciproca minimarum 
distantiarum filorum suorum p N, A M 3, centro rotae, & ratione 
directa p H 2A p N ; pondera idem valebunt ad rotam movendam, 
atque ideo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest. 

Pondus autem /, planis illis duobus obliquis incumbens, rationem 

habet cunei inter corporis fissi facies internas : & inde vires cunei 

& mallei innotescunt : utpote cum vis qua pondus p urget planum 

p Q sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur 




LEGES MOTUS. ^y 

secundum lineam p H m plana, ut/ iV ad/ H ; atque ad vim, qua 
urget planum alterum/ G , wt p N -d^di N H. Sed & vis cochle^ 
per similem virium divisionem colligitur ; quippe quae cuneus est a 
vecte impulsus. Usus igitur corollarii hujus latissime patet, & late 
patendo veritatem ejus evincit ; cum pendeat ex jam dictis me- 
chanica tota ab auctoribus diversimode demonstrata. Ex hisce 
enim facile derivantur vires machinarum, quae ex rotis, tympanis, 
trochleis, vectibus, nervis tensis & ponderibus directe vel obHque 
ascendentibus, cseterisque potentiis mechanicis componi solent, ut 
& vires tendinum ad animaHum ossa movenda. 

COROLLARIUM III. 

Quantitas mottis quce colligitur capiendo summam motuum fac- 
torum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, 
non mutatur ab actione corporum inter se. 

Etenim actio eique contraria reactio aequales sunt per legem iii, 
ideoque per legem 1 1 sequales in motibus efficiunt mutationes 
versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem ; 
quicquid additur motui corporis fugientis, subducetur motui corporis 
insequentis sic, ut summa maneat eadem quae prius. Sin corpora 
obviam eant ; sequalis erit subductio de motu utriusque, ideoque 
differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem. 

Ut si corpus sphaericum A sit triplo majus corpore sphaerico B^ 
habeatque duas velocitatis partes ; & B sequatur in eadem recta cum 
velocitatis partibus decem, ideoque motus ipsius A sit ad motum 
ipsius B, ut sex ad decem : ponantur motus ilHs esse partium sex 
& partium decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum 
igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor 
vel quinque, corpus B amittet partes totidem, ideoque perget corpus 
A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim, 
& B cum partibus septem vel sex vel quinque, existente semper 
summa partium sexdecim ut prius. Si corpus A lucretur partes novem 
vel decem vel undecim vel duodecim, ideoque progrediatur post 
concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim 
vel octodecim ; corpus B, amittendo tot partes quot A lucratur, 

B 



i3 AXIOMATA, SIVE 

vel cum una parte progredietur amissis partibus novem, vel quiescet 
amisso motu suo progressivo partium decem, vel cum una parte 
regredietur amisso motu suo & (ut ita dicam) una parte amplius, 
vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progres- 
sivum partium duodecim. Atque ita summse motuum conspirantium 
15+ I vel 1 6-1-0, & differentiae contrariorum 17— i & 18 — 2 semper 
erunt partium sexdecim, ut ante concursum & reflexionem. Cog- 
nitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, 
invenietur cujusque velocitas, ponendo eam esse ad velocitatem 
ante reflexionem, ut motus post est ad motum ante. Ut in casu ultimo, 
ubi corporis A motus erat partium sex ante reflexionem & partium 
octodecim postea, & velocitas partium duarum ante reflexionem ; 
invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo, 
ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim 
postea, ita velocitatis partes duae ante reflexionem ad velocitatis 
partes sex postea. 

Quod si corpora vel non sphserica vel diversis in rectis moventia 
incidant in se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post 
reflexionem ; cognoscendus est situs plani a quo corpora concur- 
rentia tanguntur in puncto concursus : dein corporis utriusque motus 
(per Corol. 11.) distinguendus est in duos, unum huic plano per- 
pendicularem, alterum eidem parallelum : motus autem paralleli, 
propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic 
plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem atque 
antea ; & motibus perpendicularibus mutationes aequales in partes 
contrarias tribuendae sunt sic, ut summa conspirantium & diflerentia 
contrariorum maneat eadem quse prius. Ex hujusmodi reflexionibus 
oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. 
Sed hos casus in sequentibus non considero, & nimis longum esset 
omnia huc spectantia demonstrare. 



LEGES MOTUS. jq 



COROLLARIUM IV. 

Com^nune gravitatis centrum corporum duo7^u77t vel plurium, ab ac- 
tionibtis corporum inter se, non mutat stattcm suum vel motus 
vel quietis; & propterea corporum omnium i^i se mutuo agentium 
(exclusis actionibtcs & impedimentis externis) commune centrum 
gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. 

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis 
rectis, & distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens 
vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta. Hoc postea 
in lemmate xxiii ejusque corollario demonstratur, si punctorum 
motus fiant in eodem plano; & eadem ratione demonstrari potest, 
si motus illi non fiant in eodem plano. Ergo si corpora quotcunque 
moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis 
duorum quorumvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea 
recta; propterea quod linea, horum corporum centra in rectis uni- 
formiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in 
ratione data. Similiter & commune centrum horum duorum & 
tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta ; 
propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum 
duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & 
commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel 
progreditur uniformiter in linea recta ; propterea quod ab eo divi- 
ditur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti 
in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum, 
quae actionibus in se invicem aliisque omnibus in se extrinsecus 
impressis omnino vacant, ideoque moventur singula uniformiter in 
rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel 
movetur uniformiter in directum. 

Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, 
cum distantise centrorum utriusque a communi gravitatis centro sint 
reciproce ut corpora ; erunt motus relativi corporum eorundem, vel 
accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, aequales inter 
se. Proinde centrum illud a motuum aequalibus mutationibus in 



20 AXIOMATA, SIVE 

partes contrarlas factis, atqiie ideo ab actionlbus horum corporum 
inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur 
in statu suo quoad motum vel quletem. In systemate autem cor- 
porum plurium, quoniam duorum quorumvls in se mutuo agentium 
commune gravitatis centrum ob actlonem illam nullatenus mutat 
statum suum ; & reliquorum, quibuscum actlo illa non intercedit, 
commune gravitatis centrum nihil inde patitur ; distantia autem 
horum duorum centrorum dividltur a communi corporum omnium 
centro in partes summls totaHbus corporum quorum sunt centra 
reciproce proportlonales ; ideoque centris ilHs duobus statum suum 
movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum 
servat etiam statum suum : manifestum est quod commune illud 
omnium centrum ob actiones blnorum corporum inter se nunquam 
mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem syste- 
mate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, 
vel ab actionibus inter bina compositse ; & propterea communi om- 
nium centro mutationem in statu motus ejus vel quietis nunquam 
inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se 
invicem, vel qulescit, vel in recta aHqua progreditur uniformiter ; 
perget idem, non obstantlbus corporum actlonibus inter se, vel 
semper quiescere, vel semper progredi unlformiter in directum ; 
nisi a viribus in systema extrinsecus impressls deturbetur de hoc 
statu. Est igitur systematis corporum plurium lex eadem, quae 
corporis soHtaril, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. 
Motus enim progressivus seu corporis soHtarli seu systematis corporum 
ex motu centri gravitatis sestimari semper debet. 



COROLLARIUM V. 

Corporum dato spatio inclusorum iidem sunt motus inter se, sive 
spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directuml^ 
sine motu circulari, 

Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & 
summae tendentium ad contrarias, eaedem sunt sub initio in utroque 
casu (ex hypothesi) & ex hls summls vel dlfferentiis oriuntur con- 



LEGES MOTUS. 2 i 

gressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per legem 
1 1 sequales erunt congressuum effectus in utroque casu ; & propterea 
manebunt motus inter se in uno casu aequales motibus inter se 
in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes 
eodem modo se habent in navi, sive ea quiescat, sive moveatur 
uniformiter in directum. 



COROLLARIUM VI. 

Si corpora movea^itur quomodocunque inter se, & a viribus accelera- 
tricibus cequalibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergem 
omnia eodem modo moveri inter se, ac si viribus illis 7ion essent 
incitata. 

Nam vires illae sequaliter (pro quantitatibus movendorum cor- 
porum) & secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter 
(quoad velocitatem) movebunt per legem ii. ideoque nunquam 
mutabunt positiones & motus eorum inter se. 

• Scholium. 

Hactenus principia tradidi a mathematicis recepta & experientia 
multiplici confirmata. Per leges duas primas & corollaria duo prima 
GalilcBus invenit descensum gravium esse in duplicata ratione tem- 
poris, & motum projectilium fieri in parabola; conspirante ex- 
perientia, nisi quatenus motus ilH per aeris resistentiam aliquantulum 
retardantur. Corpore cadente gravitas uniformis, singulis temporis 
particulis sequaHbus sequaliter agendo imprimit vires aequales in 
corpus illud, & velocitates aequales generat : & tempore toto vim 
totam imprimit & velocitatem totam generat tempori proportionalem. 
Et spatia temporibus proportionaHbus descripta, sunt ut velocitates 
& tempora conjunctim ; id est in dupHcata ratione temporum. Et 
corpore sursum projecto gravitas uniformis vires imprimit & velo- 
citates aufert temporibus proportionales ; ac tempora ascendendi ad 
altitudines summas sunt ut velocitates auferendae, & altitudines iHae 
sunt ut velocitates ac tempora conjunctim, seu in dupHcata ratione 



22 



AXIOMATA. SIVE 



velocltatum. Et corporis secundum rectam quamvis projecti motus 

a projectione oriundus cum motu a gravitate oriundo componi- 

tur. Ut si corpus A motu solo projectionis dato 

tempore describere posset rectam A B & motu " 

solo cadendi eodem tempore describere posset 

altitudinem A C: compleatur parallelogrammum 

A B D C, & corpus illud motu composito repe- 

rietur in fine temporis in loco D ; & curva linea 

AED, quam corpus illud describet, erit parabola 

quam recta A B tangit in A, & cujus ordinata 

BD est ut AB^. Ab iisdem legibus & corollariis 

pendent demonstrata de temporibus oscillantium 

pendulorum, suffragante horologiorum experientia quotidiana. Ex his 

iisdem & lege tertia Christophorus Wrennus eques auratus, Joha^mes 

Wallisms S. T.D. & Christianus Hugenius, aetatis superioris geome- 

trarum facile principes, regulas congressuum & reflexionum durorum 

corporum seorsim invenerunt, & eodem fere tempore cum Societate 

Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes : 

& primus quidem Wallisius, deinde Wre^mus & Hugenius inventum 

prodiderunt. Sed & veritas comprobata est a Wrenno coram Regia 

Societate per experimentum pendulorum : quod etiam Clarissimtis 

Mariottus Hbro integro exponere mox dignatus est. Verum, ut 

hoc experimentum cum theoriis ad amussim congruat, habenda est 

ratio, cum resistentiae aeris, tum etiam vis elasticae concurrentium 

corporum. Pendeant corpora sphaerica A, B fihs paralleHs & 

aequaHbus A C, B D, a centris C, D. His centris & intervaHis de- 

scribantur semicircuH E A F, 

GBH vdidns CA, DB bisecti. 

Trahatur corpus A ad arcus 

EAE punctum quodvis R^ & 

(subducto corpore B) demitta- 

tur inde, redeatque post unam 

osciHationem ad punctum V. 

Est 7? F retardatio ex resisten- 

tia aeris. Hujus i? F fiat S T pars quarta sita in medio, ita sciHcet 

ut ^ 6^ & TF aequentur, sitque R S 2id S Tut ^ 2id 2. Et ista S T 

exhibebit retardationem in descensu ab vS' ad ^ quam proxime. 




LEGES MOTUS. 23 

Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto 
Sy & velocitas ejus in loco reflexionis A sine errore sensibili tanta 
erit, ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur haec 
velocitas per chordam arcus TA. Nam velocitatem penduli in 
puncto infimo esse ut chordam arcus, quem cadendo descripsit, 
propositio est geometris notissima. Post reflexionem perveniat 
corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B 
& inveniatur locus v ; 2. quo si corpus A demittatur & post unam 
oscillationem redeat ad locum r, sit s t pars quarta ipsius r v sita in 
medio, ita videlicet vXr s %l t v sequentur ; & per chordam arcus / A 
exponatur velocitas, quam corpus A proxime post reflexionem habuit 
in loco A. Nam t erit locus ille verus & correctus, ad quem corpus 
Ay sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo 
corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus 
locus /, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc 
pacto experiri Hcet omnia, perinde ac si in vacuo constituti essemus. 
Tandem ducendum erit corpus A (ut ita dicam) in chordam arcus 
T A, quse velocitatem ejus exhibet, ut habeatur motus ejus in loco A 
proxime ante reflexionem ; deinde in chordam arcus t A, ut habeatur 
motus ejus in loco A proxime post reflexionem. Et sic corpus B 
ducendum erit in chordam arcus B /, ut habeatur motus ejus proxime 
post reflexionem. Et simiH methodo, ubi corpora duo simul 
demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusque tam ante, 
quam post reflexionem ; & tum demum conferendi sunt motus inter se 
& coHigendi eflectus reflexionis. Hoc modo in penduHs pedum 
decem rem tentando, idque in corporibus tam insequaHbus quam aequaH- 
bus, & faciendo ut corpora de intervaflis ampHssimis, puta pedum octo 
vel duodecim vel sexdecim, concurrerent ; reperi semper sine errore 
trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurre- 
bant, sequales esse mutationes motuum corporibus in partes contrarias 
iUatae, atque ideo actionem & reactionem semper esse sequales. Ut 
si corpus A incidebat in corpus B quiescens cum novem partibus 
motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum 
duabus ; corpus B resiHebat cum partibus istis septem. Si corpora 
obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex, & redibat A 
cum duabus ; redibat B cum octo, facta detractione partium quatuorde- 
cim utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & resta- 



24 



AXIOMATA, SIVE 



K G 


c 


' D 


P H 


1 \ 








/> 


r\ \ 
s\ \ 








/ /* 


t\ \ 






tJ 


/ 


v\ \ 




^^ 




^ 



bit nihil : subducantur aliae partes duae, & fiet motus duarum par- 
tium in plagam contrariam: & sic de motu corporis B partium 
sex subducendo partes quatuordecim, fient partes octo in plagam 
contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A velocius 
cum partibus quatuordecim, & B tardius cum partibus quinque, & 
post reflexionem pergebat A 
cum quinque partibus ; perge- 
bat B cum quatuordecim, facta 
translatione partium novem de 
A in B. Et sic in reliquis. 
A congressu & collisione cor- 
porum nunquam mutabatur 
quantitas motus, quse ex 
summa motuum conspirantium 
& differentia contrariorum colligebatur. Nam errorem digiti unius 
& alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis 
accurate. Difficile erat, tum pendula simul demittere sic, ut corpora 
in se mutuo impingerent in loco infimo A B ; tum loca s, k notare, ad 
quae corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis corporibus 
pendulis inaequalis partium densitas, & textura aliis de causis ir- 
regularis, errores inducebant. 

Porro nequis objiciat regulam, ad quam probandam inventum est 
hoc experimentum, praesupponere corpora vel absolute dura esse, 
vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in com- 
positionibus naturalibus ; addo quod experimenta jam descripta 
succedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a con- 
ditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si regula illa in cor- 
poribus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio 
minui in certa proportione pro quantitate vis elasticae. In theoria 
Wrenni & Htigenii corpora absolute dura redeunt ab invicem 
cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte 
elasticis. In imperfecte elasticis velocitas reditus minuenda est simul 
cum vi elastica ; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum 
ex congressu laeduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub 
malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatque 
ut corpora redeant ab invicem cum velocitate relativa, quae sit ad 
relativam velocitatem concursus in data ratione, Id in pilis ex 



LEGES MOTUS. 



25 



lana arcte conglomerata & fortlter constricta slc tentavl. Primum 
demittendo pendula & mensurando reflexionem, invenl quantltatem 
vls elastlcae ; deinde per hanc vlm determinavi reflexlones in alils 
caslbus concursuum, & respondebant experimenta. Redlbant semper 
pllae ab invicem cum velocitate relativa, quae esset ad velocitatem 
relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate 
redibant pllae ex chalybe : ahae ex subere cum paulo mlnore : in 
vitreis autem proportio erat 15 ad 16 clrclter. Atque hoc pacto 
lex tertla qudad ictus & reflexiones per theoriam comprobata est, quae 
cum experientia plane congruit. 

In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus 
qulbusvis A, B s^ mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis 
interponl, quo congressus eorum Impediatur. Si corpus alterutrum 
A magis trahitur versus corpus alterum i?, quam illud alterum B 
in prius A, obstaculum magls urgebltur presslone corporis A quam 
presslone corporls B ; proindeque non manebit in aequIHbrio. Prae- 
valeblt presslo fortior, facletque ut systema corporum duorum & 
obstacull moveatur in dlrectum in partes versus B, motuque in spatiis 
liberis semper accelerato abeat in infinitum. Quod est absurdum & 
legi primae contrarium. Nam per legem primam debebit systema 
perseverare in statu suo qulescendi vel movendi uniformlter in 
directum, proindeque corpora aequahter urgebunt obstaculum, & 
idcirco aequaHter trahentur in invicem. Tentavi hoc in magnete & 
ferro. Si haec in vascuHs propriis sese contingentibus seorsim posita, 
in aqua stagnante juxta fluitent ; neutrum propellet alterum, sed 
aequahtate attractionis utrlnque sustinebunt conatus in se mutuos, 
ac tandem in aequIHbrlo constituta quiescent. 

Sic etiam gravitas inter terram & ejus partes mutua est. Sece- 
tur terra FI plano quovis E G in partes 
duas EGF 8c EGI: & aequaHa erunt 
harum pondera in se mutuo. Nam si plano 
aHo HK quod priori EG paraHelum sit, pars 
major EGI secetur in partes duas EGKH ^\ 
& HKI, quarum HKI aequaHs sit partl 
prlus abscissae EFG : manlfestum est quod 
pars media EGKH pondere proprio in 
neutram partium extremarum propendebit. 




26 



AXIOMATA, SIVE 




sed inter utramque in sequilibrio, ut ita dicam, suspendetur, & 

quiescet. Pars autem extrema HKI toto suo pondere incumbet in 

partem mediam, & urgebit illam in partem 

alteram extremam E G F ; ideoque vis qua 

partium H K I 8i E G K H summdi E G I 

tendit versus partem tertiam EGF, sequalis 

est ponderi partis HKI, id est ponderi 

partis tertise EGF. Et propterea pondera 

partium duarum EGI, EGF m se mutuo 

sunt sequalia, uti volui ostendere. Et nisi 

pondera illa aequalia essent, terra tota in 

libero sethere fluitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret 

in infinitum. 

Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum 
velocitates sunt reciproce ut vires insitse : sic in movendis instrumentis 
mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo 
sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium 
sestimatae, sunt reciproce ut vires. Sic pondera sequipollent ad 
movenda brachia Hbrse, quse oscillante Hbra sunt reciproce ut 
eorum velocitates sursum & deorsum : hoc est, pondera, si recta 
ascendunt & descendunt, sequipollent, quse sunt reciproce ut punc- 
torum a quibus suspenduntur distantise ab axe librae ; sin planis 
obHquis aHisve admotis obstacuHs impedita ascendunt vel descendunt 
obHque, sequipoHent, quse sunt reciproce ut ascensus & descensus, 
quatenus facti secundum perpendiculum : idque ob determinationem 
gravitatis deorsum. SimiHter in trochlea seu polyspasto vis manus 
funem directe trahentis, quse sit ad pondus vel directe vel obHque 
ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem 
manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & 
simiHbus instrumentis, quse ex rotuHs commissis constructa sunt, 
vires contrarise ad motum rotularum promovendum & impe- 
diendum, si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas 
imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis cochlese ad premendum 
corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis 
velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem 
progressivam cochlese versus corpus pressum. Vires quibus Cu- 
neus urget partes duas Hgni fissi sunt ad vim maHei in cuneum, ut 



LEGES MOTUS. 27 

progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum 
impressae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum 
lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio machinarum 
omnium. 

Harum efficacia & usus in eo solo consistit, ut diminuendo velo- 
citatem augeamus vim, & contra : Unde solvitur in omni aptorum 
instrumentorum genere problema, Datum pondus data vi movendi, 
aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si machinae 
ita formentur, ut velocitates agentis & resistentis sint reciproce ut 
vires ; agens resistentiam sustinebit : & majori cum velocitatum dis- 
paritate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas, 
ut vincatur etiam resistentia omnis, quse tam ex contiguorum & 
inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab 
invicem separandorum cohaesione & elevandorum ponderibus oriri 
solet ; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem 
motus sibi proportionalem, partim in partibus machinae, partim in 
corpore resistente producet. Caeterum mechanicam tractare non 
est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere, quam late pateat 
quamque certa sit lex tertia motus. Nam si aestimetur agentis actio 
ex ejus vi & velocitate conjunctim ; & simiHter resistentis reactio 
aestimetur conjunctim ex ejus partium singularum velocitatibus & 
viribus resistendi ab earum attritione, cohaesione, pondere, & accel- 
eratione oriundis ; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum 
usu, sibi invicem semper aequales. Et quatenus actio propagatur 
per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, 
ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit 
contraria. 



DE 



MOTU CORPORUM 



LIBER PRIMUS, 



SECTIO I. 

De methodo rationum primarum & ultimarum^ cujus ope sequentia 

demonstrantur. 



LEMMA I. 

Quantitates, ut & quantitatum rationes, qucB ad cequalitatem tempore 
quovis finito constanter tendunt, & ante finem temporis illius 
propius ad invicem acceduni quam pro data quavis differentia, 
fiunt ultimo cBqtiales, 

SI negas ; fiant ultimo inaequales, & sit earum ultima differentia 
D. Ergo nequeunt propius ad sequalitatem accedere quam 
pro data differentia D : contra hypothesin. 



LEMMA II. 

Si in figura quavis A a c E, rectis A a, A E & curva a c E com- 
prekensa, inscribantur parallelogramma 
quotcunque A b, B c, C d, &c. stcb basi- 
bus A B, B C, C D, &c. csqtcalibtis, & 
lateribus B b, C c, D d, &c. figurcB lateri 
A a parallelis contenta; & compleantur 
parallebgramma aKbl, bLcm, cMdn, 
&c. Dein horum parallelogrammorum, 
latitudo minuatur, & numerus augeatur 
in infinitum: dico quod ultimce rationes 
quas kabent ad se invicem figura inscripta a bf 




DE MOTU CORFORUM, ^^c. 29 

A K b L c M d D, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea 
AabcdE, sunt rationes ceqtialitatis. 

Nam figurae inscrlptse & clrcumscriptse dififerentia est summa 
parallelogrammorum K l, Lm, Mn, Do, hoc est (ob aequales omnium 
bases) rectangulum sub unlus basl K d 8>l altitudinum summa A a, 
id est, rectangulum A B la, Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo 
ejus A B in infinltum minuitur, fit mlnus quovis dato. Ergo 
(per lemma i) figura inscrlpta & circumscrlpta & multo magis figura 
curvillnea intermedla fiunt ultimo aequales. Q, E. D, 



LEMMA III. 

Ecsdem rationes ultimce sunt etiam rationes csqualitatis, ubi parallelo- 
grammorum latitudines A B, B C, C D, &c. sunt incequaleSy & 
omnes minuwitur in infinitum. 

Sit enim A F sequalis latitudini maximse, & compleatur parallelo- 
grammum FA af. Hoc erit majus quam differentia figurse inscriptse 
& figurse circumscriptse ; at latitudine sua A Fin infinitum dimlnuta, 
minus fiet dato quovis rectangulo. Q. E. D. 

Corol. I. Hlnc summa ultlma parallelogrammorum evanescentium 
coincldit omni ex parte cum figura curvillnea. 

Corol. 2. Et multo magis figura rectlHnea, quse chordis evanes- 
centium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehendltur, coincidit ultlmo 
cum figura curvIHnea. 

Corol. 3. Ut & figura rectilinea circumscripta quse tangentibus 
eorundem arcuum comprehenditur. 

Corol. 4. Et propterea hse figurse ultimse (quoad perimetros acE) 
non sunt rectlHnese, sed rectlHnearum Hmites curviHnei. 



LEMMA IV. 

Si in duabus figuris A a c E, P p r T, inscribantur (ut supra) ducB 
parallelogrammorum serieSy sitque idem amborum numerus, & 
ubi kititudines in i^ifinitum diminuuntur, rationes ultimce parallelo- 
grammorum in tina figura ad parallelogramma in altera, singulorum 



) DE MOTU CORPORUM 

ad singula, sint ecedeni; dico quod figurcB ducs A a c E, P p r T, simt 
ad invicem in eadem illa ratione. 




P 



Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (compo- 
nendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura ad 
figuram ; existente nimirum figura priore (per lemma 1 1 1) ad summam 
priorem, & figura posteriore ad summam posteriorem in ratione 
sequalitatis. Q. E. D. 

Corol. Hinc si duae cujuscunque generis quantitates in eundem 
partium numerum utcunque dividantur ; & partes illae, ubi numerus 
earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obti- 
neant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam, 
cseterseque suo ordine ad cseteras : erunt tota ad invicem in eadem 
illa data ratione. Nam si in lemmatis hujus figuris sumantur 
parallelogramma inter se ut partes, summae partium semper erunt 
ut summse parallelogrammorum ; atque ideo, ubi partium & parallelo- 
grammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, 
in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per 
hypothesin) in ultima ratione partis ad partem. 



LEMMA V. 



Similium figurarum latera omnia, qucs sibi mutuo respondent, sunt 
proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea ; & arecs sunt in 
duplicata ratione laterum. 



LIBER PRIMUS. 



31 



LEMMA VI. 

Si arais quilibet positione dattcs A C B subtendatMr chorda A B 
& in puncto aliquo A, in 

medio curvaturcs continuce, ^ i\-=^^-^ - ^d 

tangatur a recta utrinque 
prodtuta AD; dein ptmcta 
A, B ad htvicem accedant 
& coeant ; dico quod aug- 
ulus BAD, sub chorda 
& tangente contenttis, min- 
uetur i7t i^ijinitum & 
ultimo evanescet, 

Nam sl angulus ille non evanescit, continebit arcus A CB cum 
tangente AD angulum rectlllneo aequalem, & propterea curvatura 
ad punctum A non erlt contlnua, contra hypothesln. 




LEMMA VIL 

lisdem positis; dico quod ultima ratio arcus, chordcB, & tangentis 
ad invicem est ratio csqualitatis. 

Nam dum punctum B ad punctum A accedlt, intelllgantur sem- 
per AB 81 AD ad puncta longlnqua b ac ^producl, & secantl BD 
parallela agatur b d. Sltque arcus A cb semper slmllls arcui A CB. 
Et punctls A, B coeuntlbus, angulus dA b, per lemma superlus, 
evanescet ; ideoque rectse semper finitae A b, A d, Sl arcus interme- 
dius A cb colncldent, & propterea aequales erunt. U nde & hlsce 
semper proportlonales rectae A B,A D, 81 arcus intermedlus ACB 
evanescent, & ratlonem ultlmam habebunt aequalltatls. Q. E. D. 

Corol. I. Unde sl per ^ ducatur tangenti parallela^i^ rectam 
quamvis A F per A transeuntem 

perpetuo secans in F, haec B F a 

ultlmo ad arcum evanescentem 
A CB ratlonem habeblt aequallta- 
tls, eo quod completo parallelo- 
grammo A F B D rationem semper habet aequahtatls ad A D. 




32 



PK MOTU CORPORUM 



Corol. 2. Et si ptr B & A ducantur plures rcctae BB, BD, AP, 
AG, secantes tangentem AD & ipsius parallelam BF; ratio ultima 
abscissarum omnium AD, AE, BF, BG, chordseque & arcus AB 
ad invicem erit ratio sequalitatis. 

CoroL 3. Et propterea hae omncs linca:, in onini dc rationibus 
ultimis argumentatione, pro se invicem usurpari possunt. 



LEMMA VIII. 

Si recta data AR, BR cum arcu ACB, chorda AB cSr' tangente 
AD, triangula tria RAB, RACB, RAD constitumit, dcin puncta 
A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum 
evanescentium est similitudifiisy & ultima ratio crgualitatis, 

Nam dum punctum B ad punctum A accedit, intelligantur semper 
AB, AD, AR ad puncta 
longinqua b, d & r produci, y^ 
ipsique R D parallela agi 
rbd, & arcui ACB similis 
semper sit arcus Ac6. Et 
coeuntibus punctis A^ B, 
angulus 6 A d evanescet, & 
propterea triangula tria sem- 
per finita r-^ ^, rAcb, rA^d 
coincident, suntque eo nom- 
ine similia & sequalia. Unde & hisce semper similia & proportionalia 
RAB^RA CB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & sequalia. 
(2. E. D. 

CoroL Et hinc triangula illa, in omni de rationibus ultimis argu- 
mentatione, pro se invicem usurpari possunt. 




LEMMA IX. 

Si recta hJL & curva A B C positione datcc se mutuo secent in 
angulo dato A, & ad rectam i/iam in alio dato angulo ordinatim 



JJJiJ.K J'RJMUS. 



33 



appliccniur B D, CE, cnrvcc occtirrentes in B, C, dein puncta 
B, C simul accedant ad punctum A : dico quod arece triang^dorum 
ABD, ACE crunt ultimo ad ifivicem in duplicata ratione laterum, 

Etenim dum puncta By C accedunt ad punctum A, intelligatur 
semper A D produci ad puncta longinqua d &. e, ut sint A d, A e 
ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinatae db, ec ordi- 
natis D B, E C parallela: quae 
occurrant ipsis ABy ^Cproductis 
in ^ & r. Duci intelligatur, tum 
curva Abc ipsi ^i?Csimilis, tum 
recta Ag, quae tangat curvam 
utramque in A, & secet ordinatim 
applicatas DB, EC, db, ec in F, 
^y/f^' Tum manente longitu- 
dine A e coeant puncta B, C cum 
puncto A ; & angulo cAg evanes- 
cente, coincident areee curvilineae 
Abd, Ace cum rectilineis Afd, 
Age ; ideoque (per lemma v.) erunt in duplicata ratione laterum A d, 
Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areae ABD, ACE, & 
his lateribus latera A D, A E. Ergo & areai ABD, ACE sunt 
ultimo in dupHcata ratione laterum A D, AE. Q.E.D. 




LEMMA X. 

Spatia quce corpus urgente quacunque vi finita describity sive vis illa 
determinata & immutabilis sit, sive eadem continuo augeatur vel 
contimw diminuatury sunt ipso motus initio in duplicata ratione 
temporum. 

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitae 
per ordinatas DB, EC; & spatia his velocitatibus descripta, erunt 
ut area^ ABD, ACE his ordinatis descriptce, hoc est, ipso motus 
initio (per lemma ix.) in duplicata ratione temporum AD, AE. 
Q^E.D. 



34 . DE MOTU CORPORUM 

Corol. I. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium 
figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, 
qui viribus quibusvis aequalibus ad corpora similiter applicatis 
generantur, 8: mensurantur per distantias corporum a figurarum 
similium locis illis, ad quae corpora eadem temporibus iisdem pro- 
portionalibus sine viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum 
in quibus generantur quam proxime. 

CoroL 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad similes 
figurarum similium partes similiter applicatis generantur, sunt ut vires 
& quadrata temporum conjunctim. 

Corol. 3. Idem intelligendum est de spatiis quibusvis quae corpora 
urgentibus diversis viribus describunt. Haec sunt, ipso motus initio, 
ut vires & quadrata temporum conjunctim. 

Corol. 4. Ideoque vires sunt ut spatia, ipso motus initio, descripta 
directe & quadrata temporum inverse. 

CoroL 5. Et quadrata temporum sunt ut descripta spatia directe 
& vires inverse. 

Scholium. 

Si quantitates indeterminatae diversorum generum conferantur 
inter se, & earum aliqua dicatur esse ut est alia quaevis directe vel 
inverse : sensus est, quod prior augetur vel diminuitur in eadem 
ratione cum posteriore, vel cum ejus reciproca. Et si earum aliqua 
dicatur esse ut sunt aliae duae vel plures directe vel inverse : sensus 
est, quod prima augetur vel diminuitur in ratione quae componitur 
ex rationibus in quibus aliae vel aliarum reciprocae augentur vel 
diminuuntur. Ut si A dicatur esse ut B directe & C directe & D 
inverse : sensus est, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione 

T R C* 

cum B X C X -^ hoc est, quod A & — sunt ad invicem in ratione 

data. 

LEMM A XI. 

Subtensa evanescens anguli contactus, in curvis omnibus curvaturam 
finitam ad punctum contactus habentibus, est ultimo in rationel 
dtLplicata subtenscs arcus contermini. 



LIBER PRTMUS. 



35 




Cas. I. Slt arcus ille A B, tangens ejus A D, subtensa anguli 
contactus ad tangentem perpendicularis B D, subtensa arcus A B. 
Huic subtensae A B 8i tangenti A D perpendiculares erigantur A G, 
B G, concurrentes in G ; dein accedant puncta D, B, G, ad puncta d, 
d, g, sitque / intersectio linearum B G, A G ultimo facta ubi puncta 
D,B accedunt usque ad A. Manifestum est 
quod distantia GI minor esse potest quam 
assignata quaevis. Est autem (ex natura circu- 
lorum per puncta A B G, A bg transeuntium) 
A B qtmd. sequale A Gx B D, & A d quad. 
sequale Agxbd; ideoque ratio AB quad. ad 
Ab quad. componitur ex rationibus A G 2A A g 
8i B D 2id bd. Sed quoniam G I assumi potest 
minor longitudine quavis assignata, fieri potest 
ut ratio A G ad Ag minus differat a ratione 
aequalitatis quam pro differentia quavis assignata, 
ideoque ut ratio A B quad. 3.6. Ab quad. minus 
differat a ratione BD ad bd quam pro differentia 
quavis assignata. Est ergo, per lemma i, ratio ultima AB quad, 
2id A b quad. eadem cum ratione ultima B D zA b d. Q. E. D. 

Cas. 2. Inclinetur jam B D 2id A D m angulo quovis dato, & 
eadem semper erit ratio ultima B D ad bd quae prius, ideoque eadem 
Z.Z A B quad. zA A b quad. Q. E. D. 

Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, sed recta B D zA 
datum punctum convergat, vel alia quacunque lege constituatur ; 
tamen anguli D, d communi lege constituti ad aequalitatem semper 
vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis 
assignata, ideoque ultimo aequales erunt, per lem. i, & propterea 
lineae BD, bd^wxsX. in eadem ratione ad invicem ac prius. Q.E.D. 

Corol. I. Unde cum tangentes A D^ A d, arcus A B, A b, & 
eorum sinus B C, bc fiant ultimo chordis A B, Ab aequales ; erunt 
etiam illorum quadrata ultimo ut subtensae B D, bd. 

Corol. 2. Eorundem quadrata sunt etiam ultimo ut sunt arcuum 
sagittae, quae chordas bisecant & ad datum punctum convergunt. 
Nam sagittae illae sunt ut subtensae B D, bd. 

Corol. 3. Ideoque sagitta est in duplicata ratione temporis quo 
corpus data velocitate describit arcum. 



36 



DE MOTU CORPORUM 




Corol. 4. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in tripli- 
cata ratione laterum A D, A d, inque sesquiplicata laterum D B, 
db; utpote in composita ratione laterum AD 
& DB, A d & db existentia. Sic & triangula 
A B C, A bc sunt ultimo in triplicata ratione 
laterum B C, bc. Rationem vero sesquiplicatam 
voco triplicatae subduplicatam, quse nempe ex 
simplici & subduplicata componitur. 

Corol. 5. Et quoniam D B, db sunt ultimo 
parallelse & in duplicata ratione ipsarum A D, 
Ad: erunt areae ultimae curvilinese A D B, 
Adb (ex natura parabolae) duae tertiae partes 
triangulorum rectilineorum A D B, Adb; & 
segmenta A B, Ab partes tertiae eorundem 
triangulorum. Et inde hae areae & haec segmenta 
erunt in triplicata ratione tum tangentium A D, A d ; tum chordarum 
& arcuum AB, Ab. 

Sckolmm. 

Caeterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec 
infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum 
tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem ; hoc est, curvaturam 
ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu 
intervallum AI finitae esse magnitudinis. Capi enim potest DB 
ut A D^ : quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangen- 
tem A D &L curvam A B duci potest, proindeque angulus contactus 
erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB 
successive ut A D\ A D\ A D\ A D\ &c. habebitur series 
angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quiHbet posterior 
est infinite minor priore. Et si fiat DB successive ut A D^, A Diy 
A Di, A Diy A Di, A Dl, &c. habebitur aHa series infinita an- 
gulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circu- 
laribus, secundus infinite major, & quihbet posterior infinite major 
priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series 
utrinque in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, 
quorum quiHbet posterior erit infinite major minorve priore. Ut 
si inter terminos A D"" &. A D^ inseratur series A Z^V, A D\\ ADh 



LIBER PRIMUS. ^^ 

ADh ADl AD%, AD\\ A D\\ A D\\ &c. Et rursus inter 
binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum 
intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Neque 
novit natura limitem. 

Quae de curvis lineis deque superficiebus comprehensis demon- 
strata sunt, facile appHcantur ad soHdorum superficies curvas & 
contenta. Praemisi vero haec lemmata, ut effugerem taedium de- 
ducendi longas demonstrationes, more veterum geometrarum, ad 
absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per 
methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium 
hypothesis, & propterea methodus illa minus geometrica censetur ; 
malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum 
evanescentium summas & rationes, primasque nascentium, id est, 
ad limites summarum & rationum deducere ; & propterea Hmitum 
iHorum demonstrationes qua potui brevitate praemittere. His enim 
idem praestatur quod per methodum indivisibiHum ; & principiis 
demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando 
quantitates tanquam ex particuHs constantes consideravero, vel si pro 
rectis usurpavero Hneolas curvas ; noHm indivisibiHa, sed evanescentia 
divisibiHa, non summas & rationes partium determinatarum, sed sum- 
marum & rationum Hmites semper inteHigi; vimquetaHum demonstra- 
tionum ad methodum praecedentium lemmatum semper revocari. 

Objectio est, quod quantitatum evanescentium nuHa sit ultima 
proportio ; quippe quae, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi 
evanuerunt, nuHa est. Sed & eodem argumento aeque contendi 
posset nuUam esse corporis ad certum locum, ubi motus finiatur, 
pervenientis velocitatem ultimam : hanc enim, antequam corpus 
attingit locum, non esse ultimam, ubi attingit, nuHam esse. Et 
responsio faciHs est : Per velocitatem ultimam inteHigi eam, qua 
corpus movetur, neque antequam attingit locum ultimum & motus 
cessat, neque postea, sed tunc cum attingit ; id est, iHam ipsam ve- 
locitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus 
cessat. Et simiHter per ultimam rationem quantitatum evanescen- 
tium, inteHigendam esse rationem quantitatum, non antequam eva- 
nescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima 
nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima 
est quacum esse (vel augeri aut minui) incipiunt & cessant. Extat 



38 DE MOTU COEPORUM 

limes quem velocltas in fine motus attingere potest, non autem 
transgredi. Haec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quan- 
titatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cum- 
que hic limes sit certus & definitus, problema est vere geometricum 
eundem determinare. Geometrica vero omnia in aliis geometricis 
determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur. 

Contendi etiam potest, quod si dentur ultimae quantitatum eva- 
nescentium rationes, dabuntur & ultimae magnitudines : & sic quan- 
titas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam Euclides d< 
incommensurabilibus, in libro decimo elementorum, demonstravil 
Verum hsec objectio falsae innititur hypothesi. Uhimae rationes^ 
illae quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt ration< 
quantitatum ultimarum, sed Hmites ad quos quantitatum sine Hmitej 
decrescentium rationes semper appropinquant ; & quas propiuj 
assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam veroj 
transgredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntur inj 
infinitum. Res clarius intelHgetur in infinite magnis. Si quantitatesl 
duae quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur 
harum ukima ratio, nimirum ratio aequaHtatis, nec tamen ideo da- 
buntur quantitates ukimae seu maximae quarum ista est ratio. In 
sequentibus igitur, siquando faciH rerum conceptui consulens dixero 
quantitates quam minimas, vel evanescentes, vel ultimas ; cav< 
intehigas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semperj 
diminuendas sine Hmite. 

S E CT I O II. 

De inventione virium centripetarum, 

PROPOSITIO I. THEOREMA I. 

Areas, quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum 
virium ductis descridunt, & in planis imm^bilibus consistere, 
& esse temporibus proportionales, 

Dividatur tempus in partes sequales, & prima temporis parte de- 
scribat corpus vi insita rectam AB, Idem secunda temporis parte, si 
nil impediret, recta pergeret ad c, (per leg. i.) describens Hneam B c 



LIBER PRIMUS, 



39 



sequalem Ipsl A B ; adeo ut radiis A S, B S, cS ad centrum actls, 

confectae forent sequales arese A S B, B S c. Verum ubi corpus 

venit ad B, agat 

vis centripeta 

impulsu unico 

sed magno, effi- 

clatque ut cor- 

pus de recta Bc 

decllnet & per- 

gat in recta B C. 

Ipsi B S paral- 

lela agatur c C, 

occurrens B C 

in C ; & com- 

pleta secunda 

temporls parte, 

corpus (per le- 

gum corol. i.) 

reperietur In C, 

in eodem plano 

cum trlangulo s 

ASB. Junge 

SC ; & trlangulum S B C, ob parallelas S B, Cr, aequale erit trlan- 

gulo SBc, atque Ideo etlam trlangulo S A B. Slmlli argumento si 

vis centripeta successlve agat In C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis 

temporis particulis singulas descrlbat rectas C D, D E, E F, &c. 

jacebunt hae omnes In eodem plano ; & triangulum SCD triangulo 

SBC,8>iSDE ipsi SCD,&lSEF ipsi SDE ^quale erlt. ^qua- 

llbus Igitur temporibus sequales arese In plano Immoto descrlbuntur : 

& componendo, sunt arearum summse qusevis S A D S, S A FS Inter 

se, ut sunt tempora descrlptionum. Augeatur jam numerus & mlnu- 

atur latitudo triangulorum in infinltum ; & eorum ultima perimeter 

A D Fy (per corollarlum quartum lemmatis tertli) erit linea curva : 

ideoque vls centripeta, qua corpus a tangente hujus curvae perpetuo 

retrahitur, aget Indesinenter ; arese vero quaevis descriptae S A D S, 

SAFS temporibus descriptlonum semper proportlonales, erunt 

iisdem temporibus in hoc casu proportlonales. Q. E. D. 




40 



DE MOTU CORPORUM 



CoroL I. Velocitas corporis in centrum immobile attracti est in 
spatiis non resistentibus reciproce ut perpendiculum a centro illo in 
orbis tang^ntem rectilineam demissum. Est enim velocitas in locis 
illis^, ^, C, A 

/ 



F/' 



// 



'"■f-. 



■- w/ 


\ 


\ ir^. 


-^A 


// 

/ / 


7^\ 


// / 


„<;//\ 


// 


''''-^' 1 \ 


/ 


1 ■) 

Yl^ / 



,/^' 



.--7-B 



£, ut sunt bases. 
aequalium trian- 
gulorum A B, 
BQ CD.DE, 
EF; & hce 
bases sunt reci- 
proce ut perpen- 
dicula in ipsas 
demissa. 

Corol. 2. Si 
arcuum duorum 
aequalibus tem- 
poribus in spa- 
tiis non resisten- 
tibus ab eodem 
corpore succes- 
sive descriptor- 
um chordae AB, 
B C complean- 

tur in parallelogrammum A B C V, & hujus diagonalis ^ F in ea 
positione quam ultimo habet ubi arcus illi in infinitum diminuuntur, 
producatur utrinque ; transibit eadem per centrum virium. 

Corol. 3. Si arcuum sequalibus temporibus in spatiis non resisten- 
tibus descriptorum chordae AB, B C, ^c D E, EF compleantur in 
parallelogramma A B C V, DEFZ ; vires in B & E sunt ad invi- 
cem in ultima ratione diagonahum B J^, E Z, ubi arcus isti in infini- 
tum diminuuntur. Nam corporis motus B C 81 E F componuntur 
(per legum corol. i.) ex motibus B c, B V 8l Ef, E Z : atqui B V 81 
EZy ipsis Cc & i^y aequales, in demonstratione propositionis hujus 
generabantur ab impulsibus vis centripetae in ^ & ^, ideoque sunt 
his impulsibus proportionales. 

CoroL 4. Vires quibus corpora quaelibet in spatiis non resistenti- 
bus a motibus rectilineis retrahuntur ac detorquentur in orbes curvos 






I 



LIBER PRIMUS. ^j 

sunt inter se ut arcuum sequalibus temporibus descriptorum sagittae 
illse quse convergunt ad centrum virium, & chordas bisecant ubi 
arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hae sagittae sunt semisses 
diagonahum, de quibus egimus in corollario tertio. 

Corol. 5. Ideoque vires esedem sunt ad vim gravitatis, ut hse 
sagittse ad sagittas horizonti perpendiculares arcuum paraboHcorum, 
quos projectiHa eodem tempore describunt. 

Corol. 6. Eadem omnia obtinent per legum corol. v. ubi plana, in 
quibus corpora moventur, una cum centris virium, quse in ipsis sita 
sunt, non quiescunt, sed moventur uniformiter in directum. 

PROPOSITIO II. THEOREMA II. 

Corpus omne, quod movetur in linea aliqua curva in plano descripta, 
& radio ducto ad punctum vel immodile, vel motiL rectilifieo 
uniformiter progredie7iSy describit areas circa punctum illud tempor- 
ibus proportionales, urgettcr a vi centripeta tendente ad idem punctum. 

Cas. I. Nam corpus omne, quod movetur in linea curva, detor- 
quetur de cursu rectiHneo per vim aHquam in ipsum agentem (per 
leg. I.). Et vis iHa, qua corpus de cursu rectiHneo detorquetur, & 
cogitur triangula quam minima S A B, S B C, SCD, &c. circa 
punctum immobile 6^ temporibus aequaHbus aequaHa describere, agit 
in loco B secundum Hneam paraHelam ipsi c C (per prop. xl. Hb. i. 
elem. & leg. 11.) hoc est, secundum Hneam BS ; & in loco C se- 
cundum Hneam ipsi d D paraHelam, hoc est, secundum Hneam 6" C, 
&c. Agit ergo semper secundum Hneas tendentes ad punctum iHud 
immobile 6". Q.E.D. 

Cas.'2. Et, per legum coroHarium quintum, perinde est, sive qui- 
escat superficies, in qua corpus describit figuram curviHneam, sive 
moveatur eadem una cum corpore, figura descripta, & puncto suo 
6^ uniformiter in directum. 

Corol. I. In spatiis vel mediis non resistentibus, si areae non sunt 
temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radio- 
rum ; sed inde decHnant in consequentia, seu versus plagam in quam 
fit motus, si modo areanim descriptio acceleratur : sin retardatur, 
decHnant in antecedentia. 



42 ^^ MOTU CORPORUM 

Corol. 2. In mediis etiam resistentibus, si arearum descriptio acce- 
leratur, virium directiones declinant a concursu radiorum versus 
plagam, in quam fit motus. 

Sckolium. 

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viri- 
bus. In hoc casu sensus propositionis est, quod vis illa quae ex 
omnibus componitur, tendit ad punctum 6". Porro si vis aliqua agat 
perpetuo secundum lineam superficiei descriptae perpendicularem ; 
haec faciet ut corpus deflectatur a plano sui motus : sed quantitatem 
superficiei descriptae nec augebit nec minuet, & propterea in com- 
positione virium negligenda est. 



PROPOSITIO III. THEOREMA III. 

Corpus omne, quod radio ad centrum corporis alterius utcunqUre 
moti ducto describit areas circa centrum illud temporibus propor- 
tionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus 
illud alterum, & ex vi omni acceleratrice qua corpus illud 
alterum urgetur, 

Sit corpus primum Z, & corpus alterum T: & (per legum corol. 
vi.) si vi nova, quae aequaHs & contraria sit illi, qua corpus alterum 
T urgetur, urgeatur corpus utrumque secundum Hneas paraHelas ; 
perget corpus primum L describere circa corpus alterum T areas 
easdem ac prius : vis autem, qua corpus alterum T urgebatur, jam 
destruetur per vim sibi aequalem & contrariam ; & propterea (per 
leg. I.) corpus iHud alterum T sibimet ipsi jam reHctum vel quies- 
cet, vel movebitur uniformiter in directum : & corpus primum L 
urgente differentia virium, id est, urgente vi reHqua perget areas 
temporibus proportionales circa corpus alterum T describere. Ten- 
dit igitur (per theor. ii.) differentia virium ad corpus iHud alterum 
T ut centrum. Q. E. D. 

CoroL I. Hinc si corpus unum L radio ad alterum T ducto 
describit areas temporibus proportionales ; atque de vi tota (sive sim- 
pHci, sive ex viribus pkiribus juxta legum coroHarium secundum 



LIBER PRIMVS. ^^ 

composita) qua corpus prlus L urgetur, subducatur (per idem legum 
corollarium) vis tota acceleratrix, qua corpus alterum urgetur : 
vis omnis reliqua, qua corpus prius urgetur, tendet ad corpus alterum 
T ut centrum. 

Corol. 2. Et, si area^ illae sunt temporibus quamproxime propor- 
tionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum T quamproxime. 

Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad 
corpus alterum T, erunt areae illae temporibus quamproxime propor- 
tionales. 

Corol. 4. Si corpus L radio ad alterum corpus T ducto describit 
areas, quae cum temporibus collatae sunt valde inaequales ; & corpus 
illud alterum T vel quiescit, vel movetur uniformiter in directum : 
actio vis centripetae ad corpus illud alterum T tendentis vel nulla est, 
vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus 
aliarum virium : visque tota ex omnibus, si plures sunt vires, 
composita ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur. 
Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque movetur ; si modo 
vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius in 
corpus illud alterum T agentis. 

Scholium. 

Quoniam aequabilus arearum descriptio index est centri, quod 
vis illa respicit, qua corpus maxime afficitur, quaque retrahitur a 
motu rectilineo, & in orbita sua retinetur; quidni usurpemus in 
sequentibus aequabilem arearum descriptionem ut indicem centri, 
circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur ? 



PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. 

Corporum, qucB diversos circulos cequabili motu describunt^ vires 
centripetas ad centra eorundem circulorum tendere ; & esse inter se, 
ut sunt arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circu- 
lorum radios. 

Tendunt hae vires ad centra circulorum per prop. 11. & corol. 2. 
prop. I. & sunt inter se ut arcuum aequalibus temporibus quam 



44 DE MOTU CORPORUM 

minimis descriptorum sinus versi per corol. 4. prop. i. hoc est, ut 
quadrata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per 
lem. vii. & propterea, cum hi arcus sint ut arcus temporibus quibusvis 
sequahbus descripti, & diametri sint ut eorum radii ; vires erunt 
ut arcuum quorumvis simul descriptorum quadrata applicata ad 
radios circulorum. Q.E.D, 

Corol. I. Cum arcus illi sint ut velocitates corporum, vires cen- 
tripetse erunt in ratione composita ex dupHcata ratione velocitatum 
directe, & ratione simpHci radiorum inverse. 

Corol. 2. Et, cum tempora periodica sint in ratione composita 
ex ratione radiorum directe, & ratione velocitatum inverse ; vires 
centripetae sunt in ratione composita ex ratione radiorum directe, & 
ratione duplicata temporum periodicorum inverse. 

Corol. 3. Unde si tempora periodica sequentur, & propterea 
velocitates sint ut radii ; erunt etiam vires centripetae ut radii : & 
coritra. 

Corol. 4. Si & tempora periodica, & velocitates sint in ratione 
subduplicata radiorum ; sequales erunt vires centripetae inter se : & 
contra. 

Corol. 5. Si tempora periodica sint ut radii, & propterea velocitates 
sequales ; vires centripetae erunt reciproce ut radii : & contra. 

CoroL 6. Si tempora periodica sint in ratione sesquipHcata radio- 
rum, & propterea velocitates reciproce in radiorum ratione subdu- 
pHcata; vires centripetae erunt reciproce ut quadrata radiorum : 
& contra. 

Corol. 7. Et universaHter, si tempus periodicum sit ut radii R 
potestas quaeHbet R^, & propterea velocitas reciproce ut radii potestas 
7?'*" ; erit vis centripeta reciproce ut radii potestas R"""'^ : & contra. 

Corol. 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, & viribus, 
quibus corpora similes figurarum quarumcunque simiHum, centraque 
in figuris iHis simiHter posita habentium, partes describunt, con- 
sequuntur ex demonstratione praecedentium ad hosce casus appHcata. 
AppHcatur autem substituendo aequabilem arearum descriptionem 
pro aequabiH motu, & distantias corporum a centris pro radiis 
usurpando. 

Corol. 9. Ex eadem demonstratione consequitur etiam; quod 
arcus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revol- 



LIBER PRIMUS. ^r 

vendo tempore quovis descrlbit, medius est proportionalis inter dia- 
metrum circuli, & descensum corporis eadem data vi eodemque 
tempore cadendo confectum. 

Scholmm. 

Casus corollarii sexti obtinet in corporibus coelestibus, (ut seorsum 
collegerunt etiam nostrates WrennuSy Hookms & Hallceus) & prop- 
terea quse spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata 
ratione distantiarum a centris, decrevi fusius in sequentibus expo- 
nere. 

Porro praecedentis propositionis & corollariorum ejus beneficio, 
colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, 
qualis est ea gravitatis. Nam si corpus in circulo terrae concentrico 
vi gravitatis suae revolvatur, haec gravitas est ipsius vis centripeta. 
Datur autem ex descensu gravium & tempus revolutionis unius, 
& arcus dato quovis tempore descriptus, per hujus corol. ix. Et 
hujusmodi propositionibus Hugenius in eximio suo tractatu de Horolo- 
gio Oscillatorio vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis 
contulit. 

Demonstrari etiam possunt praecedentia in hunc modum. In cir- 
culo quovis describi intelligatur polygonum laterum quotcunque. 
Et si corpus in polygoni lateribus data cum velocitate movendo 
ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur ; vis, qua singulis re- 
flexionibus impingit in circulum, erit ut ejus velocitas : ideoque 
summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa, & numerus re- 
flexionum conjunctim : hoc est (si polygonum detur specie) ut lon- 
gitudo dato illo tempore descripta, & aucta vel diminuta in ratione 
longitudinis ejusdem ad circuli praedicti radium ; id est, ut quadratum 
longitudinis illius applicatum ad radium : ideoque, si polygonum 
lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus 
dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis centrifuga, 
qua corpus urget circulum ; & huic aequalis est vis contraria, qua 
circulus continuo repellit corpus centrum versus. 



46 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO V. PROBLEMA I. 

Data quibuscunque in locis velocitate, qua corpus figuram datam 
viribus ad commune aliquod centriim tendentibus describity 
centrum illud invenire, 

Figuram descriptam tangant rectse tres P T, TQ V, VRm punc- 
tis totidem P, Q, R, concurrentes m T & V. Ad tangentes eri- 
gantur perpendicula PA, QB, R C velocitatibus corporis in punctis 
illis Py Qy R, a quibus eriguntur, reciproce proportionalia ; id est, 
ita ut sit PA 2id Q B ut velocitas in Q ad velocitatem in Py & Q B 
2id R Cut velocitas in R ad velocitatem in Q, Per perpendiculorum 
terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur A D, D B E, E C 
concurrentes in Z^ & ^; Et actae T D, V E concurrent in centro 
qusesito S, 

Nam perpendicula a centro ^'in tangentes P T, Q 7"demissa (per 

corol. I. prop. i.) sunt reciproce ^R- 

ut velocitates corporis in punctis 

P & Q ; ideoque per construc- 

tionem ut perpendicula A P, 

B Q directe, id est ut perpendi- 

cula a puncto D in tangentes 

demissa. Unde facile colligi- 

tur quod puncta S, D, T sunt in 

una recta. Et simili argumento 

puncta S, E, V sunt etiam in una recta ; & propterea centrum 6* 

in concursu rectarum TD, V E versatur. Q,E,D, 




PROPOSITIO VI. THEOREMA V. 

Si corpus in spatio non resistente circa centrum immobile in orbe 
quocunque revolvatur, & arcum quemvis jamjam nascentem 
tempore quam minimo describat, & sagitta arcus duci intelli- 
gatur, quce chordam bisecet, & producta transeat per centrum 




LIBER PRIMUS. 47 

virium: erit vis centripeta in medio arcus, ut sagitta directe & 
tempus bis inverse, 

Nam sagltta dato tempore est ut vis (per corol. 4. prop. i.) & 
augendo tempus in ratione quavis, ob auctum arcum in eadem 
ratione sagitta augetur in ratione illa duplicata (per corol. 2 & 3, 
lem. XI.) ideoque est ut vis semel & tempus bis. Subducatur du- 
plicata ratio temporis utrinque, & fiet vis ut sagitta directe & tempus 
bis inverse. Q. E. D. 

Idem facile demonstratur etiam per corol. 4. lem. x. 

Corol. I. Si corpus P revol- 

vendo circa centrum .S describat 

lineam curvam APQ; tangat vero 

recta ZPR curvam illam in puncto 

quovis P, & ad tangentem ab alio 

quovis curvse puncto Q agatur 

QR distantiae SP parallela, ac 

demittatur Q T perpendicularis 

ad distantiam illam SP : vis centripeta erit reciproce ut solidum 

SP quad. y. Q T quad. . , ,. .. .„. 

-Ty-B J si modo solidi illius ea semper sumatur 

quantitas, quae ultimo fit, ubi coeunt puncta P 81 Q. Nam QR 

sequalis est sagittse dupli arcus Q P, in cujus medio est P, & duplum 

trianguli SQP, sive SP xQT, tempori, quo arcus iste duplus describi- 

tur, proportionale est ; ideoque pro temporis exponente scribi potest. 

Corol. 2. Eodem argumento vis centripeta est reciproce ut solidum 

SY qxQP q , . ^^ ... . .. . 

hyp ^, si modo or perpendiculum sit a centro vinum m or- 

bis tangentem PR demissum. Nam rectangula SYy. QP & SP x QT 
sequantur. 

Coro/. 3. Si orbis vel circulus est, vel circulum concentrice tangit, 
aut concentrice secat, id est, angulum contactus aut sectionis cum 
circulo quam minimum continet, eandem habens curvaturam eun- 
demque radium curvaturse ad punctum P ; 81 s\ P V chorda sit 
circuli hujus a corpore per centrum virium acta : erit vis centripeta 

reciproce ut solidum SYqxPV. Nam P V est q ^ - 




^g DE MOTU CORPORUM 

Corol. 4. Ilsdem positis, est vis 
centripeta ut velocitas bis directe, 
& chorda illa inverse. Nam velo- 
citas est reciproce ut perpendiculum 
kSF per corol. i. prop. i. 

CoroL 5. Hinc si-detur figura 
qusevis curvilinea y^P^, & in ea / — —^ 
detur etiam punctum S, ad quod vis ^ 

centripeta perpetuo dirigltur, inveniri potest lex vis centripetse, qua 
corpus quodvls P a cursu rectllineo perpetuo retractum in figurse 
illius perimetro detinebitur, eamque revolvendo descrlbet. Nimi- 

rum computandum est vel solidum ^-^ vel solidum 6" Yq 

X P F huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla 
in problematis sequentibus. 

PROPOSITIO VII. PROBLEMA II. 

Gyretur corpus in circumferentia circtdi, requiritur lex vis centripetce 
tendentis ad punctum quodcunque datum, 

Esto circuli circumferentia 
VQPA; punctum datum, ad 
quod vis ceu ad centrum su- 
um tendit, S ; corpus in cir- 
cumferentia latum P ; locus 
proximus, in quem movebltur 
Q ; 8i circuH tangens ad lo- 
cum priorem PRZ. Per 
punctum kS ducatur chorda 
PV ; & acta circuli diametro 
VA, jungatur AP ; Sz: ad 
SP demittatur perpendiculum 
QT, quod productum occur- 
rat tangenti P R in Z ; ac 
denique per punctum Q agatur LR, quse ipsi SP parallela sit, S: 
occurrat tum circulo in Z, tum tangenti P Z in R. Et ob similia 
triangula ZQR, ZTP, VPA ; erit RP quad. hoc est QRL ad 




LIBER PRIMUS. 



49 



Q T quad, Mt AV quad, ad P V quad, Ideoque Q^^^^^ ^'^^^- 

A V quad. 

sequatur Q T quad. Ducantur haec aequalia in ^^^^ ' , & punctis 

Q R 

P&.Q coeuntibus scribatur P Fpro RL. Sic fiet ^^ 9^"^^'^^^ '^^- 

A V quad. 



sequale 



S P quad. x^ Q T quad. 



Ergo (per corol. i. & 5. prop. vi.) 

SPqxPV cub. .^ , ^ ^ 

Vtt -7 ; id est (ob datum 

A V quad. ^ 

A V quad.) rQciproce ut quadratum distantiae seu altitudinis SP & 

cubus chordae P V conjunctim. Q.E.I. 



QR 

vis centripeta est reciproce ut 



Idem aliter. 

Ad tangentem PR productam demittatur perpendiculum SY: 

& ob simiHa triangula SVP, VPA ; erit ^ F ad P Fut ^P ad ^'F; 

SPxP V , ^^^ ^ SP quad. x P V ctib. 
aequale o r , & ^ 



ideoque 



aequale 
VI.) vis 



centripeta est reciproce ut 



-, hoc est, ob datam A V 



A V "^ ' " AVquad 

S Y quad. x P F. Et propterea (per corol. 3. & 5. prop 

SPqy. P V cub. 

AVq 
reciproce ut SPq y, P V cub. Q.E.I. 

Corol. I. Hinc si punctum datum S, ad quod vis centripeta semper 
tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad V ; erit vis 
centripeta reciproce ut quadrato-cubus altitudinis SP, 

Corol. 2. Vis, qua corpus P in circulo A P T V circum virium 
centrum kS revolvitur, est ad vim, qua 
corpus idem P in eodem circulo & 
eodem tempore periodico circum aliud 
quodvis virium centrum R revolvi po- 
test, ut RP quad. x SP ad cubum rec- 
tae SG, quae a primo virium centro 6^ 
ad orbis tangentem PG ducitur, & di- 
stantiae corporis a secundo virium cen- 
tro parallela est. Nam per construc- 
tionem hujus propositionis vis prior 
RPqxPT cub. ad SPqxPV cub. 

D 




est 
. id 



ad vim posteriorem ut 
est, ut SPxRPq ad 



50 



DE MOTU CORPORUM 



SP cub.xPV cub.^ ^.^^ ^.^.j.^ triangula P S G, TPV) ad 

P T cub, 
SG cub. 

Corol. 3. Vis, qua corpus P in orbe quocunque circum virium 
centrum kS revolvitur, est ad vim, qua 
corpus idem P in eodem orbe eodem- 
que tempore periodico circum aliud 
quodvis virium centrum R revolvi po- 
test, ut SPxRPq, contentum utique 
sub distantia corporis a primo virium 
centro .S & quadrato distantise ejus 
a secundo virium centro Ry ad cubum 
rectse SG, quse a primo virium centro 
kS' ad orbis tangentem PG ducitur, & corporis a secundo virium centro 
distantiae RP parallela est. Nam vires in hoc orbe ad ejus punctum 
quodvis P eaedem sunt ac in circulo ejusdem curvaturse. 




PROPOSITIO VIII. PROBLEMA III. 

Moveatur corpus in semicirculo PQA : ad hmic effectum requiritur 
lex vis centripetcs tendentis ad punctum adeo longinquum S, ut linecg 
omnes PS, RS ad id ductce^ pro parallelis haberi possint. 

A semicirculi centro C agatur 

semidiameter C A parallelas istas 

perpendiculariter secans mM Ba N, 

& jungatur CP. Ob similia triangula 

CPM, PZT 81 RZQ est CPq ad 

PMq ut PRq ad Q Tq, & ex na- 

tura circuli PRq sequale est rectan- 

gulo QRx RN-\- QN, sive coeun- 

tibus punctis P & Q rectangulo 

QR X 2PM. Ergo est CPq ad PMquad. ut QR x iPMsid Q T 

, . . QT quad. , 2PM cub. ^ QT quad. x SP quad. 
quad. :deoque —^ ^quale -^p^^^ & '—qr 




sequale 



2PM cub. X SP qtiad. 
CP quad. 



Est ergo (per corol. i. & 5. prop. 



LIBER PRIMUS. ^I 

... . 2 PAIcub. X SP quad. . 
VI.) vis centripeta reciproce ut — — — ^ , hoc est (neglecta 

ratlone determinata ^^ — i) reclproce ut P M cub. Q. E. L 
CP quad. 

Idem facile colligltur etiam ex propositione praecedente. 

Scholium, 

Et argumento haud multum dissimili corpus invenietur moveri in 
ellipsi, vel etiam in hyperbola vel parabola, vi centripeta, quse slt 
reciproce ut cubus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime 
longinquum tendentis. 

PROPOSITIO IX. PROBLEMA IV. 

Gyretur corpus in spirali P Q S secante radios omnes S P, S Q, &c. in an- 
gulo dato: requi^ritur lex vis centripetcB tendentis adcentrum spiralis. 

Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos omnes an- 




Q T 
gulos dabitur specie figura SPRQ T. Ergo datur ratio -^^, estque 

— Y^ — - ut Q Ty hoc est (ob datam specie figuram illam) ut SP. 

Mutetur jam utcunque angulus P SQ, & recta QP angulum contac- 
tus QPR subtendens mutabltur (per lemma xi.) in duplicata ratione 

ipsius PR vel Q T. Ergo manebit — j^ — '- eadem quae prius, hoc 

/^ T* C "D 

est ut SP. Quare rT^ ^^^ vX S P cub. ideoqiie (per corol. 

I. & 5. prop. VI.) vis centripeta est reciproce ut cubus distantise S P. 
Q,E.I. 



52 



DE MOTU CORPORUM 
Idern aliter. 



Perpendiculum SY va tangentem demissum, & circuli spiralem 
concentrice secantis chorda P V sunt ad altitudinem ^'P in datis 
rationibus; ideoque SP cub. est ut SYqY.P F, hoc est (per corol. 
3. & 5. prop. VI.) reciproce ut vis centripeta. 

LEMMA XII. 

Parallelogramma omnia circa datcs ellipseos vel hyperbolce diametros 
quasvis conjugatas descripta esse inter se cequalia. 

Constat ex conicis. 



PROPOSITIO X. PROBLEMA V. 

Gyretur corpus in ellipsi: requiritur lex vis centripetcB tendentis 

ad centrum ellipseos. 

Sunto CA, CB semiaxes ellipseos; GP, DK diametri alise 
conjugat^ \PFyQ T perpendicula ad diametros ; gz/ ordinatim appH- 
cata ad diametrum 
GP ; & si comple- 
atur parallelogram- 
mum QvPPy erit 
(ex conicis) rectan- 
gulum Pv G did Qv 
quad. ut P C quad. 
ad C D quad. & 
(ob similia triangula 
QvT, PCF) Qv 
quad. est ad ^ 7" 
quad. ut PCquad. ad 
P F quad. & con- 
junctis rationibus, 
rectangulum P v G 
2A QT quad. vX PC 
quad. ad CD quad. 




& PC quad. 2A P F quad. id est, vG ad^ 



LIBER FRIMUS. -^ 

Q T quad, CDqxPFq ^ ., 

-p^ \xt PC quad. ad p^ ^ . Scribe QR pro 

Pz/, & (per lemma xii.) ^Cx C^ pro CDxPF, nec non (punctis 

P 8i Q coeuntibus) 2 P C pro z/ C, & ductis extremis & mediis in 

^ ^ QT quad.xPCq ^ ^BCqxCAq ^ 
se mutuo het ^^ ^ aequale -^ ^. Est ergo 

(per corol 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce ut p7^~ — - ; 

id est (ob datum 2 BCqx CA q) reciproce ut -p-?^\ hoc est, directe 
ut distantia P C Q. E, I. 

Idem aliter, 

In recta P C ab altera parte puncti T^sumatur punctum ^^ ut T u 
sit sequalis ipsi Tv ; deinde cape u V, quae sit 2AvG wt est DC quad, 
ad PC quad. Et quoniam ex conicis est Qv quad, ad PvG ut 
D C quad. 2A P C quad. erit Q v quad, sequale Pvxu K Adde 
fectangulum tiPv utrinque, & prodibit quadratum chordae arcus P Q 
sequale rectangulo VPv; ideoque circulus, qui tangit sectionem 
conicam in P & transit per punctum Q, transibit etiam per punctum V, 
Coeant puncta P 8l Q, and ratio u V did v C, quae eadem est cum 
ratione D Cq didi P Cq, fiet ratio -P F ad P C seu PF ad 2 P C; 

ideoque P V aequalis erit ^ , Proinde vis, qua corpus P in eUipsi 

revolvitur, erit reciproce ut — ^ ^ m P Fq (per corol. 3. prop. vi.) 

hoc est (ob datum 2 D Cq m P Fq) directe ut P C Q. E. I. 

Corol. I. Est igitur vis ut distantia corporis a centro ellipseos : & 
vicissim, si vis sit ut distantia, movebitur corpus in ellipsi centrum 
habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem utique ellipsis 
migrare potest. 

Corol. 2, Et aequalia erunt revolutionum in ellipsibus universis 
circum centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora 
illa iii ellipsibus similibus aequalia sunt (per corol. 2>^ 81 ^. prop. iv.) 
in ellipsibus autem communem habentibus axem majorem sunt ad 
invicem ut ellipseon areae totae directe, & arearum particulae simul 
descriptae inverse ; id est, ut axes minores directe, & corporum 



54 



DE MOTU CORPORUM 



velocitates in verticibus principalibus inverse ; hoc est, ut axes illi 
minores directe, & ordinatim applicatae ad idem punctum axis com- 
munis inverse ; & propterea (ob sequalitatem rationum directarum 
& inversarum) in ratione sequalitatis. 

Scholium. 

Si ellipsis centro in infinitum abeunte vertatur in parabolam, 
corpus movebitur in hac parabola ; & vis ad centrum infinite 
distans jam tendens evadet aequabilis. Hoc est theorema Galilm. 
Et si coni sectio paraboHca (inclinatione plani ad conum sectum 
mutata) vertatur in hyperbolam, movebitur corpus in hujus perime- 
tro vi centripeta in centrifugam versa. Et quemadmodum in 
circulo vel elHpsi si vires tendunt ad centrum figurse in abscissa 
positum; hae vires augendo vel diminuendo ordinatas in ratione 
quacunque data, vel etiam mutando angulum incHnationis ordina- 
tarum ad abscissam, semper augentur vel diminuuntur in ratione 
distantiarum a centro, si modo tempora periodica maneant sequaHa ; 
sic etiam in figuris universis si ordinatse augeantur vel diminu- 
antur in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis utcunque 
mutetur, manente tempore periodico ; vires ad centrum quodcunque 
in abscissa positum tendentes in singuHs ordinatis augentur vel 
diminuuntur in ratione distantiarum a centro. 

SECTIO II I. 

De motu corporum in conicis sectionibus excentricis, 

PROPOSITIO XI. PROBLEMA VI: 

Revolvatur corpus in ellipsi ; requiritur kx vis centripetcs tendentis 

ad umbilicum ellipseos, 

Esto eHipseos umbiHcus S. Agatur SP secans eHipseos tum 
diametrum D K m E, tum ordinatim appHcatam Qv m x, 8l com- 
pleatur paraHelogrammum QxPR. Patet EP aequalem esse semiaxi 
majori A C, eo quod, acta ab altero ellipseos umbilico H linea H I ' 
ipsi EC parallela, ob aequales C S, CH sequentur E S, E I, 



LIBER FRIMUS. 



55 



adeo vX E P semi- 

summa sit ipsarum 

PS.PI, id est (ob 

parallelas ZT/, P R, 

& angulos sequales 

/P7?,//PZ)ipsarum 

PS,P H, quae con- 

junctim axem totum 

2 A C adaequant. 

AA SP demittatur 

perpendicularis Q T, 

& ellipseos latere 

recto principali (seu 

2 B C quad.. 

AC ^ ^'^^° 

Z, erit LxQ R ad 

Ly.PvvxQR2.di Pv, id est, ut PE seu ^ C ad PC; &LLyPv2A 

GvP wt L ad Gv; & GvP 2id Qv quad, ut PC quad. ad CD quad. & 

(percorol. 2. lem. vii.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q Si P coeuntibus 

est ratio sequalitatis ] Sl Qx quad. seu Q v quad. est ad Q T quad. ut 

EP quad. ad PFquad. id est, ut CA quad. ad PFquad. sive (per lem. 

XII.) ut CD quad, ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationibus, 

L X QR fit ad Q Tquad. utACxLx PCq x CDq, seu 2 C^^ x PCq 

xCDq ad P CxGvxC D qxC B q, sive ut 2 P C ad Cz/. Sed 

punctis Q 8c P coeuntibus sequantur 2PC & Gv. Ergo & his 

proportionalia LxQ R & g 7" ^2^^^. sequantur. Ducantur hsec 

,. . SPq o r r o r. 1 'SPqy^Q Tq _ , 
sequaha m ^ ^ , & fiet Z x ^SP^ sequale ^y^ -. Ergo (per 

corol. I. & 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce est ut LxSPq, id 
est, reciproce in ratione duphcata distantise S P. Q, E. L 




Idem aliter. 

Cum vis ad centrum elHpseos tendens, qua corpus P in elHpsi 
iUa revolvi potest, sit (per corol. i. prop. x.) ut CP distantia corporis 
ab ellipseos centro C ; ducatur C E parallela ellipseos tangenti P R; 
& vis, qua corpus idem P circum aliud quodvis elHpseos punctum 



56 DE MOTU CORPORUM 

P E cub. , 

5 revolvi potest, si CE & PS concurrant in E, erit ut — ^-p (per 

corol. 3. prop. vii.) hoc est, si punctum 6^ sit umbilicus ellipseos, 
ideoque P E detur, mX, S P q reciproce. Q. E. I. 

Eadem brevitate, qua traduximus problema quintum ad parabolam, 

6 hyperbolam, liceret idem hic facere : verum ob dignitatem 
problematis, & usum ejus in sequentibus non pigebit casus caeteros 
demonstratione confirmare. 



PROPOSITIO XII. PROBLEMA VII. 

Moveatur corpus ifi hyberbola : requiritur lex vis centripetce tendentis 

ad umbilicum figurcs, 

Sunto CA, CB semiaxes hyperbolse; P G, KD diametri aHae 
conjugatse ; P F perpendiculum ad diametrum K D; 81 Qv ordina- 
tim applicata ad diametrum G P, Agatur ^'P secans cum diame- 
trum D Km E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur 
parallelogrammum QRPx, Patet EP sequalem esse semiaxi 
transverso A C, eo quod, acta ab altero hyperbolse umbiHco H Hnea 
H I ipsi EC paraHela, ob aequales CkS, CH aequentur ES, E I ; 
adeo ut E P semidififerentia sit ipsarum P Sy P /, id est (ob paraHelas 
IH, PP & angulos aequales / P P, H P Z) ipsarum P S, P H, M 
quarum differentia axem totum 2 A Cadaequat. Ad SP demittatur 

perpendicularis Q T. Et hyperbolae latere recto principaH (seu ) 

dicto Z, erit LxQ P 2A LxPv ut QR ad P Vy seu P x 2A Pv, 
id est (ob simiHa triangula P xv, P E C) mX. P E 2A P C, seu ^ C ad 
P C. Erit etiam Z x P z/ ad Gv x jP^ ut Z ad C r/ ; & (ex natura 
conicorum) rectangulum GvP ad Qv quad. ut P Cq ad CDq ; & 
(per corol. 2. lem. vii.) Qv quad. 2id Qx quad. punctis Q & P coe- 
untibus fit ratio aequaHtatis ; & Qx quad. seu Q v quad. est ad Q Tq 
ut E P q ad P Fq, id est, ut C A q ad P Fq, sive (per lem. xii.) ut 
C D q dA C B q : & conjunctis his omnibus rationibus L x Q R dt ad 
Q Tq ut A CxLxPCqxCDq, seu 2 CBqxP CqxCDq ad 
P Cx GvxCDqx C B q, sive ut 2 P C 2id G v. SedpunctisP& Q 
coeuntibus aequantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionaHa 



LIBER PRIMVS. 



57 



L X QR & QTq sequantur. Ducantur hsec aequalia in -p~, & 

QR 

fiet L X SPq sequale yr— — ^. Ergo (per corol. i. & 5. prop. vi.) 

vis centripeta reciproce est ut Z x SPq, id est, reciproce in ratione 
duplicata distantiae SP. Q, E. I. 




Idem aliter. 



Inveniatur vis, quse tendit ab hyperbolae centro C. Prodibit haec 

distantiae CP proportionalis. Inde vero (per corol. 3. prop. vii.) 

PE cub 
vis ad umbilicum 6^ tendens erit ut — ttt^ — -y hoc est, ob datam PE, 



reciproce ut SPq. Q.E.I. 



SPq 



58 



DE MOTU CORPORUM 



Eodem modo demonstratur, quod corpus hac vi centripeta in 
centrifugam versa movebitur in hyperbola opposita. 

LEMMA XIII. 

Latus rectum parabolcB ad verticem quemvis pertinens est quadruplum 
distantice verticis illius ab timbilico figurce, 
Patet ex conicis. 

LEMMA XIV. 

PerpendicultLm, quod ab timbilico parabolcs ad tangentem ejus demittitur, 
medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus 
& a vertice principali figurce, 

Sit enim AP parabola, vS umbiHcus ejus, A vertex principaHs, 
P punctum contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum princi- 
palem, PJ/tangens diametro 
principah occurrens in M, & 
SN Hnea perpendicularis ab 
umbiHco in tangentem. Jun- 
gatur AN &io\i aequales MS 
& SP, MN, & NP, MA & 
A O paraHelae erunt rectae A N 
& OP ; & inde triangulum 

SAN rectangulum erit ad ^, & simile trianguHs aequaHbus SNj 
SNP: ergo P S Gst 2id SN ut SN 2id SA. Q,E.D. 

CoroL I. P S q ^t^d S N q Mt P S zA S A. 

Corol. 2. Et ob datam SA est SNq ut P S. 

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN, qu; 
ab umbiHco in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam A N\ 
quse parabolam tangit in vertice principaH. 




PROPOSITIO XIII. PROBLEMA VIII. 

Moveatur corpus in perimetro parabolcs: requiritur lex vis centripetc 
tendentis ad umbilicum hujus figurce. 

Maneat constructio lemmatis, sitque P corpus in perimetro para-J 
bolae, & a loco Q, in quem corpus proxime movetur, age ipsi ^S. 



LIBER PRIMUS. ^q 

parallelam Q R Sz. perpendicularem Q T, necnon Q v tangenti pa- 
rallelam, & occurrentem tum diametro P G m v, tum distantiae 
SP in X, Jam ob similia triangula Pxv, SPM, & «qualia unius 
latera S M, SP, aequalia sunt alterius latera Px squ QP & Pv. 
Sed ex conicis quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub 
latere recto & segmento diametri Pv, id est (per lem. xiii.) rec- 
tangulo^P^^xPz^, seu ^PSxQR; & punctis P&g coeuntibus, 
ratio Qv 2id Qx (per corol. 2. lem. vii.) fit ratio sequalitatis. Ergo 
Qx qiiad. eo in casu 
sequale est rectangulo 
/^PSxQR. Est au- 
tem (ob similia triangu- 
\2LQxT,SPN)Qxq2.d 
QTq\xtPSq2.A SNq, 
hoc est (per corol. i. 
lem. XIV.) ut PkS" ad 
SA, id est, wt ^PS 
xQR^id 4SAX QR, 
& inde (per prop. ix. 
lib. V. elem.) Q Tq & ^SA x QR sequantur. Ducantur haec aequalia 

in -^-^, & fiet ^^-^^ — - aequale SPqx^SA : & propterea (per 

corol. i. & 5. prop. vi.) vis centripeta est reciproce ut SPqx4.SAj 
id est, ob datam ^SAy reciproce in duplicata ratione distantiae 
SP. Q.E.L 

Corol, i. Ex tribus novissimis propositionibus consequens est, quod 
si corpus quodvis P secundum lineam quamvis rectam PR quacunque 
cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta, quae sit reciproce 
proportionalis quadrato distantiae locorum a centro, simul agitetur; 
movebitur hoc corpus in aliqua sectionum conicarum umbiHcum ha- 
bente in centro virium ; & contra. Nam datis umbiHco, & puncto 
contactus, & positione tangentis, describi potest sectio conica, quae 
curvaturam datam ad punctum illud habebit Datur autem curvatura 
ex data vi centripeta, & velocitate corporis : & orbes duo se mutuo 
tangentes eadem vi centripeta eademque velocitate describi non possunt. 

Corol. 2. Si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, 
qua Hneola P R in minima aHqua temporis particula describi possit ; 




6o 



DE MOTU CORPORUM 



& vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere 
per spatium Q jR : movebitur hoc corpus in conica aliqua sectione, 

cujus latus rectum principale est quantitas illa 7^~d~> ^^se ultimo fit, 

ubi lineolae P J^, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his 
corollariis refero ad ellipsin ; & casum excipio, ubi corpus recta 
descendit ad centrum. 



PROPOSITIO XIV. THEOREMA VI. 

Si corpora plura revolvantur circa centrum communey & vis centripeta 
sit reciproce in duplicata ratione distantice locorum a centro ; dico 
quod orbium latera recta principalia sunt in duplicata ratione 
areartcmy quas corpora radiis ad centrum ductis eodem tempore 
describunt, 

Nam (per corol 2. prop. xiii.) latus 



rectum L aequale est quantitati 



.QTq 



QR 




quae ultimo fit, ubi coeunt puncta P & 
Q, Sed linea minima QR dato tempore 
est ut vis centripeta generans, hoc est 
(per hypothesin) reciproce ut S P q. 

Ergo ^-^ est Mt QTqx SPq, hoc est, 

latus rectum L in duplicata ratione areae Q Tx SP, Q. E, D, 

Corol, Hinc ellipseos area tota, eique proportionale rectangulum 
sub axibus est in ratione composita ex subduplicata ratione lateris 
recti, 81 ratione temporis periodici. Namque area tota est ut area 
QTxSP, quae dato tempore describitur, ducta in tempus periodi- 
cum. 

PROPOSITIO XV. THEOREMA VII. 

/isdem positis, dico quod tempora periodica in ellipsibus sunt in ratione 
sesquiplicata majorum axium, 

Namque axis minor est medius proportionalis inter axem majo- 
rem & latus rectum, atque ideo rectangulum sub axibus est in ra- 



LIBER PRIMUS. 



6i 



tlone composita ex subduplicata ratione lateris recti & sesquiplicata 
ratione axis majoris. Sed hoc rectangulum (per corol. prop. xiv.) 
est in ratione composita ex subduplicata ratione lateris recti & ratione 
periodici temporis. Dematur utrobique subduplicata ratio lateris 
recti, & manebit sesquiplicata ratio majoris axis eadem curn ratione 
periodici temporis. Q. E. D. 

Corol. Sunt igitur tempora periodica in ellipsibus eadem ac in 
circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus ellipseon. 



PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIII. 

lisdem posiiis, & actis ad corpora lineis rectisj quce ibidem tangant 
orbitas, demissisqtie ab umbilico communi ad has tangentes perpen- 
dicularibus : dico quod velocitates corporicm sunt in ratione composita 
ex ratione perpendiculorum inverse, & subduplicata ratione laterum 
rectorum principalium directe, 

Ab umbilico ^9 ad tangentem P R 

demitte perpendiculum S Y, &l velo- 

citas corporis P erit reciproce in sub- 

j ,. . . . SYq 

duplicata ratione quantitatis — ^r-^. 

Nam velocltas Illa est ut arcus quam 

minlmus P Q in data temporls parti- 

cula descriptus, hoc est (per lem. vii.) 

ut tangens P R, id est, ob proportlon- 

ales PR 2id Q T & SP 2id SY, ut 

SP X O T 

-^-^ — , sive vX S Y reclproce & S P y. QT dlrecte; estque 

S P X Q T \xt area dato tempore descripta, id est (per prop. xiv.) 
in subduplicata ratione laterls rectl. Q. E. D. 

Corol. I. Latera recta principaHa sunt in ratione composita ex 
dupHcata ratione perpendlculorum, & dupHcata ratione veloclta- 
tum. 

Corol. 2. Velocitates corporum, in maximls & minimls ab umbi- 
Hco communi distantlis, sunt in ratione composlta ex ratione distan- 




62 ^^ MOTU CORPORUM 

tiarum inverse, & subduplicata ratione laterum rectorum principalium 
directe. Nam perpendicula jam sunt ipsae distantiae. 

Corol. 3. Ideoque velocitas in conica sectione, in maxima vel 
minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a 
centro distantia in subduplicata ratione lateris recti principalis ad 
duplam illam distantiam. % 

Corol. 4. Corporum in ellipsibus gyrantium velocitates in medio- 
cribus distantiis ab umbilico communi sunt esedem, quae corporum 
gyrantium in circulis ad easdem distantias ; hoc est (per corol. 6. 
prop. IV.) reciproce in subduplicata ratione distantiarum. Nam 
perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae 
proportionales inter distantias & latera recta. Componatur haec 
ratio inverse cum subduplicata ratione laterum rectorum directe, & 
fiet ratio subduplicata distantiarum inverse. 

Corol. 5. In eadem figura, vel etiam in figuris diversis, quarum 
latera recta principalia sunt aequaha, velocitas corporis est reciproce 
ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem. 

Corol. 6. In parabola velocitas est reciproce in subduplicata ratione 
distantiae corporis ab umbilico figurae ; in ellipsi magis variatur, 
in hyperbola minus quam in hac ratione. Nam (per corol. 2. lem. 
XIV.) perpendiculum demissum ab umbiHco ad tangentem parabolae est 
in subdupHcata ratione distantiae. In hyperbola perpendiculum minus 
variatur, in eHipsi magis. 

CoroL 7. In parabola velocitas corporis ad quamvis ab umbiHco 
distantiam est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad 
eandem a centro distantiam in subdupHcata ratione numeri binarii 
ad unitatem ; in eUipsi minor est, in hyperbola major quam in hac 
ratione. Nam per hujus coroHarium secundum velocitas in vertice 
parabolae est in hac ratione, & per coroHaria sexta hujus & 
propositionis quartae servatur eadem proportio in omnibus distantiis. 
Hinc etiam in parabola velocitas ubique aequaHs est velocitati 
corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in ellipsi 
minor est, in hyperbola major. 

Corol. 8. Velocitas gyrantis in sectione quavis conica est ad 
velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti prin- 
cipalis sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in 
tangentem sectionis demissum. Patet per corollarium quintum. 



LIBER PRIMUS. 



63 



Corol. 9. Unde cum (per corol. 6. prop. iv.) velocitas gyrantls in 
hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio reciproce 
in subdupllcata ratione distantiarum ; fiet ex sequo velocitas gyrantis 
in conica sectione ad velocitatem gyrantls in circulo In eadem dis- 
tantia, ut media proportionalis inter distantiam Illam communem 
& semissem prlncipalis lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab 
umbilico communi in tangentem sectlonls demlssum. 



PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IX. 

Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato dis- 
tanticB locorum a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit 
cognita ; requiritur linea, quam corpus describit de loco dato cum 
data velocitate secundum datam rectam egrediens, 

VIs centripeta tendens ad punctum 6* ea slt, qua corpus p in 
orblta quavls data p q gyretur, & cognoscatur hujus velocltas 
in loco p, De loco P secundum hneam P R exeat corpus P 
cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat 
illud In coni section- 
em PQ, Hanc Igltur 
recta P R tanget in 
P. Tangat Itldem 
recta aHqua / r orbi- 
tam pq in /, & si 
ab vS ad eas tangen- 
tes demittl intelligan- 
tur perpendicula, erit 
(per corol. i. prop. 
XVI.) latus rectum 
principale conl secti- 
onis ad latus rectum 

principale orbltae in ratione composita ex dupllcata ratione perpen- 
diculorum & duplicata ratlone velocltatum, atque Ideo datur. Slt 
L coni sectlonis latus rectum. Datur praeterea ejusdem conl sectlonls 
umbilicus .S. Anguli RP S complementum ad duos rectos fiat 




64 



DE MOTU CORPORUM 



angulus RP H ; & dabitur positione linea P //, in qua umbilicus alter 
I/ locatur. Demisso ad PH perpendiculo SKy erigi intelligatur 
semiaxis conjugatus B C, & er it SPq — 2 K P H-\-P Hq = S Hq = 
^CHq = ^BHq^/\^BCg = S P-¥PH: q uad,'- Lx S P^P H= 
SPq^2SPH + PHq-L xSP-hP H. Addan tur utrobiq ue 
^KPH-SPq^PHq-^-LxSP^PH, & fiet LxSP + PH= 
2SPH+2KPH,seM SP-\-PH ad PH ut 2 SP-\- 2 KP 2id L. 
Unde datur P H Xzm longitudine quam positione. Nimirum si ea sit 
corporis in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 S P 
+ 2 KP, jacebit P H 2id eandem partem tangentis P R cum linea 
PS; ideoque figura erit ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe 
principali SP-\-PHy 
dabitur. Sin tanta P. 

sit corporis velocitas, 
ut latus rectum L 
sequale fuerit 2SP 
-\-2KP, longitudo 
PH infinita erit ; & 
propterea figura erit 
parabolaaxem habens 
61^ parallelum lineae 
PKySi indedabitur. 
Quod si corpus ma- 
jori adhuc cum vel- 

ocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo P H ^d alteram 
partem tangentis ; ideoque tangente inter umbilicos pergente, figura 
erit hyperbola axem habens principalem sequalem diiferentiae linearum 
SP & PH, & inde dabitur. Nam si corpus in his casibus revolvatur 
in conica sectione sic inventa, demonstratum est in prop. xi, xii, &^ 
XIII, quod vis centripeta erit ut quadratum distantiae corporis a centrc 
virium S reciproce ; ideoque linea P Q recte exhibetur, quam corpusj 
tali vi describet, de loco dato P, cum data velocitate, secundui 
rectam positione datam P R egrediens. Q. E. F, 

CoroL I. Hinc in omni coni sectione ex dato vertice principali D^ 
latere recto Z, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo 
DH 2A DS ut est latus rectum ad differentiam inter latus rectum 
& 6,DS. Nam proportio SP^PH ad PH ut 2 SP^- 2 KP^.dL 




LIBER PRIMUS. 



65 



in casu hujus corollarli, fit D S-^-D H ad D H \xt 4 Z^ 6^ ad Z, & 
divisim D S ^id D H wt ^ D S-L 2id L. 

Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principali Z>, 
invenietur orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus ad 
duplam dlstantiam D S, in duplicata ratlone velocitatis hujus datae 
ad velocltatem corporis in clrculo ad distantiam DS gyrantls (per 
corol. 3. prop. xvi. ;) dein DH 2.6. D S mX. latus rectum ad differentiam 
inter latus rectum & 4 Z? 61 

Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in sectione quacunque 
conica, & ex orbe suo impulsu quocunque exturbetur ; cognosci 
potest orbis, in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo 
proprlum corporis motum cum motu illo, quem impulsus solus 
generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, 
secundum rectam positione datam, exibit. 

Corol. 4. Et si corpus illud vi allqua extrlnsecus impressa continuo 
perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colllgendo mutationes 
quas vis illa in punctls qulbusdam inducit, & ex seriei analogia 
mutationes contlnuas in locis intermediis sestimando. 

Scholium. 



Si corpus P vi centripeta ad 
punctum quodcunque datum R 
tendente moveatur in perlmetro 
datse cujuscunque sectionis coni- 
cae, cujus centrum slt C ; Ba requl- 
ratur lex vis centripetae : ducatur 
CG radio RP parallela, & orbls 
tangenti P G occurrens in G ; &. 
vis illa (per corol. i . & schol. prop. 

X. & corol. 3. prop. vii.) erit ut -^p^ 





56 DE MOTU CORPORUM 

SECTIO IV. 

De invenlione orbium ellipticorum, parabolicorum & kyperbolicorum 

ex umbilico dato. 

LEMMA XV. 

Si ab ellipseos vel hyperbolce cujusvis umbilicis duobus S, H, ^^ 
punctum quodvis 'tertium V injlectantur rectcs ducz S V, H V, 
quarum tcna H V cequalis sit axi prin- 
cipali figurcBy id est, axi i7i quo umbilici 
jacent, altera S V a perpendictdo T R in 
se demisso bisecetur in T ; perpendiculum 
illud T R sectionem conicam alicubi tan- 
get: & contra, si tangit, erii H V cequalis axi principali figurce, 

Secet enim perpendiculum T R rectam H V productam, si opus 
fuerit, in R ; & jungatur S R. Ob sequales T S, T V, sequales erunt 
& rectse S R, VR & anguli TRS, TR V. Unde punctum R erit 
ad sectionem conicam, & perpendiculum TR tanget eandem : & 
contra. Q. E. D. 

PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA X. 

Datis umbilico & axibus principalibus describere trajectorias ellijf. 
ticas & hyperbolicas, quce transibunt per puncta data, & rectas 
positione datas contingent, 

Sit kS communis umbilicus figurarum ; A B longitudo axis prin- 
cipalis trajectorise cujusvis; P punc- 
tum per quod trajectoria debet tran- 
sire; & TR recta quam debet tangere. ^y ^ 
Centro P intervallo AB — SP, si 
orbita sit ellipsis, vel A B-\-SP, si 
ea sit hyperbola, describatur circulus 
//G. Ad tangentem TR demittatur 




LIBER PRIMUS. 



67 



perpendiculum S T, 8c producatur idem ad F, ut sit T V sequalis S T ; 
centroque V 81 intervallo A B describatur circulus F H. Hac 
methodo sive dentur duo puncta P,p, sive duae tangentes T R, tr, 
sive punctum P & tangens T R, describendi sunt circuli duo. Sit 
H eorum intersectio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato 
describatur trajectoria. Dico factum. Nam trajectoria descripta 
(eo quod PH-\-SP in ellipsi, & PH—SP in hyperbola sequatur 
axi) transibit per punctum P, & (per lemma superius) tanget rectam 
TR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo 
P,/, vel tanget rectas duas T R, tr. Q.E.F. 



PROPOSITIO XIX. PROBLEMA XI. 

Circa datum umdilicum trajectoriam parabolicam descridere, qucB 
transibit per puncta data, & rectas positione datas continget. 

Sit 6^ umbiHcus, P punctum & TR tangens trajectorise descri- 
bendae. Centro P, intervallo P S describe circulum F G. Ab um- 
biHco ad tangentem demitte perpendicularem S T, 81 produc eam 
ad F, ut sit T V aequaHs 6^ T. Eodem modo describendus est alter 
circulus fg, si datur alterum punctum p ; vel inveniendum alterum 
punctum V, si datur altera tangens tr; dein du- 
cenda recta / F quse tangat duos circulos F G, 
fg si dantur duo puncta P, p, vel transeat per 
duo puncta V, v, si dantur duae tangentes TR, 
tr, vel tangat circulum FG 8l transeat per 
punctum F, si datur punctum P & tangens 
T R. Ad FI demitte perpendicularem S I, 
eamque biseca in A'; & axe S K, vertice prin- 
cipaH K describatur parabola. Dico factum. 
Nam parabola, ob aequales S K 81 1 K, SP & 
F P, transibit per punctum P; 8l (per lem. xiv. 

corol. 3.) ob aequales S T 81 T V 81 angulum rectum STRy tanget 
rectam TR. Q.F.F 




68 



DE MOTU COBFORUM 




PROPOSITIO XX. PROBLEMA XII. 

Circa dattcm tmidiliacm trajectoriam quamvis specie datam describere, 
qucBper dataptcncta transibit & rectas tanget positione datas, 

Cas. I. Dato umbllico S, describenda sit trajectoria A B C p&r 
puncta duo B, C. Quoniam trajectoria datur specie, dabitur ratio 
axis principalis ad distantiam um- 
bilicorum. In ea ratione cape 
KB 2id BS, & LC ad CS. 
Centris B, C, intervallis BK, CL, 
describe circulos duos, & ad rectam 
K L, quse tangat eosdem in K 

& Z, demitte perpendiculum 6" G, idemque seca m A & a, ita uj 
sit GA 2id AS & Ga 2id aS ut est KB 2id B S & axe A a,* 
verticibus A, a, describatur trajectoria. Dico factum. Sit enim 
Lf umbilicus alter figurae descriptae, & cum sit G A ad A S ut 
Ga ad aS, erit divisim Ga—GA seu Aa ad aS—AS seu S 
in eadem ratione, ideoque in ratione quam habet axis principali 
figurse describendae ad distantiam umbilicorum ejus ; & propten 
figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cumqd 
sint KB 2id B S &, L C did C S m eadem ratione, transibit haec figui 
per puncta B, C, ut ex conicis manifestum est. 

Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit trajectoria quae rectas" 
duas TR, t r alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte 
perpendicula S T, S t & produc ea- 
dem ad V, v, ut sint TV,tv aequa- 
les TS, tS. Biseca Vv in (9, & 
erige perpendiculum infinitum O H, 
rectamque VS infinite productam 
seca in A' & y^, ita ut sit VK ad KS 
& Ky^ ad kS ut est trajectoriae descri- 
bendae axis principalis ad umbiHco- 
rum distantiam. Super diametro K/^ 
describatur circulus secans 0/f in //; & umbilicis S, H, axe prlncipair 
ipsam F/Z^aequante, descrlbatur trajectoria. Dlcofactum. Nam blseca 
Kk in X, & junge HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad KS ut 










K 



/ 



LIBER PRIMUS. 



69 



H^ 



V k ad kS ; & composlte ut VK-^- Vk ad K S-\-kS ; divlsimque ut 
Vk-VK2.AkS-KS, Idest, ut 2 FJ^ ad 2KX%l2KX2.A 2 SX, 

ideoque ut VX ad H X & I/ X ad SX, similia erunt triangula 
VX//, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad X//; ideoque 

ut VK2id K S. Habet igltur trajectorise descriptse axis principalis 

V H eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam S H, quam 
habet trajectoriae describendse axis prlnclpalis ad ipsius umbillcorum 
distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH, 
vH sequentur axi principall, & V S, v S 3. rectis T R, t r perpen- 
diculariter bisecentur, liquet (ex lem. xv.) rectas Illas trajectoriam 
descriptam tangere. Q. E. F. 

Cas. 3. Dato umbllico vS* describenda sit trajectoria quae rectam 
TR tanget in puncto dato R. In rectam T R demitte perpendi- 
cularem S T, Bi, produc eandem ad V, ut sit T^^sequalls ST Junge 

V R 8>i rectam V S infinlte productam seca m K 81 k, ita ut slt 
VK ad SK 8c V k ad kS'^ ut elllpseos descrlbendse axis principalis 
ad distantlam umbilicorum; cir- 
culoque super diametro Kk de- 
scrlpto secetur producta recta 

VR in H, & umbilicls S, H, 

axe principali rectam V H ^ 

sequante, describatur trajectoria. ^/ 

Dico factum. Namque V H ^ ' 

esse ad S H \xt VK ad SK, 

atque ideo ut axis principalis trajectorise describendse ad distantiam 

umbllicorum ejus, patet ex demonstratis in casu secundo, & propterea 

trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda, rectam 

vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere trajectoriam in puncto 

R, patet ex conicis. Q. E, F. 

Cas. 4. Circa umblllcum 6^ describenda jam sit trajectoria A P B, 
quse tangat rectam T R, transeatque per punctum quodvis P extra 
tangentem datum, quseque similis sit figurse ap b, axe principall a b 
& umbilicis s, h descriptse. In tangentem T R demitte perpendicu- 
lum S T, 8i produc idem ad V, ut slt T V sequalls 6^ T. Angulis 
autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq sequales ; . centroque ^ & 
intervallo quod sit ad ^<$ ut 6^/* ad V S describe circulum secan- 
tem figuram ap b in /. Junge sp & age S H quse sit 2A s hvX est 




s 




DE MOrU CORPORUM 



S P ad sp, quaeque angulum P S H angulo p s k 8>l angulum V S H 
angulo psq aequales constituat. Denique umbilicis S, //, & axe 
principali A B distantiam V H aequante, describatur sectio conica. 
Dico factum. Nam si agatur sv quae sit ad sp ut est sh ad sq, 
quaeque constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh an- 
gulo psq aequales, triangula svh^ spq erunt similia, & propte- 
rea vh erit ?Ld p q ut est ^^ ad ^^, id est (ob similia triangula V S P, 
hsq) ut est VS ad S P seu ab 2A pq. vEquantur ergo vh & ab. 



«v.V 




Porro ob similia triangula V S H, vsh, est V H 2A S H \xX.v h 2x 
s hj id est, axis conicae sectionis jam descriptae ad illius umbilico- 
rum intervallum, ut axis ad a.d umbilicorum intervallum sh; & 
propterea figura jam descripta similis est figurae ap d. Transit autem 
haec figura per punctum P, eo quod triangulum P SH simile sit 
triangulo psh; & quia VH aequatur ipsius axi & VS bisecatur 
perpendiculariter a recta T R, tangit eadem rectam T R. Q. E. F. 



LEM M A XVI. 

A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas 
quarum differentice vel dantur vel nullcB sunt. 

Cas. I. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum 
quod invenire oportet ; ob datam differentiam linearum A Z, B 



LIBER PRIMUS. ^I 

locabitur punctum Z in hyperbola cujus umbilici sunt A 8i B, Sl 
principalis axis differentia illa data. Sit axis ille M N. Cape P M 
ad MA ut est MN Sid A B, & erecta PB perpendiculari ad A B, 
demissaque Z R perpendiculari ad P R ; erit, ex natura hujus hyper- 
bolae, Z R 2id A Z vX est M N ad A B, Simili discursu punctum Z 
locabitur in aha hyperbola, cujus umbiHci sunt A, C & principalis 
axis differentia inter A Z & CZ, ducique potest Q S ipsi A C 
perpendicularis, ad quam si ab hyperbolae hujus puncto quovis Z 
demittatur normalis Z Sy haec fuerit ad ^ Z ut est differentia inter 
A Z 8c CZ ad A C Dantur ergo rationes ipsarum Z R & Z S ad 
A Z, & idcirco datur earundem ZR 
& Z S ratio ad invicem ; ideoque si 
rectse RP, SQ concurrant in T, 8z 
agantur TZ & TAy figura TRZS 
dabitur specie, & recta TZ in qua 
punctum Z alicubi locatur, dabitur 
positione. Dabitur etiam recta TAy 
ut & angulus ATZ ; & ob datas 
rationes ipsarum A Z 2Si T Z 2A Z S 
dabitur earundem ratio ad invicem ; 
& inde dabitur triangulum A T Z, 
cujus vertex est punctum Z. Q.E.I. 

Cas. 2. Si duse ex tribus Hneis, puta A Z 81 B Zy sequantur, ita 
age rectam TZ, ut bisecet rectam AB; dein qusere triangulum 
A T Z uX. supra. 

Cas. 3. Si omnes tres sequantur, locabitur punctum Z in centro 
circuH per puncta A, B, C transeuntis. Q. E. I. 

Solvitur etiam hoc lemma problematicum per Hbrum tactionum 
Apollonii a Vieta restitutum. 

PROPOSITIO XXI. PROBLEMA XIII. 

Trajectoriam circa ctatum timbilicum descridere, quce transibit per 
puncta ciata & rectas positione datas continget. 

Detur umbiHcus 6^, punctum P, & tangens TR, & inveniendus 
sit umbiHcus alter 77. Ad tangentem demitte perpendiculum S T, & 
produc idem ad V, ut sit T V aequaHs S T 81 erit VH sequaHs axi 




72 



DE MOTU CGRFORUM 




principali. Junge SP, HP, & erit SP differentia inter H P & 

axem principalem. Hoc modo si dentur plures tangentes TP, vel 

plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem VH, vel P H, 

a dictis punctis V vel P ad umbilicum 

H ductas, quae vel aequantur axibus, vel 

datis longitudinibus SP differuntab iis- 

dem, atque ideo qua^ vel aequantur sibi 

invicem, vel datas habent differentias ; 

& inde, per lemma superius, datur um- 

bilicus ille alter H. Habitis autem um- 

bilicis una cum axis longitudine (quae vel est VH ; vel, si trajectoria 

ellipsis est, PH-\-SP ; sin hyperbola, PH—SP) habetur trajectoria. 

Q.E./. 

Schohum. 

Ubi trajectoria est hyperbola, sub nomine hujus trajectoriae oppo- 
sitam hyperbolam non comprehendo. Corpus enim pergendo in motu 
suo in oppositam hyperbolam transire non potest. 

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta 
B, C, D. Junctas B C, CD produc ad E, F, ut sit i^'^ ad ^C 
ut^-^ad SC,&i FC ad FD ut 6^Cad S D. Ad^/^ductam& 
productam demitte normales S G, B H, inque G S infinite producta 
cape GA ad ^ 6^ & C^ ad a 6^ ut est H B ad B S ; & erit A vertex, 
& A a axis principalis trajectoriae : quae, perinde ut G A major, 
aequalis, vel minor 
fuerit quam A S, ^^ 
erit ellipsis, para- 
bola vel hyperbola ; 
puncto a in primo 
casu cadente ad ean- 
dem partem lineae 
GF cum puncto A ; 
in secundo casu ab- 
eunte in infinitum ; 
in tertio cadente ad 
contrariam partem 
lineae GF. Nam 
si demittantur ad C T^ perpendicula C/, DK ; erit /Cad HB ut E 




LIBER PRIMUS. 



73 



ad EB, hoc est, ut SC ad SB ; & vicissim I C 2A SC ut HB ad SB 
sive ut G^^ ad S A. Et simili argumento probabitur esse K D 2.6. 
S D m. eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in coni sectione 
circa umbilicum vS* ita descripta, ut rectae omnes, ab umbilico S ad 
singula sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iisdem 
ad rectam G F demissa in data illa ratione. 

Methodo haud multum dissimiH hujus problematis solutionem 
tradit clarissimus geometra de la Hire, conicorum suorum lib. viii. 
prop. XXV. 

SECTIO V. 

Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur. . 



LEMMA XVIL 

Si a datce coniccs sectionis puncto quovis P ad trapezii alicujus 
A B D C, in conica illa sectione inscripti^ latera quatuor infinite 
producta A B, C D, A C, D B totidem rectce P Q, P R, P S, P T 
in datis angulis ducantur, singulce ad singula : rectangulum 
ductarum ad opposita duo latera P Q x P R, erit ad rectangulum 
ductarum ad alia duo latera opposita P S x P T ^'/^ data ratione. 

Cas. I. Ponamus primo lineas ad opposita latera ductas parallelas 
esse alterutri reHquorum laterum, puta PQ 81 P R lateri A C, & 
P S 3.C P T lateri A B. Sintque insuper latera duo ex oppositis, 
puta A C &. B D, sibi invicem parallela. Et recta, quae bisecat pa- 
rallela illa latera, erit una ex diametris conicae sectionis, & bisecabit 
etiam RQ. Sit O punctum in 
quo P Q bisecatur, & erit P O 
ordinatim appHcata ad diametnim 
iHam. Produc PO ad A', ut sit 
OK aequaHs PO, & erit OK or- 
dinatim appHcata ad contrarias 
partes diametri. Cum igitur puncta 
A, B, P 81 K sint ad conicam 
sectionem, 8l P K secet A B in 
dato angulo, erit (per prop. 17, 
19, 21 & 23 Hb. III. conicorum 




74 



DE MOTU CORPORUM 



Apollonii) rectangulum P Q K 2A rectangulum A Q Bm data ratione. 
Sed QK 81 P R sequales sunt, utpote a^qualium O K, O P,&l OQ, 
OR differentiae, & inde etiam rectangula PgiT & Pg x P7? aequa- 
lia sunt ; atque ideo rectangulum P QxP R est ad rectangulum 
A QB, hoc est ad rectangulum P Sy.P Tin data ratione. Q .E. D. 

Cas. 2. Ponamus jam trapezii latera opposita A C &B D non esse 
parallela. Age Bd parallelam A C & occurrentem tum rectae 6^ T\ 
in /, tum conicse sectioni in d. Junge Cd secantem P Q in r, & 
ipsi P Q parallelam age D M 
secantem C d \n M & A B \n N. 
.Jam ob similia triangula BTt, 
DBN; ^stBt seu PQ ad Tt 
utDNsidNB. Sic&Rrest 
adAQ seu PSutDMad A N. 
Ergo, ducendo antecedentes in 
antecedentes & consequentes in 
consequentes, ut rectangulum P Q 
\n Rr est ad rectangulum P S in 
Tt, ita rectangulum N D M est 
ad rectangulum A NB, & (per cas. i.) ita rectangulum PQ \n Pr 
est ad rectangulum P S \n P ty ac divisim ita rectangulum P Q x 
PR est ad rectangulum PSxPT Q. E, D. 

Cas. 3. Ponamus denique lineas 
quatuor P Q, P R, P S, P T non 
esse parallelas lateribus A Cy A B, 
sed ad ea utcunque inclinatas. 
Earum vice age P q, Pr parallelas 
ipsi AC ; & Ps, P t parallelas ipsi 
A B ; & propter datos angulos trian- 
gulorum PQq,PRr,PSs,P Tt, 
dabuntur rationes P Q ^d P q, P R 
2LdPr,PS ad P s, & PTad Pt; 
atque ideo rationes compositse P Q 
xPR ad PqxPr, & PSxPTad PsxPt. Sed, per superius 
demonstrata, ratio PqxPr Sid PsxPt data est : ergo & ratio 
PQxPR ad PSxPT Q.E.D, 





LIBER PRIMUS. 



75 



LEMMA XVIII. 

lisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera trapezii 
PQ X PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera 
PS X P T in data ratione ; punctum P, a quo linecB ducuntur, 
tanget conicam sectionem circa trapezium descriptam. 

Per puncta A, B, C, D 8c allquod infinitorum punctorum P, 
puta /, concipe conicam sectionem describi : dico punctum P hanc 
semper tangere. Si negas, junge AP secantem hanc conicam sec- 
tionem alibi quam in P, si fieri potest, puta in d. Ergo si ab his 
punctis p 8c d ducantur in datis angulis ad latera trapezii rectse / ^, 
p r, p s, p t & d ^, b n, bf, b d ; erit ut b kx bn ad bfy. b d ita 
(per lem. xvii.) pqy.pr 2A psypt, & ita (per hypoth.) PQ x PR 
ad PSy.PT. Est & propter similitudinem trapeziorum b k Af 
P Q A S, \it bk did bf \X,2i P Q 2idi P S. Quare, applicando ter- 
minos prioris proportionis ad terminos correspondentes hujus, erit 
bn2id bdvX PR 3id PT. Er- 
go trapezia aequiangula Dnbd, 
D RP T similia sunt, & eorum 
diagonales D b, D P propterea 
coincidunt. Incidit itaque b 
in intersectionem rectarum AP, 
D P ideoque coincidit cum 
puncto P. Quare punctum 
P, ubicunque sumatur, incidit 
in assignatam conicam sectio- 
nem. Q.E.D. 

Corol. Hinc si rectae tres ^ 

PQ,PR,PS2i puncto com- ^ V AM 

muni P ad aHas totidem positione datas rectas AB, CD, A C, singulae 
ad singulas, in datis anguHs ducantur, sitque rectangulum sub duabus 
ductis PQyPR ad quadratum tertise PS in data ratione : punc- 
tum P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione conica 
quae tangit Hneas AB, CD \n A 8>l C; & contra. Nam coeat Hnea 
B D cum Hnea A C, manente positione trium A B, C D, A C ; dein 




76 



DE MOTU CORPORUM 



coeat etiam linea PT cum linea P S : 8c rectangulum PSxP T 
evadet P S quad. rectaeque A B, CD, quae curvam in punctis A &i B, 
C &L D secabant, jam curvam in punctis illis coeuntibus non amplius 
secare possunt, sed tantum tangent. 



Scholium. 

Nomen conicae sectionis in hoc lemmate late sumitur, ita ut sectio 
tam rectilinea per verticem coni transiens, quam circularis basi pa- 
rallela includatur. Nam si punctum / incidit in rectam, qua puncta 
A Si D vel C & B junguntur, conica sectio vertetur in geminas 
rectas, quarum una est recta illa in quam punctum / incidit, & 
altera est recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si tra- 
pezii anguli duo oppositi simul sumpti sequentur duobus rectis, & linese 
quatuor P Q^ P R, P S^ P T ducantur ad latera ejus vel perpendi- 
culariter vel in angulis quibusvis i 

sequalibus, sitque rectangulum 
sub duabus ductis PQ x PR 
sequale rectangulo sub duabus 
aliis P SxP T, sectio conica 
evadet circulus. Idem fiet, si 
linese quatuor ducantur in an- 
gulis quibusvis, & rectangulum 
sub duabus ductis PQxPR 
sit ad rectangulum sub aliis 
duabus P Sx P T ut rectan- 
gulum sub sinubus angulonim 

Sy Ty in quibus duse ultimse ^ ^ k 

PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in 
quibus duse primse P Q, P R ducuntur. Cseteris in casibus locus 
puncti P erit aliqua trium figurarum, quse vulgo nominantur sectiones 
conicse. Vice autem trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum, 
cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. 
Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire ad 
infinitum, eoque pacto latera figurse, quse ad puncta illa convergunt, 
evadere parallela : quo in casu sectio conica transibit per cxitera 
puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum. 




LIBER PRIMUS. 



n 



L E M M A XIX 



K •-— 


p 


\ .,..-'- 


H 




T 


/ 

— *■ — 


ir-. 


^ " 1 


k • 



Invenire punctum P, a quo si 
rectcB quatuor P Q, P R, 
P S, P T ad alias totidem 
positione datas rectas A B, 
C D, A C, B D, singulce ad 
singulas, in datis angulis 
ducantur, rectangulum sub 
duabus ductisy P Q x P R, 
sit ad rectangulum stib aliis 
duabus, P S X PT, /« data 
ratione. 



Lineae A B, C D, ad quas rectae duae P Q, P R unum rectangu- 
lorum contlnentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione 
datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam 
quamlibet A H, in qua velis punctum P reperiri. Secet ea lineas 
oppositas B D, C D, nimirum B D in H 8>l C D in /, & oh datos 
omnes angulos figurae, dabuntur rationes PQ Sid P A & PA ad 
P Sy ideoque ratio P Q ad P S. Auferendo hanc a data ratione P Q 
xPP ad PSxP T, dabitur ratio P P 2id P T, & addendo datas 
rationes P / sid P P, 8c P T Sid P H dabitur ratio P / ^d P H, atque 
ideo punctum P. Q.E./. 

Corol. I. Hinc etiam ad loci punctorum infinitorum P punctum 
quodvis D tangens duci potest Nam chorda PZ7, ubi puncta P 
ac D conveniunt, hoc est, ubi A H ducitur per punctum D, tan- 
gens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium / P 8l P H 
invenietur ut supra. Ipsi igitur A D duc parallelam C F, occurren- 
tem B D m F, 8l m ea ultima ratione sectam m E, 81 D E tangens 
erit, propterea quod C F 8l evanescens / H parallelae sunt, & in ^5* 
& P similiter sectae. 

Corol. 2. Hinc etiam locus punctorum omnium P definiri potest. 
Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc loci tangentem 
A Ey 81 per aliud quodvis punctum B duc tangenti parallelam B F 



78 



DE MOTU CORPORVM 



occurrentem loco in F. Inven- 
ietur autem punctum F per 
lem. XIX. Biseca B Fm G, 8c 
acta indefinita A G erit positio 
diametri ad quam B G &l F G 
ordinatim applicantur. Haec 
A G occurrat loco in H, & 
erit A H diameter sive latus 
transversum, ad quod latus rec- 
tum erit vX B G q 2.di A Gx 
G H. S\ A G nusquam oc- 
currit loco, linea A H existente 
infinita, locus erit parabola, & 




BGq 



latus rectum ejus ad diametrum A G pertinens erit . ^ . Sin ea 

alicubi occurrit, locus hyperbola erit, ubi puncta A 8i H sita sunt ad 
easdem partes ipsius G: & ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte 
angulus A G B rectus sit, & insuper B G quad. aequale rectangulo 
A G H, quo in casu circulus habebitur. 

Atque ita problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide 
inccepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio 
geometrica, qualem veteres quserebant, in hoc corollario exhibetur. 



LEMMA XX. 

Si parallelogrammum quodvis A S P Q angulis duobtis oppositis A & 
P tangit sectionem quamvis conicam in punctis K & V\ & lateribus 
unius angulorum illorum infi^iite productis A Q, A S occurrit eidem 
sectioni conicce in V> & Q\ a punctis autem occursuum B & C ad 
quintum quodvis sectionis coniccs punctum D agafitur rectcB ducB BD, 
C D occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi 
lateribus P S, P Q m T df R : erunt semper abscisscB laterum partes 
P R df P T ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illcs 
abscissce sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget sectionem 
conicam per ptmcta quatuor A, B, C, P transeuntem. 



LIBER PRIMVS. 



79 




Cas. I. Jungantur B P, CP 8i a puncto D agantur rectae du^ 
DG, D E, quarum prior D G ipsi A B parallela sit & occurrat P B, 
PQ, C A in H, /, G ; altera D E parallela sit ipsi A C & occurrat 
P C, PS, A B in E, K, E: & erit (per lem. xvii.) rectangulum 
DExDE ad rectangulum DGxD// in ratione data. Sed est 
PQad DE (seu /Q) ut PB 
ad //B, ideoque ut jP 7^ ad 
D//; & vicissim P Q Sid PT 
ut DE ad D//. Est & PE 
3idDEutEC3idDC, ideo- 
que ut {/G vel) PvS^ad D G, 
& vicissim PP ad PkS' ut Z?/^ 
ad D G; & conjunctis rationi- 
bus fit rectangulum PQ x PR 
ad rectangulum PS x PTut 
rectangulum DE x DE ad 
rectangulum D GxD //, at- 
que ideo in data ratione. Sed 
dantur PQ & PS, & propterea ratio PE ^d PT datur. Q.E.D. 

Cas. 2. Quod si P P & P T ponantur in data ratione ad invicem, 

tum simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE 

xD E 2id rectangulum D GxD // m ratione data, ideoque punctum 

D (per lem. xviii.) contingere conicam sectionem transeuntem per 

puncta A, B, C, P. Q.E.D. 

Corol. I. Hinc si agatur B C secans PQ in r, & in P 7"capiatur 
P t \u ratione 2A P r quam habet PT ad P R: erit Bt tangens 
conicse sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire 
cum puncto B, ita ut, chorda BD evanescente, BT tangens evadat; 
& C D diC B 7"coincident cum CB Si B t. 

Corol. 2. Et vice versa si B t sit tangens, & ad quodvis conicae 
sectionis punctum D conveniant B D, C D ; erit P R 2id P Tut P r 
ad P t. Et contra, si sit P R ad P T ut Pr ad P t: convenient, 
B D, CDdid conicse sectionis punctum aliquod D. 

Corol. 3. Conica sectio non secat conicam sectionem in punctis 
pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae conicse 
sectiones per quinque puncta A, B, C, P, O ; easque secet recta B D 
in punctis D, d, & ipsam P Q secet recta C^ in ^. Ergo P R est ad 



8o 



DE MOTU CORPORUM 



P T vX PqzA P T ; unde P R &. Pq sibi invicem sequantur, contraj 
hypothesin. 



LEMMA XXI. 

St rectce duce mobiles & infinitcs B M, C M per data puncta B, O 
ceu polos ductcB^ concursu suo M describant tertiam positione datam 
rectam M N ; df alicB ducs infinitce rectcs B D, C D cum prioribus 
duabus ad puncta illa data B, C datos angulos M B D, M C D 
efficientes ducanttir : dico quod hce ducs B D, C D concursu suo D 
describent sectionem conicam per puncta B, C transeuntem. Et vice 
versa, si rectcs B D, C D concursu suo D describant sectionem 
conicam per data puncta B, C, A transeuntem, & sit angulus 
D B M semper csqualis angulo dato A B C, angulusque D C M 
semper cequalis angulo dato A C B : punctum M continget rectam 
positione datam. 

Nam in recta MN detur punctum N^ & ubi punctum mobile 
M incidit in immotum N, incidat punctum mobile £> in immotum P. 




Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto P age rectas P T, P R 
occurrentes ipsis B D, C D \n T 8z R, &, facientes angulum BP T 



LIBER PRIMUS. 



8r 



aequalem angulo dato B N M, & angulum C P R a^qualem angu- 
lo dato C N M. Cum ergo (ex hypothesi) aequales sint anguH 
MBD, NBP, ut & anguH MCD, NCP; aufer communes NBD 
& NCD, & restabunt ^quales NBM&PB T, NCM & PCR: 
ideoque triangula N B M, P B 7"similia sunt, ut & triangula N C M, 
P CR. Quare P T est ad NM ut /^ ^ ad N B, & P R Sid N M ut 
PC ad NC Sunt autem puncta B, C, N, P immobilia. Ergo P T 
& P R datam habent rationem ad N M, proindeque datam rationem 
inter se ; atque ideo (per lem. xx.) punctum D, perpetuus rectarum 
mobilium B T & C R concursus, contingit sectionem conicam, per 
puncta B, C, P transeuntem. Q.E.D, 

Et contra, si punctum mobile D contingat sectionem conicam 
transeuntem per data puncta B, C, A, Sl sit angulus D B M semper 
aequalis angulo dato A B C, 8»l angulus D CM semper sequalis an- 
gulo dato A CB, 8i ubi punctum D incidit successive in duo quae- 
vis sectionis puncta immobilia />, P, punctum mobile M incidat suc- 
cessive in puncta duo immobilia n, N: per eadem n, N agatur 




recta n N, &. haec erit locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, 
si fieri potest, versetur punctum M in Hnea ahqua curva. Tanget 
ergo punctum D sectionem conicam per puncta quinque B, C, A, 
p, P transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam curvam. 
Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem co- 



82 DE MOTU CORPOR UM m 

nicam per eadem quinque puncta B^ C, A, p, P, transeuntem, ubi 
punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones 
conicae transibunt per eadem quinque puncta, contra corol 3. lemmat. 
XX. Igitur punctum J/versari in linea curva absurdum est. Q,E.D. 

PROPOSITIO XXII. PROBLEMA XIV. 

Trajectoriam per data qidnque ptincta describere, 

Dentur puncta quinque Ay By C, Py D. Ab eorum aliquo A ad 
alia duo qusevis B, C, quse poli nominentur, age rectas A B, A C, 
hisque parallelas TP S^ P RQ per punctum quartum P. Deinde a 
polis duobus B, C age per punctum quintum D infinitas duas B D T, 
CRDy novissime ductis T P S, P R Q (priorem priori & posteri- 
orem posteriori) occurrentes in T &. R. Denique de rectis P T, 
PRy acta recta tr ipsi TR parallela, abscinde quasvis Pty Pr ipsis P T, 
PR proportionales ; & si per earum terminos /, r & polos B, C actse 
B t, Cr concurrant in dy locabitur punctum illud ^in trajectoria quae- 




sita. Nam punctum illud d (per lem. xx.) versatur in conica sectione 
per puncta quatuor A, By C, P transeunte ; & lineis Rr, Tt evanes- 
centibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio conica 
per puncta quinque A, B, C, P, D. Q.E,D. 

Idem aliter. 

E punctis datis junge tria qusevis A,B,C ; & circum duo eorum 
By Cy ceu polos, rotando angulos magnitudine datos A B C, A CB\ 



LIBER PRIMUS. 



appllcentur crura B A, CA, primo ad punctum Z>, deinde ad punc- 
tum Py & notentur puncta M, N in quibus altera crura B L, C L 
casu utroque se decussant. Agatur recta infinita M N, & rotentur 
anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut crurum B Z, 
CL vel B M, CM intersectio, quae jam sit m, incldat semper in 
rectam illam Infinltam M N ; & crurum B A, CA, vel B D, C D 
intersectio, quae jam slt d, trajectorlam qusesltam P A D dB delinea- 
bit. Nam punctum d (per lem. xxi.) contlnget sectlonem conicam 




per puncta B, C transeuntem ; & ubi punctum m accedit ad puncta 
Z, M, Ny punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A D P. 
Descrlbetur itaque sectlo conlca transiens per puncta qulnque Ay B, 
C,P,D. Q.E.F. 

Corol. I. Hinc recta expedlte duci potest, quse trajectoriam 
quaesltam in puncto quovis dato B continget. Accedat punctum ^ad 
punctum B, & recta B d evadet tangens quaeslta. 

Corol. 2. Unde etlam trajectoriarum centra, dlametri & latera 
recta Invenirl possunt, ut in corollario secundo lemmatis xix. 

ScholiMm. 
Constructlo prlor evadet paulo slmpllclor jungendo BP, & In ea, si 
opus est, producta caplendo Bp 2A B P vX est P R ad P T ; & 



g^ DE MOTU CORFORUM 

per / agendo rectam infinitam p e ipsi S P T parallelam, & in ea 
capiendo semper pe ^qualem P r ; & agendo rectas B e, C r con- 
currentes in d. Nam cum sint Z' r ad P t, P R ad P T, p B 2.d 
P B.pediA P t in eadem ratione ; erunt p e & P r semper sequales. 
Hac methodo puncta trajectoriae inveniuntur expeditissime, nisi mavis 
curvam, ut in constructione secunda, describere mechanice. 



PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA XV. 

Trajectoriam describere, qtuB per data quatuor puncta transibit, & 
rectam contifiget positione datam, 

Cas. I. Dentur tangens HB, punctum contactus B^ & alia tria 
puncta C, Dy P, Junge B C, & agendo PS parallelam rectse B H, 
8i P Q parallelam rectse B C, comple parallelogrammum B S P Q, 
Age B D secantem ^'P in T, &l C D secantem P Q m R, Denique, 




agendo quamvis / r ipsi TR parallelam, de P Q, P S abscinde 
P r, P t ipsis P R, P T proportionales respective ; & actarum C r, 
Bt concursus d (per lem. xx.) incidet semper in trajectoriam 
describendam. 

Idem aliter. 
Revolvatur tum angulus magnitudine datus C B H circa polum By 
tum radius quiHbet rectiHneus & utrinque productus D C circa polum 
C, Notentur puncta M, N, in quibus anguH crus B C secat 
radium iHum, ubi crus alterum B H concurrit cum eodem radio in 
punctis P &, D. Deinde ad actam infinitam MN concurrant per- 



LIBER PRIMUS. 



8q 




petuo radlus ille CP vel CD & anguli 
crus BC, & cruris alterius B H con- 
cursus cum radio delineablt trajecto- 
riam quaesitam. 

Nam si in constructionlbus proble- 
matis superlorls accedat punctum A ad 
punctum B, llneae C A & C B colnci- 
dent, & linea A B m ultimo suo situ 
fiet tangens B//; atque ideo construc- 
tiones ibi positae evadent esedem cum 
constructionibus hic descriptis. De- 
lineablt igltur crurls B // concursus 
cum radio sectionem conicam per 
puncta C, D, P transeuntem, & rectam /j 
i5Zr tangentem in puncto B, Q.E.F. 

Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, Dy P extra tangentem 
H I sita. Junge bina llneis B D, CP concurrentibus in G, tangen- 
tique occurrentibus in H 8l I, Secetur tangens in A, ita ut sit 
H A ad I Ay ut est rectangulum sub media proportionali inter C G 
& G P 8c media proportionali inter B H &, HD, ad rectangulum 
sub media proportionali inter D G Sc G B & medla proportionali 
inter P/ & /C; & erit A 
punctum contactus. Nam si 
rectae P/ parallela HX trajec- 
toriam secet in punctis quibus- 
vis X & V: erit (ex conicis) 
punctum A ita locandum, ut 
fuerit HA quad. 2A A / quad. 
in ratlone composlta ex ratione 
fectanguli XHY ad rectan- 
gulum BHD, seu rectanguli 
C G P 2id rectangulum D G B, 
& ex ratione rectanguli B HD 
ad rectangulum P / C Invento autem contactus puncto A, descri- 
betur trajectorla ut in casu primo. Q. E. F. 

Capi autem potest punctum A vel inter puncta H 81 /y vel extra ; 
& perinde trajectoria dupliciter describi. 




86 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XXIV. PROBLEMA XVI. 

Trajectoriam describere, quce transibit per data tria puncta, & rectas 
duas positione datas continget, 

Dentur tangentes HI, K L & puncta B, C, D. Per punctorum 
duo qusevis B, D age rectam infinitam B D tangentibus occurren- 
tem in punctis H, K, Deinde etiam per alia duo quaevis C, D age 
infinitam C D tangentibus occurrentem in punctis /, Z. Actas ita 
seca m R &i S, ut sit H R 2A K R ut est media proportionalis inter 
B H 81 HD ad mediam proportionalem inter B K & KD ; & 
/S ad L S ut est media proportionalis inter C/ & /D Sid mediam 
proportionalem inter CL & L D, Seca autem pro lubitu vel inter 
puncta K & H, / & L, vel extra eadem ; dein age R S secantem 
tangentes m A & P, & erunt A & P puncta contactuum. Nam si 
A & P supponantur esse puncta contactuum alicubi in tangentibus 
sita ; & per punctorum H, /, K, L quodvis /, in tangente alterutra 
H/ situm, agatur recta / V tan- 
genti alteri KL parallela, quae 
occurrat curvae in ^ & K, & in 
ea sumatur /Z media propor- 
tionalis inter /X & /V: erit, 
ex conicis, rectangulum X / V 
seu / Z quad, ad Z P quad. ut 
rectangulum C / D ^.d rectangu- 
lum C LD, id est (per construc- 
tionem) ut S/ quad. ad SL quad. 
atque ideo / Z ad Z /* ut S / ^.d 
S L. Jacent ergo puncta S, P, Z 
in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G, erit (ex conicis) 
rectangulum X / Y s^u / Z quad. ad /A quad. ut GP quad. Sid G A 
quad. ideoque /Z ad /A ut GP did GA. Jacent ergo puncta P, Z 
81 A m una recta, ideoque puncta S, P & A sunt in una recta. Et 
eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una 
recta. Jacent igitur puncta contactuum A & P in recta R S. Hisce 
autem inventis, trajectoria describetur ut in casu primo problematis 
superioris. Q,E,F. 




LIBER PRIMUS. 



87 



In hac proposltlone, & casu secundo proposltlonis superlorls con- 
structlones esedem sunt, slve recta X Y trajectorlam secet In ^ & K, 
slve non secet ; eaeque non pendent ab hac sectlone. Sed demon- 
stratls constructionlbus ubl recta illa trajectorlam secat, innotescunt 
constructlones, ubi non secat ; iisque ultra demonstrandis brevltatis 
gratla non Immoror. 

L E M M A XXI I. 
Figuras in alias ejtcsdem generis figuras mutare. 

Transmutanda slt figura quaevls HGI. Ducantur pro lubitu 
rectae duae parallelae A O, B L tertlam quamvls posltione datam 
A B secantes m A & j^, & a figurae puncto quovis G, ad rectam 
A B ducatur quaevls G D, ipsi O A parallela. Deinde a puncto ali- 
quo O, in linea O A dato, ad punctum D ducatur recta O D, ipsi BL 
occurrens in dy & sl punc- 
to occursus erigatur recta 
dg datum quemvis angulum 
cum recta BL continens, 
atque eam habens ratlonem 
Sid O d quam habet Z^ 6^ ad 
OD; & erlt g punctum 
in figura nova Agi puncto 
G respondens. Eadem ra- 
tione puncta slngula figurae 
prlmae dabunt puncta toti- 
dem figurae novae. . Concipe 
igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figurae 
primae, & punctum g motu itldem contlnuo percurret puncta omnia 
figurae novae & eandem descrlbet Distinctionis gratia nominemus 
D G ordinatam prlmam, dg ordinatam novam ; A D abscissam 
primam, a d abscissam novam ; O polum, O D radlum absclndentem, 
OA radium ordlnatum prlmum, & O a (quo parallelogrammum 
O A B a completur) radlum ordlnatum novum. 

Dico jam quod, si punctum G tanglt rectam lineam positione da- 
tam, punctum g tanget etlam Hneam rectam posltlone datam. Si 
punctum G tanglt conicam sectionem, punctum g tanget etlam 
conicam sectlonem. Conlcis sectionibus hic circulum annumero. Por- 




-^ 




D 



88 



DE MOTU CORPORUM 



ro si punctum G tanglt lineam tertii ordinis analytici, punctum g 

tanget lineam tertii itidem ordinis ; & sic de curvis lineis superiorum 

ordinum. Lineae duae erunt ejusdem semper ordinis analytici quas 

puncta G, g tangunt. Etenim ut est ^ ^ ad O A ita sunt Od ad OD, 

O A X AB 
dg did D G, & A B ad A D ; ideoque A D sequalis est -j , 

„ ^^ ,. OAxdg, _ . ^ . ,. 

& Z/ G- aequalis est , Jam si punctum G tangit rectam li- 

neam, atque ideo in sequatione quavis, qua relatio inter abscissam 

A D &L ordinatam D G habetur, indeterminatae illae A D 8i D G did 

unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac aequatione 

OAxAB ^ r^ a OAxdg ^ ^ 

-1 pro A D, & -1 — pro D Cr, producetur sequatio 

nova, in qua abscissa nova 

ad & ordinata nova dg ad 

unicam tantum dimensionem 

ascendent, atque ideo quae 

designat lineam rectam. Sin 

A D & D G, vel earum al- 

terutra, ascendebant ad duas 

dimensiones in aequatione 

prima, ascendent itidem ad 

& dg ad duas in aequatione 

secunda. Et sic de tribus 

vel pluribus dimensionibus. 

Indeterminatae ad, dg in aequatione secunda, & A D, D G in prima 

ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea 

lineae, quas puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis analytici. 

Dico praeterea, quod si recta aliqua tangat Hneam curvam in 
figura prima ; haec recta eodem modo cum curva in figuram novam 
translata tanget lineam illam curvam in figura nova ; & contra. Nam 
si curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura 
prima, puncta eadem translata accedent ad invicem & coibunt in 
figura nova; atque ideo rectae, quibus haec puncta junguntur, simul 
evadent curvarum tangentes in figura utraque. 

Componi possent harum assertionum demonstrationes more magis 
geometrico. Sed brevitati consulo. 





D 



1 



LIBER PRIMUS. 



89 



Igltur sl figura rectllinea in aliam transmutanda est, sufficit recta- 
rum, a quibus conflatur, intersectiones transferre, & per easdem in 
figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare opor- 
tet, transferenda sunt puncta, tangentes, & aliae rectse, quarum ope 
curva linea definitur. Inservit autem hoc lemma solutioni difficiliorum 
problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam 
rectae qusevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo 
pro radio ordinato prlmo Hneam quamvis rectam, quae per con- 
cursum convergentium transit; idque qula concursus ille hoc pacto 
abit in infinltum ; linese autem parallelae sunt, quae nusquam 
concurrunt. Postquam autem problema solvitur in figura nova; 
si per inversas operationes transmutetur haec figura in figuram 
primam, habebltur solutio quaesita. 

Utile est etlam hoc lemma in solutione solidorum problematum. 
Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum intersectione 
problema solvl potest, transmutare Hcet earum alterutram, sl hyper- 
bola slt vel parabola, In eHipsIn : delnde eHIpsis facile mutatur in 
clrculum. Recta item & sectio conica, in constructione planorum 
problematum, vertuntur in rectam & circulum. 

PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVII. 

Trajectoriam describere, qicce per data duo puncta transibit, & rectas 
tres continget positione datas, 

Per concursum tangentium qua- 
rumvls duarum cum se invicem, & 
concursum tangentis tertiae cum recta 
IHa, quae per puncta duo data tran- 
slt, age rectam infinitam ; eaque 
adhibita pro radlo ordinato primo, 
transmutetur figura, per lemma su- 
perlus, in figuram novam. In hac 
figura tangentes iHae duae evadent 
sibi invicem parahelae, & tangens 
tertia fiet paraHela rectae per puncta 
duo data transeunti. Sunto hi, kl tangentes iHae duae parallelae, ik 



96 DE MOTU CORPORUM 

tangens tertia, 8l hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, 
per quse conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelo- 
grammum hikl complens. Secentur rectse hi, ik, kl in c, d, e, ita ut 
sit hc 2A latus quadratum rectanguli ah b, ic ad id, & ke ad kd ut est 
summa rectarum hi 81 k l did summam trium linearum, quarum prima 
est recta e^, & alterse duae sunt latera quadrata rectangulorum ahb 
Sl alb: & erunt c, d, e puncta contactuum. Etenim, ex conicis, sunt 
hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad /^quadratum, 
& ke quadratum Sid kd quadratum, & e/ quadratum ad rectangulum 
a/b in eadem ratione ; & propterea v ^^ 

^^ ad latus quadratum ipsius ahby 
ic ad id, ke ^d kd, & e/ ad latus 
quadratum ipsius a/b sunt in sub- 
duplicata illa ratione, & composite, 
in data ratione omnium antecedentium 
hi & k/ ad omnes consequentes, quae 
sunt latus quadratum rectanguli ahb, 
& recta ik, & latus quadratum rec- 
tanguli a/b. Habentur igitur ex data 
illa ratione puncta contactuum c, d, e, 
m figura nova. Per inversas operationes lemmatis novissimi trans- 
ferantur hsec puncta in figuram primam, & ibi (per prob. xiv.) 
describetur trajectoria. Q,E,F. Caeterum perinde ut puncta a, b 
jacent vel inter puncta h, /, vel extra, debent puncta r, d, e vel inter 
puncta h, i, k, /, capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit 
inter puncta h, /, & alterum extra, problema impossible est. 

PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA XVIII. 

Trajectoriam describere, quce transibit per punctum datum, & rectas 
quatuor positione datas continget. 

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad 
intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, 
& eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura 
(per lem. xxii.) in figuram novam, & tangentes binse, qu^ ad 
radium ordinatum primum concurrebant, jam evadent parallel^. Sun- 



LIBER PRIMUS. 



91 



to illae kiSikl, ikSihl continen- 

tes parallelogrammum /^2^/. Sit- 

que/ punctum in hac nova figura 

puncto in figura prima dato respon- 

dens. Per figurae centrum O aga- 

tur/^, & existente Oq sequali O p, 

erit q punctum alterum per quod 

sectio conica in hac figura nova 

transire debet. Per lemmatis xxii. 

operationem inversam transferatur _ 

hoc punctum in figuram primam, ^ 

& ibi habebuntur puncta duo per quae trajectoria describenda est. 

Per eadem vero describi potest trajectoria illa per problema xvii. 

Q.E,F, 



LEMMA XXII I. 

Si rectce duce positione datce AC, BD addata puncta A, B, terminentur, 
datamque kabeant rationem ad invicem, & recta C D, qua puncta 
indeterminata C, 'Djunguntur, secetur in ratione data in K: dico 
quod punctum K locabitur in recta positione data, 

Concurrant enim rectse A C, B D m E, 81 m B E capiatur B G 
Sid A E ut est BI? ad A Q sitque ED semper sequalis datse E G ; 
& erit ex constructione E C 

ad G D, hoc est, ad E F vX ^' 

AC2A BD, ideoque in ratio- 
ne data, & propterea dabitur 
specie triangulum E F C 
Secetur CFm L ut sit C L 
ad C F m ratione C K 'aA 
C D ; & ob datam illam ra- 
tionem, dabitur etiam specie 
triangulum EFL; proin- 
deque punctum L locabitur 
in recta EL positione data. Junge L K, 81 simiHa erunt triangula 
CLK, CFD; & ob datam FD & datam rationem L K 2A FD, 




H 



G B 



92 



DE MOTU CORPORUM 



dabitur LK. Huic sequalis 
capiatur E H, & erit semper 
ELKH parallelogrammum. 
Locatur igitur punctum K 
in parallelogrammi illius la- 
tere positione dato H K, 
Q.E.D. 

CoroL Ob datam specie 
figuram E FL C, rectae tres 
EF, EL 8iEQ id est, GD, 
HK 8iE C, datas habent rationes ad invicem. 




LEMMA XXIV. 

Si rectcB tres tangant quamcmigtce coni sectionentj quarum duce paral- 
lelcB sint ac dentur positione ; dico quod sectionis semidiameter hisce 
duabus parallelay sit media proportionalis inter harum segfnenta^ 
punctis contactuum & tangenti tertice interjecta, 

Sunto AF, GB parallelae duae coni sectionem ADB tangentes in 
A & B; E F recta tertia coni sectionem tangens in /, & occurrens 
prioribus tangentibus \n F Sl G ; sitque C D semidiameter figurse 
tangentibus parallela : dico 
quod A F, C Dy B G sunt 
continue proportionales. 

Nam si diametri con- 
jugatse A B, D M tangenti 
FG occurrant in E &. H, 
seque mutuo secent in C, 
& compleatur parallelo- 
grammum I K C L ; erit 
ex natura sectionum con- 
icarum ut ^ C ad CA ita 
C^ ad CZ, & ita divisim 
EC-^CA ad CA^CL 

seu E A 2Ld A L, & composite EA ad EA-\-AL seu E L ut E 
ad EC-h CA seu EB; ideoque, ob similitudinem triangulorum EAF, 




LIBER PRIMUS. 



93 



ELI.E CH, E B G, A F 2id L I \xt CH ad B G. Est itidem, ex 
natura sectionum conicarum, Z / seu CA^ad CD ut CD ad CH; 
atque ideo ex aequo perturbate ^ /" ad CZ^ ut CZ^ ad ^ 6^. Q. E. D. 

Corol. I. Hinc si tangentes duse F G, P Q tangentibus parallelis 
AF, BG occurrant in F & Gy P & Q, seque mutuo secent in O ; erit 
ex sequo perturbate A F a.d B Q ut A P 2A B G, &l divisim ut FP 
ad G Q, atque ideo ut i^ 6^ ad O G. 

Corol. 2. Unde etiam rectse duae P G, FQ, per puncta P &. G, 
F 81 Qy ductae, concurrent ad rectam A CB per centrum figurae & 
puncta contactuum A, B transeuntem. 



LEMMA XXV. 

Si parallelogrammi latera qtmtuor infinite producta tangant section- 
em quamcunque conicam, & abschictantur ad tangentem quamvis 
quintam ; smnantur autem laterum quorumvis duo7^um contermi- 
norum abscissce terminatcB ad angulos oppositos parallelogrammi : 
dico quod abscissa alterutra sit ad latus illud a quo est abscissa, ut 
pars lateris alterius contermini inter punctum contactus & latus 
tertium est ad abscissarum alteram, 

Tangant parallelogrammi ML /A^latera quatuor M L, I K, K L, 

M I sectionem conicam in A,B, C,D, & secet tangens quinta/^^ 

F M A L 




haec latera in F, Q, H 81 E ; sumantur autem laterum M I, K I 
abscissae M E, K Q, vel laterum K L, M L abscissae K H, M F : 



Q4 DE MOTU CORPORUM 

dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ; & K H ad i^rZ ut 
^ 7^/ad M F. Nam per corollarlum primum lemmatls superlorls est 
ME ad ^ / ut ^ J/ seu B K 2idB Q,&i componendo M E did M I \it 
BKdidKQ, Q,E.D. Item K H ^d H L ut B K s^n A M 2id 
AE,& dividendo K H ad K L ut A M ad MK Q. E. D. 

Corol. I. Hinc sl datur parallelogrammum I K L M, circa datam 
sectionem conlcam descrlptum, dabltur rectangulum KQxME, ut 
& huic sequale rectangulum K Hx M F. ^quantur enim rectangula 
illa ob similitudinem triangulorum K Q H, M F E. 




CoroL 2. Et si sexta ducatur tangens eg tangentibus K I, MI 
occurrens in ^ & e ; rectangulum K QxM E sequabitur rectangulo 
Kq X Me; eritque KQ ad Me ut Kq ab ME, & divisim ut Qq ad Ee. 

Corol. 3. Unde etiam si E q, ^^ jungantur & bisecentur, & recta 
per puncta bisectionum agatur, transibit hsec per centrum sectionis 
conicae. Nam cum sit Qq did Eeut KQ ad Me, transibit eadem 
recta per medlum omnium Eq, eQ, M K (per lem. xxiii.) & medium 
rectae M K est centrum sectionis. 

PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA XIX. 

Trajectoriam describerey qucB rectas quinque positione datas continget. 

Dentur positione tangentes ^ ^ G^, ^ C /% GCD, FDE, EA, 
Figurse quadrllaterae sub quatuor qulbusvis contentse A B F E didi- 
gonales A F, B E biseca in i^ & -A^, & (per corol. 3. lem xxv.) 
recta MN per puncta bisectionum acta transibit per centrum trajecto- 



I 



LIBER PRIMUS. g^ 

rlse. Rursus figurae quadrilaterae B G D F^ sub aliis quibusvis qua- 
tuor tangentibus contentae, diagonales (ut ita dicam) B D, GF 
biseca in P & : & recta PQ per puncta bisectionum acta tran- 
sibit per centrum trajectorise. Dabitur ergo centrum in concursu 
bisecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis B C parallelam age K L^ 
ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, 




& acta K L tanget trajectoriam describendam. Secet haec tangencoo 
alias quasvis duas GC D, FD E m L & K. Per harum tangentium 
non parallelarum CZ, FK cum parallelis CF^ KL concursus C & Ky 
F& L age CK, FL concurrentes in K, & recta OK ducta & pro- 
ducta secabit tangentes parallelas CFy KL in punctis contactuum. 
Patet hoc per corol. 2. lem. xxiv. Eadem methodo invenire* licet 
alia contactuum puncta, & tum demum per construct. prob. xiv. 
trajectoriam describere. Q. E. F, 

Scholium. 

Problemata, . ubi dantur trajectoriarum vel centra vel asymptoti, 
includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangentibus 
una cum centro, dantur alia totidem puncta aliaeque tangentes a 
centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem 
pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita 
loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punc- 



96 



DE MOTU CORPORUM 



tum contactus abire In infinitum, & tangens vertetur in Asympto- 
ton, atque constructlones problematum praecedentlum vertentur In 
constructiones ubl Asymptotos datur. 

Postquam trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos 
ejus hac methodo. In constructione & figura lemmatls xxi. fac ut 
angulorum moblHum P B N, P C N, crura B P, C P, quorum con- 
cursu trajectoria describebatur, sint sibi Invlcem parallela, eumque 
servantla sltum revolvantur circa polos suos B, C In figura Illa. Inte- 
rea vero describant altera angulorum illorum crura C N, B N, con- 
cursu suo K vel ky clrculum BGKC. Slt clrcuH hujus centrum O, 




Ab hoc centro ad regulam M N, ad quam altera Illa crura C N^ 
BN interea concurrebant, dum trajectoria descrlbebatur, demltte 
normalem O H clrculo occurrentem va K %i L, Et ubl crura illa 
altera C K,B K concurrunt ad punctum illud K quod regulae proplus 
est, crura prlma C P, B P parallela erunt axl majori, & perpendicu- 
laria mlnorl; & contrarium evenlet, si crura eadem concurrunt ad 
punctum remotlus Z. Unde si detur trajectoriae centrum, dabuntur 
axes. Hisce autem datis, umbillci sunt In promptu. 

Axlum vero quadrata sunt ad invicem mX. K H zA LH, & inde 
facile est trajectorlam specie datam per data quatuor puncta descrl- 
bere. Nam sl duo ex punctis datls constltuantur poli C, B, tertiui 
dablt angulos moblles, PCK, PBK ; hls autem datls describl potest 
clrculus BGKC. Tum ob datam specle trajectoriam, dabitui 
ratio O H 2A OK, Ideoque ipsa O H. Centro O & Intervallo O 



LIBER PRIMUS. ^j 

describe allum circulum, & recta, quae tangit hunc circulum, & 
transit per concursum crurum CK, B K, ubi crura prima C P, B P 
concurrunt ad quartum datum punctum, erit regula illa M N cujus 
ope trajectorla describetur. Unde etiam vicissim trapezium specie 
datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) In data quavis sec- 
tlone conica inscribi potest. 

Sunt & alia lemmata quorum ope trajectoriae specie datse, datis 
punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si 
recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quae da- 
tam coni sectlonem in punctls duobus intersecet, & Intersectionum 
Intervallum blsecetur, punctum blsectionis tanget aliam coni sectionem 
ejusdem speclei cum prlore, atque axes habentem priorls axlbus 
parallelos. Sed propero ad magis utiHa. 

LE M M A XXVI. 

Trianguli specie. & magnittidine dati tres angidos ad rectas totidem 
positione datas, qucs non sunt omnes parallelcBy singulos ad singulas 
ponere. 

Dantur positione tres rectae infinitae A B, A C, B C^ & oportet 
trlangulum D E F\\,2l locare, ut angulus ejus D lineam A B, angulus 
E lineam A Cj & angulus E lineam B C tangat. . Super D E, D F 
%L E F describe tria circulorum segmenta D RE, D G F, E M F, 
quae capiant angulos anguHs B A C, A B C^ A C B aequales 
respectlve. Describantur autem haec segmenta ad eas partes Hnea- 
rum DE, D F, E F, ut Hterae DRED eodem ordlne cum 
Hterls BACB, Hter^ DGFD eodem cum Hteris A B C A, 
& Hterae EMFE eodem cum Hteris A C B A in orbem redeant; 
delnde compleantur haec segmenta In circulos integros. Secent 
circuH duo priores se mutuo in Gy sintque centra eorum P Bl Q, 
Junctis G P,P Q, cape G a 2id A B ut Gst G P ad P Q, & centro G, 
intervaHo G a describe circulum, qul secet clrculum primum D G E 
in a, Jungatur tum aD secans clrculum secundum DFG In ^, 
tum aE secans circulum tertium EMF in c. Et jam Hcet figuram 
A B Cdef constituere similem & aequalem figurae abc D E F. Quo 
facto perficitur problema. 

Agatur enim Fc ipsi a D occurrens in n, & jungantur aG, bG, 

G 



98 



DE MOTU CORPORUM 



QG,Q D,P D. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo 
CAB, & angulus^^/^^qualis angulo ACB, ideoque triangulum 
a n c triangulo ABC ^quiangulum. Ergo angulus a n c seu Fn D 
angulo ABC, ideoque angulo FbD sequalis est; & propterea 




■4 



punctum 71 incidit in pftinctum b, Porro angulus G P Q, qui dimii 
dius est anguli ad centrum G P D, sequalis est angulo ad circum- 
ferentiam GaD ; & angulus GQP, qui dimidius est anguli ac 
centrum GQ Dy sequalis est complemeijto ad duos rectos anguli a< 



LIBER PRIMUS. qq 

circumferentiam GbD, ideoque aequalis angulo Gba; suntque 
ideo triangula G P Q, G ab similia ; & 6^ ^ est ad <^ ^ ut G P 2,^ 
PQ; id est (ex constructione) ut 6^^ ad y^^. ^quantur itaque 
ab 81 A B ; & propterea triangula abc, A B C, quae modo similia 
esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde, cum tangant insuper 
trianguli D E F anguli D, E, F trianguli abc latera ab, ac, b c 
respective, compleri potest figura A B C d ef figurae ab c D E F 
similis & aequalis, atque eam complendo solvetur problema. Q. E. F. 
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis 
tribus positione datis interjacebunt. Concipe triangulum D E F, 
puncto D ad latus E F accedente, & lateribus D E, DFm directum 
positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data D E rectis positione 
datis A B, A C, 8l pars data D F rectis positione datis A B, B C 
interponi debet ; & applicando constructionem praecedentem ad hunc 
casum solvetur problema. 

PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA XX. 

Trajectoriam specie & magnitiidine datam describerej cujus partes 
datce rectis tribus positione datis i^iterjacebunt, 

Describenda sit trajectoria, quae sit similis & aequalis lineae curvae 
D E Fy quaeque a rectis tribus A B, A C, B C positione datis, in 




partes datis hujus partibus D E Sl E F similes & aequales secabitur. 
Age rectas D E, E F, D F, & trianguli hujus D E F pone an- 
guios Dy E, F ad rectas illas positione datas (per lem. xxvi) dein 
circa triangulum describe trajectoriam curvae D E F similem & 
aequalem. Q. E. F. 



lOO 



DE MOTU CORPORUM 



LEMMA XXVII. 

Trapezium specie datum describere, cujus angttli ad rectas quatuor 
positione datas, qttce neqtie omties parallelcB sunt, neque ad commune 
punctum convergunt, singuli ad singulas consistent. 

Dentur positione rectse quatuor A B C, A D, B D, CE ; quarum 
prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C; & de- 
scribendum sit trapezium/^>^ ^, quod sit trapezio F G // / simile ; 
& cujus angulus / angulo dato F sequalis, tangat rectam A B C; 
cseterique anguli g, h, i, caeteris angulis datis G, H, I sequales, tan- 
gant cseteras lineas A D, B D, C E respective. Jungatur F H &l 
super FG, F H, FI describantur totidem circulorum segmenta 




FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum 
aequalem angulo B A D, secundum FTH capiat angulum sequalem 
angulo C B D, ac tertium FVI capiat angulum sequalem angulo 
A CE, Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum 
FG, FH, Fly ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui 
literarum B A D B, utque literse F T H F eodem ordine cum 
literis C B D C, & literse FVIF eodem cum literis A CEA in 
orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos integros, sitque 



LIBER PRIMUS. jqj 

P centrum circull prlmi FS G, 8l Q centrum secundi F TH. 
Jungatur & utrinque producatur P Q, & in ea capiaturgi? in ea 
ratione 2id P Q quam habet ^ C ad A B, Capiatur autem 7? ad 
eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo atque li- 
terarum A, B, C: centroque R & intervallo 7? /^ describatur circulus 
quartus F N c secans circulum tertium F VI in c, Jungatur Fc 
secans circulum primum in a, & secundum in b, Agantur a G, 
dH, c ly Si figurae abc F G H I similis constitui potest figura A B C 
fghi. Quo facto erit trapeziumy"^^/ illud ipsum, quod constituere 
oportebat. 

Secent enlm circuli duo primi FS G, F TH se mutuo in K. 
Jungantur P K, Q K, RK, aK, b K, c K, 8i producatur Q P 2A L. 
Anguli ad circumferentias FaK, FbK, Fc K sunt semisses angu- 
lorum FP K, F Q K, FR K ad centra, ideoque angulorum illorum 
dimidiis LPK^LQK, LRK ^quales. Est ergo figura PQRK 
figurse abc K aequiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut 
PQ2.AQR/\A est, ut ^ ^ ad i^ C. Angulis insuper Fa G, Fb H 
Fcl2^c{\xdinX.\ivfAgyfBh,fCz,^QT constructionem. Ergo figurae 
abc FG H I figura similis A B Cfgh i compleri potest. Quo facto 
trapeziumy^^/ constituetur simile trapezio FGHI, & angulis suis 
/ g, h, i tanget rectas A B C, A D, B D, C E. Q. E. F. 

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione 
datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. 
Augeantur anguli FG H, G H I usque eo, ut rectae F G, G H, H I 
in directum jaceant, & in hoc casu construendo problema ducetur 
YQQX.di fghi, cujus partes y^, gh, hi, rectis quatuor positione datis 
AB & A D, A D 81 B D, BD 81 C E interjectae, erunt ad invicem 
ut linese FG, G H, H I, eundemque servabunt ordinem inter se. 
Idem vero sic fit expeditius. 

Producantur A B sid K, 81 B D Sid L, ut sit B K 2id A B ut HI 
ad GH; & D L ad BD ut G I ad FG ; & jungatur K L occurrens 
rectae C^ in i. Producatur iL ad M, ut sit L M dAiLMt G H did 
HI, 8l agatur tum MQ ipsi L B parallela, rectaeque A D occurrens 
in^, twm gi secans A B, B D inf h. Dico factum. 

Secet enim Mg rectam A B m Q, 8l A D rectam K L m S, 8l 
agatur A P quae sit ipsi B D parallela & occurrat i L m Py & erunt 
gM ad Lh (gi ad h /, Mi ad Li.GI ad H I, A K 2id B K) &. 



I02 



DE MOTU CORPORUM 



A P 2id B L in eadem ratione. Secetur D L m R wtsit D L ad 
RL m eadem illa ratione, & ob proportionales ^ 6^ 3.d g M, A S ^A 
A P, & D S 2id D L ; erit, ex aequo, ut ^6^ ad Lh itsi A S 2id B L 
& DS ad RL; & mixtim, ^Z-7?Z 2idL/i-BL utAS-DS 
2id g-S-A S. Id est BR ad B /i ut A D Sid A g, ideoque ut B D 
ad gQ. Et vicissim B R ?A B D ut B /i ^d gQ, s^u f/i ad fg. Sed 
ex constructione linea B L eadem ratione secta fuit in D & R atque 
linea F/in G & H: ideoque ^st B R 2id B D ut FH ad FG. Ergo 



mX-" 




-u 



G 



lp 



fk est 2idfg ut i^//" ad -F C Cum igitur sit etiam ^ / ad ^ i ut Mi 
ad Z e, id est, ut 6^7 ad H I, patet lineas F I, f i in g & /i, G 8l H 
similiter sectas esse. Q. E. F. 

In constructione corollarii hujus postquam ducitur L K secans C E 
in i, producere licet i E ad V, ut sit E V 2A Ei ut FH ad H I, & 
agere F/ parallelam ipsi B D. Eodem recidit si centro iy intervallo 
/ Hy describatur circulus secans B D in X^ & producatur iX ad K, 
ut sit i Y sequalis / F, & agatur Vf ipsi B D parallela. 

Problematis hujus sokitiones alias Wren?ius & Wallisijis olim 
excogitarunt. 



LIBER PRIMUS. 



103 



PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XXI. 

Trajectoriam specie datam describere^ quce a rectis quatuor positione 
datis ifi partes secabitur^ ordine, specie & proportione datas. 

Descrlbenda sit trajectoria, quse simllis sit lineae curvae FGHI, 
& cujus partes, illius partlbus FG, G H, H I similes & proportio- 
nales, rectis AB81AD, ADSlBD, BDSiCE positione datis, 
prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis 
rectis FGy G H, H I, FI, describatur (per lem. xxvii) trapezium 




fghi quod sit trapezio FGHI slmile, & cujus. anguli fygyh.i 
tangant rectas illas positione datas A By A D, B D, C E, singuli 
singulas dicto ordine. Dein circa hoc trapezium describatur trajec- 
toria curvae linese F G H I consimilis. 



Scholium. 

Construi etiam potest hoc problema ut sequitur. Junctls FG, 
GH, H I, F I produc G F 2A F, jungeque F H, I G, & angulis 
FGH, VFHidLC angulos CAK.DAL aequales. Concurrant AK, 
A L cum recta B D m K 8l L, &. inde agantur K M, LN, quarum 
KM constituat angulum ^ A^T^/sequalem angulo GHI, sitque ad 
AK ut est H I ad G H ; 81 L N constltuat angulum ALN aequalem 
angulo FHI, sltque ad AL ut H I 2A F H. Ducantur autem A K, 
KM, A L, LN did eas partes Ilnearum A D, A K, A L, ut hterae 



I04 



DE MOTU CORPORUM 



CAKMC, ALKA, DALND eodem ordine cum literis FGH I F 
in orbem redeant ; & acta MN occurrat rectae C^ in i. Fac an- 
gulum iEP aequalem angulo I G F, sitque PE ad Ei \x\. F G ?A 
GI ; & per P agatur P Qf, quse cum recta ADE contineat angulum 
PQE ^qualem angulo FIGy rectaeque A i^ occurrat in/ & jungatur 







fL Agantur autem P E & P Q Sid e2is partes Hnearum CEy P E, 
ut literarum PEiP & PEQ P idem sit ordo circularis qui literarum 
FGHIFy & si super linea // eodem quoque literarum ordine con- 
stituatur trapezium y^^/ trapezio FGHI simile, & circumscribatur 
trajectoria specie data, solvetur problema. 

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum 
in orbibus inventis determinemus. 



SECTIO VI. 

De inventione motuum in orbibus datis. 



PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XXII. 

Corporis in data trajectoria parabolica moti invenire locitm ad tempus\ 

assignatum, 

Sit S umbilicus & A vertex principalis parabolse, sitque 4 -^kS^x 
sequale areae parabolicae abscindendae APS, quae radio SPy vel post 
excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejui 




LIBER PRIMUS, 

ad vertlcem descrlbenda est. Innotescit 

quantitas areae illius abscindendae ex tem- 

pore ipsi proportionali. Biseca AS \n G, 

erigeque perpendiculum 6^iYaequale 3 M, 

& circulus centro H, intervallo H S de- 

scriptus secablt parabolam in loco quaesito 

P, Nam, demissa ad axem perpendiculari 

PO & ducta PH, est AGq-^- GHq ( = HPq 

— A 0—A G: quad.-^-P 0—G H: quad) a & s 

^AOq-^-POq-i GAO-2 GHxP + A Gq+GHq, Unde 

2GHXPO { = A0q + P0q-2 GAO)=AOq+i POq. Pro 

A Oq scribe A Ox ^^ ^ ; & applicatis terminis omnibus ad 3 P (9 
ductisque In 2 ^ 6^, fiet 4 GHxA S {= i A OxP O-^-i A SxP O 

o o 

= are3e APS, Sed GH^r^X 3 M, & inde i GHx AS est 4 ^^'x M. 
Ergo area abscissa A P S aequalis est abscindendae \ A SxM.. 
Q.E.D. 

Corol. I. Hinc G H ^st ad A S, ut tempus quo corpus descripsit 
arcum A P 2id tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A 
& perpendiculum ad axem ab umbilico kS erectum. 

Corol. 2. Et circulo A S P per corpus motum P perpetuo transe- 
unte, velocitas puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in 
vertice ^ ut 3 ad 8 ; ideoque in ea etiam ratione est linea G H 2A 
lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab A ad /*, ea cum 
velocitate quam habult in vertice A, describere posset 

Corol. 3. Hinc etiam vice versa inveniri potest tempus quo corpus 
descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & a.d medium 
ejus punctum erige perpendiculum rectae G H occurrens in H. 



I06 DE MOTU CORPORUM 

LEMMA XXVIII. 

Nulla extat figura ovalis cujus area, rectis pro lubittc abscissa, possit 
per cequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter 
inveniri, 

Intra ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum re- 
volvatur perpetuo linea recta, uniformi cum motu, & interea in 
recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatque semper ea cum 
velocitate, quae sit ut rectae illius intra ovalem quadratum. Hoc 
motu punctum illud describet spiralem gyris infinitis. Jam si areae 
ovalis a recta illa abscissae portio per finitam aequationem inveniri 
potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a 
polo, quae huic areae proportionalis est, ideoque omnia spiralis puncta 
per aequationem finitam inveniri possunt : & propterea rectae cu- 
jusvis positione datae intersectio cum spirali inveniri etiam potest per 
aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem 
secat in punctis numero infinitis, & aequatio, qua intersectio aliqua 
duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes 
radicibus totidem, ideoque ascendit ad tot dimensiones quot sunt 
intersectiones. Quoniam circuH duo se mutuo secant in punctis 
duobus, intersectio una non invenietur nisi per aequationem duarum 
dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam 
duarum sectionum conicarum quatuor esse possunt intersectiones, 
non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem 
quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si inter- 
sectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex 
& conditio, idem erit calculus in casu unoquoque, & propterea ea- 
dem semper conclusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul 
complecti Sz: indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones 
sectionum conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex 
esse possunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, 
& intersectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse 
possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id 
nisi necessario fieret, reducere liceret problemata omnia solida ad 
plana, & plusquam solida ad solida. Loquor hic de curvis potestat 
irreducibilibus. Nam si aequatio, per quam curva definitur, a 



1 



LIBER PRIMUS. 107 

inferiorem potestatem reduci possit : curva non erit unica, sed ex 
duabus vel pluribus composita, quarum intersectiones per calculos 
diversos seorsim inveniri possunt. Ad eundem modum intersec- 
tiones binse rectarum & sectionum conicarum prodeunt semper per 
aequationes duarum dimensionum, ternae rectarum & curvarum 
irreducibilium tertiae potestatis per sequationes trium, quaternae 
rectarum & curvarum irreducibilium quartae potestatis per sequationes 
dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo rectae & spiralis 
intersectiones numero infinitae, cum curva haec sit simplex & in curvas 
plures irreducibilis, requirunt aequationes numero dimensionum & 
radicum infinitas, quibus intersectiones omnes possunt simul exhi- 
beri. Est enim eadem omnium lex & idem calculus. Nam si a polo 
in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendicu- 
lum illud una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones 
spiralis transibunt in se mutuo, quaeque prima erat seu proxima, post 
unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps : 
nec interea mutabitur aequatio nisi pro mutata magnitudine quanti- 
tatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates 
illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, 
aequatio redibit ad formam primam, ideoque una eademque exhibebit 
intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, 
quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & 
spiraHs per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla 
extat ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem 
aequationem generaliter exhiberi. 

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis 
describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, probari 
potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequationem 
generaliter exhiberi. De ovalibus autem hic loquor quae non tangun- 
tur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus. 

Corollarium, 

Hinc area ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile 
ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per aequationem fini- 
tam ; & propterea per descriptionem curvarum geometrice rationalium 
determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello quarum 
puncta omnia per longitudines aequationibus definitas, id est, per 



io8 



DE MOTU CORPORUM 



longitudinum rationes complicatas, determinari possunt ; cseterasque 
(ut spirales, quadratrices, trochoides) geometrice irrationales. Nam 
longitudihes quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum 
(quemadmodum in decimo elementorum) sunt arithmetice rationales 
vel irrationales. Aream igitur elHpseos tempori proportionalem 
abscindo per curvam geometrice irrationalem ut sequitur. 



PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII. 

Corporis in data trajectoria elliptica moti invenire locum ad tempus 

assignatum, "I 

EUipseos A P B sit A vertex principalis, S umbilicus, & O cen- 
trum, sitque P corporis locus inveniendus. Produc O A 2id Gy ut sit 
OG 3id OA ut OA ad OS, Erige perpendiculum GH, centroque O 
& intervallo O G describe circulum G E F, 8l super regula G H, ceu 
fundo, progrediatur rota GE F revolvendo circa axem suum, & 
interea puncto suo A describendo trochoidem A L I, Quo facto, 
cape G K m ratione ad rotse perimetrum GE FG, ut est tempus, 




quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum A P, ad tempus 
revolutionis unius in ellipsi. Erigatur perpendiculum K L occurrens 
trochoidi in Z, & acta LP ipsi KG parallela occurret elHpsi in] 
corporis loco quaesito P, 

Nam centro O, intervallo OA describatur semicirculus AQB,\ 
& arcui A Q occurrat LP si opus est producta in Q, junganturqu< 



LIBER PRIMUS. 



109 



SQ, OQ. Arcui EFG occurrat O Q m F, B>l m eandem OQ de- 
mittatur perpendiculum S R. Area A P S ^^t ut area AQS, id est, 
ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut 
differentia rectangulorum k OQxAQ & i O Q x S F, hoc est, ob 
datam ^ O Q, ut differentia inter arcum A Q & rectam 6^ 7?, ideoque 
(cum eaedem sint datae rationes SF ad sinum arcus AQ, OS did OAy 
OA ad OG, AQ 2id G F, & divisim AQ-SR ad 6^/^-sinu 
arcus AQ) ut G K differentia inter arcum G F &l sinum arcus A Q^ 
Q.E.D. 

Scholium, 

Caeterum, cum difficilis sit hujus curvse descriptio, praestat solu- 
tionem vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam 
B, qui sit ad angulum graduum 57.29578, quem arcus radio aequalis 
subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad ellipseos diametrum 
A B ; tum etiam longitudo quaedam L, quae sit ad radium in eadem 




ratione inverse. Quibus semel inventis, problema deinceps confit 
per sequentem analysin. Per constructionem quamvis, vel utcunque 
conjecturam faciendo, cognoscatur corporis locus P proximus vero 
ejus loco /. Demissaque ad axem ellipseos ordinatim applicata P R, 
ex proportione diametrorum ellipseos, dabitur circuli circumscripti 
A Q B ordinatim applicata R Q, quae sinus est anguli A OQ ex- 
istente AO radio, quaeque ellipsin secat in P, Sufficit angulum illum 
rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam 
angulus tempori proportionaHs, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est 
tempus, quo corpus descripsit arcum Ap, ad tempus revolutionis 
unius in ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad 



I lO 



DE MOTU CORPORUM 



angulum B, ut est sinus iste anguli AOQ 2A radium, & angulus E 
ad angulum N— y^O^+D, ut est longitudo L ad longitudinem ean- 
dem L cosinu anguli AOQ diminutam, ubi angulus iste recto minor 
est, auctam ubi major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum 
B, ut est sinus anguli AOQ-\-^ ad radium, tum angulus G ad 
angulum N— ^00— E + F ut est longitudo L ad longitudinem 
eandem cosinu anguli AOQ-^-'^ diminutam ubi angulus iste recto 
minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad 
angulum B, ut est sinus anguli AOQ-\-R-\-Gsid radium ; & angu- 
lus I ad angulum N —A OQ — E — G-^-H, ut est longitudo L ad 
eandem longitudinem cosinu anguli AOQ-\-E-]-G diminutam, ubi 




angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet 
in infinitum. Denique capiatur angulus A Oq aequalis angulo A O Q 
+ E + G -h I + &c. Et ex cosinu ejus Or & ordinata />r, quse est ad 
sinum ejus qr ut ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur 
corporis locus correctus/. Si quando angulus N— ^ OQ-^-D nega- 
tivus est, debet signum -h ipsius E ubique mutari in — , & signum 
— in-h. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli 
N-A OQ^E-\-F, & N-AOQ-E-^G-^H negativi prodeunt. 
Convergit autem series infinita AOQ-^E-\-G-\-l-^ &c. quam celer- 
rime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad ter- 
minum secundum E. Et fundatur calculus in hoc theoremate, quod 
area A P S sit ut differentia inter arcum A Q & rectam ab umbilico 
vS in radium O Q perpendiculariter demissam. 

Non dissimili calculo conficitur problema in hyperbola. Sit ejus 
centrum O, vertex Ay umbilicus 6^ & asymptotos O K. Cognoscatur 



LIBER PRIMUS. 



1 1 1 




quantitas arese abscindendae tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat 

conjectura de positione rectse S P, quae aream A P S abscindat verae 

proximam. Jungatur OP, & ab y^ & P ad asymptoton agantur AI, 

P K asymptoto alteri paral- / / 

lelae, & per tabulam logarith- 

morum dabitur area AIKP, 

eique aequalis area OPA, 

quae subducta de triangulo 

OPS relinquet aream ab- 

scissam A PS. Applicando 

areae abscindendae A & ab- 

scissae A P S differentiam 

duplam 2 APS—2 A vel 

2 A — 2 A P S diA lineam 

SN, quae ab umbilico 6^ in ^ 

tangentem TP perpendicularis est, orietur longitudo chordae P Q, 

Inscribatur autem chorda illa PQ inter A 8c Py si area abscissa APS 

major sit area abscindenda A, secus ad puncti P contrarias partes : & 

punctum Q erit locus corporis accuratior. Et computatione repetita 

invenietur idem accuratior in perpetuum. 

Atque his calculis problema generaliter confit analytice. Verum 
usibus astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. 
Existentibus A O, O B, O D semiaxibus elHpseos, & L ipsius latere 
recto, ac D differentia inter semiaxem 
minorem OD & lateris recti semissem 
\ L ; quaere tum angulum Y, cujus 
sinus sit ad radium ut est rectangulum 
sub differentia illa D, & semisumma a( 
axium A O-vO D 2A quadratum axis 
majoris^^; tum angulum Z, cujus 
sinus sit ad radium ut est duplum 
rectangulum sub umbilicorum distantia 
SH & differentia illa D ad triplum quadratum semiaxis majoris A O. 
His anguHs semel inventis; locus corporis sic deinceps determinabitur. 
Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus B P descriptus 
est, seu motui medio (ut loquuntur) aequalem ; & angulum V, 
primam medii motus aequationem, ad angulum Y, aequationem maxi- 




I 12 



DE MOTU CORPORUM 



mam primam, ut est sinus dupli anguli T ad radium ; atque angulum 

X, sequationem secundam, ad angulum Z, aequationem maximam 

secundam, ut est cubus sinus anguli T ab cubum radii. Angulorum 

T, V, X vel summse T + X H- V, si angulus T recto minor est, vel 

differentiae T+X — V, si is recto ^ 

major est rectisque duobus minor, 

aequalem cape angulum BHP, motum 

medium aequatum; &l s\ H P occurrat 

ellipsi in P, acta SP abscindet aream aI 

B SP tempori proportionalem quam- 

proxime. Haec praxis satis expedita 

videtur, propterea quod angulorum 

perexiguorum V & X, in minutis 

secundis, si placet, positorum, figuras duas tresve primas invenirej 

sufficit. Sed & satis accurata est ad theoriam planetarum. Nam inj 

orbe vel Martis ipsius, cujus aequatio centri maxima est graduum 

decem, error vix superabit minutum unum secundum. Invento autem 

angulo motus medii aequati BHP, angulus veri motus BSP &j 

distantia S P m promptu sunt per methodum notissimam. 

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. . Fieri autem potestj 
ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quae ad istiusmodij 
motus spectant, pergo jam exponere. 




SECTIO VII. 

De corporum ascensu & descensu rectilineo, 

PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV. 

Postto quoct vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato 
distantice locorum a centro, spatia dejinire quce corpus recta cadendo 
datis temporibus describit, 

Cas. I. Si corpus non cadit perpendiculariter, descfibet id (pei 
corol. I. prop. xiii) sectionem aliquam conicam cujus umbilicus^ 
congruit cum centro virium. Sit sectio illa conica ARPB & um- 
bilicus ejus .S. Et primo si figura ellipsis est; super hujus axe majore! 
AB describatur semicirculus ADB, & per corpus decidens transeat 
recta DPC perpendicularis ad axem ; actisque D S, P S erit areaj 



LTBER PRIMUS. 



113 




ASD areae A S P, atque ideo etiam tempori 
proportionalis. Manente axe A B minuatur 
perpetuo latitudo ellipseos, & semper manebit 
area A S D tempori proportionalis. Minuatur 
latitudo illa in infinitum : & orbe A P B jam 
coincidente cum axe A B 8l umbilico 6^ cum 
axis termino B, descendet corpus in recta A C, 
& area A B D evadet tempori proportionalis. 
Dabitur itaque spatium A C, quod corpus de 
loco A perpendiculariter cadendo tempore dato 
describit si modo tempori proportionalis capi- 
atur area A B D, & a puncto D ad rectam A B 
demittatur perpendicularis D C. Q. E. I. 

Cas. 2. Si figura illa R P B hyperbola est, describatur ad eandem 
diametrum principalem y^ ^ hyperbola rectan- 
gula ^^Z^: & quoniam arese CSP, CBfP, 
SPfB sunt ad areas CSD, CBED, SDEB, 
singulae ad singulas, in data ratione alitudi- 
num CP, C D; & area SPfB proportionalis 
est tempori quo corpus P movebitur per 
arcum PfB; erit etiam area S D E B eidem 
tempori proportionalis. Minuatur latus rec- 
tum hyperbolae RP B m infinitum manente 
latere transverso, & coibit arcus P B cum 
recta CB & umbilicus 6" cum vertice B & rec- 
ta SD cum recta BD. Proinde area BDEB 
proportionalis erit tempori quo corpus C recto 
descensu describit lineam C B. Q. E. 1. 

Cas. 3. Et simiH argumento si figura 
RP B parabola est, & eodem vertice prin- 
cipali B describatur alia parabola B E D, 
quse semper maneat data, interea dum para- 
bola prior, in cujus perimetro corpus P 
movetur, diminuto & in nihilum redacto ejus 
latere recto, conveniat cum Hnea C B ; fiet 
segmentum parabolicum B D EB proportionale tempori quo corpus 
illud P vel C descendet ad centrum 6^ vel B. Q, E. I. 

H 





114 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA IX. 

Positisjam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis 
C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circuhcm 
describentis, in subduplicata ratione quam A C, distantia corporis 
a circidi vel hyperbolcE rectangulcs vertice ulteriore A, habet ad 
figurce semidiametrum principalem ^ A B. j^|| 

Bisecetur A B, communis utriusque figurae RPB, DEB dia- 
meter, in (9; & agatur recta P T, quse tangat figuram RPB mP, 
atque etiam secet communem illam diametrum A B (si opus est 




productam) in T; sitque 6^ F ad hanc rectam, & B Q ad hanc 
diametrum perpendicularis, atque figurse RPB latus rectum ponatur 
L. Constat per corol. ix. prop. xvi. quod corporis in Hnea RPB 
circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem 
corporis intervallo SP circa idem centrum circulum describentis 




LIBER PRIMUS. 



115 



siibduplicata ratione rectanguli l^ L x SP ad 6" F quadratum. Est au- 
tem ex conicis A C B ad C Pq ut 2 ^ (9 ad L, ideoque ^ 

aequale L. Ergo velocitates illae sunt ad invicem in subduplicata 

CPqxAOxSP j oT^ ^ o •• ^^ j 

ratione a r n ad o r qttaa. rorro ex conicis est C G' ad 

B O ut B O 3id TO, 8i composite vel divisim ut CB 2id B T. Unde 
vel dividendo vel componendo fit i^ (9 — vel + C (9 ad ^ (9 ut C 7" ad 

C P n ^ A O V. *s P 
B T id est, ^ Cad y^ 6^ ut C/^ ad BQ; indeque \^ ^B 

BQqxA CxSP ^^. . . . ^ . 

sequale est ^-pz — ^-p^ . Mmuatur jam m mnnitum iigurae 

ya C/ X Ij O 

RP B latitudo C P, sic ut punctum P coeat cum puncto C, punc- 

tumque 6^ cum puncto B, & linea S P cum linea B C, lineaque 6^ Y 

cum linea B Q ; 81 corporis jam recta descendentis in linea CB 

velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B intervallo B C circulum 

j .^ . . ^j ,. ... BQqxACxSP , ^^ 
describentis, m subduplicata ratione ipsms ^— ^^ — ^-p^ — ad o r ^ 

hoc est (neglectis sequalitatis rationibus SP 2id BC & BQq ad ^S^K^) 
in subduplicata ratione A C 2id A O sive k A B, Q. E. D. 

Corol. I. Punctis B &l S coeuntibus, fit ZCad TSutAC^AA O. 

Corol. 2. Corpus ad datam a centro distantiam in circulo quovis 
revolvens, motu suo sursum verso ascendet ad duplam suam a 
centro distantiam. 



PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA X 

Si figura B E D parabola est, dico 
quod corporis cadentis velocitas 
in loco quovis C cBqualis est velo- 
citati qua corpus centro B dimidio 
intervalli sui B C circulum uni- 
formiter describere potest. 

Nam corporis parabolam RP B 
circa centrum kS describentis voloci- 
tas in loco quovis P (per corol. vii. 




ii6 



DE MOTU CORPORUM 




prop. xvi) aequalis est velocitati 
corporis dimidio intervalli S P cir- 
culum circa idem centrum 6" unifor- 
miter describentis. Minuatur pa- 
rabolae latitudo CP in infinitum 
eo, ut arcus parabolicus PfB cum 
recta C B, centrum vS cum vertice 
B', & intervallum SP cum intervallo 
B C coincidat, & constabit propo- 
sitio. Q. E, D, 



PROPOSITIO XXXV. THEOREMA XI. 

lisdem positis, dico quod area figiircs D E S, radio iftdefinito S D 
descripta, cF-qualis sit arecs quam corpus, radio dimidium lateris 
recti figurcB D E S cEquafite, circa ce^itrtim S uniformiter gyrandoy 
eodem tempore describere potest. 

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam 
Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in 
circulo O K k circa centrum 6^ gyrando, arcum Kk describere. Eri- 
gantur perpendicula CD, cd occurrentia figurse D E S m D, d. 
Jungantur S D, S d, S K, S k & ducatur D d dM A S occurrens in T^ 
& ad eam demittatur perpendiculum 6^ Y. 

Cas. I. Jam si figura D E S circulus est vel hyperbola rectangula, 
bisecetur ejus transversa diameter ^ 6" in C>, & erit 6^ O dimidium 
lateris recti. Et quoniam est 2"Cad TD ut Cc 3id Dd, & TD ad 
TS ut CD ad SV, erit ex ^quo TCad TS ut CD x Cc ad SVxDd, 
Sed (per corol. i. prop. xxxiii) est 7"C ad TS ut A C did A O, puta 
si in coitu punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimae. 
Ergo ^ C est ad ^ 6^ seu SK ut CD xCc ad S VxDd. Porro 
corporis descendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis cir- 
culum intervallo SC circa centrum vS describentis in subduplicata 
ratione ^ C ad ^ 6^ vel SK (per prop. xxxiii). Et haec velocitas ad 
velocitatem corporis describentis circulum OKk in subduplicata 
ratione SK ad SC (per corol. vi prop. iv) & ex sequo velocitas 
prima ad ultimam, hoc est lineola C^ ad arcum A"^ in subduplicata 
ratione A C sid S C, id est in ratione ^ Cad CZ^. Quare est CDx 
Cc sequale A CxKk, & propterea ^ C ad kS^A' ut ^ CxKk ad; 



LIBER PRIMUS. 



117 



SYxDd, indeque SKxKk sequale SYxDd, & k SKxKk 
aequale k SYx D d, id ^st area K S k sequalls areae S D d, Singulis 




igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulse K Sk, 
81 S Dd, quae, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in 
infinitum, rationem obtinent aequalitatis, & propterea (per corollarium 
lemmatis iv) areae totae simul genitae sunt semper aequales. Q. E, D, 

Cas. 2. Quod si figura 
D E S parabola sit, invenie- 
tur esse ut supra CDxCc 
ad SYxDdut TCad TS, 
hoc est ut 2 ad i, ideoque t 
CD X Cc aequale esse k S Y / 
xD d. Sed corporis caden- / 
tis velocitas in C aequalis est 
velocitati qua clrculus inter- 
vallo k S C uniformiter des- 
cribi posslt (per prop. xxxiv). 
Et haec velocitas ad velocita- 
tem qua circulus radlo S K 
describi possit, hoc est, lineola 
Cc ad arcum K k (per corol. 




iiS 



DE MOTU CORPORUM 



VI. prop. iv) est in subduplicata ratione SK 2A\ SC, id est, in ratione 
SK ad T CZ?. Ouare est ^ SKy.Kk aequale \ CD x Cc, ideoque 
sequale I SYy.Dd, hoc est, area KSk aequalis areae SDd. ut 
supra. Q, E, D, 



PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XXV. 

Corporis de loco dato A cadentis determittare tempora a 

descensiis, 

Super diametro A S, distantia corporis a centro sub 
initio, describe semicirculum ADS, ut & huic aequalem 
semicirculum O K H circa centrum .S. De corporis 
loco quov^s C erige ordinatim appHcatam C D, 
Junge SD, & areae A S D aequalem constitue sectorem 
OSK, Patet per prop. xxxv quod corpus cadendo 
describet spatium A C eodem tempore quo corpus 
aliud, uniformiter circa centrum 6" g)'rando, describere 
potest arcum O K, Q, E. F. 




PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XXVI. 

Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora 

ascensus vel descensus. 

Exeat corpus de loco dato G secundum lineam G S cum velocitate 




7K 



quacunque. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in 




LIBER PRIMUS. I i ^ 

clrculo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum 6^ G circa cen- 
trum vS* revolvi posset, cape G A 2A\ A S. Si ratio illa est numeri 
binarii ad unitatem, punctum A infinite distat, quo casu parabola 
vertice S, axe 6" G, latere quovis recto describenda est. Patet hoc 
per prop. xxxiv. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad i , 
priore casu circulus, posteriore hyperbola rectangula super diametro 
S A describi debet. Patet per prop. xxxiii. Tum centro 6^, inter- 
vallo sequante dimidium lateris recti, describatur circulus HkK,8i 
ad corporis descendentis vel ascendentis locum G^ & locum aHum 
quemvis C, erigantur perpendicula G ly C D occurrentia conicae 
sectioni vel circulo in /ac D, Dein junctis S I, S D, fiant segmen- 
tis SEIS, SEDS sectores HSK, HSk aequales, & per prop. xxxv 
corpus G describet spatium G C eodem tempore quo corpus K de- 
scribere potest arcum K k, Q, E, F, 

PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XII. 

Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seii distantice 
locortim a centro, dico quod cadentium temporay velocitates & spatia 
descripta sunt arcubus, arcuumque sinibus rectis & sinibtcs versis 
respective proportionalia. 

Cadat corpus de loco quovis A secundum 
rectam A S ; &. centro virium 6^ intervallo 
A Sy describatur circuli quadrans A E, sitque 
CD sinus rectus arcus cujusvis A D ; & cor- 
pus A, tempore A D, cadendo describit spa- 
tium A C, inque loco C acquiret velocitatem 
CD. 

Demonstratur eodem modo ex propositione 
X, quo propositio xxxii ex propositione xi demonstrata fijit. 

Corol. i. Hinc sequalia sunt tempora, quibus corpus unum de loco 
A cadendo pervenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo de- 
scribit arcum quadrantalem A D E. 

Corol. 2. Proinde aequalia sunt tempora omnia quibus corpora de 
locis quibusvis ad usque centrum cadunt. Nam revolventium tem- 
pora omnia periodica (per corol. iii. prop. iv) sequantur. 



\ 



I20 



DE MOTU CORFORUM 



PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVII. 

Posita ctcjuscimque generis vi centripeta, & concessis figurarum 
curvilinearum quadraticris, requiritur corporis recta ascendentis 
vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus 
ad locum quemvis perveniet : Et contra. 

De loco quovls A in recta A D E C cadat corpus E, deque loco 
ejus E erlgatur semper perpendlcularls E G, vi centrlpetae in loco 
illo ad centrum C tendenti pro- 
portlonalls : Sltque BFG linea 
curva quam punctum G perpetuo 
tanglt. Colncldat autem E G ipso 
motus inltio cum perpendlculari 
A B, & erlt corporls velocltas 
in loco quovls E ut recta, quae 
potest aream curvillneam ABGE, 
Q. E. I. 

\n E G caplatur E M rectse, 
quae potest aream ABGE, reclproce 
proportlonalls, & sit V L M llnea 
curva, quam punctum M perpetuo 
tanglt, & cujus asymptotos est recta 
AB producta; & erit tempus, quo 
corpus cadendo describlt llneam 
AE, ut area curvllinea ABTVME, 
Q,E,I. 

Etenim in recta A E caplatur 
linea quam mlnlma DE datae longi- 
tudinls, sltque D L F locus llneae 
EMG, ubl corpus versabatur in D; & si ea slt vis centrlpeta, ut recta, 
quae potest aream A B G E, slt ut descendentis velocltas : erlt area 
ipsa In dupllcata ratlone velocltatis, id est, si pro velocltatlbus in D & 
E, scribantur V & V + I, erlt area A B FD ut V V, & area A BGE 
utVV + 2VI-hII, & dlvlsim area D F G E ut 2 Y 1-^-1 1, ideoque 




LIBER PRIMUS. I2i 

IJp LrH ^^ 2 + ^ .^ ^g^^ gj primae quantitatum nascentium 

2 V I . 

rationes sumantur, longitudo D F wt quantitas , ideoque etiam 

I X V 

ut quantitatis hujus dimidium -^y-^' Est autem tempus, quo corpus 

cadendo describit lineolam D E, ut lineola illa directe & velocitas 
V inverse, estque vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus 

IxV 

inverse, ideoque si primae nascentmm rationes sumantur, ut ^ ^ , 

hoc est, ut longitudo D F. Ergo vis ipsi D F vd E G proportionalis 
facit ut corpus ea cum velocitate descendat, quae sit ut recta quae 
potest aream A B G E, Q. E. D. 

Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lineola DE 
describatur, sit ut velocitas inverse, ideoque inverse ut linea recta quae 
potest aream ABFD; sitque D L, atque ideo area nascens 
D L M E, ut eadem Hnea recta inverse : erit tempus ut area DLME, 
& summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est 
(per corol. lem. iv) tempus totum quo linea A E describitur ut area 
tota A T VME. Q. E. D. 

Corol. I. Si P sit locus, de quo corpus cadere debet, ut urgente 
aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) 
velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati, quam corpus aliud 
vi quacunque cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari 
D F capiatur D R, quae sit ad D F ut vis illa uniformis ad vim 
alteram in loco D, & compleatur rectangulum PD RQ, eique aequalis 
abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum 
cecidit. Namque completo rectangulo DRSE, cum sit area 
A BFD ad aream DFGE ut V V ad 2 V I, ideoque ut J V ad I, 
id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis 
vi inaequabili cadentis ; & simiHter area P Q RD ad aream D RS E 
ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis 
uniformi vi cadentis ; sintque incrementa illa (ob aequalitatem tem- 
porum nascentium) ut vires generatrices, id est, ut ordinatim applicatae 
D F, D R, ideoque ut areae nascentes D FGE, D R SE ;Grunt ex 
aequo areae totae A B FD, P Q RD ad invicem ut semisses totarum 
velocitatum, & propterea, ob aequalitatem velocitatum, aequantur. 



122 



DE MOTU CGRPORUM 



Corol. 2. Unde si corpus quodllbet de loco quocunque D data 

cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis 

centripetae, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo 

ordinatam e g, 81 capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco 

D ut est recta, quse potest rectan- 

gulum P Q R D area curvilinea 

D Fge vel auctum, si locus e est 

loco D inferior, vel diminutum, si 

is superior est, ad rectam quae po- 

test rectangulum solum P Q R D. 
Corol. 3. Tempus quoque inno- 

tescet erigendo ordinatam e m reci- 

proce proportionalem lateri quadra- 

to ex PQRD^vd-DFge, & 

capiendo tempus quo corpus de- 

scripsit lineam Z> ^ ad tempus quo 

corpus alterum vi uniformi cecidit 

3, P & cadendo pervenit ad D, ut 

area curvilinea D L me ad rectan- 

gulum 2 P D X D L. Namque 

tempus quo corpus vi uniformi des- 

cendens descripsit lineam P D est 

ad tempus quo corpus idem descrip- 

sit lineam PE in subduplicata 

ratione P D 2id P E/\di est (lineola 

Z^^ jamjam nascente) in ratione P D 2A P D-v\ D E seu 2 PZ^ ad 

2 PD-\-DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit 

lineolam D E ut 2 P D 2id D E, ideoque ut rectangulum 2 P Dx 

DL ad aream DLME; estque tempus quo corpus utrumque 

descripsit lineolam D E 2id tempus quo corpus alterum inaequabili 

motu descripsit lineam D e, ut area DLME ad aream DLme, & 

ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2 PD x 

Z^ Z ad aream D Lme, 




LIBER PRIMUS. 



123 



SECTIO VIII. 

De inventione orbium in quibus corpora viribus quibusaciique centri- 

petis agitata revolvu7itur. 



PROPOSITIO XL. THEOREMA XIII. 

Si corpuSy cogente vi quacunque coitripeta^ ^noveatur utcunque, & 
corpus alitcd recta ascendat vel descendat, sintque eorum velocitates in 
aliquo cEqualium altitudinum casu cequales, velocitates eorum in 
omnibus cequalibus altitudinibus erunt cequales, 

Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & 
moveatur corpus aliud a K in linea curva V I K k. Centro C inter- 
vallis quibusvis describantur circuli concentrici D I, E K rectae 
A Cin D &: Ey curvaeque V I K m I 8>i K occurren- 
tes. Jungatur I C occurrens ipsi A'^ in iV; & in 
I K demittatur perpendiculum N T ; sitque circum- 
ferentiarum circulorum intervallum D E vel / N quam 
minimum, & habeant corpora m D 8l I velocitates 
sequales. Quoniam distantiae CD, CI sequantur, erunt 
vires centripetae '\vi D &l I aequales. Exponantur hae 
vires per aequales Hneolas D E, I N ; & si vis una 
I N (per legum corol. 2) resolvatur in duas N T 8l 
I T, vis N T, agendo secundum lineam N T corporis 
cursui / T K perpendicularem, nil mutabit velocitatem 
corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo cor- 
pus a cursu rectilineo, facietque ipsum de orbis tan- 
gente perpetuo deflectere, inque via curvilinea / T K k 
progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota 
consumetur : vis autem altera / T, secundum corporis 
cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam mini- 
mo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde 
corporum m D 81 I accelerationes aequaHbus temporibus factae (si 




124 



DE MOTV CORFORUM 




sumantur linearum nascentium D Ey I N, I K, I T, 
iV^ 7" rationes primse) sunt ut linea D E, IT: tem- 
poribus autem inaequalibus ut lineae illae & tempora 
conjunctim. Tempora autem quibus D E &. I K 
describuntur, ob sequalitatem velocitatum sunt ut 
viae descriptae D E & I K, ideoque acceleratio- 
nes in cursu corporum per lineas D E & I K, sunt 
ut DE & / T, DE & /K conjunctim, id est ut 
DE qtmd, & /Tx/K rectangulum. Sed rectangtchcm 
/ Tx/K sequale est /N quadrato, hoc est, sequale 
D E quad. & propterea accelerationes in transitu cor- 
porum a.D&/2idE&K aequales generantur. 
^quales igitur sunt corporum velocitates in E & K : 
& eodem argumento semper reperientur aequales in 
subsequentibus aequalibus distantiis. Q. E. D. 

Sed & eodem argumento corpora aequivelocia & aequaliter a cen- 
tro distantia, in ascensu ad aequales distantias aequaliter retardabun- 
tur. Q. E. D. 

Corol. I. Hinc si corpus vel oscilletur pendens a filo, vel impe- 
dimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea cur- 
va moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintque 
velocitates eorum in eadem quacunque altitudine aequales : erunt 
velocitates eorum in aliis quibuscunque aequalibus altitudinibus 
aequales. Namque corporis penduli filo vel impedimento vasis abso- 
lute lubrici idem praestatur quod vi transversa N T. Corpus eo 
non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rec- 
tilineo discedere. 

Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, 
ad quam corpus vel oscillans vel in trajectoria quacunque revolvens, 
deque quovis trajectoriae puncto, ea quam ibi habet velocitate sur- 
sum projectum ascendere possit ; sitque quantitas A distantia cor- 
poris a centro in alio quovis orbitae puncto, & vis centripeta sem- 
per sit ut ipsius A dignitas quaelibet A^-^ cujus index n—\ est 
numerus quilibet n u nitate di minutus ; velocitas corporis in omni 
altitudine A erit ut J P«— A«, atque ideo datur. Namque velocitas 
recta ascendentis ac descendentis (per prop. xxxix) est in hac ipsa 
ratione. 



LIBER PRIMUS. 



125 



( 



PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXVIII. 

Posita cujusctmqMe generis vi centripeta & concessis figurarum curvi' 
linearum qicadraticris, requirtmttcr ticm ttajectorice in quibus 
corpora movebtcnticry tum tempora motutcm in trajectoriis invefttis. 

Tendat vis quaelibet ad centrum C & invenienda sit trajectoria 
V I K k. Detur circulus V R centro C intervallo quovis C V de- 
scriptus, centroque eodem describantur alii quivis circuli I D, K E 
trajectoriam secantes in / & A' rectamque C V m D &l E. Age 
tum rectam C N I X secantem circulos K E, V R in iV & ^, tum 
rectam CKY occurrentem circulo VR in Y. Sint autem puncta 
I &L K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I 81 K 

Ai IB 




ad k; sitque punctum A locus ille de quo corpus aliud cadere 
debet, ut in loco D velocitatem acquirat sequalem velocitati corporis 
prioris in /. Et stantibus qua^ in propositione xxxix, lineola I K, 
dato tempore quam minimo descripta, erit ut velocitas, atque ideo 
ut recta quse potest aream AB F D, & triangulum I CK tempori 
proportionale dabitur, ideoque K N erit reciproce ut altitudo /C, 
id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo / C nominetur A, ut 

Q. Hanc quantitatem — nominemus Z, & ponamus eam esse mag- 



126 



DE MOTU CORPORUM 



nitudinem ipsius Q ut sit in aliquo casu J A B FD ad Z ut est I K 
ad KN, & erit in omni casu J A BFD ad Z ut I K ^A K N, & 




ABFD ad Z Z ut IKq2.A. K N q, & divisim ^ ^T^Z^-ZZ ad ZZ 
vX I N quad. 2A K N quad, ideoque JA B FD — ZZ ad Z seu 

O O y.IN 
^utlNsidKN, & propterea AxKN sequale — ^ 

A . jABFD-ZZ 

Unde cum YX x XC sit ad A x KN ut CXq ad A A, erit rectangu- 

lum XYy.XC sequale ^^ — ^^^ - . Isfitur si in perpen- 

AKJABFD-ZZ 

Q 



diculo DF capiantur semper D d, Dc ipsis 
Q X CX quad. 



2JABFD-ZZ 
sequales respective, & describantur curvse 



2 AA JABFD-ZZ 
lineae ad, ac, quas puncta b, c perpetuo tangunt ; deque puncto V 
ad lineam A C erigatur perpendiculum V a abscindens areas curvi- 
lineas V D b a, VDca, & erigantur etiam ordinatae F 2, Ex: quo- 
niam rectangulum D bxIN seu DbzE aequale est dimidio rectan- 
guli Ky.KN seu triangulo I CK; & rectangulum DcylN seu 
DcxE sequale est dimidio rectanguli YXyX C seu triangulo 
X C Y ; hoc est, quoniam arearum V D b a, VI C sequales semper 



LIBER PRIMVS. 



127 



sunt nascentes particulae D b z E, I C K,%i arearum VDca, VCX 
sequales semper sunt nascentes particulae DcxE, X C Y, erit area 
genita V Dba ^qualis arese genitae V I C, ideoque tempori propor- 
tionalis, & area genita V D c a sequalis sectori genito V C X. Dato 
igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, dabitur 
area ipsi proportionalis V D ba^ 81 inde dabitur corporis altitudo 
C D vel C I ; & area V D c a, eique aequalis sector V C X una cum 
ejus angulo V C I. Datis autem angulo V C I & altitudine CI datur 
locus /, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I. 

Corol. I. Hinc maximae minimaeque corporum altitudines, id est, 
apsides trajectoriarum expedite inveniri possunt. Sunt enim apsides 
puncta illa in quibus recta / C per centrum ducta incidit perpendicu- 
lariter in trajectoriam V I K : id quod fit ubi rectae I K & N K 
sequantur, ideoque ubi area A B F D aequalis est Z Z. 

Corol. 2. Sed & angulus K I N, in quo trajectoria alicubi secat 
lineam illam / C ex data corporis altitudine / C expedite invenitur ; 
nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut K N ad I K, id est, ut 
Z ad latus quadratum areae A B F D. 

Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio 
quaelibet conica V RS, & a quovis ejus puncto R agatur tangens 
R T occurrens axi infinitae pro- 
ducto C V in puncto T; dein 
juncta CR ducatur recta C P, 
quae aequalis sit abscissae C T 
angulumque VCP sectori VCR 
proportionalem constituat ; ten- 
dat autem ad centrum C vis 
centripeta cubo distantiae loco- 
rum a centro reciproce propor- 
tionalis, & exeat corpus de loco 
V justa cum velocitate secun- 
dum lineam rectae C V perpen- ^ 

dicularem : progredietur corpus illud in trajectoria VP Q quam 
punctum P perpetuo tangit ; ideoque si conica sectio VRS hyperbola 
sit, descendet idem ad centrum : sin ea ellipsis sit, ascendet illud 
perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacunque cum 
velocitate exeat de loco F", & perinde ut incoeperit vel oblique 




128 



DE MOTU CORPORUM 



descendere ad centrum, vel ab eo 

oblique ascendere, figura V R S 

vel hyperbola sit vel ellipsis, 

inveniri potest trajectoria augen- 

do vel minuendo angulum VCP \ 

in data aliqua ratione. Sed &, 

vi centripeta in centrifugam versa, 

ascendet corpus oblique in tra- 

jectoria V P Q, quae invenitur 

capiendo angulum V C P sectori 

elliptico V R C proportionalem, 

& longitudinem C P longitudini 

C T aequalem ut supra. Consequuntur haec omnia ex propositione 

praecedente, per curvae cujusdam quadraturam, cujus inventionem, ut 

satis facilem, brevitatis gratia missam facio. 




PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIX. 

Data lege vis centripetcs, requiritur motus corporis de loco dato^ 
data cum velocitate, secundum datam rectam egressi. 

Stantibus quae in tribus propositionibus praecedentibus : exeat 




corpus de loco / secundum lineolam I K, ea cum velocitate quam 



LIBER PRIMUS. 129 

corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco P cadendo 
acquirere posset in D : sitque haec vis uniformis ad vim, qua corpus 
primum urgetur in I.wX. D R 2A D F. Pergat autem corpus versus 
k ; centroque C & intervallo Ck describatur circulus ke occurrens 
rectae P D m e, 81 erigantur curvarum B F g, abv, acw ordinatim 
applicatae eg, ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, dataque 
lege vis centripetae qua corpus primum agitatur, datur curva linea 
BFg, per constructionem problematis xxvii, & ejus corol. i. 
Deinde ex dato angulo C I K datur proportio nascentium I K, K N, 
8c inde, per constructionem prob. xxviii, datur quantitas Q, una 
cum curvis lineis adv, acw: ideoque, completo tempore quovis 
Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel C k, tum area Dcwe, 
eique aequalis sector XCy, angulusque I C k, & locus k in quo 
corpus tunc versabitur. Q. E. I. 

Supponimus autem in his propositionibus vim centripetam in 
recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunque, quam 
quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse 
undique eandem. Atque hactenus motum corporum in orbibus 
immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in orbi- 
bus, qui circa centrum virium revolvuntur, adjiciamus pauca. 

SECTIQ IX. 

De motu corporum, in orbibus mobilibus, deque motu apsidum. 

PROPOSITIO XLIII. PROBLEMA XXX. 

Efficiendum est ut corpus in trajectoria quacunque circa centrum 
virium revolvente perinde 7noveri possit, atque corpus aliud in 
eadem trajectoria quiescente, 

In orbe V P K positione dato revolvatur corpus P pergendo a V 
versus K. A centro C agatur semper C/, quae sit ipsi C P aequa- 
lis, angulumque V Cp angulo V C P proportionalem constituat ; & 
area, quam Hnea Cp describit, erit ad aream V C P, quam linea C P 
simul describit, ut velocitas lineae describentis Cp ad velocitatem 
lineae describentis C P ; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCPy 
ideoque in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum 

I 



I30 



DE MOTV CORPORUM 



U.,' 



area tempori proportlonalis sit quam linea Cp in plano immobili 

describit, manifestum est quod corpus, cogente justae quantitatis vi 

centripeta, revolvi possit una cum punc- 

to p in curva illa linea quam punctum 

idem / ratione jam exposita describit 

in plano immobili. Fiat angulus VCtt 

angulo P Cp, & linea Cu linese C Vy 

atque figura tcCp figurae VCP aequa- 

lis, & corpus in p semper existens 

movebitur in perimetro figurse revol- 

ventis ti Cp, eodemque tempore de- 

scribet arcum ejus 2cp quo corpus aliud 

P arcum ipsi similem & sequalem VP 

in figura quiescente V P K describere " :"" 

potest. Quaeratur igitur, per corollarium quintum propositionis vi, 
vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam 
punctum p describit in plano immobili, & solvetur problema. Q.E.F, 



/'X 




PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XIV. 

Differentia virium, quibtcs corpus iii orbe qiciesceiite, & corpus aliicd 
i7i eodem orbe revolvente ceqtcaliter moveri possmit, est in triplicata 
ratione commimis altiticdinis inverse. 

Partibus orbis quiescentis V P, Pjfif sunto similes & aequales orbis 
revolventis partes up, pk ; & punctorum P, K distantia intelligatur 
esse quam minima. A puncto k in rectam / C demitte perpendicu- 
lum k r, idemque produc ad m, ut sitmrdiAkr ut angulus V Cp ad 
angulum V C P. Quoniam corporum altitudines P C & p C, K C^ 
& kC semper aequantur, manifestum est quod linearum P C & p C 
incrementa vel decrementa semper sint aequalia, ideoque si corporum 
in locis P & p existentium distinguantur motus singuli (per legum 
corol. 2) in binos, quorum hi versus centrum, sive secundum 
lineas P C, p C determinentur, & alteri prioribus transversi sint, 
& secundum lineas ipsis P C, p C perpendiculares directionem ha- 
beant; motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus 
corporis/ erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis 



LIBER PRIMUS. 



131 



llnese / C ad motum angularem lineae P C, id est, ut angulus V Cp 
ad angulum V C P. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo 
utroque pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum motu 
sequaliter movebitur a / versus C, ideoque completo illo tempore 
reperietur alicubi in linea m k r, quse per punctum k in lineam p C 
perpendicularis est ; & motu transverso acquiret distantlam a linea 
p C, quae sit ad dlstantlam quam corpus alterum P acqulrit a llnea 
P C, ut est motus transversus corporls p ad motum transversum 
corporls alterius P. Quare cum kr sequalls sit distantlae quam corpus 
P acquirit a linea PC, sitque wr ad kr m\, angulus V Cp ad angulum 




V C P, hoc est, ut motus transversus corporis / ad motum transver- 
sum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore 
reperietur in loco vz. Haec ita se habebunt ubl corpora p Sl P 
aequaliter secundum lineas p C &. P C moventur, ideoque aequalibus 
viribus secundum lineas illas urgentur. Caplatur autem angulus 
pCn ad anguIum/C^ ut est angulus V Cp ad angulum VCP, 
sltque n C aequalls k C, & corpus p completo illo tempore revera 
reperletur in n ; ideoque vi majore urgetur quam corpus P, si modo 



132 



DE MOTU CORPORUM 



angulus n Cp angulo k Cp major est, id est si orbis upk vel movetur 
in consequentia, vel movetur in antecedentia majore celeritate quam 
sit dupla ejus qua linea CP in consequentia fertur ; & vi minore 
si orbis tardius movetur in antecedentia. Estque virium differentia 
ut locorum intervallum m n, per quod corpus illud / ipsius actione, 
dato illo temporis spatio, transferri debet. Centro C intervallo 
Cfi vel Ck describi intelligatur circulus secans lineas mr, mn 




P\ — \i 



productas in 5 & /, & erit rectangulum mny.mt sequale rectangulo 



mkxmsy ideoque m n sequale 



mkx ms 
mt 



Cum autem triangula/ Ck 



pCn dato tempore dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumque 
differentia mk 8l summa m s reciproce ut altitudo p C, ideoque 
rectangulum mkxms ^^t reciproce ut quadratum altitudinis/ C Est 
8l mt directe ut t ^;^ /, id est, ut altitudo / C Hse sunt primae 

rationes linearum nascentium ; & hinc fit ^ — ^^^j^^ jj ^^^ Hneola nas- 

mt 
cens mn, eique proportionalis virium differentia reciproce ut cubus 
altitudinis/C Q.E.D. 



k 



LIBER FRIMUS. 133 

Corol. I. Hinc dlfferentla vlrlum In locis P 81 p, v^\ K 81 k, est 
ad vlm qua corpus motu circularl revolvi possit ab 7? ad A' eodem 
tempore quo corpus P in orbe immobili describlt arcum P K, ut 
lineola nascens m 71 ad sinum versum arcus nascentis R K, id est ut 

VI. VII. ad 3^ vel ut mkxms ad rk quadratum ; hoc est, si 

mt 2 kC 

capiantur datae quantitates F, G in ea ratlone ad invicem quam habet 
angulus V C P ad angulum V Cp, ut G G — F F ad F F. Et prop- 
terea, si centro C intervallo quovis C P vel Cp describatur sector 
clrcularis aequalis areae toti V P C, quam corpus P tempore quovis 
in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripslt : 
dlfTferentla vlrlum, qulbus corpus P in orbe immoblH & corpus/ in 
orbe moblH revolvuntur, erit ad vim centripetam, qua corpus ali- 
quod, radlo ad centrum ducto, sectorem illum eodem tempore, quo 
descrlpta slt area V P C, uniformiter describere potuisset, ut G G 
— F F ad F F. Namque sector ille & area/ C k sunt ad invicem ut 
tempora quibus describuntur. 

Corol. 2. Si orbis VPK ellipsis sit umbilicum habens C & apsidem 

summam V ; eique similis & aequaHs ponatur elHpsis upk, ita ut slt 

semper/ C aequaHs P C, 8z. angulus V Cp sit ad angulum V C P in. 

data ratione G ad F ; pro altitudine autem P C wApC scribatur A, 

& pro eHIpseos latere recto ponatur 2 R : erit vis, qua corpus in el- 

,..,.,. , . FF RGG-RFF ^ 

hpsi mobih revolvi potest, ut -r-r H r 7 & contra. bxpo- 

natur enim vis qua corpus revolvatur in immota elHpsi per quanti- 

F F F F . 

tatem , & vis in V erit . Vis autem qua corpus m 

AA CVquad. ^ 

circulo ad distantiam C K ea cum velocitate revolvi posset quam 

corpus in eHipsI revolvens habet in F, est ad vim qua corpus in 

ehipsi revolvens urgetur in apside F, ut dimidium lateris recti eHip- 

RFF 
seos ad circuH semidiametrum C V, Ideoque valet -7^77 — 7- : & vis, 

•n /^ /-^ x> pp 

quae sit ad hanc ut GG — FF ad FF, valet — 77-^7 — ; — : estque haec 

C V cub. 

vis (per hujus corol. 1) dlfferentla virium in V qulbus corpus P in 

eHIpsi Immota V P K, & corpus / in eHIpsi moblH upk revolvuntur : 

Unde cum (per hanc prop.) dlfferentla iha in aHa quavis altitudine A 



j ^ . DE MOTU CORPORUM 

sit ad seipsam in altitudine C F ut ad -^y^^ eadem dif- 

. , . ,. . 1 ,. RGG-RFF 
ferentia m omni altitudme A valebit 



A cud. 



leitur ad vim 



FF 
AA 



, qua corpus revolvi potest in ellipsi immobili V P K, addatur 

RGG-RFF o • .. FF RGG-RFF 

^^^^^^^^ ^^^V^^^T— ' ^ componetur vis tota _ 4._^_^ 

qua corpus in ellipsi mobili tcpk iisdem temporibus revolvi possit. 
- Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis 




V P K ellipsis sit centrum habens in virium centro C ; eique similis, 
sequalis & concentrica ponatur ellipsis mobilis tcpk; sitque 2 R 
ellipseos hujus latus rectum principale, & 2 T latus transversum sive 
axis major, atque angulus VCp semper sit ad angulum VCP 
ut G ad F ; vires, quibus corpora in ellipsi immobili & mobili 

F FA ^ FFA 

temporibus sequaHbus revolvi possunt, erunt ut ^^ y & ^t; 7" + 

RGG-RFF 



LIBER PRIMUS. 



135 



CoroL 4. Et unlversaliter, si corporls altitudo maxima C V nomi- 
netur T, & radlus curvaturse quam orbls V P K habet In V, id est 
radlus clrcull aequallter curvl, nomlnetur R, & vls centrlpeta, qua 
corpus In trajectoria quacunque Immoblli V P K revolvl potest in 

V P P 

loco F, dlcatur , atque allls in locis P Indefinlte dicatur X, 

altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli 

V Cp ad angulum V CP : erit vls centrlpeta, qua corpus idem eos- 

dem motus in eadem trajectoria tcpk clrcularlter mota temporibus 

.. ' VRGG-VRFF 
iisdem peragere potest ut summa virium X H -z 7 • 

CoroL 5. Dato igitur motu corporis in orbe quocunque immobili, 
augeri vel minui potest ejus motus angularls clrca centrum vlrium 
in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus 
corpora novis viribus centripetis gyrentur. 

CoroL 6. Igitur si ad rectam C Fposi- 
tione datam erigatur perpendiculum V P 
longitudlnis indeterminatae, jungaturque 
C P 81 ipsi aequalis agatur C/, constituens 
angulum V Cp, qui sit ad angulum VC P 
in data ratione ; vis qua corpus gyrari po- 
test in curva illa Vp k, quam punctum p 
perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus 
altitudinis Cp, Nam corpus P per vim 
inertlse, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta 
VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudlnis C P vel Cp 
reclproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur 
motus ille rectilineus in lineam curvam Vp k. Est autem hsec 
curva Vpk eadem cum curva illa VPQ in corol. 3 prop. xli 
inventa, in qua ibi dixlmus corpora hujusmodi viribus attracta 
oblique ascendere. 




\ 



136 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XLV. PROBLEMA XXXI 



Orbium qui suni ciradis maxime finitimi requiruntur motus 

apsidum. 

Problema solvitur arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus 

in ellipsi mobili (ut in propositionis superioris corol. 2 vel 3) 

revolvens describit in plano immobili, accedat ad formam orbis 

cujus apsides requiruntur, & quaerendo apsides orbis quem corpus 

illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent 

formam, si vires centripetse quibus describuntur, inter se collatse, in 

sequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V 

apsis summa, & scribantur T pro altitudine maxima C V, K pro 

altitudine quavis alia C P vel Cp, & X pro altitudinum differentia 

C V—CP; & vis, qua corpus in ellipsi circa umbilicum suum C (ut 

F F 
in corol. 2) revolvente movetur, quaeque in corol. 2 erat ut t— t- + 

RGG-RFF ., , FFA-hRGG-RFF , . , ^ ^ 

, id est ut , substituendo T — X 

A cud. A cuo, 

. . RGG-RFF + TFF-FFX p , , . .,.^ 

pro A, erit ut . Keducenda similiter est 

A C2^d. 

vis alia quaevis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cud. 

8i numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi 

sunt analogi. Res exempHs patebit. 

Exempl. I. Ponamus vim centripetam uniformem esse, ideo- 

A Cub. . / ., , ^ xr A • 

que ut -T 7 , sive (scribendo 1 — X pro A m numeratore) ut 

r^ CUO. 

T^^^.-3TTX + 3TXX- X^^^. ^ ,, 

A cub ' collatis numeratorum terminis 

correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, 

fietRGG-RFF + TFFadT^^/5.ut-FFXad-3TTX-|-3TXX 
-X cub. sive ut-FF ad-^TT-f 3TX-X X. Jam cum orbis 
ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo ; 
& ob factas R, T sequales, atque X in infinitum diminutam, rationes 
ultimae erunt RGG ad T cub. ut — FF ad — 3 TT, seu GG ad 
TT ut FF ad 3 TT, & vicissim GG ad FF ut TT ad 3TT, idest, 



LIBER PRIMUS. 137 

ut I ad 3 ; Ideoque G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP, 
ut I ad .^3 . Ergo cum corpus in ellipsi immobili, ab apside summa 
ad apsidem imam descendendo conficiat angulum V CP (ut ita 
dicam) graduum 180; corpus aliud in ellipsi mobili, atque ideo in 
orbe immobili de quo agimus, ab apside summa ad apsidem imam 

descendendo conficiet angulum V Cp graduum —j- : id ideo ob 

similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centrl- 
peta describit, & orbis illius quem corpus in ellipsi revolvente 
gyros peragens describlt in plano quiescente. Per superiorem 
terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter 
sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. 
Corpus igitur uniforml cum vl centripeta in orbe propemodum 
circulari revolvens, inter apsidem summam & apsldem Imam con- 

ficlet semper angulum —j- graduum, seu 103 gr, 55 m. 23 sec. ad 

centrum ; perveniens ab apslde summa ad apsidem Imam ubl semel 
confeclt hunc angulum, & Inde ad apsldem summam rediens ubi 
Iterum confeclt eundem angulum ; & slc delnceps In infinitum. 

Exempl. 2. Ponamus vim centrlpetam esse ut altltudlnls A dignl- 

A« 

tas quaellbet A"""^ seu t- : ubi /^ — 3 & « slgnlficant dignitatum indi- 

ces quoscunque Integros vel fractos, ratlonales vel Irrationales, af- 
firmativos vel negativos. Numerator ille A" seu T--X|'* In serlem 
indetermlnatam per methodum nostram serierum convergentlum 

reducta, evadit T"-;^ X T«-^-|-^-^^^ X X T«-^ &c. Et collatis 

' 2 

hujus terminis cum termlnls numeratoris alterlus RGG — R F F -|- TFF 

-FFX,fitRGG-RFF + TFFadT«ut-FFad-;^T«-^-h^^^^ 

2 

X T"-' &c. Et sumendo rationes ultlmas ubi orbes ad formam cir- 

cularem accedunt, fit RGG ad T" ut — FF ad — ^^T"-', seu GG 

ad T"-^ ut F F ad ;^ T''-^ & vlclsslm G G ad F F ut T""^ ad n T—^ 

id est ut I ad ;^; Ideoque G ad F, id est angulus V Cp ad angulum 

VCP, ut I ad J n . Quare cum angulus VCP, In descensu cor- 

poris ab apside summa ad apsidem imam In elHpsI confectus, slt 

graduum 180; conficietur angulus V Cp, in descensu corporis ab 



38 



DE MOTU CORPORUM 



apside summa ad apsldem imam, in orbe propemodum circulari 
quem corpus quodvis vi centripeta dlgnltati A"~3 proportionali de- 

scrlbit, sequalls angulo graduum —j- ; & hoc angulo repetlto cor- 

pus redlblt ab apside ima ad apsidem summam, & slc deinceps in 
infinitum. Ut si vis centrlpeta slt ut dlstantla corporis a centro, id 

A* . 
est, ut A seu — , erit 7i aequalls 4 & >y ;/ sequalls 2 ; ideoque angu- 

lus inter apsidem summam & apsidem imam sequalls gr, seu 

90 gr, Completa igitur quarta parte revolutlonls unlus corpus per- 
veniet ad apsidem imam, & completa alia quarta parte ad apsidem 
summam, & sic deinceps per vices in infinltum. Id quod etlam 
ex proposltione x manlfestum est. Nam corpus urgente hac vi 
centrlpeta revolvetur in elHpsi immoblH, cujus centrum est in centro 
vlrium. Quod si vls centripeta sit reciproce ut distantia, id est 

I A"" . 

directe ut -— seu — - , erit n sequalis 2, ideoque inter apsldem sum- 
/\. /\ 

mam & Imam angulus erlt graduum —r- seu 12^ gr. 16 77Z, 45 sec. & 

propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetltlone, 
vicibus alternls ab apside summa ad imam & ab ima ad summam 
perveniet in seternum. Porro si vis centrlpeta slt reclproce ut 
latus quadrato-quadratum undeclmse dignltatls altitudinis, id est 

reciproce ut A * , ideoque directe ut -r-Y\ seu ut -7— erit 7t aequahs 

A 4 A -^ 

T, & — /- gr. aequaUs 360 gr. & propterea corpus de apside summa 

discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad apsidem 
imam ubi complevit revolutlonem integram, dein perpetuo ascensu 
complendo aham revolutionem integram, redibit ad apsidem sum- 
mam : & sic per vices in aeternum. 

Exempl. 3. Assumentes m & n pro qulbusvls indiclbus dignltatum 
altitudinis, 81 d, c pro numerls quibusvis datis, ponamus vim cen- 



tripetam esse ut ^^'"^^^\ id est, ut .^J^ T-Xr + . in T-X|- 



A cnd. A cud. 



LIBER PRIMUS. 139 

seu (per eandem methodum nostram serierum convergentium) ut 



A cub. 
& collatis numeratorum terminis, fiet RGG — RFF 4- TFF 

Tft 7ft - fft 

ad ^T"^ + cT«, ut-FF ^.d.-mbT^^-^-nci:''-' ^- ^ X T''^-^' 

2 

IV 7t~tZ 

+ ^: X T"-^ &c. Et sumendo rationes ultimas quse prodeunt 

2 

ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit G G ad bT"'-^ ■\-cT''~^, 

ut FF ad mbT'''-'^nci:^-\ & vicissim GG ad F F ut ^ T'«-^4-^T«-' 

ad m b T'*-' -^-n c T'*-'. Quse proportio, exponendo altitudinem 

maximam C V seu T arithmetice per unitatem, fit G G ad F F ut 

b-\-c2Ldimb-\-nc, ideoque ut i ad . Unde est G ad F, id est 

b-^-c 

angulus VCp ad angulum VC P, ut i ad V^|-^ • Et propterea 

cum angulus V C P inter apsidem summam & apsidem imam in el- 
lipsi immobili sit i8o^n erit angulus V Cp inter easdem apsides, in 

orbe quem corpus vi centripeta quantitati — -z 7 — proportionali 

describit, sequalis angulo graduum 180 V -, r . Et eodem argu- 

mb-\-nc 

mento si vis centripeta sit ut , angulus inter apsides invenie- 

A cub. 

tur graduum 180 J '^ — • Nec secus resolvetur problema in 

m b — n c 

casibus difficilioribus. Quantitas, cui vis centripeta proportionalis est, 

resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes 

A cub. Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione provenit 

ad ipsius partem alteram non datam, & pars data numeratoris hujus 

RGG — RFF-hTFF — FFX ad ipsius partem alteram non datam 

in eadem ratione ponendse sunt : Et quantitates superfluas delendo, 

scribendoque unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F. 

Corol. I. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, 

inveniri potest dignitas illa ex motu apsidum ; & contra. Nimirum 

si motus totus angularis, quo corpus redit ad apsidem eandem, sit 



140 



DE MOTU CORPORUM 



ad motum angularem revolutionls unius, seu graduum 360, ut nu- 
merus aliquis m ad numerum alium ;/, & altitudo nominetur A : 



nn 



erit vis ut altitudinis dig^nitas illa A "^*^ , cujus index est — 'x. 

mm ^ 

Id quod per exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim 

illam in majore quam trlplicata altitudinis ratione, in recessu a centro, 

decrescere non posse : Corpus tali vi revolvens deque apside 

discedens, si cceperit descendere nunquam perveniet ad apsldem 

imam seu altitudinem minimam, sed descendet usque ad centrum, 

describens curvam illam lineam de qua egimus in corol. 3. prop. xli. 

Sin coeperit illud, de apside discedens, vel minimum ascendere ; 

ascendet in infinitum, neque unquam perveniet ad apsidem summam. 

Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem 

corol. & in corol. 6 prop. xliv. Sic & ubi vis, in recessu a 

centro, decrescit in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus 

de apside discedens, perinde ut coeperit descendere vel ascendere, 

vel descendet ad centrum usque vel ascendet in inflnitum. At 

si vis, in recessu a centro, vel decrescat in minore quam triplicata 

ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunque ; 

corpus nunquam descendet ad centrum usque, sed ad apsidem imam 

aliquando perveniet : & contra, si corpus de apside ad apsidem 

alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad 

centrum ; vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam 

triplicata altitudinis ratione decrescet : & quo citius corpus de apside 

ad apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa 

triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel ij de 

apside summa ad apsidem summam alterno descensu & ascensu redi- 

erit ; hoc est, si fuerit m did n \xt ?> vel 4 vel 2 vel i^ ad i, ideoque 

3valeat^ — 3 vel -7 — 3 vel 3 vel - — 3: erit vis ut 

mm 64"" 16"^ 4 9 

A^~' vel A^~^ vel A*~' vel A^~', id est, reciproce ut A'~^ vel 

A ^^ vel A * vel A ^. Si corpus singulis revolutionibus re- 
dierit ad apsidem eandem immotam ; erit ;;^ ad ;^ ut i ad i, 



nn 



ideoque A*"'"* aequalis A seu ; & propterea decre- 

mentum virium in ratione duplicaja altitudinis, ut in praeceden- 



LIBER PRIMUS. 141 

tibus demonstratum est. SI corpus partibus revolutionibus unius 
vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, 
ad apsidem eandem redierit; erit m ad ^^ ut f vel I vel \ vel t ad i, 

ideoque A^~' sequalis A V- 3 yel At-3 vel A'~' vel A ''""^ 

11 3 

& propterea vis aut reciproce ut A~or vel As aut directe ut A^ vel 

A'3. Denique si corpus pergendo ab apside summa ad apsidem sum- 

mam confecerit revolutionem integram, & praeterea gradus tres, ideo- 

que apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in consequentia 

gradus tres; erit ;;^ ad ;^ ut 363 gr. ad 360 gr, sive ut 121 ad 120, 

»» — 29 523 

ideoque A'" "" erlt sequale A ^****^ ; &. propterea vls centripeta 

205 23 4 

reclproce ut A ^^" seu reciproce ut A ^ ^^ proxime. Decresclt 
igitur vis centripeta In ratione paulo majore quam duplicata, sed 
quae vicibus 59! propius ad duplicatam quam ad tripllcatam 
accedit. 

CoroL 2. Hinc etiam si corpus, vl centrlpeta quae sit reciproce 
ut quadratum altltudinls, revolvatur In ellipsl umbillcum habente In 
centro virium, & hulc vl centrlpetae addatur vel auferatur vls alla 
quaevls extranea; cognoscl potest (per exempla tertla) motus apsl- 
dum qul ex vi illa extranea orietur : & contra. Ut sl vis qua 

corpus revolvltur In elllpsl slt ut , & vis extranea ablata ut c A, 

A A 

A— ^A* 

Ideoque vis reliqua ut ; erit (in exemplls tertlls) b aequa- 

A cub, 

lls I, m aequalis i, & n aequalls 4, Ideoque angulus revolutionls 

inter apsides aequalis angulo graduum 1 80 V • Ponamus vlm 

I — 4 ^ 
Illam extraneam esse 357.45 partlbus minorem quam vis altera qua 
corpus revolvitur In ellipsi, Id est c esse ssTAg , existente A vel T 

aequali i, & 180 V — — — evadet 180 V ItStI, seu 180.7623, Id est, 
I —4 c 

iSogr. 45 m. 44 s. Igltur corpus de apslde summa dlscedens, motu 

angulari 180 gr. 45 m. 44 s. perveniet ad apsidem imam, & hoc 

motu duplicato ad apsidem summam redlbit : ideoque apsis sum- 

ma singulis revolutionibus progrediendo conficiet i gr. 31 m, 28 sec, 

Apsis lunae est duplo velocior circiter. 



142 r>E MOTU CORPORUM • ' 

Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per cen- 
trum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in 
planis excentricis. Nam scriptores qui motum gravium tractant, 
considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliquos in 
planis quibuscunque datis, quam perpendiculares : & pari jure mo- 
tus corporum viribus quibuscunque centra petentium, & planis 
excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem sup- 
ponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. 
Quinimo, in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora 
incumbunt quaeque tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, 
in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. 
Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos 
subinde determinamus. 

SECTIO X. 

De motu corporum in superficiebus datis, deque funipe^idulorum 

motu reciproco. 



PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA XXXII. 

Posita cujuscunque generis vi centripetay datoque tum viriuin centro 
iumplano quoczmque in quo corpus revolvitur, & concessis figuraru7n 
curvilinearzcm quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato, 
data cum velocitate, secundum rectam in plano illo data^n egressi. 

Sit 6^ centrum virium, kS C distantia minima centri hujus a plano 
dato, P corpus de loco P secundum rectam P Z egrediens, Q cor- 
pus idem in trajectoria sua revolvens, & PQR trajectoria illa, in plano 
dato descripta, quam invenire oportet. Jungantur C Q, g 6^, & si 
mQ S capiatur 6^ V proportionaHs vi centripetse qua corpus trahitur 
versus centrum S, & agatur V T quae sit parallela C Q & occurrat 
SC in T: vis 6^ F resolvetur (per legum corol. 2) in vires ST, TV ; 
quarum S T trahendo corpus secundum lineam plano perpendicula- 
rem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera T V, 
agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus 



LIBER PRIMUS. 



143 



punctum C In plano datum, ideoque efficlt, ut corpus Illud in hoc 
plano perinde moveatur, ac si vis vS T tolleretur, & corpus vi sola 
T V revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi 
centripeta T V qua corpus Q In spatio libero clrca centrum datum 




C revolvltur, datur (per prop. xlii) tum trajectorla P Q R, quam 
corpus descrlbit, tum locus Q, in quo corpus ad datum quodvls 
tempus versabitur, tum denique velocitas corporls In loco illo Q ; 81 
contra. Q. E. I. 



PROPOSITIO XLVII. THEOREMA XV. 

Posito qtioci vis centripeta proportionalis sit distantics corporis a centro; 
corpora 07nnia iri planis quibusctmqiie revolventia describeiit ellipseSy 
& revolutio7ies temporibus c^qtcalibus peragent ; qucFque moventur in 
lineis rectis, ultro citroque discurrendoy singulas eundi & redeicndi 
periodos iisdem temporibus absolvent. 

Nam, stantlbus quae In superlore proposltlone, vis S V, qua corpus 
Q in plano quovis P Q R revolvens trahitur versus centrum S, est ut 
distantia S Q ; atque Ideo ob proportionales S V 81 SQ, T V 
81 C Q, vis TV, qua corpus trahitur versus punctum C In orbis plano 
datum, est ut dlstantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano 



144 



DE MOTU CORPORUM 



PQ R versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratlone distan- 
tiarum aequales viribus quibus corpora undiquaque trahuntur versus 
centrum S ; ^ propterea corpora movebuntur iisdem temporibus, 
in iisdem figuris, in plano quovis P Q R circa punctum C, atque in 




spatlis Hberis circa centrum S ; ideoque (per corol. 2 prop. x & 
corol. 2 prop. xxxviii) temporibus semper sequalibus, vel describent 
ellipses in plano Illo clrca centrum C, vel periodos movendi ultro 
citroque In lineis rectis per centrum C in plano illo ductis complebunt. 
Q. E. D. 

Scholium. 

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus 
curvis. Concipe Hneas curvas in plano describi, dein circum axes 
quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione 
superficies curvas describere ; tum corpora ita moveri ut eorum 
centra in hls superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa 
obHque ascendendo & descendendo currant ultro citroque ; pera- 
gentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atque ideo 
in lineis curvis, quarum revolutione curvae illae superficies genitse 
sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his Hneis curvis 
considerare. 



LIBER PRIMUS. 145 



PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XVI. 

Si rota globo extrinsecics ad angidos rectos insistat, & more rotarum 
revolvendo progrediatur 171 circulo maximo ; longitudo itineris 
cuTuilinei, quod ptmctum quodvis ifi rotce perimetro datum, ex quo 
globum tetigity confecit, (quodque cycloidem vel epicycloidem nominare 
licet) erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex 
eo tempore inter eundum tetigit^ ut summa diametrorum globi & 
rotce ad semidiametrum globi, 

PROPOSITIO XLIX. THEOREMA XVII. 

Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & 
revolvendo progrediatur in circulo maximo ; loftgittcdo itineris 
curvilinei quod punctum quodvis in rotce perimetro datum, ex quo 
globum tetigitj confecit, erit ad duplicatum shiU7n versum arcus 
dimidii qui globicm toto hoc tentpore i^tter eu7idtcm tetigit, tct 
differentia diametrorum globi & rotce ad semidiametrum globi. 

Sit A B L globus, C centrum ejus, BP V rota ei insistens, E 
centrum rotae, B punctum contactus, & P punctum datum in 
perimetro rotse. Concipe hanc rotam pergere in circulo maximo 
A B L 3.h A per B versus Z, & inter eundum ita revolvi ut arcus 
A B, P B sibi invicem semper aequentur, atque punctum illud P in 
perimetro rotse datum interea describere viam curvilineam A P. Sit 
autem A P via tota curvilinea descripta ex quo rota globum tetigit in 
A, & erit viae hujus longitudo A P 2id duplum sinum versum arcus 
i P B, ut 2 C E ad CB. Nam recta C E (si opus est producta) 
occurrat rotae in F, junganturque C P, B P, E P, V P, & in CP 
productam demittatur normalis V F. Tangant P H, V H circulum 
in P & F concurrentes in H, secetque P H ipsam V F \vi G, 81 
ad V P demittantur normales GI, H K. Centro item C & intervallo 
quovis describatur circulus 7i0 7n secans rectam CP in 7t, rotae 
perimetrum B P m 0, & viam curvilineam AP in m; centroque 

K 



1 



1^6 ^^ MOTU CORPORUM ^ 

V & intervallo F^ describatur circulus secans V P productam 
in q. 




Quoniam rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus 
B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam 
illam curvam A P quam rotae punctum P describit, atque ideo quod 
recta VP tanget hanc curvam in puncto P. Circuli nom radius 
sensim auctus vel diminutus sequetur tandem distantiae CP ; &, 



l 



LIBER PRIMVS, 147 

ob similltudinem figurae evanescentis Pnomq & figurae P FG VI, 
ratio ultima lineolarum evanescentium P m, P n, P 0, P q, id est, 
ratio mutationum momentanearum curvae A P, rectee C P, arcus 
circularis BP, ac rectae VP, eadem erit quae linearum PV, PF, PG, 
P I respective. Cum autem V F a.d CF & V H 2A CV perpendicu- 
lares sint, angulique H V G, /^Ci^ propterea aequales ; & angulus 
V H G (ob angulos quadrilateri H V E P ad V & P rectos) angulo 
CEP aequalis est, similia erunt triangula V H G, CEP ; & inde 
fiet ut EP ad CE \t2. H G 2.d H V seu HP & ita A^/ad K P, & 
composite vel divisim ut C B ad C E ita P I dA P K, 81 duplicatis 
consequentibus ut C B ad 2 C E ita P/ ad P V, atque ita P q did 
P m. Est igitur decrementum lineae VP, id est, incrementum lineae 
B V— V P ad incrementum lineae curvae A P m data ratione C^ ad 
2 C E, 8>L propterea (per corol. lem. iv) longitudines B V— V P & 
A P, incrementis illis genitae, sunt in eadem ratione. Sed, existente 
B V radio, est V P co-sinus anguli B V P seu \ B E P, ideoque 
B V— V P sinus versus est ejusdem anguli ; & propterea in hac rota, 
cujus radius estl-^F", erit BV— VP duplus sinus versus arcus \ BP\ 
Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus^j^/* ut 2 C^ ad 
CB, Q.E.D. 

Lineam autem A P m propositione priore cycloidem extra 
globum, alteram in posteriore cycloidem intra globum distinctionis 
gratia nominabimua. 

Corol. I. Hinc si describatur cyclois integra A S L 81 bisecetur 
ea in S, erit longitudo partis P S did longitudinem VP (quae duplus 
est sinus anguli V B P, existente E B radio) ut 2 C^ ad C^, atque 
ideo in ratione data. 

Corol. 2. Et longitudo semiperimetri cycloidis A S aequabitur 
lineae rectae, quae est ad rotae diametrum B ^ut 2 CjE* ad CB. 

PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXIII. 

Facere ut corpus pendulum oscilletur in cycloide data. 

Intra globum Q V S, centro C descriptum, detur cyclois Q RS 
bisecta in 7? & punctis suis extremis Q 81 S superficiei globi hinc 
inde occurrens. Agatur C R bisecans arcum Q S m O, 8l produ- 
catur ea ad A, ut sit C A 2Ld C O ut C O ad C R. Centro C 



148 



DE MOTU CORPORUM 



intervallo C A describatur globus exterior D A F, & intra hunc 
globum a rota, cujus diameter sit AOy describantur duse semicycloides 
AQy AS, quae globum interiorem tangant m Q &. S &, globo exteriori 
occurrant in A. A puncto illo Ay filo A P T longitudinem A R 
sequante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides A Q, A S 
oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo A R, filum 
parte sui superiore A P applicetur ad semicycloidem illam A P S 
versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur, 
parteque reliqua P Z", cui semicyclois nondum objicitur, protendatur 
in lineam rectam ; & pondus T oscillabitur in cycloide data Q R S, 
Q. E. F. 




Occurrat enim filum P T tum cycloidi QRS m T, tum circulo 
QO S\w F, agaturque CV; & ad fili partem rectam P T, ^ punctis 
extremis P ac 7", erigantur perpendicula B P, T W, occurrentia 
rect^ C V in B & W. Patet, ex constructione & genesi simi- 
lium figurarum A S, S R, perpendicula illa P B, T /^ abscindere de 
C F longitudines VB, V W rotarum diametris O A, O R ^quales. 
Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente \ B V 
radio) wt B W 2i<i B V, seu A 0+ O R 2id A O/id est (cum sint CA 



LIBER PRIMUS. 



149 



ad C(9, C6> ad C^ & divislm ^ (9 ad OR proportionales) ut CA -f- 
CO 2.&CA, vel, si bisecetur ^ F in ^, ut 2 C B 2id C B, Proinde 
(per corol. i prop. xlix) longitudo partis rectse fili P T aequatur 
semper cycloidis arcui P S, 81 filum totum A P T eequatur semper 
cycloidis arcui dimidio A P S, hoc est (per corol. 2 prop. xlix) 
longitudini A R. Et propterea vicissim si filum manet semper aequale 
longitudini AR movebitur punctum T in cycloide data QRS. Q.B.D, 
Corol. Filum A R sequatur semicycloidi A S, ideoque ad globi 
exterioris semidiametrum A C eandem habet rationem quam similis 
illi semicyclois S R habet ad globi interioris semidiametrum CO, 



PROPOSITIO LI. THEOREMA XVIII. 

Si vis cmtripeta tendens undique ad globi centrum C sit in locis sin- 
gulis ut distantia loci cujusque a centro, & /lac sola vi agente cor- 
pus T oscilletur (modojam descripto) in perimetro cycloidis Q RS : 
dico quod oscillationum utcunque incsqualium cequalia ertcnt tempora. 

Nam in cycloidis tangentem TW infinite productam cadat 




perpendiculum CX &jungatur C T Quoniam vis centripeta qua 



I50 



DE MOTU CORPORUM 



corpus T impellitur versus C est ut distantia C T, atque haec (per 
legum corol. 2) resolvitur in partes C X, TX, quarum CX impellen- 
do corpu? directe a P distendit filum P T & per ejus resistentiam 
tota cessat, nullum alium edens effectum ; pars autem altera TX, 
urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum 
ejus in cycloide ; manifestum est quod corporis acceleratio, huic vi 
acceleratrici proportionaHs, sit singulis momentis ut longitudo TX, 
id est, ob datas C F, JV V iisque proportionales TX, T W, ut 
longitudo T W, hoc est (per corol. i prop. xlix) ut longitudo arcus 




cycloidis TR. Pendulis igitur duobus A P T, A p t Ae perpendiculo 
A R insequaliter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum 
semper erunt ut arcus describendi ZT?, t R. Sunt autem partes sub 
initio descriptae ut accelerationes, hoc est, ut tot^ sub initio 
describendae, & propterea partes qu^ manent describendae & 
accelerationes subsequentes, his partibus proportionales, sunt etiam ut 
tot^; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes, atque ideo 
velocitates genitae & partes his velocitatibus descriptae partesque 
describendae, semper ut totae ; & propterea partes describend^ datam 



LTBER PRIMUS. 



l^l 



servantes ratlonem ad invlcem slmul evanescent, id est, corpora 
duo osclllantla slmul pervenlent ad perpendlculum A R. Cumque 
vlclsslm ascensus perpendlculorum de loco Infimo R, per eosdem 
arcus cycloldales motu retrogrado factl, retardentur in locls slngulis 
a vlrlbus Ilsdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates 
ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum sequales esse, 
atque Ideo temporlbus sequallbus fieri ; & propterea, cum cycloldis 
partes duae R S 8i RQ ad utrumque perpendiculi latus jacentes sint 
similes & sequales, pendula duo osclllationes suas tam totas quam, 
dimidlas iisdem temporibus semper peragent. Q. E. D. 

Corol. Vis qua corpus T In loco quovis T acceleratur vel 
retardatur in cycloide, est ad totum corporis ejusdem pondus in loco 
altlssimo kS vel Q, ut cycloidis arcus TR ad ejusdem arcum S R vel 

QR^ 

PROPOSITIO LII. PROBLEMA XXXIV. 

Definire & velocitates pendulorum in locis singulis, & tempora quibus 
tum oscillationes totce, tum singula oscillationum partes peraguntur. 

Centro quovis G, intervallo G H cycloidis arcum RS aequante, 




describe semicirculum HKM semidiametro GK bisectum. Et si 



152 



DE MOTU COEFORUM 



vis centripeta, dlstantiis locorum a centro proportionalis, tendat ad 
centrum G, sitque ea in perimetro H I K sequalis vi centripetse in 
perimetro globi Q O S ad ipsius centrum tendenti ; & eodem 
tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S, cadat 
corpus aliquod L ab H 2A G: quoniam vires quibus corpora 
urgentur sunt sequales sub initio & spatiis describendis TR, L G 
semper proportionales, atque ideo, si sequantur TR & L G, aequales 
in locis T & L ; patet corpora illa describere spatia S T, HL 
aequalia sub initio, ideoque subinde pergere aequaliter urgeri, & 
sequalia spatia describere. Quare (per prop. xxxviii) tempus quo 
corpus describit arcum kS T est ad tempus oscillationis unius, ut arcus 
H/, tempus quo corpus H perveniet ad Z, ad semiperipheriam 




G ^ YH 



H KM, tempus quo corpus H perveniet ad M, Et velocitas 
corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, 
(hoc est, velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco 
G, seu incrementum momentaneum lineae H L ad incrementum 
momentaneum lineae HG, arcubus HI, HK aequabili fluxu crescenti- 
bus) ut ordinatim applicata LI ad radium GK, sive ut JSRq. — TRq. 
ad S R. Unde cum, in oscillationibus inaequaHbus, describantur 
aequalibus temporibus arcus totis oscillationum arcubus proportionales; 
habentur, ex datis temporibus, & velocitates & arcus descripti in 
oscillationibus universis. Qu^ erant primo invenienda. 



I 



LIBER PRIMUS. 1 5 3 

Oscillentur jam funipendula corpora in cycloidibus diversis intra 
globos diversos, quorum diversae sunt etiam vires absolutae, descriptis: 
&, si vis absoluta globi cujusvis Q O S dicatur V, vis acceleratrix 
qua pendulum urgetur in circumferentia hujus globi, ubi incipit 
directe versus centrum ejus moveri, erit ut distantia corporis penduli 
a centro illo & vis absoluta globi conjunctim, hoc est ut C (9 x V. 
Itaque Hneola H Y, quse sit ut haec vis acceleratrix COy.V, 
describetur dato tempore ; &, si erigatur normahs Y Z circumferentise 
occurrens in Z, arcus nascens H Z denotabit datum illud tempus. 
Est autem arcus hic nascens H Z in supdupHcata ratione rectanguH 
G H Y, ideoque ut VG^ZTx C(9x V. Unde tempus osciHationis 
integrae in cycloide QRS (cum sit ut semiperipheria H K M, 
quae osciHationem iHam integram denotat, directe ; utque arcus H Z, 
qui datum tempus simiHter denotat, inverse) fiet wt G H directe & 
^GHxCOxV inverse, hoc est, ob aequales GH & 6^^, ut 

. SR . . 1 X f ^^ r 

s/t^ — V' ^^^^ ^P^^ corol. prop. l) ut sJ-j-7=' — ^j • Itaque oscil- 

lationes in globis & cycloidibus omnibus, quibuscunque cum viribus 
absohitis factae, sunt in ratione quae componitur ex subdupHcata ratione 
longitudinis fiH directe, & subdupHcata ratione distantiae inter punctum 
suspensionis & centrum globi inverse, & subdupHcata ratione vis 
absolutae globi etiam inverse. Q, E. /. 

Corol. I. Hinc etiam osciHantium, cadentium & revolventium 
corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si rotae, qua 
cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequaHs 
semidiametro globi cyclois evadet Hnea recta per centrum globi 
transiens, & osciHatio jam erit descensus & subsequens ascensus in 
hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad 
centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa 
centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem 
describit. Est enim hoc tempus (per casum secundum) ad tempus 

semiosciHationis in cycloide quavis g 7? kS ut i ad J ^ . 

Corol. 2. Hinc etiam consectantur quae Wrennus & Hugenius de 
cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur 
in infinitum : mutabitur ejus superficies sphaerica in planum, visque 
centripeta aget uniformiter secundum Hneas huic plano perpendi- 



I 54 ^E MOTU CORPORUM 

culares, & cyclois nostra abiblt in cycloidem vulgi. Isto autem in 
casu longitudo arcus cycloidis, inter planum illud & punctum 
describens, sequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus 
rotse inter idem planum & punctum describens ; ut invenit Wren^iiLs : 
Et pendulum inter duas ejusmodi cycloides in simili & sequali 
cycloide temporibus aequalibus oscillabitur, ut demonstravit Hugenius, 
Sed & descensus gravium, tempore oscillationis unius, is erit quem 
Htcge7tius indicavit. 

Aptantur autem propositiones a nobis demonstratae ad veram 
constitutionem terrae, quatenus rotse eundo in ejus circulis maximis 
describunt motu clavorum, perimetris suis infixorum, cycloides extra 
globum ; & pendula inferius in fodinis & cavernis terrse suspensa, in 
cycloidibus intra globos oscillari debent, ut oscillationes omnes 
evadant isochronse. Nam gravitas (ut in libro tertio docebitur) 
decrescit in progressu a superficie terrae, sursum quidem in duplicata 
ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione 
simplici. 

PROPOSITIO LIII. PROBLEMA XXXV. 

Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire vires quibus 
corpora in datis curvis lineis oscillationes semper isochronas 
peragent, 

Oscilletur corpus T in curva quavis linea kS TR Q, cujus axis sit 
A R transiens per virium centrum C. Agatur TX quse curvam 
illam in corporis loco quovis T contingat, inque hac tangente TX 
capiatur TY sequaHs arcui T R. Nam longitudo arcus ilHus ex 
figurarum quadraturis, per methodos vulgares, innotescit. De puncto 
F educatur recta YZ tangenti perpendicularis. Agatur CT per 
pendiculari illi occurrens in Z, & erit vis centripeta proportionalis 
rect^ TZ. Q. E. /. 

Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per 
rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur hsec in vires T K, 
YZ ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili P T, 
motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva 
6^ TR Q directe accelerat vel directe retardat Proinde cum hsec 



LIBER PRIMUS. 



155 



sit ut vla descrlbenda T R, acceleratlones corporis vel retardationes 
in oscillationum duarum (majorls & minoris) partlbus proportio- 
nalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea 




facient ut partes^ illse simul describantur. Corpora autem quse 
partes totls semper proportionales simul descrlbunt, simul descrlbent 
totas. Q. E. D. 

Corol. I. Hlnc sl corpus T, filo rectillneo 
A T 2i centro A pendens, describat arcum 
circularem vS TR Q, & Interea urgeatur se- 
cundum lineas parallelas deorsum a vl all- 
qua, quae sit ad vlm unlformem gravitatis, 
ut arcus T R 2id ejus sinum TN : sequalia 
erunt oscillatlonum slngularum tempora. 
Etenim ob parallelas TZ, A R, similla erunt 
triangula^ TN, ZTY; & propterea TZ 
erit ad ^ r ut T F ad TN; hoc est, si 
gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam A T, vis 




156 



DE MOTU CORPORUM 



T Z, qua oscillationes evadent isochronse, 
A T, ut arcus TR ipsi T^Fsequalis ad arcus 
illius sinum TN. 

Corol. 2. Et propterea in horologiis, si 
vires a machina in pendulum ad motum 
conservandum impressae ita cum vi gravitatis 
componi possint, ut vis tota deorsum sem- 
per sit ut linea quse oritur applicando rec- 
tangulum sub arcu T R &. radio A R ?id 
sinum T N, oscillationes omnes erunt iso- 
chronae. 



erit ad vim gravitatis 




PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVL 

Concessis figurarum curvilinearum quadraturis^ invenire tempora, 
quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibusctmque curvis, 
in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent 
& ascendent. 

Descendat corpus de loco quovis S, per lineam quamvis curvam 
STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jun- 
gatur CS & dividatur eadem in par- 
tes innumeras a^quales, sitque JD d 
partium illarum aliqua. Centro C 
intervallis C D, Cd describantur 
circuli D T, dt, linese curvae 6^ TtR 
occurrentes in 7" & /. Et ex data 
tum lege vis centripetae, tum altitu- 

dine C kS* de qua corpus cecidit; a 

dabitur velocitas corporis in alia qua- 
vis altitudine C T (per prop. xxxix). 
Tempus autem, quo corpus descri- 
bit lineolam T /, est ut lineolae hujus 
longitudo, id est, ut secans anguli 
t T C directe, & velocitas inverse. 
Tempori huic proportionalis sit or- 
dinatim applicata DN ad rectam CS 



Q 




5 




P^\ 


\ 


V. 


\ 




n) 




;\ 




'V 


d 


; ; 
/ ; 

; / 

/ / 
/ ; 
// 

// 
;/ 
// 

/; 

;;■ 

// 
:/ 

// 
;; 






c 


:/ 

: 



LIBER PRIMUS. 



157 



per punctum D perpendicularls, & ob datam D d erit rectangulum 
DdxDN, hoc est area DNnd, eldem temporl proportlonale. 
Ergo si P Nn slt curva illa llnea quam punctum N perpetuo tangit, 
ejusque asymptotos sit recta 6" Q recta^ C S perpendlcularlter 
insistens : erit area SQ P N D proportlonalis tempori quo corpus 
descendendo descripsit lineam S T ; proindeque ex inventa illa area 
dabitur tempus. Q.E.I. 

PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX. 



,y 



Si corpus movetur in superficie quacunque curva, cujus axis per 
centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpen- 
dicularisy eique parallela & cBqualis ab axis puncto quovis dato 
ducatur : dico quod parallela illa aream tempori proportionalem 
describet. 

S\t B K L superficies curva, T^corpus in ea revolvens, STR tra- 
jectoria, quam corpus in eadem describit, ^9 initium trajectoriae, 
OMKz^is superficiei curvae, 
TN recta a corpore in axem 
perpendlcularis, O P huic 
parallela & sequalls a puncto 
Oy quod in axe datur, educ- 
ta ; A P vestiglum trajec- 
toriae a puncto P in lineae 
volubllis OP plano A OP 
descriptum ; A vestigli inlti- 
um puncto ^S respondens ; 
T C recta a corpore ad cen- 
trum ducta; TG pars ejus 
vi centripetae, qua corpus 
urgetur in centrum C, pro- 
portlonaHs; TM recta ad 
superficiem curvam perpen- 
dicularls ; TI pars ejus vi 
presslonis, qua corpus urget 
superficlem vicissimque urgetur versus M a superficie, proportionalis ; 



.-•■' 





, 


:^^1^ 


M 




\ y 

!./:>"■■■ 


N 

-1 


i \~^~~— — — 


K 


^ 


1 V 






r\ 






\ 


C 





158 



DE MOTU CORPORUM 



P TF recta axi parallela per corpus transiens, &. G F, I H rectae a 

punctis 6^ & / in parallelam illam P/f /'T^perpendiculariter demissae. 

Dico jam, quod area A O P, radio (9P ab initio motus descripta, sit 

tempori proportionalis. Nam vis TG (per legum corol. 2) resol- 

vitur in vires T F, FG ; & vis TI in vires TH, H I. Vires autem 

TF, TH agendo secundum lineam P F plano AOP perpendicu- 

larem mutant solummodo 

motum corporis quatenus 

huic plano perpendicularem. 

Ideoque motus ejus quatenus 

secundum positionem plani 

factus, hoc est, motus puncti 

P, quo trajectoriae vestigium 

APm hoc plano describitur, 

idem est ac si vires T F, 

TH tollerentur, & corpus 

solis viribus FG^ H I agi- 

taretur; hoc est, idem ac si 

corpus in plano A O P, vi 

centripeta ad centrum O 

tendente & summam virium 

FG 8l HI aequante, des- 

criberet curvam A P, Sed 

vi tah describitur area A OP 

(per prop. i) tempori proportionalis. Q. E. D. 

Corol. Eodem argumento si corpus, a viribus agitatum ad centra 
duo vel plura in eadem quavis recta C O data tendentibus, descri- 
beret in spatio Hbero Hneam quamcunque curvam 6^ T ; foret area 
A O P tempori semper proportionalis. 




LIBER PRIMUS. 



'59 



r 



PROPOSITIO LVI. PROBLEMA XXXVII. 

Concessis figurarum curvilinearum qtcadraturis, datisque tum lege vis 
centripetcB ad centrtim datum teftdentisy tum stcperficie curva cujus 
axis per centrum illud transit ; invenienda est trajectoria quam 
corpus in eadem superficie descridet, de loco dato, data cum velocitatey 
versus plagam in superficie illa datam egressum. 

Stantibus quae in superiore propositione constructa sunt, exeat 
corpus T de loco dato .S secundum rectam positione datam in 
trajectoriam inveniendam S TR, cujus vestigium in plano B L O s\t 
A P. Et ex data corporis velocitate in altitudine ^S C, dabitur ejus 
velocitas in alia quavis alti- 
tudine TC. Ea cum velo- 
citate dato tempore quam 
minimo describat corpus tra- 
jectoriae suae particulam Tt, 
sitque Pp vestigium ejus in 
plano A O P descriptum. 
Jungatur Op, & circelli cen- 
tro T intervallo T t in 
superficie curva descripti 
vestigium in plano A OP sit 
ellipsis / Q. Et ob datum 
magnitudine circellum Tt, 
datamque ejus ab axe CO 
distantiam TN vel PO, da- 
bitur ellipsis illa / Q specie 
& magnitudine, ut & positi- 
one ad rectam P O. Cum- 
que area P O p sit tempori proportionalis, atque ideo ex dato tempore 
detur, dabitur angulus POp, Et inde dabitur ellipseos & rectse 
Op intersectio communis /, una cum angulo O Pp in quo trajec- 
toriae vestigium APp secat lineam O P. Inde vero (conferendo 




1 6o DE MOTU CORPOR UM 

prop. XLi cum corol. suo 2) ratio determinandi curvam A Pp facile 
apparet. Tum ex singulis vestigii punctis P, erigendo ad planum 
A O P perpendicula P 7" superficiei curvae occurrentia in T, dabuntur 
singula trajectoriae puncta T. Q. E. /. 



SECTIO XI. 

De motu corporum viribus centripetis se mutuo petentium. 

Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum 
immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim 
fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum 
actiones semper mutuae sunt & aequales, per legem tertiam : adeo 
ut neque attrahens possit quiescere neque attractum, si duo sint 
corpora, sed ambo (per legum corollarium quartum) quasi attractione 
mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur : & si plura 
sint corpora, quae vel ab unico attrahantur, & idem attrahant, vel 
omnia se mutuo attrahant; haec ita inter se moveri debeant, ut 
gravitatis centrum commune vel quiescat, vel uniformiter moveatur in 
directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se 
mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam attrac- 
tiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur 
impulsus. In mathematicis enim jam versamur; & propterea, missis 
disputationibus physicis, famihari utimur sermone, quo possimus a 
lectoribus mathematicis faciHus intelHgi. 

PROPOSITIO LVII. THEOREMA XX. 

Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune 
centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes. 

Sunt enim distantiae corporum a communi gravitatis centro 
reciproce proportionales corporibus ; atque ideo in data ratione ad 
invicem, & componendo in data ratione ad distantiam totam inter 
corpora. Feruntur autem hae distantiae circum terminum suum 



LIBER PRIMUS. 



l6l 



communem sequali motu angulari, propterea quod in directum semper 
jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Linese autem 
rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari 
circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos 
in planis, quae una cum his terminis vel quiescunt, vel motu quovis 
non angulari moventur, describunt omnino similes. Proinde 
similes sunt figurae, quae his distantiis circumactis describuntur. 
Q. E. D. 



PROPOSITIO LVIII. THEOREMA XXI. 

Si corpora dtio vlribus qicibicsvis se mutiio trahtmt, & interea 
revolvimttcr ciixa gravitatis centrimi commime: dico qtcod Jiguris^ 
qicas corpora sic mota describicnt circum se mtittco, potest figtcra 
similis & ceqicalis, circtcm corpics alterutrum immoticm, viribtcs 
iisdem describi, 

Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, 
pergendo de 6* ad T, deque P 2id Q. A dato puncto ^ ipsis S Py 
T Q aequales & parallelae ducantur semper spy sq ; & curva pqVy 
quam punctum p revolvendo circum punctum immotum s describit, 
erit simiHs & aequaHs curvis, quas corpora Sy P describunt circum 
se mutuo : proindeque (per theor. xx) similis curvis S T & P Q V^ 




5-.::: 



/ 



quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum 
C: idque quia proportiones Hnearum S C, CP, 8l SP vel sp ad 
invicem dantur. 

Cas. I. Commune iHud gravitatis centrum C, per legum corol- 
larium quartum, vel quiescit, vel movetur uniformiter in directum. 
Ponamus primo, quod id quiescit, inque s & p locentur corpora 

L 



i62 DE MOTU CORPORUM 



duo, immobile in s, mobile in/, corporibus S & P similia & aequalia. 
Dein tangant rect^ P R &l pr curvas P Q &, p (/ in P 8^ p, & 
producantur CQ&s^SidP&r. Et ob similitudinem figurarum 
CPPQ, sprq erit RQ 2id rq ut CP ad sp, ideoque in data 
ratione. Proinde si vis, qua corpus P versus corpus S, atque ideo 
versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim, qua corpus 
p versus centrum s attrahitur, in eadem illa ratione data ; hae vires 
sequalibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus 
PRypr ad arcus PQ, pq per intervalla ipsis proportionalia RQ, 
rq, ideoque vis posterior efficeret, ut corpus / gyraretur in curva 
pqVy quae similis esset curvse P QV/in qua vis prior efficit, ut corpus 
P gyretur; & revolutiones iisdem temporibus complerentur. At 
quoniam vires illse non sunt ad invicem in ratione CP ad sp, sed 
(ob similitudinem & aequalitatem corporum S & s, P & p, & 
aequalitatem distantiarum SP, sp) sibi mutuo aequales ; corpora 
aequalibus temporibus aequaliter trahentur de tangentibus: & propterea, 




ut corpus posterius / trahatur per intervallum majus rq, requiritur 
tempus majus, idque in subduplicata ratione intervallorum ; propterea 
quod (per lemma decimum) spatia ipso motus initio descripta sunt 
in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p 
esse ad velocitatem corporis P in subduplicata ratione distantiae sp 
ad distantiam C P, eo ut temporibus, quae sint in eadem subduplicata 
ratione, describantur arcus pq, P Q, qui sunt in ratione integra : Et 
corpora P, p viribus aequalibus semper attracta describent circum 
centra quiescentia C & s figuras similes P Q V, pqv, quarum 
posterior p qv similis est & aequalis figurae, quam corpus P circum 
corpus mobile S describit. Q. E. D, 

Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una 
cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur unifor- 



LIBER PRIMUS. 



163 



miter In dlrectum ; & (per legum corollarium sextum) motus omnes 
in hoc spatio peragentur ut prius, ideoque corpora describent clrcum 
se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea ^gwx^pqv similes & 
aequales. Q. E. D, 

Co7^ol. I. Hinc corpora duo virlbus distantiae suse proportionalibus 
se mutuo trahentia, describunt (per prop. x) & circum commune 
gravltatls centrum, & clrcum se mutuo, elHpses concentricas ; & vice 
versa, si tales figurae describuntur, sunt vlres distantiae proportionales. 

Co7^ol. 2. Et corpora duo, viribus quadrato distantiae suae reciproce 
proportionalibus, descrlbunt (per prop. xi, xii, xiii) & clrcum 
commune gravitatis centrum, & clrcum se mutuo, sectiones conlcas 
umblHcum habentes In centro, clrcum quod figurae describuntur. Et 
vice versa, sl tales figurae descrlbuntur, vires centripetae sunt quadrato 
distantiae reciproce proportlonales. 

Co7'ol. 3. Corpora duo quaevis clrcum gravitatis centrum commune 
gyrantia, radlls & ad centrum illud & ad se mutuo ductls, describunt 
areas temporlbus proportlonales. 



PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXII. 

Corporiim duoriim S cS^ P, circa co^nmune gravitatis centrttm C 
revolventium, tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis 
alterutrius P, circa alterum immotum S gyrantis, & Jigtcris, qtue 
corpora circum se 7nutuo describunt, figura^n simile^n & csqualem 
describentis, i7t subduplicata ratio7ie corporis alterius S, ad summam 
corporum S + P. 

Namque, ex demonstratlone superloris propositionls, tempora, 
quibus arcus quivis slmlles P Q 8l p q describuntur, sunt in subdupH- 
cata ratione distantiarum C P & SP vel sp, hoc est, in subdupHcata 
ratlone corporis 6^ ad summam corporum S-\-P, Et componendo, 
summae temporum quibus arcus omnes similes PQ Sipq descrlbuntur, 
hoc est, tempora tota, quibus figurae totae similes describuntur, sunt in 
eadem subdupHcata ratione. Q. E, D, 



1 64 ^E MOTU CGRPOR UM 



PROPOSITIO LX. THEOREMA XXIII. 

Si corpora duo S & V, viribtcs qtiadrato dista^itice stccs reciproce 
proportionalibics, se micttco trahentia, revolvicnticr circa gravitatis 
centricin commtcne : dico qtcod ellipseos, qicam corpics alterictrtim P 
hoc motic circa alterum S describit, axis principalis erit ad axe77t 
p7nncipalem ellipseos, qtcam corp2cs idem P circa altertcm qtciescens S 
eodem tempore periodico describere posset, ut stcmma corporum 
duorum S + P ad primtcm duorum medie proportionalium inter hanc 
summam & corpus illicd altericm S. 

Nam si descriptse elllpses essent sibi invicem aequales, tempora 
periodica (per theorema superius) forent in subduplicata ratlone 
corporis 6^ ad summam corporum S-\-P. Minuatur in hac ratlone 
tempus periodicum in ellipsi posteriore, & tempora perlodlca evadent 
sequalla ; elllpseos autem axis principalis (per prop. xv) mlnuetur in 
ratione, cujus hsec est sesquiplicata, id est in ratlone, cujus ratio 6^ ad 
S^P est trlpllcata; ideoque erit ad axem princlpalem elllpseos 
alterlus, ut prlmum duorum medie proportionalium inter S-\-P &l S 
ad S-\-P, Et inverse, axis principaHs ellipseos circa corpus mobile 
descriptae erit ad axem princlpalem descrlptae clrca immoblle, ut 
kS+P ad primum duorum medie proportionaHum inter S-\-P & 6^. 
Q. E, D. 



PROPOSITIO LXI. THEOREMA XXIV. 

Si corpora dico viribtcs quibusvis se mutuo trahefitia, 7ieque alias 
agitata vel impedita, quomodoctcnque moveanttcr ; mottcs eorum 
perifide se habebunt, ac si non t7'aherent se mutuo, sed utrumque a 
corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem 
traheretur. Et viriiim t^^ahentium eadem erit lex respectu distantice 
corpoi^um a centro illo com^nuni atque respecttc distanticB totius inter 
corpora. 



J 



LIBER PRIMUS. 



165 



Nam vlres Ulae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad 
corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium ; 
ideoque eaedem sunt, ac si a corpore intermedio manarent. Q.E.D. 

Et quoniam datur ratio distantiae corporis utriusvis a centro 
illo communi ad distantiam inter corpora, dabitur ratio cujusvis 
potestatis distantiae unius ad eandem potestatem distantiae alterius ; 
ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus 
datis utcunque derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera 
distantia, & quantitatibus totidem datis, datamque illam. distantiarum 
rationem ad priores habentibus simiHter derivatur. Proinde si vis, 
qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut 
distantia corporum ab invicem ; vel ut quaehbet hujus distantiae 
potestas ; vel denique ut quantitas quaevis ex hac distantia 8z: 
quantitatibus datis quomodocunque derivata : erit eadem vis, qua 
corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem 
vel inverse ut corporis attractl dlstantia a centro illo communi, vel 
ut eadem distantiae hujus potestas, vel denique ut quantltas ex hac 
distantia & analogis quantltatibus datls slmlHter derivata. Hoc est 
vis trahentis eadem erit lex respectu distantlae utriusque. Q.E.D, 



PROPOSITIO LXII. PROBLEMA XXXVIII. 

Corportim dtcoriim^ quce viribus qicadrato distantics sucb reciproce 
proportionalibus se mtciuo traktmt, ac de locis datis demittuntur, 
determinare 7notus. 

Corpora (per theorema novlsslmum) perlnde movebuntur, ac si 
a corpore tertlo In communl gravltatis centro constltuto traherentur ; 
& centrum Illud ipso motus initlo qulescet per hypothesln ; & 
propterea (per legum corol. 4) semper quiescet. Determlnandi sunt 
igitur motus corporum (per prob: xxv) perlnde ac sl a viribus ad 
centrum illud tendentibus urgerentur, & habebuntur motus corporum 
se mutuo trahentlum. Q. E. /. 



l66 D^ MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO LXIII. PROBLEMA XXXIX. 

Corporum ' duorum^ qucs viribus quadrato distautice suce reciproce 
proportionalibus se mutuo trahunt, deque locis datis, secundum datas 
rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determi^iare motus, 

Ex datis corporum motlbus sub inltlo, datur unlformls motus 
centri communis gravitatis, ut & motus spatll, quod una cum hoc 
centro movetur unlformlter in dlrectum, nec non corporum mo- 
tus inltiales respectu hujus spatli. Motus autem subsequentes 
(per legum corollarium qulntum, & theorema novlsslmum) perlnde 
fiunt In hoc spatlo, ac si spatlum Ipsum una cum communi illo 
gravitatis centro qulesceret, & corpora non traherent se mutuo, 
sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igltur 
alterutrius in hoc spatio mobill, de loco dato, secundum datam 
rectam, data cum velocltate exeuntls, & vi centrlpeta ad centrum 
illud tendente correpti, determlnandus est motus per problema 
nonum & vicesimum sextum: & habebltur simul motus corporls 
alterius circum idem centrum. Cum hoc motu componendus est 
uniformls ille systematis spatii & corporum In eo gyrantium motus 
progresslvus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum 
in spatio Immoblli. Q.E.I. 



PROPOSiriO LXIV. PROBLEMA XL. 

Viribus quibus corpo^^a se muttco tra/iunt crescentibus in simplici 
ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurijim cor- 
porum hiter se. 

Ponantur prlmo corpora duo T 8i L commune habentla gravitatis 
centrum D. Descrlbent ha^c (per corollarlum prlmum theore- 
matis xxi) ellipses centra habentes in D, quarum magnitudo ex 
problemate v innotesclt. 

Trahat jam corpus tertium 6^ prlora duo T &l L vlribus accelera- 
tricibus kS' 7", ^'Z, & ab ipsis vicissim trahatur. Vis 6^ T (per legum 



)T 



LIBER PRIMUS. 157 

corol. 2) resolvltur In vlres SD, DT; & vls SL In vlres SD, DL. 
Vlres autem D T, D L, quae sunt ut Ipsarum summa T L, atque 
ideo ut vlres acceleratrlces qulbus corpora T 81 L se mutuo trahunt, 
addltae hls vlrlbus corporum T & L, prlor prlori & posterlor poste- 
rlorl, componunt vlres dis- 
tantlls D T 2ic DL propor- | 

tlonales, ut prlus, sed vlribus s A ^r \^ 

prlorlbus majores ; ideoque j \g \ 

(per corol. i prop. x, & j \ \ 

corol. I & 8 prop. iv) effi- | \ \ 

ciunt ut corpora illa descri- j \ \ 

bant elllpses ut prlus, sed \^ 

motu celeriore. Vlres reliquae ^^ 

acceleratrices S D 8c SD, actionlbus motricibus SDx T Sc SDxL, 
quae sunt ut corpora, trahendo corpora illa aequaliter & secundum 
lineas TL, L K, ipsi D S parallelas, nil mutant situs eorum ad invi- 
cem, sed faciunt ut ipsa aequaHter accedant ad llneam L K ; quam 
ductam conclpe per medium corporis S, & linese D S perpendlcu- 
larem. Impedletur autem iste ad lineam L K accessus faciendo ut 
systema corporum T 8>c L q:x una parte, & corpus 6^ ex altera, 
justls cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravltatls centrum 
C. TaH motu corpus S, eo quod summa vlrium motricium SDxT 
& SDxLj dlstantlae C 6" proportlonaHum, tendit versus centrum C, 
describit enipsln circa idem C; & punctum D, ob proportionales 
CS, CD, descrlbet elHpsin consimilem e reglone. Corpora autem 
T8c L, viribus motricibus SDx T & SDxL, prius priore, posterius 
posteriore, aequaHter & secundum Hneas paraHelas TL & L K, ut 
dlctum est, attracta, pergent (per legum coroHarium quinturti & 
sextum) circa centrum mobile D elHpses suas describere, ut prius. 
Q.B.L 

Addatur jam corpus quartum F, & simlH argumento concludetur 
hoc & punctum C eHIpses clrca omnlum commune centrum gra- 
vltatis B descrlbere ; manentibus motlbus priorum corporum Z) 
L & S circa centra D 8l C, sed acceleratis. Et eadem methodo 
corpora plura adjungere Hcebit. Q. E. L. 

Haec ita se habent, etsi corpora T 8l L trahunt se mutuo vlribus 
acceleratricibus majoribus vel mlnoribus quam quibus trahunt corpora 



DE MOTU CORPORUM 



reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuae omnium attractio- 
nes acceleratrices ad invicem ut distantiae ductae in corpora trahentia, 
& ex praecedentibus facile deducetur quod corpora omnia aequalibus 
temporibus periodicis ellipses varias, circa omnium commune gravitatis^^ 
centrum B, in plano immobili describunt. Q. E, I. 



PROPOSITIO LXV. THEOREMA XXV. 

Corpora phcra, quoriim vires decrescunt in dtiplicata ratione distan- 
tiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in ellipsib^cs ; & 
radiis ad umbilicos ductis areas describere temporibus proportionales 
quam proxime, 

In propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures 
peraguntur in ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a 
lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus ; neque 
fieri potest, ut corpora, secundum legem hic positam se mutuo 
trahentia, moveantur in elHpsibus accurate, nisi servando certam 
proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus 
non multum ab elhpsibus errabitur. 

Cas. I. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad 
varias ab eo distantias revolvi, tendantque ad singula vires absolutae 
proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune 
gravitatis centrum (per legum corol. quartum) vel quiescit vel 
movetur uniformiter in directum, fingamus corpora minora tam parva 
esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibihter ab hoc centro : 
& maximum illud vel quiescet, vel movebitur uniformiter in direc- 
tum, sine errore sensibili ; minora autem revolventur circa hoc 
maximum in ellipsibus, atque radiis ad idem ductis describent areas 
temporibus proportionales ; nisi quatenus errores inducuntur, vel 
per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per ac- 
tiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt 
corpora minora, usque donec error iste, & actiones mutuae sint datis 
quibusvis minores ; atque ideo donec orbes cum elHpsibus quadrent, 
& areae respondeant temporibus, sine errore, qui non sit minor 
quovis dato. Q.E.O. 



LIBER PRIMUS. 



169 



Cas. 2. Flngamus jam systema corporum minorum modo jam 
descrlpto clrca maximum revolventium, alludve quodvls duorum cir- 
cum se mutuo revolventlum corporum systema progredl unlformlter 
in dlrectum, & interea vl corporls alterlus longe maxlmi & ad 
magnam distantlam sitl urgeri ad latus. Et quoniam sequales vlres 
acceleratrlces, qulbus corpora secundum llneas parallelas urgentur, 
non mutant sltus corporum ad Invicem, sed ut systema totum, 
servatis partlum motibus inter se, slmul transferatur, efficlunt : 
manlfestum est, quod ex attractlonlbus in corpus maxlmum nulla 
prorsus orletur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attrac- 
tlonum acceleratricum inaequalitate, vel ex incllnatione linearum ad 
invlcem, secundum quas attractlones fiunt. Pone ergo attractlones 
omnes acceleratrices in corpus maxlmum esse inter se reciproce ut 
quadrata distantiarum ; & augendo corporis maximi dlstantiam, 
donec rectarum ab hoc ad rellqua ductarum dlfferentlae respectu 
earum longltudlnls & incllnationes ad invicem mlnores slnt, quam 
datai qusevls ; perseverabunt motus partlum systematls inter se sine 
errorlbus, qul non sint qulbusvis datls minores. Et quoniam, ob 
exiguam partlum illarum ab invlcem dlstantiam, systema totum ad 
modum corporis unlus attrahltur ; movebltur idem hac attractione ad 
modum corporls unius ; hoc est, centro suo gravltatis descrlbet circa 
corpus maxlmum sectlonem aHquam conlcam (viz. hyperbolam vel 
parabolam attractione langulda, enipsln fortiore) & radio ad maxlmum 
ducto descrlbet areas temporlbus proportlonales, slne ulHs erroribus, 
nlsl quas partium dlstantlse, perexiguae sane & pro lubltu minuendae, 
valeant efficere. Q. E. O. 

SimlH argumento pergere Hcet ad casus magls composltos in 
infinltum. 

Corol. I. In casu secundo, quo propius accedit corpus omnium 
maximum ad systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur 
motus partlum systematls inter se ; propterea quod Hnearum a cor- 
pore maxlmo ad has ductarum jam major est incHnatio ad invicem, 
majorque proportlonis InaequaHtas. 

Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones 
acceleratrices partium systematis versus corpus omnium maxlmum 
non slnt ad invicem reclproce ut quadrata distantlarum a corpore 
IHo maxlmo ; praesertlm si proportionis hujus InzequaHtas major slt 



170 



DE MOTU CORPORUM 



quam inaequalltas proportionis distantiarum a corpore maximo. Nam 
si vis acceleratrix, aequaliter & secundum lineas parallelas agendo, 
nil perturbat motus inter se, necesse est, ut ex actionis inaequalitate 
perturbatio oriatur, majorque sit, vel minor pro majore, vel minore 
insequalitate. Excessus impulsuum majorum, agendo in aliqua cor- 
pora & non agendo in alia, necessario mutabunt situm eorum inter 
se. Et haec perturbatio addita perturbationi, quee ex linearum 
inclinatione & inaequalitate oritur, majorem reddet perturbationem 
totam. 

Corol. 3. Unde si systematis hujus partes in ellipsibus, vel circulis 
sine perturbatione insigni moveantur; manifestum est, quod eaedem 
a viribus acceleratricibus, ad aha corpora tendentibus, aut non 
urgentur nisi levissime, aut urgentur aequaHter & secundum Hneas 
paraHelas quamproxime. 



PROPOSITIO LXVI. THEOREMA XXVI. 

Si corpora hda, qtiorum vires decresmnt in dnplicata ratio7te dis- 
tantiarum, se mutuo traha?it ; & attractiones acceleratrices binorum 
quorumcunque i^i tertitim sint inter se reciproce 7it quadrata dis- 
tantiarum ; minora autem circa maxi^num revolvantur : dico 
quod interius circa intimu7n & maximum, radiis ad ipsu77t ductis, 
describet areas te^nporibzis magis proportio7tales, & figtcram ad 
formam ellipseos tmibilicicm i7i C07ic7crsu radioriwt habe7itis magis 
accedentem, si corptcs mxximum his att7-actio7iibtcs agitetur, quam 
si maximum illtcd vel a mi^toribus non att7^actu77i qtciescat, vel 7nulto 
mi7itcs vel mtclto magis attractzcm, aut multo fuinus aut 7nulto magis 
agitettcr. 

Llquet fere ex demonstratlone coronarii secundi propositionls 
praecedentis ; sed argumento magis distincto & latius cogente sic 
evincitur. 

Cas. I. Revolvantur corpora minora P &l S m eodem plano circa 
maximum T, quorum P describat orbem interiorem P A B, 81 S ^x- 



LIBER PRmUS. 



171 



terlorem E S E. Slt S K medlocrls distantia corporum P & S; 8c 
corporls P versus 6" attractio acceleratrix, in mediocrl illa distantia, 
exponatur per eandem. In dupllcata ratione SK ad SP caplatur 
SL ad SK, & erlt S L attractlo acceleratrlx corporis P versus 6^ in 
dlstantla quavls S P. Junge P T, elque parallelam age L M occur- 
rentem 6^ 7"in M ; & attractio S L resolvetur (per legum corol. 2) in 
attractiones S M, L M. Et sic urgebltur corpus P vi acceleratrice 
triplicl. Vis una tendit ad T, & orltur a mutua attractlone corporum 
T 81 P. Hac vi sola corpus P circum corpus T, sive immotum, sive 
hac attractione agltatum,. describere deberet & areas, radlo P T, 
temporlbus proportlonales, & ellipsin cui umbillcus est in centro 
corporis T. Patet hoc per prop. xi, & corollaria 2 & 3 theor. xxi. 
Vis altera est attractlonis L M, quae quonlam tendit a P ad 7", 



S( ►==-::::::"::: - -- 



superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areae etiamnum 
temporibus proportionales descrlbantur per corol. 3 theor. xxi. At 
quoniam non est quadrato distantise P T reciproce proportionaHs, 
componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, 
idque eo magis, quo major est proportio hujus vls ad vim priorem, 
cseteris paribus. Proinde cum (per prop. xi, & per corol. 2 theor. 
xxi) vis, qua elHpsIs circa umblHcum T descrlbitur, tendere debeat 
ad umblHcum iHum, & esse quadrato dlstantlse P T reciproce 
proportionaHs ; vis iHa composita, aberrando ab hac proportlone, 
faciet ut orbis PAB aberret a forma eHIpseos umblHcum habentls 
in T ; idque eo magis, quo major est aberratio ab hac proportlone ; 
atque ideo etiam quo major est proportio vis secundae Z J/ ad 
vlm prlmam, cseterls paribus. Jam vero vis tertia S M, trahendo 
corpus P secundum Hneam Ipsi 6^ T paraHelam, componet cum 
viribus prioribus vim, qu2e non ampHus dirigitur a P in T ; quaeque 



172 



DE MOTU CORPORUM 



ab hac determinatione tanto magis aberrat, quanto major est 
proportio hujus tertiae vis ad vires priores, caeteris paribus : atque 
ideo quae. faciet ut corpus P, radio TP^ areas non amplius 
temporibus proportionales describat ; atque ut aberratio ab hac 
proportionaHtate tanto major sit, quanto major est proportio vis 
hujus tertise ad vires caeteras. Orbis vero P A B aberrationem a 
forma elliptica praefata haec vis tertia duplici de causa adaugebit, 
tum quod non dirigatur a P ad T, tum etiam quod non sit reciproce 
proportionalis quadrato distantiae P T Quibus intellectis, manifestum 
est, quod areae temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis 
tertia, manentibus viribus caeteris, fit minima ; & quod orbis P A B 
tum maxime accedit ad praefatam formam elHpticam, ubi vis tam 
secunda quam tertia, sed praecipue vis tertia fit minima, vi prima 
manente. 



St^ 



Exponatur corporis T attractio acceleratrix versus S per Hneam 
SN ; & si attractiones acceleratrices S M, S N aequales essent; hae, 
trahendo corpora T 8i P aequaHter & secundum Hneas paraHelas, nil 
mutarent situm eorum ad invicem. lidem jam forent corporum 
iHorum motus inter se (per legum corol. vi) ac si hae attractiones 
toHerentur. Et pari ratione si attractio SN minor esset attractione 
S M, toHeret ipsa attractionis S M partem SN, 8i maneret pars sola 
MNy qua temporum & arearum proportionaHtas & orbitae forma 
iHa eHiptica perturbaretur. Et simiHter si attractio S N major esset 
attractione S M, oriretur ex differentia sola M N perturbatio propor- 
tionaHtatis & orbitae. Sic per attractionem S N reducitur semper 
attractio tertia superior SM ad attractionem M Ny attractione 
prima & secunda manentibus prorsus immutatis : & propterea areae 
ac tempora ad proportionaHtatem, & orbita P A B 3id formam prae- 



LIBER PRIMUS. I 73 

fatam elllptlcam tum maxime accedunt, ubi attractio M N vel nulla 
est, vel quam fieri possit minima ; hoc est, ubi corporum P 81 T 
attractlones acceleratrlces, factae versus corpus S, accedunt quan- 
tum fieri potest ad aequalitatem ; id est, ubi attractlo S N non est 
nulla, neque minor minima attractlonum omnium S My sed inter 
attractionum omnium S M maximam & minimam quasi mediocris, 
hoc est, non multo major neque multo minor attractlone S K. Q.E.D. 

Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, .S clrca maximum T 
in planis diversis ; & vls L M^ agendo secundum Hneam P T m 
plano orbitae P A B sitam, eundem habebit effectum ac prlus, neque 
corpus P de plano orbitae suae deturbablt. At vis altera N M^ 
agendo secundum Hneam quae ipsi kS T parallela est (atque ideo, 
quando corpus S versatur extra Hneam nodorum, incHnatur ad 
planum orbitae P A B) praeter perturbationem motus in longitudinem 
jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, 
trahendo corpus P de plano suae orbitae. Et haec perturbatio, in dato 
quovis corporum P & 7" ad invicem situ, erit ut vis IHa generans 
M N, ideoque minima evadet ubi M N est minlma, hoc est (uti 
jam exposui) ubi attractlo S N non est multo major, neque multo 
minor attractione S K. Q. E. D. 

Corol. I. Ex his faclle coHigitur, quod, si corpora plura minora 
P, S, R, &c. revolvantur clrca maximum T, motus corporis intimi 
P minlme perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maxi- 
mum T pariter a caeteris, pro ratione virium acceleratricum, attra- 
hitur & agitatur, atque caetera a se mutuo. 

Corol. 2. In systemate vero trium corporum T, P, S, si attrac- 
tiones acceleratrices binorum quorumcunque in tertium sint ad invicem 
reciproce ut quadrata distantiarum ; corpus P, radio P T, aream 
circa corpus T velocius describet prope conjunctionem A & opposi- 
tlonem B, quam prope quadraturas C, D. Namque vis omnis qua 
corpus P urgetur & corpus T non urgetur, quaeque non agit 
secundum Hneam P T accelerat vel retardat descriptionem areae, 
perinde ut ipsa in consequentia vel in antecedentia dirigitur. TaHs 
est vis N M. Haec in transitu corporis P a C ad y^ tendit in 
consequentia, motumque accelerat ; dein usque ad D in antecedentia, 
& motum retardat; tum in consequentia usque ad B, 8c ultimo in 
antecedentla transeundo a ^ ad C - 



174 DE MOTU CORPORUM 

Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, caeteris 
parlbus, velocius movetur in conjunctione & oppositione quam in 
quadraturis. 

CoroL 4. Orbita corporis P, caeteris paribus, curvior est in qua- 
draturis quam in conjunctione & oppositione. Nam corpora velociora 
minus deflectunt a recto tramite. Et praeterea vis K L, vel N M, 
in conjunctione & oppositione contraria est vi, qua corpus T trahit 
corpus P ; ideoque vim illam minuit ; corpus autem P minus deflectet 
a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus T, 

Corol. 5. Unde corpus P, caeteris paribus, longius recedet a 
corpore T in quadraturis, quam in conjunctione & oppositione. 
Haec ita se habent exckiso motu excentricitatis. Nam si orbita 
corporis P excentrica sit, excentricitas ejus (ut mox in hujus corol. 9 
ostendetur) evadet maxima ubi apsides sunt in syzygiis ; indeque 
fieri potest ut corpus P, ad apsidem summam appellans, absit longius 
a corpore T in syzygiis quam in quadraturis. 




■"k 



Corol. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis 7) qua corpus 
P retinetur in orbe suo, augetur in quadraturis per additionem 
vis L M, ac diminuitur in syzygiis per ablationem vis K L, 81 oh 
magnitudinem vis K L, magis diminuitur quam augetur; est autem 
vis illa centripeta (per corol. 2 prop. iv) in ratione composita ex 
ratione simphci radii TP directe & ratione dupHcata temporis 
periodici inverse : patet hanc rationem compositam diminui per 
actionem vis IC L ; ideoque tempus periodicum, si maneat orbis radius 
TP, augeri, idque in subdupHcata ratione, qua vis illa centripeta 
diminuitur : auctoque ideo vel diminuto hoc radio, tempus perio- 
dicum augeri magis, vel dlminui minus quam in radii hujus ratione 



LIBER PRIMUS. 17^ 

sesquiplicata (per corol. 6 prop. iv). Si vis illa corporis centralis 
paulatim languesceret, corpus P minus semper & minus attractum 
perpetuo recederet longius a centro T ; 8l contra, si vis illa augere- 
tur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui S, qua vis 
illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices : augebitur simul 
ac diminuetur radius TP per vices ; & tempus periodicum auge- 
bitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata 
radii, & ratione subduplicata, qua vis illa centripeta corporis centralis 
T, per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui S^ 
diminuitur vel augetur. 

Co7^oL 7. Ex prsemissis consequitur etiam, quod ellipseos a corpore 
P descriptae axis, seu apsidum linea, quoad motum angularem, 
progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, 
& per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua 
corpus P urgetur in corpus T in quadraturis, ubi vis MN evanuit, 
componitur ex vi Z J/ & vi centripeta, qua corpus T trahit corpus 
P. Vis prior L M, si augeatur distantia P T, augetur in eadem fere 
ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata 
illa ratione, ideoque summa harum virium decrescit in minore quam 
dupHcata ratione distantise P T, 81 propterea (per corol. i prop. xlv) 
efiicit ut aux, seu apsis summa, regrediatur. In conjunctione vero 
& oppositione vis, qua corpus P urgetur in corpus T, differentia est 
inter vim, qua corpus T trahit corpus P, & vim K L ; 81 differen- 
tia illa, propterea quod vis K L augetur quamproxime in ratione 
distantiae P T, decrescit in majore quam dupHcata ratione distantiae 
P T% ideoque (per corol. i prop. xlv) efficit ut aux progrediatur. 
In locis inter syzygias & quadraturas pendet motus augis ex causa 
utraque conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progre- 
diatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis K L m syzygiis sit quasi 
duplo major quam vis L M m quadraturis, excessus erit penes vim 
K L, transferetque augem in consequentia. Veritas autem hujus & 
praecedentis coroHarii faciHus intelHgetur concipiendo systema cor- 
porum duorum 7", P corporibus pluribus 6^, S, S, &c. in orbe E S E 
consistentibus, undique cingi. Namque horum actionibus actio ipsius 
T minuetur undique, decrescetque in ratione plusquam dupHcata 
distantiae. 



176 DE MOTU CORPORUM 

Corol. 8. Cum autem pendeat apsidum progressus vel regressus 
a decremento vls centripetse facto in majori vel minori quam du- 
plicata ratione distantiae TP, in transitu corporis ab apside ima ad 
apsidem summam ; ut & a simili incremento in reditu ad apsid- 
em imam ; atque ideo maxirnus sit ubi proportio vis in apside 
summa ad vim in apside ima maxime recedit a duplicata ratione 
distantiarum inversa : manifestum est quod apsides in syzygiis suis, 
per vim ablatitiam KL seu N M^L M, progredientur velocius, 
inque quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam L M, Ob 
diuturnitatem vero temporis, quo velocitas progressus vel tarditas 
regressus continuatur, fit hsec insequalitas longe maxima. 

CoroL 9. Si corpus aliquod, vi reciproce proportionali quadrato 
distantiae suae a centro, revolveretur circa hoc centrum in ellipsi ; 
& mox, in descensu ab apside summa seu auge ad apsidem imam, 
vis illa per accessum perpetuum vis novse augeretur in ratione plus- 



r 



g^.::::::::::::-;: A .^... L i^ 



quam duplicata distantiae diminutae : manifestum est quod corpus, 
perpetuo accessu vis illius novae impulsum semper in centrum, 
magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in 
dupHcata ratione distantiae diminutae ; ideoque orbem describeret 
orbe elliptico interiorem, & in apside ima propius accederet ad 
centrum quam prius. Orbis igitur, accessu hujus vis novae, fiet 
magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab apside ima ad 
apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, 
rediret corpus ad distantiam priorem, ideoque si vis decrescat in 
majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam 
majorem & sic orbis excentricitas adhuc magis augebitur. Quare 
si ratio incrementi & decrementi vis centripetae singulis revol- 
utionibus augeatur, augebitur semper excentricitas ; & contra, 



LIBER FRIMUS. I 7 7 

dimlnuetur eadem, si ratlo illa decrescat. Jam vero in systemate 
corporum T, P, Sy ubl apsldes orbls P A B sunt in quadraturls, ratlo 
illa incrementi ac decrementi mlnlma est, & maxima fit ubi apsides 
sunt In syzyglls. Si apsldes constltuantur in quadraturls, ratio prope 
apsides mlnor est & prope syzyglas major quam duplicata dlstantlarum, 
& ex ratlone Illa majori oritur augis motus dlrectus, uti jam dlctum 
est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in 
progressu Inter apsides, haec mlnor est quam dupllcata dlstantiarum. 
VIs In apside ima est ad vim In apslde summa In mlnore quam 
dupllcata ratlone dlstantlae apsidls summse ab umbillco elllpseos 
ad dlstantlam apsidis imae ab eodem umblllco : & contra, ubi 
apsides constituuntur in syzyglis, vls in apside ima est ad vlm in 
apside summa in majore quam duplicata ratlone dlstantlarum. Nam 
vires L M m quadraturls addltae vlrlbus corporls T componunt 
vires in ratlone minore, & vires K L m syzyglls subductae a vlrlbus 
corporls T relinquunt vlres in ratione majore. Est igitur ratlo 
decrementi & incrementi totlus, in transltu inter apsides, mlnima in 
quadraturis, maxima in syzygiis : & propterea in transitu apsldum 
a quadraturls ad syzygias perpetuo augetur, augetque excentricltatem 
ellipseos ; inque transitu a syzygiis ad quadraturas perpetuo diminu- 
itur, & excentricitatem dlminuit. 

Corol. 10. Ut ratlonem ineamus errorum in latitudlnem, fingamus 
planum orbls E S T immobile manere ; & ex errorum exposlta causa 
manifestum est, quod ex virlbus N M, M L, quae sunt causa illa tota, 
vis M L agendo semper secundum planum orbis P A B, nunquam 
perturbat motus in latltudlnem ; quodque vis N M, ubi nodi sunt 
in syzygiis, agendo etlam secundum idem orbis planum, non perturbat 
hos motus ; ubi vero sunt in quadraturls, eos maxlme perturbat, 
corpusque P de plano orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinatlo- 
nem plani in transltu corporis a quadraturis ad syzygias, augetque 
vlcissim eandem in transitu a syzygiis ad quadraturas. Unde fit 
ut corpore in syzyglls exlstente inclinatio evadat omnium minlma, 
redeatque ad priorem magnitudlnem circlter, ubi corpus ad nodum 
proximum accedit. At si nodi constituantur in octantlbus post 
quadraturas, id est, inter C & A, D 81 B, intelligetur ex modo 
exposltis, quod, in transltu corporis P a nodo alterutro ad gradum 
inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in 

M 



178 DE MOTU CORPOR UM 

transitu per proximos 45 gradus, usque ad quadraturam proximam, 
inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, 
usque ad nodum proximum, diminuitur. Magis itaque diminuitur 
inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo 
subsequente quam inpraecedente. Et simili ratiocinio, inclinatio 
magis augetur, quam diminuitur, ubi nodi sunt in octantibus alteris 
inter A &l D, B & C. Inclinatio igitur ubi nodi sunt in syzygiis est 
omnium maxima. In transitu eorum a syzygiis ad quadraturas, in 
singulis corporis ad nodos appulsibus, diminuitur; fitque omnium 
minima, ubi nodi sunt in quadraturis, & corpus in syzygiis : dein crescit 
iisdem gradibus, quibus antea decreverat ; nodisque ad syzygias 1 
proximas appulsis, ad magnitudinem primam revertitur. ^^H 

CoroL II. Quoniam corpus P, ubi nodi sunt in quadraturis, 
perpetuo trahitur de plano orbis sui, idque in partem versus vS in 
transitu suo a nodo C per conjunctionem A ad nodum D ; & in 



r 



g^- 



M 



contrariam partem in transitu a nodo D per oppositionem B ad 
nodum C : manifestum est, quod in motu suo a nodo C corpus per- 
petuo recedit ab orbis sui plano primo CDy usque dum perventum est 
ad nodum proximum; ideoque in hoc nodo, longissime distans a plano 
illo primo CD, transit per planum orbis EST non in plani ilHus 
nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis 
S, quodque proinde novus est nodi locus in anteriora vergens. Et 
simili argumento pergent nodi recedere in transitu corporis de hoc 
nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti 
perpetuo recedunt ; in syzygiis, ubi motus in latitudinem nil pertur- 
batur, quiescunt; in locis intermediis, conditionis utriusque parti- 



LIBER PRIMUS. I ^g 

clpes, recedunt tardius : ideoque, semper vel retrogradi, vel statio- 
narii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia. 

Corol. 1 2. Omnes illi in his corollariis descripti errores sunt paulo 
majores in conjunctione corporum P, S, quam in eorum oppositione ; 
idque ob majores vires generantes N M 8i M L, 

CoroL 13. Cumque rationes horum corollariorum non pendeant 
a magnitudine corporis S, obtinent praecedentia omnia, ubi corporis 
S tanta statuitur magnitudo, ut circa ipsum revolvatur corporum 
duorum T 81 P systema. Et ex aucto corpore S, auctaque ideo 
ipsius vi centripeta, a qua errores corporis P oriuntur, evadent 
errores illi omnes, paribus distantiis, majores in hoc casu quam in 
altero, ubi corpus 6" circum systema corporum P &, T revolvitur. 

CoroL 14. Cum autem vires N M^ M L, ubi corpus 6^ longinquum 
est, sint quamproxime ut vis S K 8>l ratio P T ^d S T conjunctim, 
hoc est, si detur tum distantia P T, tum corporis kS vis absoluta, ut 

5 T cub. reciproce; sint autem vires illse N M, M L causae errorum 

6 effectuum omnium, de quibus actum est in praecedentibus corol- 
lariis : manifestum est, quod effectus illi omnes, stante corporum 
T 81 P systemate, & mutatis tantum distantia S T 81 v\ absoluta 
corporis S, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa 
vis absolutae corporis Sy & ratione triplicata inversa distantiae 6^ Z! 
Unde si systema corporum T 8c P revolvatur circa corpus longin- 
quum S; vires illae NM, M L, & earum effectus erunt (per 
corol. 2 & 6, prop. iv) reciproce in duplicata ratione temporis 
periodici. Et inde etiam, si magnitudo corporis ^9 proportionaHs sit 
ipsius vi absolutae, erunt vires illae NM, ML, & earum effectus 
directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis 6" e corpore 
T spectati, & vice versa. Namque hae rationes eaedem sunt, atque 
ratio superior composita. 

CoroL 15. Et quoniam si, manentibus orbium ESE 8l P A B 
forma proportionibus & incHnatione ad invicem, mutetur eorum 
magnitudo & si corporum S 8l T vel maneant vel mutentur vires 
in data quavis ratione, hae vires (hoc est, vis corporis T, qua 
corpus P de recto tramite in orbitam P A B deflectere, & vis corporis 
S, qua corpus idem P de orbita illa deviare cogitur) agunt semper 
eodem modo, & eadem proportione : necesse est ut similes & pro- 
portionales sint effectus omnes, & proportionalia effectuum tempora ; 



l8o ^^ MOTU CORPORUM 

hoc est, ut errores omnes lineares sint ut orbium diametri, angulares 
vero iidem, qui prius, & errorum linearium similium vel angularium 
sequalium tempora ut orbium tempora periodica. 

Corol. i6. Unde, si dentur orbium formae & inclinatio ad invicem, 
& mutentur utcunque corporum magnitudines, vires & distantiae ; 
ex datis erroribus & errorum temporibus in uno casu, colligi possunt 
errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime : sed 
brevius hac methodo. Vires N M, M L, caeteris stantibus, sunt ut 
radius TP, & harum effectus periodici (per corol. 2 lem. x) ut 
vires, & quadratum temporis periodici corporis P conjunctim. Hi 
sunt errores Hneares corporis P, & hinc errores angulares e centro 
T spectati (id est, tam motus augis & nodorum, quam omnes in 
longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt, in quahbet 
revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam 
proxime. Conjungantur hse rationes cum rationibus corollarii 14, 



J 




& in quolibet corporum T, P, S systemate, ubi P circum T sibi 
propinquum, & T circum 6" longinquum revolvitur, errores angu- 
lares corporis P, de centro T apparentes, erunt, in singuHs revolu- 
tionibus corporis ilHus P, ut quadratum temporis periodici corporis 
P directe & quadratum temporis periodici corporis T inverse. 
Et inde motus medius augis erit in data ratione ad motum medium 
nodorum ; & motus uterque erit ut tempus periodicum corporis P 
directe & quadratum temporis periodici corporis T inverse. Au- 
gendo vel minuendo excentricitatem & incHnationem orbis PAB 
non mutantur motus augis & nodorum sensibiHter, nisi ubi eaedem 
sunt nimis magnae. 



LIBER PRIMVS. l8i 

Corol: 1 7. Cum autem linea LM nunc major sit nunc mlnor quam 
radlus P T, exponatur vls mediocrls L M per radlum illum P T ; 
& erit hsec ad vim mediocrem S K vel S N (quam exponere licet 
per S T) Mt longltudo P 7" ad longltudlnem ^9 T. Est autem vis 
mediocris ^'iV vel 6^ Z", qua corpus T^retlnetur in orbe suo circum S, 
ad vim, qua corpus P retinetur in orbe suo circum T, in ratlone 
composlta ex ratlone radli S T 2A radlum P T, 81 ratione dupllcata 
temporis perlodici corporls P clrcum T^ad tempus periodicum corporis 
T circum 6^. Et ex sequo, vis medlocrls L M 3.6. vim, qua corpus 
P retinetur in orbe suo circum T (quave corpus idem P, eodem 
tempore perlodlco, clrcum punctum quodvls immoblle T ad dlstantiam 
P 7"revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodlcorum tem- 
porum. Datis igitur temporlbus periodicis una cum distantia P T, 
datur vis mediocris L M ; & ea data, datur etiam vis M N 
quamproxime per analogiam linearum P T, MN, 

Corol. 18. lisdem leglbus, quibus corpus P circum corpus T 
revolvitur, fingamus corpora plura flulda circum idem 7"ad sequales 
ab ipso distantias moveri ; deinde ex his contiguis factis conflari 
annulum fluidum, rotundum ac corpori T concentricum ; & singu- 
Ise annuH partes, motus suos omnes ad legem corporis P peragendo, 
propius accedent ad corpus T, & celerius movebuntur in conjunc- 
tione & opposltione ipsarum & corporis S, quam in quadraturis. 
Et nodi annuH hujus, seu intersectiones ejus cum plano orbitse 
corporis .S vel Z", quiescent in syzygiis ; extra syzygias vero move- 
buntur in antecedentia, & veloclssime quidem in quadraturis, tardius 
allis in locls. Annuli quoque inclinatlo variabitur, & axls ejus 
slngulis revolutionibus oscillabitur, completaque revolutione ad 
pristlnum situm redibit, nisi quatenus per praecessionem nodorum 
circumfertur. 

Corol. 19. Flngas jam globum corporis T, ex materia non fluida 
constantem, ampliari & extendi usque ad hunc annulum, & alveo 
per circultum excavato contlnere aquam, motuque eodem peri- 
odlco clrca axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices 
acceleratus & retardatus (ut in superiore corollario) in syzygiis 
veloclor erlt, in quadraturis tardior quam superficies globi, & sic fluet 
in alveo refluetque ad modum marls. Aqua, revolvendo circa globi 
centrum quiescens, si tollatur attractio corporis S^ nullum acquiret 



l82 DE MOTU CORPORUM 

motum fluxus & refluxus. Par est ratlo globi uniformiter progre- 
dlentis in dlrectum, & Interea revolventls clrca centrum suum (per 
legum corol. v) ut & globl de cursu rectllineo unlformlter tracti 
(per legum corol. vi). Accedat autem corpus S, & ab Ipslus Insequa- 
bili attractlone mox turbabitur aqua. Etenlm major erlt attractlo 
aquae propioris, mlnor ea remotloris. Vis autem L M trahet aquam 
deorsum in quadraturis, facletque ipsam descendere usque ad syzy- 
gias; & vls KL trahet eandem sursum in syzygils, slstetque descensum 
ejus, & faclet ipsam ascendere usque ad quadraturas : nlsl quatenus 
motus fluendi & refluendi ab alveo aquse dlrigatur, & per frlctlonem 
aliquatenus retardetur. 

Corol. 20. Si annulus jam rigeat, & minuatur globus, cessabit 
motus fluendi & refluendi ; sed osclllatorius ille incHnationls motus & 
prsecessio nodorum manebunt. Habeat globus eundem axem cum 
annulo, gyrosque compleat ilsdem temporibus, & superficie sua con- 
tingat ipsum Interius, eique inhsereat ; & particlpando motum ejus, 



compages utriusque osclllabitur, & nodi regredientur. Nam globus, 
ut mox dlcetur, ad susclpiendas impresslones omnes indifferens est. 
Annuli globo orbati maxlmus incllnatlonis angulus est, ubl nodl sunt 
in syzyglls. Inde In progressu nodorum ad quadraturas conatur is 
incHnatlonem suam mlnuere, & isto conatu motum imprimit globo 
toti. Retinet globus motum impressum, usque dum annulus conatu 
contrario motum hunc tollat, imprlmatque motum novum in con- 
trarlam partem : Atque hac ratione maximus decrescentls incllna- 
tionis motus fit in quadraturis nodorum, & mlnimus incllnationls 
angulus In octantlbus post quadraturas ; dein maximus recHnatlonls 
motus In syzyglls, & maximus angulus in octantlbus proximis. Et 



LIBER PRIMUS. 



183 



eadem est ratio globi annulo nudati, qui in regionibus sequatoris vel 
altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo 
densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiae in aequatoris 
regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcunque globi hujus vi 
centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad 
modum gravitantium partium telluris, tamen phaenomena hujus & 
praecedentis corollarii vix inde mutabuntur; nisi quod loca maxi- 
marum & minimarum altitudinum aquae diversa erunt. Aqua enim 
jam in orbe suo sustinetur & permanet, non per vim suam centrifu- 
gam, sed per alveum in quo fluit Et praeterea vis L M trahit aquam 
deorsum maxime in quadraturis, & vis KL seu N M—L M trahit 
eandem sursum maxime in syzygiis. Et hae vires conjunctae desinunt 
trahere aquam deorsum & incipiunt trahere aquam sursum in 
octantibus ante syzygias, ac desinunt trahere aquam sursum incipi- 
untque trahere aquam deorsum in octantibus post syzygias. Et inde 
maxima aquae altitudo evenire potest in octantibus post syzygias, & 
minima in octantibus post quadraturas circiter ; nisi quatenus motus 
ascendendi vel descendendi ab his viribus impressus vel per vim 
insitam aquae paulo diutius perseveret, vel per impedimenta alvei 
paulo citius sistatur. 

Corol. 21. Eadem ratione, qua materia globi juxta aequatorem 
redundans efficit ut nodi regrediantur, atque ideo per hujus incre- 
mentum augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur, 
& per ablationem tolHtur; si materia plusquam redundans tollatur, 
hoc est, si globus juxta aequatorem vel depressior reddatur, vel 
rarior quam juxta polos, orietur motus nodorum in consequentia. 

Corol. 22. Et inde vicissim, ex motu nodorum innotescit consti- 
tutio globi. Nimirum si globus polos eosdem constanter servat, & 
motus fit in antecedentia, materia juxta aequatorem redundat ; si in 
consequentia, deficit. Pone globum uniformem & perfecte circi- 
natum in spatiis Hberis primo quiescere ; dein impetu quocunque 
obHque in superficiem suam facto propelli, & motum inde conci- 
pere partim circularem, partim in directum. Quoniam globus iste 
ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet, 
neque propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in 
aHum quemvis ; perspicuum est, quod is axem suum, axisque incH- 
nationem vi propria nunquam mutabit. ImpeHatur jam globus 



1 84 DE MOTU CORPOR UM 

oblique, in eadem illa superficiei parte, qua prius, impulsu quocunque 
novo ; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, mani- 
festum est, quod hi duo impulsus successive impressi eundem pro- 
ducent niotum, ac si simul impressi fuissent, hoc est, eundem, ac si 
globus vi simplici ex utroque (per legum corol. ii) composita impulsus 
fuisset, atque ideo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et 
par est ratio impulsus secundi facti in locum aHum quemvis in 
sequatore motus primi ; ut & impulsus primi facti in locum quemvis 
in aequatore motus, quem impulsus secundus sine primo generaret; 
atque ideo impulsuum amborum factorum in loca quaecunque : 
generabunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in 
locum intersectionis sequatorum motuum illorum, quos seorsim 
generarent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus 
non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit 
& ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu 
simplici & uniformi circa axem unicum, incHnatione semper inva- 
riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut 
rotationis velocitatem mutare potest. Si globus plano quocunque, 
per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte, dividi 
intelligatur in duo hemisphaeria ; urgebit semper vis illa utrumque 
hemisphserium aequahter, & propterea globum, quoad motum rota- 
tionis, nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter 
polum & aequatorem materia nova in formam montis cumulata, & 
haec, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus, turbabit motum 
globi, facietque ut poli ejus errent per ipsius superficiem, & circulos 
circum se punctumque sibi oppositum perpetuo describant. Neque 
corrigetur ista vaga^ionis enormitas, nisi locando montem illum vel 
in polo alterutro, quo in casu (per corol. 21) nodi aequatoris pro- 
gredientur; vel in aequatore, qua ratione (per corol. 20) nodi 
regredientur ; vel denique ex altera axis parte addendo materiam 
novam, qua mons inter movendum libretur, & hoc pacto nodi vel 
progredientur, vel recedent, perinde ut mons & haecce nova materia 
sunt vel polo vel aequatori propiores. 



LIBER PRIMUS. 



PROPOSITIO LXVII. THEOREMA XXVII 



185 



Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius S, circa 
interiorum P, T commune gravitatis centricm O, radiis ad centrum 
illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & orbem 
ad formam ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis acce- 
dentem, qtiam circa corpus intimum & maximum T, radiis ad ipsum 
ductisy describere potest, 

Nam corporis vS attractlones ver- 

sus T Sl P componunt ipsius attrac- 
tionem absolutam, quae magis dirigitur 
in corporum T 8i P commune gravi- 
tatis centrum (7, quam in corpus 
maximum Z", quseque quadrato dis- 

tantise 6^ O magis est proportionalis ^^ ^ 

reciproce, quam quadrato distantiae 6" T: ut rem perpendenti facile 
constabit. 



PROPOSITIO LXVIII. THEOREMA XXVIII. 

Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius S^ 
circa interiorum Y & T commmie gravitatis centrum O, radiis ad 
centrum illicd diutis, describit areas temporibus,magis proportionales, 
& orbem ad formam ellipseos umbilicum in ce^itro eodem habentis 
magis accedente^n, si corpics ifitimum & maximum his attractionibus 
perinde atque ccetera agitetur, quam si id vel non attractum quiescaty 
vel multo magis aut mtclto minus attracttcm aut mtilto magis aut 
multo minus agitetur. 

Demonstratur eodem fere modo cum prop. Lxvi sed argumento 
prolixiore, quod ideo prsetereo. Sufficeret rem sic aestimare. 
Ex demonstratione propositionis novissimae liquet centrum, in quod 



I 



l86 DE MOTU CORPORUM 

corpus 6^ conjunctls vlribus urgetur, proxlmum esse communl cen- 
tro gravitatls duorum Illorum. Si colncideret hoc centrum cum 
centro illo communi, & quiesceret commune centrum gravitatis 
corporum trlum ; describerent corpus 6^ ex una parte, & commune 

centrum aliorum duorum ex altera . 

parte, circa commune omnlum cen- 
trum qulescens, elllpses accuratas. 
Llquet hoc per corollarlum secun- 
dum proposltionis lviii collatum cum 
demonstratis in prop. lxiv & lxv. 

Perturbatur iste motus elllptlcus ali- ^ ^ 

quantulum per dlstantlam centrl duorum a centro, in quod tertium 6* 
attrahltur. Detur praeterea motus communl trium centro, & 
augebltur perturbatlo. Prolnde mlnima est perturbatlo, ubl commune 
trium centrum qulescit ; hoc est, ubi corpus intimum & maximum 
T lege cseterorum attrahitur : fitque major semper, ubi trium com- 
mune Illud centrum, mlnuendo motum corporis T, moveri incipit, & 
magis delnceps maglsque agltatur. 

CoroL Et hinc, si corpora plura mlnora revolvantur circa maxl- 
mum, colHgere Hcet quod orbltae descrlptse propius accedent ad 
elHpticas, & arearum descrlptiones fient magis aequabiles, si corpora 
omnla virlbus acceleratriclbus, quae sunt ut eorum vires absolutae 
directe & quadrata dlstantiarum inverse, se mutuo trahant agitent- 
que, & orbltae cujusque umbillcus coHocetur in communi centro 
gravltatis corporum omnium interlorum (nlmlrum umbiHcus orbitae 
primae & Intlmae in centro gravitatls corporis maxlml & intiml ; ille 
orbltae secundae, in communi centro gravitatis corporum duorum 
intlmorum ; iste tertlae, In communi centro gravitatls trium interiorum; 
& sic deinceps) quam si corpus Intlmum qulescat & statuatur com- 
munis umbiHcus orbitarum omnlum. 



PROPOSITIO LXIX. THEOREMA XXIX. 

In systemate corporiim plurium A, B, Q D, &c. si corptis aliquod 
A trahit ccetera omnia B, C, D, &c. viribus acceleratricibus qucB 
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente ; & corpus aliud 



LIBER PRIMUS. 



187 



B trahit etiam ccetera A, C, D, &c, viribtis qucs stcnt reciproce ut 
quadrata distantiarum a trahente : eriint absolutce corpormn trahen- 
tium A, B vires ad iitvicem, tct sunt ipsa coi^pora A, B, qtcoricm 
sunt vires. 

Nam attractlones acceleratrices corporum omnium B, C, D ver- 
sus A, parlbus dlstantlls, slbl invlcem aequantur ex hypothesi ; & 
siminter attractlones acceleratrlces corporum omnium versus B^ 
paribus dlstantlls, sibi invicem sequantur. Est autem absoluta vis 
attractiva corporis A ad vlm absolutam attractivam corporis B, ut 
attractlo acceleratrlx corporum omnium versus A ad attractionem 
acceleratrlcem corporum omnlum versus B^ paribus distantiis ; & 
ita est attractio acceleratrix corporls B versus Ay ad attractlonem 
acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acceleratrix 
corporls B versus A est ad attractlonem acceleratrlcem corporis A 
versus B, ut massa corporis A ad massam corporls B ; propterea 
quod vires motrices, quae (per definitionem secundam, septlmam & 
octavam) sunt ut vires acceleratrices & corpora attracta conjunctlm, 
hic sunt (per motus legem tertiam) sibi invicem sequales. Ergo 
absoluta vls attractiva corporis A est ad absolutam vlm attractlvam 
corporls B, ut massa corporis A ad massam corporis B. Q. E. D. 

Corol. I. Hinc si singula systematis corpora A, B, C, D, &c., 
seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus, quae 
sunt reciproce ut quadrata distantlarum a trahente ; erunt corporum 
illorum omnlum vires absolutae ad invicem ut sunt ipsa corpora. 

Corol. 2. Eodem argumento, si slngula systematls corpora A, B^ 
C, Dy &c. seorslm spectata trahant caetera omnia viribus accelera- 
trlclbus, quae sunt vel reciproce, vel directe in ratlone dignitatls 
cujuscunque distantiarum a trahente, quseve secundum legem quam- 
cunque communem ex dlstantlis ab unoquoque trahente definiuntur ; 
constat quod corporum illorum vires absolutae sunt ut corpora. 

Corol. 3. In systemate corporum, quorum vires decrescunt in 
ratione dupHcata dlstantlarum, si mlnora clrca maximum in elHpsibus, 
umblHcum communem in maxlmi inius centro habentlbus, quam 
fieri potest accuratissimis revolvantur; & radiis ad maxlmum illud 



i88 D^ MOTU CORPORUM 

ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales : 
erunt corporum illorum vires absolutae ad invicem, aut accurate aut 
quamproxime, in ratione corporum ; & contra. Patet per corol. 
prop. Lxviii coUatum cum hujus corol. i. 

Scholmm. 

His propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen- 
tripetas, & corpora centralia, ad quse vires illae dirigi solent. Ra- 
tioni enim consentaneum est, ut vires, quse ad corpora diriguntur, 
pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in magneticis. 
Et quoties hujusmodi casus incidunt, sestimandse erunt corporum 
attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias, & 
colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaHter 
usurpo pro corporum conatu quocunque accedendi ad invicem : sive 
conatus iste fiat ab actione corporum, vel se mutuo petentium, 
vel per spiritus emissos se invicem agitantium; sive is ab actione 
setheris, aut aeris, mediive cujuscunque seu corporei seu incorpo- 
rei oriatur corpora innatantia in se invicem utcunque impellentis, 
Eodem sensu generah usurpo vocem impulsus, non species virium 
& qualitates physicas, sed quantitates & proportiones mathematicas 
in hoc tractatu expendens, ut in definitionibus explicui. In mathesi 
investigandae sunt virium quantitates & rationes illae, quae ex con- 
ditionibus quibuscunque positis consequentur : deinde, ubi in phy- 
sicam descenditur, conferendae sunt hae rationes cum phaenomenis ; 
ut innotescat quaenam virium conditiones singuHs corporum attracti- 
vorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus, 
causis & rationibus physicis tutius disputare Hcebit. Videamus igitur 
quibus viribus corpora sphaerica, ex particuHs modo jam exposito 
attractivis constantia, debeant in se mutuo agere ; & quales motus 
inde consequantun 



LIBER PRIMUS, 189 

SECTIO XII. 

De corporum sphcBricorum viribus attractivis, 

PROPOSITIO LXX. THEOREMA XXX. 

Si ad sphcBriccB superficiei puncta singula tendant vires c^quales 
ceritripetcB decrescentes in duplicata ratione distantiarum apunctis : 
dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus 
nullam in partem attrahitur. 

Sit H I K L superficies illa sphaerica, & P corpusculum intus con- 
stitutum. Per P agantur ad hanc superficiem linese duae H K, I L, 
arcus quam minimos H I, K L intercipientes ; &, ob triangula HPI, 
LPK (per corol. 3 lem. vii) similia, 
arcus illi erunt distantiis H P, L P pro- 
portionales ; & superficiei sphaericae par- 
ticulse quaevis ad H I 81 K L, rectis per 
punctum P transeuntibus undique ter- 
minatae, erunt in duplicata illa ratione. 
Ergo vires harum particularum in corpus 
P exercitae sunt inter se aequales. Sunt 
enim ut particulae directe, & quadrata 
distantiarum inverse. Et hae duae rationes 
componunt rationem aequalitatis. Attractiones igitur, in contrarias 
partes aequaliter factae, se mutuo destruunt. Et simili argumento, 
attractiones omnes per totam sphaericam superficiem a contrariis 
attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his 
attractionibus impellitur. Q, E. D. 

PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXI. 

lisdem positis, dico quod -corpusculum extra sphcsricam superficiem 
constitutum attrahitur ad centrum sphcsrcSy vi reciproce proportionali 
quadrato distantice sucs ab eodem centro. 




190 



DE MOTU CORPORUM 



Sint A H KB, ahkb aequales duse superficles sphaericae, centris 
S, s, diametris A B, ab descriptse, 81 P, p corpuscula slta extrin- 
secus in dlametrls illis productls. Agantur a corpusculis llneae 
PHK, P ILy pkky pil, auferentes a circulis maximis AHB, 
akb, aequales arcus H K, kk & I L, il: et ad eas demittantur 
perpendicula S D, sd ; S E, se; I R, ir; quorum SD, i"^secent P L, 
plm P 81 /, Demittantur etlam ad diametros perpendlcula I Q, iq. 
Evanescant anguli D P E, dpe: & ob aequales D S & ds, E S & es, 
lineae P E, P E & pe, pf & lineola D E, df pro aequalibus habe- 
antur; qulppe quarum ratio ultlma, angulls illls D P E, dpe simul 




evanescentibus, est aequalitatls. HIs itaque constitutis, erit P/ ad 
P E \xt RI 2id DE, & pf ad / i ut df vel DE 2id ri; & ex aequo 
Plxpf ad P Expi ut R I ad ri, hoc est (per corol. 3 lem. vii) 
ut arcus I H 2id arcum ik, Rursus P I ad P S ut I Q did S E, & 
ps 2Ldp i ut se vel SE ad iq ; & ex aequo P I xp s Sid P S xp i ut 
IQ 2id iq. Et conjunctis ratlonibus P I quad. xpfxps ad p i quad. 
xP ExP S, ut IHxIQ ad ikxiq ; hoc est, ut superficles circu- 
laris, quam arcus IH convolutione semlcirculi A KB clrca dlametrum 
A B descrlbet, ad superficiem circularem, quam arcus ik con^ 
volutione semlcirculi akb circa diametrum ab descrlbet. Et vires, 
qulbus hae superficles secundum lineas ad se tendentes attrahunt 
corpuscula P 8c p, sunt (per hypothesln) ut ipsae superficies dlrecte, 
& quadrata distantlarum superficlerum a corporlbus inverse, hoc est, 
ut pfxps ad P Ex P S. Suntque hae vires ad Ipsarum partes obli- 
quas, quae (facta per legum corol. 11 resolutione virlum) secundum 
lineas P S, ps ad centra tendunt, ut P / ad P Q, 81 pi 2id p q ; id 
est (ob slmllia trlangula P IQ 81 P S E,piq 81 psf) ut P S 3id P E 



LIBER PRIMUS. I ^ I 

& / 5 ad pf. Unde, ex aequo, fit attractlo corpusculi hujus P 
versus 6^ ad attractionem corpusculi / versus s, ut ^^-^ — ^ ad 

pfxPFxPS - , 7 1 r^ O , T- . .,. 

— , hoc est, utps qtcad, ad /^6 qiiad. Lt simih arra- 

p s 

mento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl descriptae 

trahunt corpuscula, erunt ut / ^ qtcad. ad /* ^S qtcad. inque eadem 

ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utraque 

superficies sphserica, capiendo semper sd aequalem SD & se 

aequalem SE, distingui potest. Et, per compositionem, vires totarum 

superficierum sphaericarum in corpuscula exercitae erunt in eadem 

ratione. Q.E.D, 



PROPOSITIO LXXII. THEOREMA XXXII. 

Si ad sphcBrce cujusvis punda singula tejidant vires csquales centripetcB 
decrescentes in dtcplicata ratione distantiartcm a punctis ; ac detur 
tum sphcBrcB de^isitas, tum ratio diametri sphcerce ad distantiam 
corpusculi a centro ejus : dico quod visy qua corpusculum attrahitur, 
proportionalis erit semidiametro sphcercs, 

Nam concipe corpuscula duo seorsim a sphaeris duabus attrahi, 
unum ab una & alterum ab altera, & distantias eorum a sphaerarum 
centris proportionales esse diametris sphaerarum respective, sphaeras 
autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula. 
Et attractiones corpusculi unius, factae versus singulas particulas 
sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem 
particulas sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particu- 
larum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed 
particulae sunt ut sphaerae, hoc est, in ratione triplicata diametrorum, 
& distantiae sunt ut diametri ; & ratio prior directe una cum 
ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. 
Q.E.D. 

Corol. I. Hinc si corpuscula in circulis, circa sphaeras ex materia 



19' 



DE MOTU CORPORUM 



ccqualiter attractiva constantes, revolvantur ; sintque distantise a 
centris sphaerarum proportionales earundem diametris : tempora 
periodica erunt aequalia. 

Corol, 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt aequalia ; 
distantise erunt proportionales diametris. Constant haec duo per 
corol. 3 prop. iv. 

CoroL 3. Si ad solidorum duorum quorumvis, simiHum & aequa- 
liter densorum, puncta singula tendant vires aequales centripetae, 
decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis ; vires, quibus 
corpuscula, ad solida illa duo simiHter sita, attrehentur ab iisdem, 
erunt ad invicem ut diametri solidorum. 



PROPOSITIO LXXIII. THEOREMA XXXIII. 

Si ad sphcErcB alicujus datce puncta singula tendant cBquales vires 
centripetcs decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis : 
dico quod corpusctilum intra spkceram constittctum attrahitur vi 
proportionali distantice sucs ab ipsius centro, 

In sphaera ABCD, centro ^'descripta, 
locetur corpusculum P ; Sl centro eodem 
S, intervallo SP, concipe sphaeram interi- 
orem P EQF describi. Manifestum est, 
(per prop. lxx) quod sphaericae superficies 
concentricae, ex quibus sphaerarum difife- 
rentia AEBF componitur, attractionibus 
suis per attractiones contrarias destructis, 
nil agunt in corpus P. Restat sola at- 
tractio sphaerae interioris P E Q F. Et 
(per prop. lxxii) haec est ut distantia P S. Q. E, D. 




Scholium, 

Superficies, ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure 
mathematicae, sed orbes adeo tenues, ut eorum crassitudo instar 



LIBER PRIMUS. 193 

nihili sit; nimirum orbes evanescentes, ex quibus sphaera ultimo 
constat, ubi orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur 
in infinitum. SimiHter per puncta, ex quibus linese, superficies, & 
soHda componi dicuntur, inteHigendae sunt particulae sequales mag- 
nitudinis contemnendse. 



PROPOSITIO LXXIV. THEOREMA XXXIV. 

lisdem positisy dico quod corpusculum extra sphcEram constitutum 
attrahitur vi reciproce proportionali quadrato dista^ttice sucs ab 
ipsius centro, 

Nam distinguatur sphaera in superficies sphaericas innumeras 
concentricas, & attractiones corpuscuH a singuHs superficiebus oriun- 
dae erunt reciproce proportionales quadrato distantiae corpuscuH a 
centro (per prop. lxxi). Et componendo fiet summa attractionum^ 
hoc est attractio corpusculi in sphaeram totam, in eadem ratione. 

CoroL I. Hinc in sequaHbus distantiis a centris homogenearum 
sphaerarum attractiones sunt ut sphaerae. Nam (per prop. lxxii) 
si distantiae sunt proportionales diametris sphaerarum, vires erunt 
ut diametri. Minuatur distantia major in iUa ratione; &, distantiis 
jam factis aequaHbus, augebitur attractio in dupHcata iUa ratione; 
ideoque erit ad attractionem alteram in trlpHcata iUa ratione, hoc est, 
in ratione sphaerarum. 

CoroL 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut sphaerae 
appHcatae ad quadrata distantiarum. 

CoroL 3. Si corpusculum, extra sphaeram homogeneam positum, 
trahitur vi reciproce proportionaH quadrato distantiae suae ab ipsius 
centro, constet autem sphaera ex particuHs attractivis ; decrescet vis 
particulae cujusque in dupHcata ratione distantiae a particula. 

PROPOSITIO LXXV. THEOREMA XXXV. 

Si ad sphcBrce datcs ptmcta singula tendant vires csquales centripetcs, 

decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis ; dico quod 

N 



1 94 ^^ ^O TU CORPOR UM 

sphcera qticevis alia similaris ab eadem attrahittcr vi reciproce 
proportionali qttadraio distantice centrorum. 

Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum 
distantiae suae a centro sphaerae trahentis (per prop. lxxiv), & 
propterea eadem est, ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo 
unico sito in centro hujus sphaerae. Haec autem attractio tanta est, 
quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a 
singuhs sphaerae attractae particuHs eadem vi traheretur, qua ipsas 
attrahit Foret autem illa corpuscuH attractio (per prop. lxxiv) 
reciproce proportionalis quadrato distantiae suae a centro sphaerae ; 
ideoque huic aequaHs attractio sphaerae est in eadem ratione. Q.E.D, 

Corol. I. Attractiones sphaerarum, versus aHas sphaeras homoge- 
neas, sunt ut sphaerae trahentes appHcatae ad quadrata distantiarum 
centrorum suorum a centris earum, quas attrahunt. 

Corol. 2. Idem valet, ubi sphaera attracta etiam attrahit. Namque 
hujus puncta singula trahent singula alterius eadem vi, qua ab ipsis 
vicissim trahuntur; ideoque cum in omni attractione urgeatur (per 
legem iii) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, gemina- 
bitur vis attractionis mutuae, conservatis proportionibus. 

Corol. 3. Eadem omnia, quae superius de motu corporum circa 
umbiHcum conicarum sectionum demonstrata sunt, obtinent, ubi 
sphaera attrahens locatur in umbiHco, & corpora moventur extra 
sphaeram. 

Corol. 4. Ea vero, quae de motu corporum circa centrum conicarum 
sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra 
sphaeram. 



PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVI. 

Si sphcercB in progressu a centro ad circumferentiam (quoad materice 
densitatem & vim attractivam) utcunque dissimilares, ifi progressu 
vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt 
undique similares ; & vis attractiva puncti cupisque decrescit in 
duplicata ratione distantice corporis attracti: dico quod vis tota, qua 



LIBER PRIMVS. 



195 



hujusmodi sphcsra tma attrahit aliam, sit reciproce proportionalis 
quadrato distantics centrortim. 



Sunto sphaerse quotcunque concentricse slmilares A B, C D, E F, 
&c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam 
densiorem versus centrum, vel subductae relinquant tenuiorem ; & 
hae (per prop. lxxv) trahent sphaeras aHas quotcunque concentricas 
similares G H, I K, L M, &c. slngulae singulas, viribus reciproce 
proportionaHbus quadrato distantiae 6^ P. Et componendo vel divi- 
dendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aHquarum supra 
aHas ; hoc est, vis, qua sphaera tota, ex concentricis quibuscunque 
vel concentricarum dlf- 
ferentiis composita A B, 
trahit totam ex concentri- 
cis quibuscunque vel con- 
centricarum differentiis 
compositam GH ; erlt In 
eadem ratlone. Augeatur 
numerus sphaerarum con- 
centricarum in infinitum 
sic, ut materiae densitas una cum vi attractlva, In progressu a 
clrcumferentla ad centrum, secundum legem quamcunque crescat vel 
decrescat; &, addita materla non attractiva, compleatur ubivls densltas 
deficiens, eo ut sphaerae acquirant formam quamvis optatam ; & vls, 
qua harum una attrahet alteram, erit etlamnum, per argumentum 
superlus, in eadem IHa dlstantiae quadratae ratlone Inversa. Q. E. D. 

Corol. I. Hinc si ejusmodi sphaerae complures, sibi invicem per 
omnla slmiles, se mutuo trahant; attractiones acceleratrices slngularum 
in singulas erunt, in aequaHbus quibusvis centrorum distantiis, ut 
sphaerae attrahentes. 

Corol. 2. Inque distantiis quibusvis inaequaHbus, ut sphaerae 
attrahentes appHcatae ad quadrata distantiarum inter centra. 

Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera sphaerarum In 
sphaeras erunt, in aequaHbus centrorum distantiis, ut sphaerae attra- 
hentes & attractae conjunctim, id est, ut contenta sub sphaeris per 
multlpHcationem producta. 




196 



DE MOTU CCRPORUM 



Corol. 4. Inque dlstantils Insequallbus, ut contenta Illa directe & 
quadrata distantiarum inter centra inverse. 

CoroL .5. Eadem valent, ubl attractio oritur a sphserse utrlusque 
virtute attractiva mutuo exercita in sphaeram alteram. Nam viribus 
ambabus geminatur attractio, proportione servata. 

Corol. 6. SI hujusmodi sphaerae ahquae clrca alias qulescentes 
revolvantur, singulae circa singulas ; sintque distantiae inter centra 
revolventlum & quiescentlum proportlonales quiescentium diametris ; 
sequaha erunt tempora perlodlca. 

Corol. 7. Et vicissim, sl tempora perlodica sunt aequaha; distantiae 
erunt proportionales diametrls. 

Corol. 8. Eadem omnia, quae superius de motu corporum clrca 
umblhcos conicarum sectionum demonstrata sunt, obtinent ; ubl 
sphaera attrahens, formae & condltlonis cujusvis jam descrrptae, locatur 
in umbihco. 

CoroL 9. Ut & ubl gyrantla sunt etlam sphaerae attrahentes, 
conditionls cujusvls jam descriptae. 



PROPOSITIO LXXVII. THEOREMA XXXVII. 

Siad singula sphcerarmn pU7icta tendant vires centripetce proportionales 
distantiis ptmctoriim a corporibus attractis : dico quod vis composita, 
qua sphcsrcB dtice se mutuo trahenty est ut distantia inter centrd 
sphcerartim. 



Cas. I. Slt ^ ^^T^ sphaera; 
6^ centrum ejus ; P corpusculum 
attractum, P A S B axls sphaerae 
per centrum corpuscuh translens ; 
E F, ^y plana duo, quibus sphaera 
secatur, huic axi perpendlcularia, 
& hlnc inde aequahter dlstantla a 
centro sphaerae ; G, g intersec- 
tiones planorum & axls; & H punctum quodvls in plano EF. Puncti 
-^ vis centripeta in corpusculum P, secundum hneam P //" exerclta. 




LIBER PRIMUS. 



197 



est ut dlstantia P H; & (per legum corol. 11) secundum lineam P G, 
seu versus centrum S, ut longitudo P G. Igitur punctorum omnium 
in plano E F, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur 
versus centrum S, est ut distantia P G multiphcata per numerum 
punctorum, id est, ut sohdum quod continetur sub plano ipso E F 81 
distantia iha P G. Et simihter vis plani ef, qua corpusculum P 
trahitur versus centrum Sy est ut planum ihud ductum in distantiam 
suam P g, sive ut huic sequale planum E F ductum in distantiam 
iham P^; & summa virium plani utriusque ut planum jfi^/^ductum 
in summam distantiarum P G + P g, id est, ut planum ihud ductum 
in duplam centri & corpuscuh distantiam P S, hoc est, ut duplum 
planum EF ductum in distantiam P S, vel ut summa aequahum 
planorum E F-\-ef ducta in distantiam eandem. Et simih argumento, 
vires omnium planorum in sphsera tota, hinc inde aequahter a 
centro sphaerae distantium, sunt ut summa planorum ducta in dis- 
tantiam P S, hoc est, ut sphaera tota & ut distantia P S conjunctim. 
Q. E. D. 

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P sphaeram A E B F. Et eodem 
argumento probabitur quod vis, qua sphaera iha trahitur, erit ut 
distantia P S. Q. E D. 

Cas. 3. Componatur jam sphaera altera ex corpuscuhs innumeris 
P ; 81 quoniam vis, qua corpusculum unumquodque trahitur, est ut 
distantia corpuscuh a centro sphaerae primae & ut sphaera eadem 
conjunctim, atque ideo eadem est, ac si prodiret tota de corpusculo 
unico in centro sphaerae ; vis tota, qua corpuscula omnia in sphaera 
secunda trahuntur, hoc est, qua sphaera illa tota trahitur, eadem erit, 
ac si sphaera iha traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in 
centro sphaerae primae, & propterea proportionahs est distantiae inter 
centra sphaerarum. Q. E. D. 

Cas. 4. Trahant sphaerae se mutuo, & vis geminata proportionem 
priorem servabit. Q. E. D. 

Cas. 5. Locetur jam corpusculum / intra sphaeram A E B F ; & 
quoniam vis plani ef in cbrpusculum est ut sohdum contentum sub 
plano iho & distantia pg ; & vis contraria plani E F vX sohdum 
contentum sub plano iho & distantia pG; erit vis ex utraque 
composita ut differentia sohdorum, hoc est, ut summa aequahum 
planorem ducta in senjissem differentiae disiantiarum, id. est, ut 




iqS DE MOTU CORFORUM 

summa illa ducta m p S dlstantlam corpusculi a centro sphaerae. 

Et simlli argumento, attractio planorum 

omnium E F, ef in sphsera tota, hoc est, 

attractlo sphaerse totlus, est conjunctim ut 

summa planorum omnium, seu sphsera tota, 

& ut /6" dlstantla corpusculi a centro 

sphaerae. Q. E, D, 

Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris 
/ componatur sphaera nova, intra sphaeram 
priorem A E B F sita ; probabitur ut prius 
quod attractio, sive simplex sphaerae unius in alteram, sive mutua 
utriusque in se invicem, erit ut distantia centrorum/ S, Q. E. D. 



PROPOSITIO LXXVIII. THEOREMA XXXVIII. 

Si sphcsrce in progressu a cejitro ad circumferentiam sint tUcunqtie 
dissimilares & incBquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam 
omnem a centro dista^itiam sint tmdique similares : & vis attractiva 
puncti czcjusque sit tit distantia corporis attracti ; dico quod vis tota 
qua kujusmodi spkcercB ducB se mutuo trakunt sit proportionalis 
distanticB inter centra spkcsrarum. 

Demonstratur ex propositione praecedente eodem modo, quo 
propositio lxxvi ex propositione lxxv demonstrata fult. 

Corol. Quae superlus in propositionibus x & lxiv de motu cor- 
porum circa centra conicarum sectionum demonstrata sunt, valent ubi 
attractiones omnes fiunt vi corporum sphaericorum conditionis 
jam descriptae, & attracta corpora sunt sphaerae conditionis ejusdem. 

Sckolium. 

Attractionum casus duos insigniores jam dedi expositos ; nimirum 
ubi vires centripetae decrescunt in duplicata dlstantlarum ratlone, 
vel crescunt in distantlarum ratione simpHci; efficientes in utroque 
casu ut corpora gyrentur in conicis sectionibus, & componen- 
tes corporum sphaericorum vires centripetas eadem lege, in 



LIBER PRIMVS. 



199 



recessu a Centro, decrescentes vel crescentes cum seipsis : Quod est 
notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones minus elegantes 
exhibent, sigillatim percurrere longum esset. Malim cunctos me- 
thodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitun 



LEMMA XXIX. 

Si describantur centro S circulus quilibet A E B, dr' centro P circuli 
duo E F, ef, secantes priorem in E, e, lineamque PS in F, f; 
& ad Y ?i demittantur perpendicula E D, e d : dico quod, si 
distantia arcuum E F, e f in infinitum minui intelligatury ratio 
ultima linece evanescentis D dad lineam evanescentem F f ea sit, quce 
linecB FK ad /ineam P S. 

Nam si linea Pe secet arcum E F m q ; & recta jBe, quae cum 
arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectse -PkS' in T; 
& ah S demittatur m P E normalis SG : ob similia triangula D TE, 
dTe, DES; erit Dd ad Ee, ut D T Sid TE, seu DE ad ES; 




& ob triangula Eeq, ESG (per lem. viii & corol 3 lem. vii) 

Isimilia, erit Ee ad eq, seu F/, mX, E S did S G ; 81, ex sequo, Dd ad 
F/ ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE,PGS) 



200 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX 



Si superficies ob latitudinem infinite difninutam jamjam evanescens 
EFfe, convolutione sui circa axem P S, describat solidtcni sphcericum 
concavo-convexunty ad cujus particulas singulas cequales tendant 
cequales vires centripetcs : dico quod vis, qtia solidum illud trahit 
co7pusculum situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi 
D E ^ X F f, dj" ratione vis qua particula data in loco F f traheret 
idem corpusculum, 

Nam si primo consideremus vim superficiei sphaericae F E, quae 
convolutione arcus F E generatur, & a linea de ubivis secatur in r ; 
erit superficiei pars annularis, convolutione arcus rE genita, ut 
lineola D d, manente sphaerse radio P^ (uti demonstravit Archi- 
medes in lib. de SphcBra & Cyli^idro), Et hujus vis, secundum line- 
as PE vel Pr undique in super- 
ficie conica sitas exercita, ut haec 
ipsa superficiei pars annularis ; 
hoc est, ut Hneola D d, vel, quod 
perinde est, ut rectangulum sub 
dato sphaerse radio PE & Hneola 
illa Dd: at secundum Hneam 
P S "dA centrum ^ tendentem 
minor in ratione P D ad P E^ 
ideoque ut P DxDd, Dividi 
jam inteHigatur Hnea DF m 
particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; & 
superficies FE dividetur in totidem aequales annulos, quorum vires 
erunt ut summa omnium PDxDd, hoc est, ut \ P F q^\ P D q^ 
ideoque ViX.DE quad. Ducatur jam superficies F E in altitudinem 
Ff; & fiet soHdi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq x Ff: 
puta si detur vis quam particula aHqua data i^y in distantia P/^ exer- 
cet in corpusculum P. At si vis iHa non detur, fiet vis soHdi E Ffe 
ut soHdum Z^iS'^ x Ff &i vis illa non data conjunctim. Q. E. D. 




LIBER rRIMUS. 



20 1 



PROPOSITIO LXXX: THEOREMA XL. 

Si ad sphcercB alicujus A B E, centro S descriptcs, particulas singulas 

cequales te^idant cequales vires centripetce, & ad sphcsrce axem A B, 

in quo corpusculum aliquod P locattcr, erigantur de punctis singulis D 

perpendicula D E, sphcErce occurre^itia in E, & in ipsis capiantur 

DE ^ X P S 

longitudines D N, qucs sint ut quantitas :^-= & iJis^ qtmni 

sphcsrcB particula sita in axe ad distantiam. P E exercet in 
corpusculum P, conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum 
P trahitur versus sphcEram, est ut area A N B comprehensa sub 
axe sphcBrcB A B, <5f linea curva A N B, quam punctum N per- 
petuo tajigit, 

Etenim stantlbus quae in lemmate & theoremate novlssimo con- 
structa sunt, concipe axem sphaerse A B dlvidi in particulas innu- 



E fi 




meras aequales D d, &i sphseram totam dividi in totidem laminas 
sphserlcas concavo-convexas E Ff e ; & erigatur perpendiculum d n^, 
Per theorema superius vis, qua lamina E Ffe trahit corpusculum P, 
est ut D E qy.Ff 81 vis particulse unius ad distantiam F E vel P,'F: 



202 



DE MOTU COEPORUM 



exercita conjunctim. Est autem (per lemma novissimum) D d 2A 
Ffyxt PE ^d P S,& inde P/ ^qualis ^-^^^ ; SiDEqxFf 

sequaleZP^in ^-= , & propterea vis laminae EFfe est ut 

D d in ^-— & vis particulse ad distantiam P F exercita con- 

junctim, hoc est (ex hypothesi) ut DJVxDd, seu area evanescens 
DNnd, Sunt igitur laminarum omnium vires, in corpus P exer- 4 
citae, ut arese omnes D N nd, hoc est, sphaerae vis tota ut area tota 
ANB. Q,E.D. 




CoroL I. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, 

eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat D N ut 

DEoxPS . . t ,_ ,• 
^-= ; erit vis tota, qua corpusculum a sphaera attrahitur, ut 

area ANB. 
. Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia 

corpuscuH a se attracti, & fiat D N ut -f— ; erit vis, qua 

P E q 

corpusculum P a sphaera tota attrahitur, ut area A N B. 

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus 

D E QxP S 

distantiae corpusculi a se attracti, & fiat D N ut — ^r^ ; erit 

PEqq 

vis, qua corpusculum a tota sphsera attrahitur, ut area A N B. 



LIBER PRIMUS. 



203 



Corol, 4. Et universallter si vis centripeta ad singulas sphserse 

particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem 

^ ,, DEqy.PS . . , ^ 

D N vX ^ 1. — r^ ; erit vis, qua corpusculum a sphaera tota at- 
P Ey. V 

trahitur, ut area A N B, 

PROPOSITIO LXXXI. PROBLEMA XLI. 

Stantibus jam positis, mensuranda est area A N B. 

A puncto P ducatur recta P H sphaeram tangens in Hy & ad 
axem PAB demissa normaU H I, bisecetur PI m L; & erit 
(per prop. xii Hb. 2 elem.) PEq aequale PSq-^-SEq-^-^PSD, 
Est autem SEq seu SHq (ob simihtudinem triangulorum SPH, SHI) 
aequale rectangulo P SL Ergo PEq aequale est contento sub PS & 
PS+S/-h2SD, hoc est, sub PS & 2LS-h2SD, id est, sub 
PS & 2 LD, Porro D E quad, aequale est SEq — SDq^ seu SEq — 




LSq+^SLD-LDq, id est, 2 S L D -- L D q- A LB. Nam 

L S q — S E q seu LSq — S A q (per prop. vi lib. 2 elem.) 

aequatur rectangulo A L B, Scribatur itaque 2 SL D — L D q — 

DEqxPS 

PE xV 

larium quartum propositionis praecedentis est ut longitudo ordina- 

2SLDxPS 
tim apphcatae D N, resolvet sese m tres partes — ^-^ — r^ — ■ 



ALB pro DEq; & quantitas 



-, quae secundum corol- 



204 



DE MOTU CORPORUM 



LDq X PS 
PBxV 



ALBxPS 



^ ^ ,^ : ubl si pro V scribatur ratio inversa 
P Ex V 

vis centripetae, & pro P E medium proportionale inter P S 8c 

2 LD; tfes illae partes evadent ordinatlm appllcatse llnearum totl- 

dem curvarum, quarum arese per methodos vulgatas innotescunt. 

Q.E.F. 

ExempL i. Si vis centripeta ad singulas sphserae particulas ten- 

dens slt reclproce ut dlstantla; pro V scrlbe dlstantiam PE; dein 

2 PSx LD pro PEq, & fiet DN ut SL^ h L D -- "^ f ^. 

2 L D 

A L B 
Pone DN aequalem ejus duplo 2 S L— L D— 



LD 



& ordl- 



natae pars data 2 SL ducta in longitudinem A B describet aream 
rectangulam 2 S Lx A B ; & pars indefinita LD ducta normaHter 
in eandem longltudlnem per motum contlnuum, ea lege ut inter 
movendum crescendo vel decrescendo aequetur semper longitudlni 

L D, describet aream ^^ ^, id est, aream SLxAB; qus 

subducta de area priore 2 S L x A B rehnquit aream S Lx A B. 

A L B 
Pars autem tertia , ducta Itidem per motum localem norma- 

liter in eandem longltudlnem, descrlbet aream i 

hyperboHcam ; quae subducta de area S L x 

A B rellnquet aream quaesltam A NB, U nde 

talis emergit problematis constructio. Ad 

puncta L, Ay B erlge perpendlcula L l, A a, 

B d, quorum A a Ipsi L B, &. B b ipsi L A 

aequetur. Asymptotis Z /, L B, per puncta 

a b descrlbatur hyperbola a b, Et acta 

chorda b a claudet aream a b a areae quaesltae A N B aequalem. 

ExempL 2, Si vls centrlpeta ad slngulas sphaerae particulas tendens 
sit reclproce ut cubus dlstantlae, vel (quod perlnde est) ut cubus 

P E ctib. 




2A Sq 



pro V, 



ille applicatus ad planum quodvis datum ; scribe 

A€\n2 PSxLD ^roPEq; &L^^X.DN Mt ^ ^ ^ASq A S q 

PSxLD 2PS 



LIBER PRIMUS, 



205 



j. j^ , id est (ob continue proportionales P S, A S, S /) 



2PSy^LDq 



ut 



LSI 
LD 



iSI- 



A LBxS/ 



2LDq 



Si ducantur hujus partes tres 



in longitudinem A B, prima 



L S I 

generabit aream hyperboli 

ALBxSI 
2LDq 

De prima subdu- 



cam; secunda \SI aream \ABy.SI; tertia ' ^ ^ aream 

ALBxSI ALBxSI ., ^ i/fz?^c/ 

zr-^r — , id est \ABx<SL 

2LA 2LB 

catur summa secundae & tertise, & manebit l 

area quaesita A N B. Unde talis emer- 

git problematis constructio. Ad puncta 

L,A,SyB erige perpendicula Ll, A a, Ssy 

Bb, quorum vS^ ipsi S I sequetur, perque 

punctum s asymptotis L l, L B describatur 

hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, ^ 

B b m a8>Lb ; 81 rectangulum 2ASI sub- 

ductum de area hyperbolica AasbB rehnquet aream qusesitam A N B. 

Exempl. 3. Si vis centripeta, ad singulas sphserse particulas ten- 

dens, decrescit in quadruplicata ratione distantiae a particulis ; 

scribe -^-^-^ pro V, dein J^PSxLD pro PE, & fiet DN ut 
2 A Scub, 





ISqxSL 



Slq 



SlqxALB i^ 



J2SI "^ JLDr2j2SI JLD2J2SI 



JLDqc 



2o6 



DE MOTU CORPORUM 



Cujus tres partes ductse in longitudinem A B, producunt areas to- 



Slq . 



.j . 2 SIqx S L . I I 

tidem, vtz. / ^ , m jy- , 

J2 SI JL A JLB J2 SI 



^SIq^ALB^^ 



3 J2 S I JL A cud. sJL B aid.' 



in JLB^ JLA; 
Et hse post debitam re- 



ductionem fiunt 1^-= , Slq, & SIq-{-- j^\ Hae vero, 

L 1 % L I 




7" t. 

subductis posterioribus de priore, evadunt - — :r-^'- Proinde vis 

iLI 

tota, qua corpusculum P in sphaerae centrum trahitur, est ut 



PI 



id est, reciproce mX. P S cub. x P /. Q, E, I. 

Eadem methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra 
sphaeram, sed expeditius per theorema sequens. 



PROPOSITIO LXXXII. THEOREMA XLI. 

In sphcera centro S intervallo S A descripta, si capiantur S I, S A, 
S P continue proportionales : dico quod corpusculi intra sphceramy 
in loco quovis I, attractio est ad attractionem ipsius extra sphcsramy 
tn loco P, in ratione composita ex subduplicata ratione distantiarum 
a centro I S, P S, <S^ subduplicata ratione virium centripetarum^ in 
locis illis P & I, ad centrum tendentium. 



LIBER PRIMUS, 



207 



Ut, si vires centripetae particularum sphserae sint reciproce ut 
distantiae corpusculi a se attracti ; vis, qua corpusculum situm in / 
trahitur a sphaera tota, erit ad vim, qua trahitur in P, in ratione 
composita ex subdupHcata ratione distantiae S I 2A distantiam S P, 
& ratione subdupHcata vis centripetae in loco /, a particula aHqua 
in centro oriundae, ad vim centripetam in loco P ab eadem in 
centro particula oriundam, id est, ratione subdupHcata distantiarum 
S I, S P ad invicem reciproce. Hae duae rationes subdupHcatae 
componunt rationem aequaHtatis, & propterea attractiones in I 81 P 
a sphaera tota factae aequantur. SimiH computo, si vires particula- 
rum sphaerae sunt reciproce in dupHcata ratione distantiarum, col- 
Hgetur quod attractio in /sit ad attractionem in P, ut distantia SP 
ad sphaerae semidiametrum SA: Si vires iHae sunt reciproce in tripH- 




cata ratione distantiarum, attractiones in / & P erunt ad invicem 
ut SP quad. dA S A quad. : Si in quadrupHcata, ut S P cub. ad S A 
cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit 
reciproce ut P Scub.y^P I, attractio in / erit reciproce ut S A cub, 
xP/y id est (ob datum SAcub.) reciproce ut P /. Et simiHs est 
progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur. 

Stantibus jam ante constructis, & existente corpusculo in loco 

. ^ j. . ,. r^^r ' r ' D E qX P S 

quovis P, ordmatim apphcata D N mventa fuit ut — p-^; — ^ . 

Ergo si agatur / E, ordinata illa pro alio quovis corpusculi loco /, 

DEqx/S 
mutatis mutandis, evadet ut — y-^ — ^^r— . Pone vires centripetas, e 



208 



r>E MOTU CORPORUM 



sphaerse puncto quovis\£' manantes, esse ad Invicem in dlstantlls 

I E, P E, ut P E'' ad lE'' (ubi numerus n deslgnet indicem 

D EqxP S 
potestatum P E 8l I E) &. ordinatae illae fient ut ^ T) ~pn ^ 

DEqxIS . , . . ^ ^ . 

-jr-p — r fTn ^ quarum ratio ad mvicem est ut Pc^xIExIE'' ac 

ISxPExP E"". Quonlam ob continue proportionales SI, SE, 
SP, similia sunt triangula SPE, S E I, & inde fit I E 2id PE ut 




ISsid SE vel SA ; pro ratione I E adPE scribe rationem IS ad 
SA ; & ordinatarum ratio evadet PSxIE"" ad SA xPE"". Sed 
PS Sid S A subduplicata est ratio distantiarum P S, SI ; & I E"" ad 
PE*" {oh proportionales lE 2id P E ut IS aid SA) subduplicata est 
ratio virium in distantiis P6', I S. Ergo ordinat^, & propterea 
areae quas ordinatae describunt, hisque proportionales attractiones, 
sunt in ratione composita ex subdupHcatis illis rationibus. Q. E. D. 



PROPOSITIO LXXXIII. PROBLEMA XLII. 

Invenire vim qua corpusculum in centro spkcErce locatum ad ejus 
segmentum quodcunque attrahitur. 

Sit P corpus in centro sphaerae, & RBS D segmentum ejus 
plano PDS & superficie sphaerica PBS contentum. Superficie 
sphaerica^/^6^ centro P descripta secetur DB in E, ac distln- 



LIBER PRIMUS. 



209 



guatur segmentum in partes B R E F G S, 

FEDG. Sit autem superficies illa non 

pure mathematica, sed physica, profundi- 

tatem habens quam minimam. Nominetur 

ista profunditas O, & erit hsec superficies 

(per demonstrata Archimedis) ut P Fx 

D FxO, Ponamus praeterea vires attracti- 

vas particularum sphaerse esse reciproce ut ^- 

distantiarum dignitas illa, cujus index est 

n; & vis, qua superficies EFG trahit 

corpus P, erit (per prop. lxxix) ut 

DEqxO .. 2DFxO DFqxO 
ppn ^ i^ e^t, ut ^^_ -^^. 

Huic proportionale sit perpendiculum FN 

ductum in O ; & area curviHnea B D I, 

quam ordinatim applicata FN m longitudinem DB per motum 

continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum 

RBSD trahit corpus P. Q. E.I. 




PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLIII. 



Invenire vim, qua corpusculumy extra centrum sphcsrce in axe segmenti 
cujusvis locatumy attrahitur ab eodem segmento. 

A segmento E B K trahatur 
corpus P in ejus axe ADB 
locatum. Centro P interval- 
\o P E describatur superficies 
sphaerica E FK, qua distingua- 
tur segmentum in partes duas 
EBKFE & EFKDE. 
Quaeratur vis partis prioris per 
prop. Lxxxi & vis partis pos- 
terioris per prop. lxxxiii; & 
summa virium erit vis segmen- 
ti totius EBKDE. Q.E.I. 




2 I o DE MO TU CORFOR UM 

Scholhcm. 

Explicatis attractionibus corporum sphsericorum, jam pergere 
liceret ad. leges attractionum aliorum quorundam ex particulis 
attractivis similiter constantium corporum ; sed ista particulatim 
tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit propositiones 
quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deque motibus 
inde oriundis, ob earum in rebus philosophicis aliqualem usum, 
subjungere. 

SECTIO XIII. 
De corportim non sphcBricoritm viribus attractivis, 

PROPOSITIO LXXXV. THEOREMA XLII. 

^SV corporis attractiy ubi attrahenti contigtcum est, attractio longe/ortior 
sity quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem : vires 
particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in 
ratione plusqicam dicplicata distantiarum a particulis, 

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a parti- 
culis ; attractio versus corpus sphsericum, propterea quod (per prop. 
Lxxiv) sit reciproce ut qudratum distantise attracti corporis a centro 
sphserae, haud sensibiliter augebitur ex contactu ; atque adhuc minus 
augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat 
in ratione minore. Patet igitur propositio de sphseris attractivis. 
Et par est ratio orbium spharicorum concavorum corpora externa 
trahentium. Et multo magis res constat in orbibus corpora interius 
constituta trahentibus, cum attractiones passim per orbium cavitates 
ab attractionibus contrariis (per prop. lxx) tollantur, ideoque vel in 
ipso contactu nullse sunt. Quod si sphseris hisce orbibusque 
sphsericis partes quselibet a loco contactus remotse auferantur, & 
partes novse ubivis addantur : mutari possunt figurse horum corporum 
attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additse vel subductae, cum 
sint a loco contactus remotse, augebunt notabiliter attractionis 
excessum, qui ex contactu oritur. Constat igitur propositio de 
corporibus figurarum omnium. Q. E. D^ 



LIBER PRIMUS. 21 



PROPOSITIO LXXXVI. THEOREMA XLIII. 

Si particulai^Mm, ex quibus corpus attractivum componiturj vires in 
recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam 
triplicata ratione distantiarum a particulis : attractio longe fortior 
erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel 
minim^ separantur ab invice^n, 

Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi 
sphaeram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem 
problematis xli in exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, 
per exempla illa & theorema xli inter se collata, facile colligitur 
de attractionibus corporum versus orbes concavo-convexos, sive 
corpora attracta collocentur extra orbes, sive intra in eorum cavi- 
tatibus. Sed & addendo vel auferendo his sphaeris & orbibus 
ubivis extra locum contactus materiam quamHbet attractivam, eo ut 
corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam^ constabit 
propositio de corporibus universis. Q.E.D. 



PROPOSITIO LXXXVII. THEOREMA XLIV. 

Si corpora duo sibi invicem similia, & ex materia cBqualiter attractiva 
constantia, seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & 
ad se similiter posita : attractiones acceleratrices corpusculorum in 
corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in 
eorum particulas totis proportionales, & in totis similiter positas. 

Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis propor- 
tionales, & in totis simiHter sitse ; erit, ut attractio in particulam 
quamHbet unius corporis ad attractionem in particulam correspon- 
dentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi 
corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes ; 
& componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem 
in totum secundum. Q. E. D. 



2 12 DE MOTU CORPOR UM 

CoroL I. Ergo si vires attractivse particularum, augendo distantias 

corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis 

distantiarum ; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut 

corpora directe, & distantiarum dignitates illae inverse. Ut si vires 

particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a cor- 

pusculis attractis, corpora autem sint ut A cub. & B ctcb, ideoque 

tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum distantiae 

a corporibus, vX A 8i B : attractiones acceleratrices in corpora 

A cub. o B cub. . , - Mi 1 • 

erunt ut — r & — . , id est, ut corporum latera illa cubica 

A quacl. B quad. 

A & B. Si vires particularum decrescant in ratione triplicata 

distantiarum a corpusculis attractis ; attractiones acceleratrices in 

^ ^ A cub. o B ctib. . . , ^. . 

corpora tota erunt ut — & — — - , id est, a^quales. Si vires 

decrescant in ratione quadruplicata ; attractiones in corpora erunt ut 

A cub. o B cub. . . . , ^ * ^ rs T. ^ , 

—1 & — , id est, reciproce ut latera cubica A ci B. Et sic 

Aqq. Bqq. 

in caeteris. 

Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus, quibus corpora similia trahunt 

corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi 

virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti ; si 

modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua 

distantiarum. 



PROPOSITIO LXXXVIII. THEOREMA XLV. 

St particularum cBqtcalium corporis cujusctmque vires attractivce sint 
ut distanticB locorum a particulis : vis corporis totius tendet ad ipsius 
centrum gravitatis ; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili 
& ceqtiah constantis, & centrum habentis in ejus centro gravitatis, 

Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z 
viribus, quae, si particulae aequantur inter se, sint ut distanti^ A Z, 
B Z ; sin particulae statuantur inaequales, sint ut hae particulae & 
ipsarum distantiae A Z, B Z conjunctim, sive (si ita loquar) ut hse 
particulae in distantias suas A Z, BZ respective ductae. Et exponantur 



LIBER PRIMUS. 



213 




hse vlres per contenta illa A xA Z 81 B x B Z. Jungatur A B, & 
secetur ea in G ut sit -^ 6^ ad ^ 6^ ut particula B ad particulam A; 
& erit G commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis 
A X A Z (per legum corol. 11) resolvitur in vires A x G Z 8i A x A G 
& vis BxB Z in vires BxGZ&BxBG. Vires autem A xA G 
& B X B G, oh proportionales A 

ad B & B G a,d A G, sequantur ; @.„ 

ideoque cum dirigantur in partes ^ "•■"•J^^^^^^^^^^^^ 

contrarias, se mutuo destruunt. '•..•• 

Restant vires A xGZ&BxGZ, 

Tendunt hse ab Z versus centrum 

Gy & vim A -\-B X G Z compo- 

nunt ; hoc est, vim eandem ac si 

particulae attractivse A SlB consis- 

terent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes. 

Eodem argum ento, si adjungatur particula tertia C, & componatur 
hujus vis cum w\ A -\-B x G Z tendente ad centrum G; vis inde oriunda 
tendet ad commune centrum gravitatis globi illius in 6^ & particulae 
C; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, B, 
C; & eadem erit, ac si globus & particula C consisterent in centro illo 
communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infini- 
tum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujus- 
cunque R S T V, 3.0 si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram 
globi indueret. Q. E,D, 

CoroL Hinc motus corporis 2X\x2sX\ Z idem erit, ac sl corpus at- 
trahens R S T V esset sphsericum : & propterea sl corpus illud attra- 
hens vel qulescat, vel progrediatur uniformiter in directum ; corpus 
attractum movebitur in elHpsi centrum habente in attrahentis centro 
gravitatis. 



PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVI. 

Si corpora siiit plura ex particulis csqualibus constantia, quarum vires 
sunt ut distanticB locorum a singulis : vis ex oninium viribus compo- 
sita, qua corpusculum quodcunque trahitur, tendet ad trahentium 
commune centrum gravitatis ; & eadem erit, ac si trahentta tlla, 



214 



DE MOTU CORPORUM 



scTvato gravitatis cefitro commtmiy coirent & in globtim for- 
mare^ttur. 

Demonstratur eodem modo, atque propositio superior. 

Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit, ac si corpora tra- 
hentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum 
formarentur. Ideoque si corporum trahentium commune gravitatis 
centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in Hnea recta; corpus 
attractum movebitur in elHpsi, centrum habente in communi illo tra- 
hentium centro gravitatis. 



PROPOSITIO XC. PROBLEMA XLIV. 

Si ad singula circuli cujuscunque puncta te?idant vires csquales 
centripetcey crescentes vel decrescentes in quacunque distajitiarum 
ratione: invenire vim, qua corpusculum attrahitur ubivis positum 
in recta, qucE plano circuli ad centrum ejus perpendictdariter 
insistit. 

Centro A intervallo quovis A Dy in plano, cui recta A P perpen- 
dicularis est, describi intelligatur circulus ; & invenienda sit vis, qua 
corpusculum quodvis P in eundem attrahitur. A circuH puncto 
quovis E ad corpusculum attractum 
PagaturrectaP^. InrectaP^ ca- 
piatur P F ipsi P E aequaHs, & eriga- 
tur normaHs F K^ quae sit ut vis qua 
punctum E trahit corpusculum P. 
Sitque I K L curva Hnea quam punc- 
tum K perpetuo tangit. Occurrat 
eadem circuH plano in L. In P A 
capiatur P H sequaHs P D, 8i eriga- 
tur perpendiculum H I curvae prae- 
dictae occurrens in /; & erit corpus- 
cuH P attractio in circulum ut area AHIL ducta in altitudinem 
A P. Q. E. I. 

Etenim in ^ ^ capiatur Hnea quam minima E e. Jungatur P e, 
& in P E, P A capiantur P C, P f ipsi P e aequales. Et quoniam 




LIBER PRIMUS. 2 I 5 

vls, qua annull centro A intervallo A E m plano praedlcto descrlpti 

punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut F K, 

& inde vis, qua punctum illud trahit corpus P versus A, est ut 

A P X F K 

— — — , & vis, qua annulus totus trahlt corpus P versus A, ut 

APy.FK 

annulus & jr-= — conjunctlm ; annulus autem iste est ut rectan- 

P E 

gulum sub radlo A E 8l latitudine E e, 81 hoc rectangulum (ob 

proportlonales P E & A E, Ee & C E) aequatur rectangulo P E y. 

CE seu P ExFf; erit vis, qua annulus iste trahit corpus P versus 

y4 P yc F TC 
A, ut P ExFf & ^-= — conjunctim, id est, ut contentum Ffx 

FKxA P, sive ut area F K kf dxxctdi In A P, Et propterea summa 
virium, quibus annuH omnes in circulo, qui centro A & intervallo 
AD descrlbitur, trahunt corpus /^ versus Ay est ut area tota 
A HIKL ducta in A P, Q, E, D. 

Corol. I. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distan- 

tlarum ratione, hoc est, si sit FK ut ^ ^ r , atque ideo area 

P F quad, ^ 

AHIKL ut -=— : — ;t-t>; erit attractio corpusculi P in clrculum 
PA PH ^ 

^ PA.. ^ ^ AH 
ut i-p^. id est, ut -^, 

Corol. 2. Et unlversaliter, si vires punctorum ad distantlas D sint 
reciproce ut distantiarum dignitas quaelibet D'*, hoc est, si sit FK 

ut :r— , ideoque area AHIKL ut ^ . ^p—rp — ;eritattrac- 

I PA 

tio corpusculi P in circulum ut ^_^ — lth-x • 

Corol. 3. Et si dlameter circuli augeatur in infinitum, & numerus 

n sit unitate major ; attractlo corpusculi P in planum totum infinitum 

P A 
erit reclproce ut P A*"-^, propterea quod terminus alter //«>-, 

evanescet. 




2i6 i^E MOTU COKFORUM 

PROPOSITIO XCI. PROBLEMA XLV. 

Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi rotundi, ad cujus 
piincta singula tendtmt vires cequales centripetce in quacunque 
distantiarum ratione decrescentes. 

In solldum D ECG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe 
A B. Circulo quolibet R F S ^lA 
hunc axem perpendiculari secetur 
hoc solidum, & in ejus semidiame- 
tro FS, in plano aliquo PALKB 
per axem transeunte, capiatur (per 
prop. xc) longitudo FK vi, qua 
corpusculum P in circulum illum 
attrahitur, proportionaHs. Tangat 
autem punctum K curvam Hneam 
LKI, planis extimorum circulorum 
A L & B I occurrentem in Z & /; & erit attractio corpuscuH P in 
soHdum ut area LABL Q.E.I 

Corol. 
cyHndrus 

A D E B circa axem A B revol- 
uto descriptus, & vires centripetae 
in singula ejus puncta tendentes 
sint reciproce ut quadrata distan- 
tiarum a punctis : erit attractio 
corpuscuH P in hunc cyHndrum 
utAB^PE+PD. Namordi- 




I. Unde si soHdum 
sit, parallelogrammo 



v 



I? 



& 



r 



i/ 



natim appHcata FK (per corol. i prop. xc) erit ut i 



P F 



Hujus 



P R' 

pars I ducta in longitudinem A B, describit aream ixAB: 

P F 
& pars altera -^^-^ ducta in longitudinem P B, describit 



PR 



L K I qua- 
eadem ducta 



aream i in PE-DA (Id quod ex curv^ 
dratura facile ostendi potest) ; & simiHter pars 
in longitudinem PA describit aream i in PD—AD, ductaque 
in ipsa rum PB, P A differentiam AB describit arearum differentiam 

De 



in PE''PD. 



contento primo i xA B auferatur con- 



LJBER PRIMUS. 



217 



tentum postremum i in P^— /'/^, & restabit area L A B I aequalis 
I in A B—P E-^-P D. Ergo vis, huic areae proportionalis, est 
ixtAB-PE^-PD. 

CoroL 2. Hinc etiam vis innotescit, qua sphserois A G B C attrahit 
corpus quodvis P, exterius in axe suo A B situm. Sit NKRM sectio 
conica cujus ordinatim appHcata E R, ipsi P E perpendicularis, 
aequetur semper longitudini P D, quae ducitur ad punctum illud 
D, in quo appHcata ista sphaeroidem secat. A sphaeroidis verticibus 
A, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula A K, B Mv^^is, A P, 
B P aequaHa respective, & propterea sectioni conicae occurrentia in 
K & M ; & jungatur A^J/auferens ab eadem segmentum K MRK. 





; 


* -~-^ 








M 


Iq 


s 






c 


/^ 


/ 




£ 








// 










"/ 


y/ri 










// 


' / 








"^-^__A 


__^ 


^^ 












X' 


^i^ 






N 


/ 












P 


/ 











A B descripta trahit idem corpus, ut 



Sit autem sphaeroidis centrum 6^ & semidiameter maxima S C : %l 
vis, qua sphaerois trahit corpus P, erit ad vim, qua sphaera diametro 

ASyiCSq-P Sy^KMRK 
PSq^-CSq-ASq 

ad — =-— '—. . Et eodem computandi fundamento invenire Hcet 

ZP S qiiad. 

vires segmentorum sphaeroidis. 

Corol. 3. Quod si corpusculum intra sphaeroidem in axe coHoce- 

tur ; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod faciHus hoc 

argumento coHigitur, sive particula in axe sit, sive in aHa quavis 

diametro data. Sit A G O F sphaerois attrahens, 6" centrum ejus, & 

P corpus attractum. Per corpus iHud P agantur tum semidiameter 

S P A, tum rectae duae quaevis D E, FG sphaeroidi hinc inde occur- 



2l8 



DE MOTU CORPORUM 




rentes m D &. E, F 8i G ; sintque P C M, H L N superficies sphse- 
roidum duarum interiorum, exteriori similium & concentricarum, 
quarum prior transeat per corpus P, & secet rectas D E 8>l FG in 
B 8l C, posterior secet easdem rectas in //, / & K, L. Habeant 
autem sphaeroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes 
hinc inde interceptae D P &l B E, FP 
8lCG, DH8i lE, FK 8l L G sibi 
mutuo sequales ; propterea quod rectae 
D E, P B 8i H I bisecantur in eodem 
puncto, ut & rectae FG, P C 81 K L. 
Concipejam D P F, EPG designare 
conos oppositos, anguHs verticahbus 
DPF, EP G infinite parvis descriptos, 
8l Hneas etiam D H, E I infinite 
parvas esse ; & conorum particulae sphaeroidum superficiebus 
abscissae DHKF, GLIE, ob aequaHtatem Hnearum D H^ E I, 
erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo 
Py 8l propterea corpusculum iHud aequaHter trahent. Et pari 
ratione, si superficiebus sphaeroidum innumerarum simiHum con- 
centricarum & axem communem habentium dividantur spatia D P F, 
^6^ C^ in particulas, hae omnes utrinque aequaHter trahent corpus 
P in partes contrarias. ^Equales igitur sunt vires coni DPF 
8l segmenti conici EGCB, 8l per contrarietatem se mutuo destruunt. 
Et par est ratio virium materiae omnis extra sphaeroidem intimam 
PCBM. Trahitur igitur corpusP a sola sphaeroide intima PCBM, 
8l propterea (per corol. 3 prop. lxxii) attractio ejus est ad vim, qua 
corpus A trahitur a sphaeroide tota A G O D, ut distantia P S ad 
distantiam A S. Q.E.D. 



PROPOSITIO XCII. PROBLEMA XLVI. 

Dato corpore attractivOy invenire rationem decrementi virium centri- 
petarum in ejus puncta singula tendentium. 

E corpore dato formanda est sphaera vel cyHndrus aHave figura 
regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens, 
(per prop. lxxx, lxxxi & xci) inveniri potest. Dein factis expe- 
rimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex 



LIBER FRIMUS. 



219 



attractlonis in totum inde patefacta dablt rationem decrementi virium 
partium singularum, quam invenire oportuit. 



PROPOSITIO XCIII. THEOREMA XLVII. 

Si solidtcm ex nna parte planum, ex reliquis autem partibus infini- 
ttim, constet ex particulis cequalibics cequaliter attractivis, quartcm 
vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujus- 
vis distantiarum plusquam quadraticce, & vi solidi totius corpus- 
culum ad utramvis plani partem coustitutum trahatur: dico 
quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie 
plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia 
corpusculi a plano, & index ternario minor qtiam index potestatis 
distantiarum, 

Cas. I. Sit L 6^/planum quo solidum terminatur. Jaceat solidum 
autem ex parte plani hujus versus /, inque plana innumera m H M, 
nlN, oKO, &c. ipsi GL 
parallela resolvatur. Et 
prlmo collocetur corpus at- 
tractum C extra solidum. 
Agatur autem C G H I 
planis illis innumeris per- c 
pendicularis, & decrescant 
vires attractlvae punctorum 
solidi in ratione potestatls 
dlstantiarum, cujus index sit 
numerus n ternario non 
minor. Ergo (per corol. 3 prop. xc) vis, qua planum quodvis mH M 
trahit punctum C, est reciproce ut CH*'~''. In plano m H M C2l- 
piatur longitudo H M ipsi C H"~'' reciproce proportionalis, & erit 
vis illa ut H M. Simlliter in planis singuHs l G L, n I N, 
K O, &c. capiantur longltudines G L, J N, K O, &c. ipsis 
C G"~'', C I"~^, C K^^^^y &c. reciproce proportionales ; & vlres plan- 
orum eorundem erunt ut longltudines captae, ideoque summa 
virium ut summa longltudinum, hoc est, vis solidi totius ut area 



L 




■■•-- N 









1 


. 








h 6 
i 


H 

: 771 


I 

71 


K 








220 



DE MOTU CORPORUM 







N 






c 


I K 

o 





G L O K \w infinitum versus O K producta. Sed area illa (per notas 
quadraturarum methodos) est reciproce ut C G"'^, & propterea vis 
solidi totius est reciproce ut C G*'~\ Q, E. D, 

Cas, 2. Collocetur jam corpusculum 
C ex parte plani IG L intra solidum, & 
capiatur distantia C K sequalis distantiae 
CG, Et solidi pars LGlo KO, planis 
parallelis l G L, o K O terminata, cor- 
pusculum C in medio situm nullam in 
partem trahet, contrariis oppositorum 
punctorum actionibus se mutuo per 
sequalitatem tollentibus. Proinde cor- 
pusculum C sola vi solidi ultra planum O K siti trahitur. Hsec autem 
vis (per casum primum) est reciproce ut C K''^^, hoc est (ob aequales 
CG.CK) reciproce ut C G^-\ Q, E, D, 

Corol, I. Hinc si solidum L G I N planis duobus infinitis paralleHs 
L G, I N utrinque terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subdu- 
cendo de vi attractiva solidi totius infiniti L G K O vim attractivam 
partis ulterioris N I K O, in infinitum versus K O productae. 

Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus 
collata cum attractione partis citerioris nulHus pene est momenti, 
rejiciatur : attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet 
quam proxime in ratione potestatis C G"~\ 

Corol, 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum 
trahat corpusculum e regione medii ilHus plani, & distantia inter 
corpusculum & planum coHata cum dimensionibus corporis attra- 
hentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens ex particuHs 
homogeneis, quarum vires attractivae decrescunt in ratione potestatis 
cujusvis plusquam quadrupHcatae distantiarum ; vis attractiva corporis 
totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit 
distantia iHa perexigua, & index ternario minor quam index potestatis 
prioris. De corpore ex particuHs constante, quarum vires attractivae 
decrescunt in ratione potestatis tripHcatae distantiarum, assertio non 
valet ; propterea quod, in hoc casu, attractio partis iHius ulterioris 
corporis infiniti in coroHario secundo, semper est infinite major quam 
attractio partis citerioris. 



LTBER PRIMVS. 2 2 l 



Scholhtm. 



Si corpus allquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, 
& ex data lege attractionls quaeratur motus corporis : solvetur 
problema quaerendo (per prop. xxxix) motum corporis recta 
descendentls ad hoc planum, & (per legum corol. 11) componendo 
motum istum cum uniformi motu, secundum Hneas eldem plano 
parallelas facto. Et contra, si quseratur lex attractionis in planum 
secundum lineas perpendiculares factae, ea conditione ut corpus 
attractum in data quacunque curva Hnea moveatur, solvetur problema 
operando ad exemplum problematis tertii. 

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applica- 
tas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis 
dato ordinatim appHcetur longitudo B, quse sit ut basis dignitas 

quaeHbet A " ; & quaeratur vis qua corpus, secundum positionem 
ordinatim appHcatae, vel in basem attractum vel a basi fugatum, 
moveri possit in curva Hnea, quam ordinatim appHcata termi- 
no suo superiore semper attingit : Suppono basem augeri parte 



quam minima O, & ordinatlm appHcatam A + O | ^* resolvo in 



w ^ * ~ir mm—mn 



serlem infinitam A " + - O A ' + O O A &c. at- 

n 2nn 

que hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est, 



m — 2« 



termlno O O A " vim proportionalem esse suppono. Est 

2 nn 



m — in 

mm—mn ^ "^ 



igitur vis quaesita ut A , vel quod perinde est, ut 

mm — mn ^ ~ir ,7 • 1. • 1. t 1 
D . U t si ordmatim apphcata parabolam attmgat, 

existente m = 2, & n=: i: fiet vis ut data 2 B*', ideoque dabitur. 
Data igitur vi corpus movebitur in parabola, quemadmodum GalilcEus 
demonstravit. Quod si ordinatim appHcata hyperbolam attingat, 
existente m = o—\, & n=\ ; fiet vis ut 2 A~^ seu 2 B^ : ideoque vi. 
quae sit ut cubus ordinatim appHcatae, corpus movebitur in hyperbola, 



222 



DE MOTU CORPORUM 



Sed missis hujusmodi propositionibus, pergo ad alias quasdam de 
motu, quas nondum attigi. 



SECTIO XIV. 

De motu corporum minhnorum, quce viribtis centripetis ad singulas 
magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur. 



PROPOSITIO XCIV. THEOREMA XLVIII. 

Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrinque terminato, 
distinguantur ab invicemy & corpus in transitu per hoc spatitim 
attrahatur vel impellatjir perpe^idiculariter versus medium alteru- 
trum^ neque ulla alia vi agitettcr vel impediatur ; sit autem attractio, 
in ceqtialibus ab utroque plano distantiis ad eandem ipsius partem 
captis, ubique eadem: dico quod sinus incidentice in planum 
alterutrum erit ad sinum emergentics ex plano altero in ratione data. 



Cas, I. Sunto A a, B b plana duo parallela. Incidat corpus in 
planum prius A a secundum lineam G H, ac toto suo per spatium 
intermedium transitu attrahatur 
vel impellatur versus medium 
incidentise, eaque actione de- 
scribat lineam curvam H I, & 
emergat secundum lineam I K, 
Ad planum emergentise B b 
erigatur perpendiculum / M, 
occurrens tum linese inciden- 
tiae G H productae in M, tum 
plano incidentiae A am R ; & 
linea emergentiae K I producta 
occurrat H M m L, Centro L 
intervallo Z/describaturcircu- 
lus, secans tam HM in P & Q, quam M/ productam in N, & primo 




LIBER PRIMUS, 223 

si attractio vel impulsus ponatur unlformis, erit (ex demonstratis 
GalilcBi) curva H I parabola, cujus hsec est proprietas, ut rectangulum 
sub dato latere recto & linea IM sequale sit 77J/ quadrato ; sed & linea 
H M bisecabitur in L. Unde si ad J// demittatur perpendiculum 
L O, cequales erunt J/6>, O R; & additis aequalibus O Hy O /, fient 
totae sequales MH, I R. Proinde cum I R detur, datur etiam M N ; 
estque rectangulum N" M I 2i6. rectangulum sub latere recto 81 1 Af, 
hoc est, ad H Mq, in data ratione. Sed rectangulum N M I aequale 
est rectangulo P M Q/\di est, differentiae quadratorum M Lq,8>i P Lq 
seu Llq; & HMq datam rationem habet ad sui ipsius quartam 
partem MLq : ergo datur ratio ML q — L I q ad M L q, & conver- 
tendo ratio / Iq ad ML q, & ratio dimidiata Z / ad ML. Sed in 
omni triangulo L M I, sinus angulorum sunt proportionales lateribus 
oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incldentiae L M R ad sinum 
anguli emergentiae L I R. Q. E. D. 

Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis 
planis terminata, A ab B, B bc C, &c. & agitetur vi quae sit in sin- 
gulis separatim uniformis, at in diver- 
sis diversa ; & per jam demonstrata, ^ 
sinus incidentiae in planum primum \ 

A a erit ad sinum emergentiae ex plano ^ \~ 

secundo B b, in data ratione ; & X^ ~ # 

hic sinus, qui est sinus incidentiae in 
planum secundum B b, erit ad sinum 
emergentiae ex plano tertio C c, in data ratione ; & hic sinus ad sinum 
emergentiae ex plano quarto D d, in data ratione ; & slc in infinitum : 
& ex aequo, sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae 
ex plano ultlmo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla & 
augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio, 
secundum legem quamcunque assignatam, continua reddatur; & 
ratio slnus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex 
plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. Q. E. D, 



2 24 DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XCV. THEOREMA XLIX. 

lisdem positis ; dico quod velocitas corporis ante incidentiajn est ad 
ejus velocitatevt post enierge^itiam, ut sinus emergentice ad sinum 
incidentice, 

Capiantur A H, I d aequales, & erigantur perpendicula A G, d K 
occurrentia lineis incidentise & emergentiae G H, I K, in G 8i K. 
In Gi^capiatur T^ZTsequalis /A', & ad planum A a demittatur nor- 
maliter T v. Et (per legum corol. ii) distinguatur motus corporis 
in duos, unum planis A a, B b,C c, 
&c. perpendicularem, alterum iis- 
dem parallelum. Vis attractionis 
vel impulsus, agendo secundum lin- 
eas perpendiculares, nil mutat mo- 
tum secundum parallelas, & prop- ^ 
terea corpus hoc motu conficiet ^ 
aequalibus temporibus sequalia illa "^ 
secundum parallelas intervalla, quae 
sunt inter lineam A G & punctum 

Hy interque punctum / & lineam dK; hoc est, aequalibus tempori- 
bus describet lineas G H^ I K. Proinde velocitas ante incidentiam 
est ad velocitatem post emergentiam, ut G H 2A I K vel TH, id 
est, ut A H vel I d ad v H, hoc est (respectu radii T H vel I K) 
ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q.E,D, 

PROPOSITIO XCVI. THEOREMA L. 

lisdem positisy & quod motus ante incidentiam velocior sit quam 
postea : dico quod corpus, inclinando lineam incidenticSy reflecte- 
tur tandem, & angulus reflexionis fiet cequalis angulo 
incidentice. 

Nam concipe corpus inter parallela plana A a, B b, C c, &c. de- 
scribere arcus parabolicos, ut supra ; sintque arcus illi H P, P Q, 
Q R, &c. Et sit ea lineae incidentiae G H obliquitas ad planum pri- 



LIBER PRIMUS. 225 

mum A a, ut slnus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est sinus, 

in ea ratione quam habet idem sinus incidentise ad sinum emergen- 

tia^ ex plano D d, in spatium D deE: & ob sinum emergentise jam 

factum sequalem radlo, angulus emergentlae erlt rectus, Ideoque 

linea emergentiae coincldet cum plano D d. Pervenlat corpus ad 

hoc planum in puncto R; & 

quoniam llnea emergentlse 

colncidlt cum eodem plano, ^, ^n ,,/ 

^ ' A ^^'^- -^^ a 

perspicuum est quod corpus b ^^"o <r.^ ^ 



\H 




^^^ 


I -^ 




^ 


: \Q 




y^ : 


\ \^ -" 


^ R 



non potest ultra pergere d ^--^ —^ d. 

versus planum E e. Sed ^ 

nec potest idem pergere in Hnea emergentiae Rd, propterea quod per- 
petuo attrahltur vel impelHtur versus medlum incidentiae. Revertetur 
itaque inter plana Cc, D d, descrlbendo arcum parabolae Q Rq, cujus 
vertex principaHs (juxta demonstrata Galilacei) est in R ; secabit 
planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q ; dein pergendo in 
arcubus paraboHcis qp, p k, &c. arcubus prioribus Q P, P H simlHbus 
& aequaHbus, secablt reHqua plana in ilsdem anguHs in /, h, &c. ac 
prius in P, H, &c. emergetque tandem eadem obHquitate in h, qua 
incidit In H. Concipe jam planorum A a, B b, C c, D d, E e, &c. 
intervaHa in infinltum minui & numerum augeri, eo ut actlo attrac- 
tlonis vel impulsus secundum legem quamcunque assignatam continua 
reddatur; & angulus emergentiae semper angulo incldentiae aequaHs 
existens, eidem etiamnum manebit aequaHs. Q. E. D, 

Scholium. 

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt lucis reflexiones 
& refractlones, factae secundum datam secantium rationem, ut invenit 
Snellius, & per consequens secundum datam sinuum rationem, ut 
exposult Cartesius. Namque lucem successrve propagari & spatlo 
quasl septem vel octo minutorum primorum a sole ad terram venire, 
jam constat per phaenomena sateUitum Jovis, observationibus diver- 
sorum astronomorum confirmata. Radli autem in aere exlstentes 
(utl dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubl- 
cukim admlssa, invenit, & ipse quoque expertus sum) in transitu 
suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos 

p 




2 26 ^^ MOTU CORPORUM 

(quales sunt nummorum ex auro, argento & aere cusorum termini 
rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitro- 
rum acies) incurvantur circum corpora, quasi attracti in eadem ; 
& ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpora 
incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse etiam diligenter 
observavi. Et qui transeunt ad majores distantias minus incurvantur ;' 
& ad distantias adhuc majores incurvantur aHquantulum ad partes 
contrarias, & tres colorum fascias efformant. In figura designat s 
aciem cultri vel cunei cujusvis A s B; 
&go w og, fn u nf^ emime, dls Id 
sunt radii, arcubus owOynun,mtm, ^, " • - . 
Is l versus cultrum incurvati ; idque /•,"■•.."• 
magis vel minus pro distantia eo- ^x. '•.."" 
rum a cultro. Cum autem talis in- x/^/ .— - / 

curvatio radiorum fiat in aere extra \ "^^l^- 

cultrum, debebunt etiam radii, qui ^ w o ^ 

incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. 

Et par est ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refractio, non in 

puncto incidentiae, sed paulatim per continuam incurvationem radi- 

orum, factam partim in aere antequam c h a 

attingunt vitrum, partim (ni fallor) in y'''..--''']..-''''' 

vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in ^'''xy^ 

radiis ckzc, biyb, ahxa incidentibus ad ..^^^^x"^ 

Ty q, /, & inter k &l z, i &Ly, h &ix incur- i/k/''%-'' 

vatis, delineatum est Igitur ob analogiam ^/ ^/ ^/ 

quse est inter propagationem radiorum / / 

lucis & progressum corporum, visum est / / / 

propositiones sequentes in usus opticos / 

subjungere; interea de natura radiorum ^ ^ ^ 

(utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias 

corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo determinans. 



LIBER PRIMUS. 227 



PROPOSITIO XCVII. PROBLEMA XLVII. 

Posito qiwd sinus incidentice in superficiem aliquam sit ad simmi 
emergenticB in data ratione ; quodque incuTvatio vice corporum juxta 
superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum 
considerari possit : determinare superficiem, qucB corpuscula omnia 
de loco dato successive m^nantia convergere faciat ad alium locicm 
dattcm, 

Sit ^ locus a quo corpuscula divergunt ; B locus in quem con- 
vergere debent; CDE curva linea quae circa axem AB revoluta 
describat superficiem qusesitam ; D, E curvae illius puncta duo 
quaevis ; & EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB demissa. 
Accedat punctum D ad punctum E ; & lineae D F, qua A D 
augetur, ad lineam D G, qua D B diminuitur, ratio ultima erit eadem 
quae sinus incidentiae ad 
sinum emergentiae. Datur 
ergo ratio incrementi lineae 
AD ad decrementum lineae 
DB ; & propterea si in axe a" c iSr m ^ 

A B sumatur ubivis punctum C, per quod curva C DE transire 
debet, & capiatur ipsius A C incrementum CM ad ipsius B C decre- 
mentum C JV in data illa ratione, centrisque A^ B, & intervallis 
A My B N describantur circuli duo se mutuo secantes in D ; 
punctum illud D tanget curvam quaesitam C D E, eandemque ubivis 
tangendo determinabit. Q. E. /. 

Corol. I. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in 
infinitum, nunc migret ad alteras partes puncti C, habebuntur figurae 
illae omnes, quas Cartesius in optica & geometria ad refractiones 
exposuit. Quarum inventionem cum Cartesius celaverit, visum fuit 
hac propositione exponere. 

Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis C D, secundum line- 
am rectam A D, lege quavis ductam incidens, emergat secundum 
aliam quamvis rectam D K, Sl 2i puncto C duci intelligantur lineae 




228 



DE MOTU CORPORUM 



curv^ CP, CQ ipsis A D, D K 
semper perpendiculares : erunt 
incrementa linearum P D, Q D, 
atque ideo lineae ipsae PD, QD, 
incrementis istis genitae, ut sinus 
incidentiae & emergentiae ad in- 
vicem : & contra. 




PROPOSITIO XCVIII. PROBLEMA XLVIII. 

lisdem positisy & circa axem A B descripta superficie quacunque 
attractiva C D, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco 
dato A exeuntia transire debent : invenire superficiem secundam 
attractivam E F, quce corpora illa ad locum datum B convergere 
faciat, 

Juncta A B secet superficiem primam in C & secundam in E, 
puncto D utcunque assumpto. Et posito sinu incidentiae in superfi- 
ciem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergentiae 
e superficie secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quantitas 
aliqua data M ad aliam datam N : produc tum y^ ^ ad G, ut sit B G 



I 




ad CE ut M-N ad N ; tum A D ad //, ut sit A H ^qualis A G ; 
tum etiam D F 2A K, ut sit Z^ iT ad DI/ utN ad M. Junge KB, 
& centro D intervallo D // describe circulum occurrentem KB 
productae in Z, ipsique DL parallelam age BE: & punctum E 
tanget lineam E E, quae circa axem A B revoluta describet super- 
ficiem quaesitam. Q.E.F, 



LIBER PEIMUS, 229 

Nam concipe lineas C P, CQ ipsis A D, D F respective, & lineas 
E R, E S ipsis F B, FD ubique perpendiculares esse, ideoque Q S 
ipsi C E semper sequalem ; & erit (per corol. 2 prop. xcvii) P D 
ad gZ^ ut M ad N, ideoque wt D L did D K vel FB ad FK ; & 
divisim ut DL-FB seu PH-PD-FB ad FD seu FQ-QD; 
& composite ut PH—FB ad /^g, id est (ob aequales P H 8>i C G, 
QS 8z CE) CE^^BG-FR ad CE-FS, Verum (ob propor- 
tionales B G 2id CE & M-N ad N) est etiam CE-^BG ad CE 
ut M ad N ; ideoque divisim FR 2id FS ut M ad N ; & propterea 
(per corol. 2 prop. xcvii) superficies EF cogit corpus, in ipsam 
secundum lineam DF incidens, pergere in linea FR ad locum B. 
Q.E.D. 

Scholhim. 

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. 
Ad usus autem opticos maxime accommodatae sunt figurae sphaericae. 
Si perspicillorum vitra objectiva ex vitris duobus sphaerice figuratis 
& aquam inter se claudentibus conflentur; fieri potest ut a refrac- 
tionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus 
extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra objectiva 
vitris ellipticis & hyperbolicis praeferenda sunt, non solum quod 
facihus & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos 
radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant Veruntamen 
diversa diversorum radiorum refrangibiHtas impedimento est, quo 
minus optica per figuras vel sphaericas vel aHas quascunque perfici 
possit. Nisi corrigi possint errores ilHnc oriundi, labor omnis in 
caeteris corrigendis imperite coHocabitur. 



DE 

MOTU CORPORUM 

LIBER SECUNDUS, 

SECTIO I. 

De motic corporum qtcibus resistitur in ratione velocitatis. 

PROPOSITIO I. THEOREMA I. 

Corporisy cui resistitur in ratione velocitatis, 77totus ex resistentia 
amissus est ut spatium move^ido confectum, 

NAM cum motus singulis temporis particulis aequalibus amissus 
sit ut velocitas, hoc est, ut itineris confecti particula : erit, 
componendo, motus toto tempore amissus ut iter totum. Q. E. D. 

CoroL Quare si corpus, gravitate omni destitutum, in spatiis liberis 
sola vi insita moveatur; ac detur tum motus totus sub initics tum 
etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum : dabitur 
spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit 
enim spatium illud ad spatium jam descriptum, ut motus totus sub 
initio ad motus illius partem amissam. 

LEMMA I. 

Quantitates differentiis suis proportionales sunt continue proportio7iales. 

Sit A ad A-B ut B ad B-C & C ad C-D &c., & conver- 
tendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q. E. D. 



DE MOTU CORPORUM, &^c. 23 1 



PROPOSITIO II. THEOREMA II. 

Si corpori resistitiir in ratiofie velocitatis, & idem sola vi insita per 
medium similare moveattir, sumanttcr autem tempora cBqualia : 
velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione 
geometrica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates, 

Cas. I. Dividatur tempus in particulas sequales ; & si ipsis 
particularum initiis agat vis resistentise impulsu unico, quae sit ut 
velocitas : erit decrementum velocitatis sing-ulis temporis particulis ut 
eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, 
& propterea (per lem. i lib. 11) continue proportionales. Proinde 
si ex sequali particularum numero componantur tempora quselibet 
sequalia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in 
progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim sequali 
terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum 
terminorum rationes ex rationibus inter se iisdem terminorum 
intermediorum sequaliter repetitis, & propterea ese quoque rationes 
compositse inter se esedem sunt. Igitur velocitates, his terminis 
proportionales, sunt in progressione geometrica. Minuantur jam 
sequales illse temporum particulse, & augeatur earum numerus in 
infinitum, eo ut resistentise impulsus reddatur continuus; & velocitates 
in principiis sequalium temporum, semper continue proportionales, 
erunt in hoc etiam casu continue proportionales. Q. E. D. 

Cas. 2. Et divisim velocitatum differentise, hoc est, earum partes 
singuHs temporibus amissse, sunt ut totse : spatia autem singulis 
temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissse (per prop. i 
lib 11) & propterea etiam ut totse. Q. E. D. 

Corol. Hinc si asymptotis rectanguHs A C, 
CH describatur hyperbola B G, sintque A B^ 
D G dA asymptoton A C perpendiculares, & 
exponatur tum corporis velocitas tum resistentia 
medii, ipso motus initio, per Hneam quamvis da- 
tam AC, elapso autem tempore aHquo per Hneam 
indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGDy & spatium 
eo tempore descriptum per Hneam AD. Nam si area iHa per motum 




32 



DE MOTU CORPORUM 



puncti D augeatur unlformiter ad modum temporis, decrescet recta 
D C m ratione geometrica ad modum velocitatis, & partes rectae 
A C ^equallbus temporibus descriptse decrescent in eadem ratione. 



PROPOSITIO III. PROBLEMA I 

Corporis, ctci, dtmi in medio siniilari recta asceiidit vel descendit, 
resistitur ht ratione velocitatisy quodque ab ufii/ormi gravitate 
urgetur, definire motum, 

Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis 
rectangulum B A C H, & resistentia medii initio ascensus per rectan- 
gulum B A D E sumptum ad 
contrarias partes rectse A B. 
Asymptotis rectangulis A C, 
CH, per punctum B describatur 
hyperbola secans perpendicula 
DE, de in G, g; & corpus ascen- 
dendo tempore Z^6^^^describet 
spatium EGge, tempore DGBA 
spatium ascensus totius E G B ; 
tempore ABKI spatium de- 
scensus B FK, atque tempore I Kki spatium descensus KFfk; & 
velocitates corporis (resistentiae medii proportionales) in horum 
temporum periodis erunt A B E D, A B e d, nulla, A B FI, A Bfi 
respective ; atque maxlma velocitas, quam corpus descendendo potest 
acquirere, erit B A C H, 

Resolvatur enim rectangulum 
B A C H m rectangula innumera 
A k, Kl, L m, Mn, &c. quae sint 
ut incrementa velocitatum aequali- 

bus totidem temporibus facta ; & ^ 

erunt nihil, A k, A l, A m, A n, 
&c. ut velocltates totae, atque ideo 
(per hypothesin) ut resistentiae 
medii principio singulorum tempo- a k l mn 















j 








A 


/ 






k/ 


/ 




E 


e Z^^ 








J— — 


S 




F 


/ 


D 


d 


J 


i j 


L 


1 


c 



m 



n 



iH 



LIBER SECUNDUS. 233 

nim sequallum. Fiat A C i2l.A A K veX A B H C 2id A B k K wt w\s 
gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, deque vi gravi- 
tatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkH C, L l HC, 
MinHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singu- 
lorum temporum urgetur, atque ideo (per motus legem 11) ut in- 
crementa velocitatum, id est, ut rectangula A k, K l, L m, M n, &c. 
& propterea (per lem. i lib. 11) in progressione geometrica. Quare 
si rectae K k, L l^ Mm, N n, &c. productse occurrant hyperbolae 
in q, r, s, t, &c. erunt areae A B q K, KqrL, L rsM, M s tN, &c. 
aequales, ideoque tum temporibus tum viribus gravitatis semper 
aequalibus analogae. Est autem area A B q K (per corol. 3 lem. vii 
& lem. VIII lib. i) ad aream B kq ut Kq a.d ^ kq seu A C a.d i A K, 
hoc est, ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. 
Et simiH argumento areae q K L r, rLMs, sMNt, &c. sunt ad 
areas qklr, rlms, smnty &c. ut vires gravitatis ad resistentlas In 
medio temporls secundi, tertii, quarti, &c. Prolnde cum areae 
aequales BAKq, q K L r, rLMs, sMNt, &c. sint virlbus gravi- 
tatis analogae, erunt areae B kq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentils 
in mediis singulorum temporum, hoc est (per hypothesln) veloclta- 
tlbus, atque ideo descriptls spatlls analogae. Sumantur analogarum 
summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatlis totls 
descriptls analogae ; necnon areae A B q K, A B r L, A B s M, 
A B t N, &c. temporlbus. Corpus igltur inter descendendum, tem- 
pore quovis A B r L, descrlbit spatium B Ir, 81 tempore LrtN 
spatlum r/^^/. Q.E.D. Et simlHs est demonstratio motus expositi 
in ascensu. Q. E. D. 

Corol. I. Igltur velocltas maxima, quam corpus cadendo potest 
acquirere, est ad velocltatem dato quovis tempore acquisltam, ut 
vis data gravltatis, qua corpus Illud perpetuo urgetur, ad vim reslsten- 
tlae, qua in fine temporls Illius Impeditur. 

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione arithmetica, sum- 
ma velocitatls IlHus maxlmae ac velocitatls in ascensu, atque etlam 
earundem differentia In descensu decrescit In progressione geo- 
metrlca. 

Corol. 3. Sed & differentlae spatlorum, quae in aequalibus tem- 
porum differentiis descrlbuntur, decrescunt In eadem progressione 
geometrica. 



234 



DE MOTU CCRPORUM 



CoroL 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duo- 
rum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio 
descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descensus initio 
sequantur inter se. 



PROPOSITIO IV. PROBLEMA II. 

Posito quod vis gravitatis in medio aliqtio similari 7iniformis sit, ac 
tendat perpendiailariter ad planum horizontis ; definire motiLm pro- 
jectilis in eodem, resistentiam velocitati proportionalem patie7itis, 

E loco quovis D egredia- 
tur projectile secundum lineam 
quamvis rectam D P, & per 
longitudinem D P exponatur 
ejusdem velocitas sub initio mo- 
tus. A puncto P ad lineam 
horizontalem D C demittatur 
perpendiculum P Cy & secetur 
DC in A, ut sit Z^ ^ ad ^ C 
ut resistentia medii, ex motu in 
altitudinem sub initio orta, ad 
vim gravitatis ; vel (quod pe- 
rinde est) ut sit rectangulum 
sub DA & DP Sid rectangu- 
lum sub A C & CP ut resisten- 
tia tota sub initio motus ad vim 
gravitatis. Asymptotis D C, 
CP describatur hyperbola quse- 
vis G TB S secans perpendi- 
cula D G, A B m G & B ; & 
compleatur parallelogrammum 
D G K Cy cujus latus G K secet 
A B in Q. Capiatur linea N in 
ratione ad Q B qusi D C sit ad CP; & ad rectae DC punctum 
quodvis B erecto perpendiculo K T, quod hyperbolae in T, & rec- 
Xas E H, G Ky D P in ly t 81 Foccurrat; in eo cape F^ aequalem 




LIBER SECUNDUS. 235 

, vel, quod perlnde est, cape R r sequalem — ; & prqjec- 

tile tempore D RTG perveniet ad punctum r, describens curvam 

lineam DraF, quam punctum r semper tangit, perveniens autem 

ad maximam altitudinem a in perpendiculo A B, 8l postea semper 

appropinquans ad asymptoton P C, Estque velocitas ejus in puncto 

quovis r ut curvse tangens r L. Q.E.I. 

Est enim N ad g^ ut Z^C ad CP seu DR ad R F, ideoque R V 

.. DRxQB ^ ^ ,., ^ ^ , , ,, DRxQB-^GT. 
aequalis z^ — ^ 8c R r {id est R V— V r seu ^^— ) 

,. DRxAB-RDGT ^ . ^ 

sequalis ri^ . Exponatur jam tempus per aream 

RD G Ty & (per legum corol. 11) distinguatur motus corporis in 
duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum reslstentia sit ut 
motus, dlstinguetur etiam hsec in partes duas partlbus motus pro- 
portionales & contrarias : ideoque longltudo, a motu ad latus 
descripta, erlt (per prop. 11 hujus) ut linea D R, altltudo vero (per 
prop. III hujus) ut area DRxAB — RDGT, hoc est, ut 
Hnea Rr. Ipso autem motus initlo area RDGT ^qudXis, est rectan- 

1 r^r. ^^ .J r .11 r, / D R X A B - D R X A Q. 

gulo DR xAQ, ideoque hnea illa R r (seu r^ -) 

tunc est ad DR ut A B-A Q seu g ^ ad N, id est, ut CP ad D C; 
atque Ideo ut motus In altltudinem ad motum In longitudinem sub Inl- 
tio. Cum Igitur Rr semper slt ut altltudo, ac DR semper ut longitudo, 
atque Rr ad DR sub Initio ut altltudo ad longitudinem : necesse est ut 
Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus 
moveatur in HneaZ^r«/% quam punctum r perpetuo tanglt. Q.E.D. 

^ , ^ . . o ,. DRxAB RDGT ., 

Corol. I. Est igitur /c r aequahs r^ r^ : ideoque 

. , X. ^ 1 T^ ' r. ^r 1. DRxAB ., 
si producatur R T ad X ut sit RX aequahs r^^ ; id est, si 

compleatur parallelogrammum A C P Yy jungatur D Y secans CP 
in Zy & producatur R T donec occurrat D YmX ; erit X r sequahs 

R D C T 

rri , & propterea temporl proportlonahs. 

Corol. 2. Unde sl capiantur innumerae C R, vel, quod perinde est, 
innumerae Z X m progressione geometrlca ; erunt totidem X r m 



236 



DE MOTU CORPORUM 



progressione arithmetica. Et hinc curva Z^ z' ^ /^ per tabulam loga- 

rithmorum facile delineatur. 

CoroL 3. Si vertice D, diametro D G deorsum producta, & la- 

tere recto quod sit ad 2 Z^ P ut 

resistentia tota ipso motus ini- 

tio ad vim gravitatis, parabola 

construatur : velocitas quacum 

corpus exire debet de loco D 

secundum rectam DP, ut in me- 

dio uniformi resistente describat 

curvam DraF, ea ipsa erit qua- 

cum exire debet de eodem loco 

D, secundum eandem rectam 

DP, ut in spatio non resistente 

describat parabolam. Namlatus \^ 

rectum parabolae hujus, ipso mo- ^ R 

D V quad. ^ ^. 

jf ; & Vr est ^_ 

Vr N 2 N 

autem quse, si duceretur, hyperbolam G TS tangeret in G, parallela 
est ipsi D A, ideoque Tt est — — — , & N erat — — ^ ^ . Et 




A 



tus initio, est 



tGT DRxTf 



seu 



Recta 



DC 



CP 



j. DRgxCKyCP ., , , . , 

propterea Fr est ^^^^ ^ , id est (ob proportionales Z^ i? 

&Z^C,Z7F&Z^P)^g^^^^,& latus rectum^i^ 

.. 2DPqxQB ., ,\ . , 

^ CKx CP ' ^^^ ^ proportionales QB^ C K, D A & 

. ^. 2DPqxDA .j , ^^ 

^ A Cx CP ' ^^^^^^^ ^^ 2 DP, ut DP X DA ad CPxA C; 

hoc est, ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D. 

CoroL 4. Unde si corpus de loco quovis D, data cum velocitate, 
secundum rectam quamvis positione datam DP projiciatur ; & re- 
sistentia medii ipso motus initio detur : inveniri potest curva DraF, 
quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate datur latus 
rectum parabolse, ut notum est. Et sumendo 2 Z> P ad latus illud 
rectum, ut est vis gravitatis ad vim resistentiae, datur D P. Dein 



LIBER SECUNDUS. 



237 



secando D C \vi A, Mt ^W. C P v. A C 2A D P y. D A In eadem illa ra- 

tione gravitatls ad reslstentlam, dabltur punctum A. Et Inde datur 

curva D r a F. 

Corol. 5. Et contra, sl datur 

curva D r a F, dabitur & velo- 

citas corporis & reslstentia me- 

dll In locls singulls r. Nam ex 

data ratlone CPxACdidDP 
y^DAy datur tum reslstentia 

medil sub Initio motus, tum la- 

tus rectum parabolse : & Inde 

datur etiam velocitas sub Inltio 

motus. Deinde ex longitudine 

tangentls rZ, datur & huic pro- 

portionalis velocitas, & velocl- 

tatl proportionalis reslstentla In 

loco quovls r. 

Corol. 6. Cum autem longl- 

tudo 2 D P slt ad latus rectum 

parabolae ut gravitas ad resisten- 

tiam in Z^; & ex aucta velocl- 

tate augeatur resistentia In eadem 

ratione, at latus rectum parabolae 

augeatur in rationellladuplicata: 

patet longltudinem 2 D P au- 

geri In ratione illa slmpllci, 

ideoque velocltatl semper proportlonalem esse, neque ex angulo 

CDP mutato augerl vel minui, nisi mutetur quoque velocltas. 

Co7^ol. 7. Unde Ilquet methodus determinandl curvam DraF 
ex phaenomenis quamproxime, & inde colllgendl reslstentlam & velo- 
citatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo slmilla & 
sequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos dlversos 
CDP, CDp & cognoscantur loca F, f, ubl Incldunt in horizon- 
tale planum D C. Tum, assumpta quacunque longitudlne pro D P 
vel D p, fingatur quod resistentia In D sit ad gravitatem in ratione 
qualibet, & exponatur ratio illa per longitudlnem quamvls S M. 




238 DE MOTU CORPOR UM 

Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta D P, in- 

Ff 

veniantur longitudines D F, Df, ac de ratione ^y^, per calculum 

inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & ex- 
ponatur differentia per perpendiculum M N, Idem fac iterum ac ter- 
tio, assumendo semper novam resistentiae ad gravitatem rationem 
S M, 8l colligendo novam differentiam M N. Ducantur autem 
differentiae afifirmativse ad unam partem rectae S M, & negativae ad 




S M M^ 







N' 



alteram ; & per puncta N, N, N agatur curva regularis N N N se- 
cans rectam SMMM m X, & erit SX vera ratio resistenti^ ad 
gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est 
longitudo D F per calculum ; & longitudo, quae sit ad assumptam 
longitudinem D P, ut longitudo D F per experimentum cognita ad 
longitudinem D F modo inventam, erit vera longitudo D P. Qua 
inventa, habetur tum curva linea DraF quam corpus describit, 
tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis. 



► 



LIBER SECUNDUS. ^^r. 



Scholium. 

Caeterum, resistentlam corporum esse in ratione velocitatis, 
hypothesls est magls mathematlca quam naturalls. In medlls, quae 
rlgore omni vacant, reslstentlse corporum sunt in dupHcata ratione 
velocltatum. Etenlm actione corporis velociorls communlcatur 
eldem medli quantltatl, tempore minore, motus major in ratlone 
majorls velocltatls ; ideoque tempore aequaH, ob majorem medii 
quantltatem perturbatam, communicatur motus in dupHcata ratione 
major; estque reslstentia (per. motus leg. ii & iii) ut motus com- 
munlcatus. Vldeamus igitur quales oriantur motus ex hac lege 
resistentiae. 



SECTIO II. 

De motu corporum quibus resistitur in dtcplicata ratione velocitatum. 

PROPOSITIO V. THEOREMA III. 

Si corpori resistitur in velocitatis ratione dtcplicata, & idem sola 
vi insita per medium similare movetur ; tempora vero sumantur 
in progressione geometrica a minoribus terminis ad majores pergente : 
dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem 
progressio7ie geometrica inverse ; & quod spatia sunt csqualia^ quce 
singutis temporibus describuntur. 

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionaHs est resistentia 
medii, & resistentiae proportionale est decrementum velocitatis ; si 
tempus in particulas innumeras aequales divldatur, quadrata velo- 
citatum singuHs temporum initiis erunt velocitatum earundem 
differentiis proportionaHa. Sunto temporis particulae IHae A K, K L, 
L My &c. in recta C B sumptae, & erigantur perpendicula A B, 
Kk, L t, Mm, &c. hyperbolae BklmG, centro C asymptotis 



240 



DE MOTU CORPORUM 



rectangulls C D, C H descriptae, occurrentla in B, k, /, m, &c. & erit 
AB ad Kk ut CK ad CA, & divlslm AB-Kk ad Kk ut AK ad 
CA, & vlclsslm A B-Kk ad A K ut Kk ad C^, ideoque ut y^ t^ 
X Kk ad y^^ X CA. Unde, cum AK &ABxCA dentur, erit ^i? 
—KkutABxKk; & ultlmo, ubi coeunt ^^ & A'/^, ut AB^. Et 
simili argumento erunt Kk—Ll, Ll^Mm, &c. ut ^^ ^imd. Ll qicad. 
&c. Linearum igltur A B, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earun- 
dem differentiae; & idclrco, cum quadrata velocitatum fuerlnt 
etiam ut ipsarum dlfferentiae, slmilis erit ambarum progressio. Quo 
demonstrato, consequens est etlam ut jn 
arese his lineis descrlptae sint in pro- 
gressione consimili cum spatils quae 
velocitatibus describuntur. Ergo si 
velocitas initio prlml temporis A K 
exponatur per llneam A B, & velo- 
citas initio secundi KL per lineam 
Kk, & longitudo primo tempore 
descripta per aream AKkB; velo- 
citates omnes subsequentes expon- 
entur per lineas subsequentes L /, M m, &c. & longitudines 
descript^ per areas Kl, Lm, &c. Et composite, si tempus totum 
exponatur per summam partium suarum A M, longitudo tota 
descripta exponetur per summam partium suarum A MmB. Con- 
clpejam tempus A M 1X2, dividi in partes A K, K L, L M, &c. ut 
sint C^, CK, CL, CM, &c. in progressione geometrica; & erunt 
partes illae in eadem progresslone, & velocitates A B, K k, L /, Mm, 
&c. in progressione eadem inversa, atque spatia descripta A k, K l, 
Lm, &c. aequalia. Q.E.D. 

Corol. I. Patet ergo quod, si tempus exponatur per asymptoti 
partem quamvis A D, & velocitas in princlpio temporis per ordi- 
natim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per 
ordinatam D G, & spatium totum descriptum per aream hyperbo- 
licam adjacentem ABGD; necnon spatlum, quod corpus ahquod 
eodem tempore A D, velocitate prima A B, in medio non resistente 
describere posset, per rectangulum A BxA D. 

Corol. 2. Unde datur spatium in medio reslstente descriptum, 
capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi A B ih medio 




LIBER SECUNDUS. 



241 



non resistente simul describi posset, ut est area hyperbollca A B G D 
ad rectangulum A BxA D., 

Corol. 3. Datur etlam resistentla medii, statuendo eam Ipso mo- 
tus Inltio sequalem esse vi unlforml centrlpetae, quse in cadente 
corpore, tempore A C, in medio- non reslstente, generare posset 
velocitatem A B. Nam si ducatur B 7" quse tangat hyperbolam in B^ 
& occurrat asymptoto in T; recta A T^sequalls erlt ipsi A C, & tem- 
pus exponet, quo reslstentia prima uniformiter continuata tollere 
posset velocitatem totam A B. 

Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus reslstentiae ad vim 
gravltatis, aliamve quamvis datam vim centrlpetam. 

Corol. 5. Et vice versa, si datur proportlo resistentlae ad datam 
quamvls vim centripetam ; datur tempus A C, quo vls centripeta 
resistentlae aequalls generare posslt velocitatem quamvis A B : Sl 
inde datur punctum B per quod hyperbola, asymptotls C H, C D^ 
describi debet ; ut & spatium A B G D, quod corpus incipiendo 
motum suum cum velocltate illa A B, tempore quovis A D, in 
medio similari resistente describere potest. 

PROPOSITIO VI. THEOREMA IV. 

Corpoi^a sphcrrica homogeiiea & cBqtcalia, resistentiis in duplicata 
ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, tempori- 
6us, q7CCB sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper 
csqualia spatia, & amittmit partes velocitatum proportionales 
totis. 



Asymptotis rectangulls C D, C H ^ 
descripta hyperbola quavis B b E e s^- 
cante perpendlcula y^ B, ab^ D B, de, 
in B, b, E, e, exponantur velocitates 
initlales per perpendicula AB,D E, & 
tempora per Hneas A a, Dd. Est ergo 
utAa3.d Dd ita (per hypothesln) DE 
ad A B, & ita (ex natura hyperbolae) 
CAa.d C D ; & componendo, ita C a 
ad Cd. Ergo areae A B b a, DEed, hoc est, spatia descripta 

Q 




242 DR MOTU CORPORUM 

sequantur inter se, & velocitates primse A B, D E sunt ultimis^^, de, 
& propterea dlvidendo partlbus etlam suis amissis A B — ab, 
D E—de proportionales. Q. E. D. -^A 

PROPOSITIO VII. THEOREMA V. 

Corpora sphcErica qinbus resistitur in duplicata ratione velocitatum^ 
temporibus, qucs sunt tit motus primi directe & resistenticB primce 
inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia 
describent temporibus istis & velocitatibus primis conjunctim pro- 
portionalia, 

Namque motuum partes amissae sunt ut resistentiae & tempora 
conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis proportionales, debebit 
resistentia & tempus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus 
erit ut motus directe & resistentia inverse. Quare temporum par- 
ticulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas 
motuum proportionales totis, ideoque retinebunt velocitates velocitati- 
bus suis primis semper proportionales. Et ob datam velocitatum 
rationem, describent semper spatia, quse sunt ut velocitates primae & 
tempora conjunctim. Q. E. D. 

CoroL I. Igitur si aequivelocibus corporibus resistitur in duplicata 
ratione diametrorum : globi homogenei quibuscunque cum veloci- 
tatibus moti, describendo spatla dlametris suis proportionalia, amit- 
tent partes motuum proportionales totis. Motus enlm globi cujusque 
erit ut ejus velocltas & massa conjunctim, id est, ut velocitas & cubus 
diametri ; resistentia (per hypothesin) erit ut quadratum dlametri & 
quadratum velocitatis conjunctlm ; & tempus (per hanc propositlonem) 
est in ratione priore directe & ratlone posteriore inverse, id est, ut 
diameter dlrecte & velocitas inverse ; ideoque spatlum, tempori & 
velocltati proportlonale, est ut diameten 

Corol. 2. Si aequiveloclbus corporlbus resistitur in ratione sesqui- 
plicata diametrorum : globl homogenei quibuscunque cum velocitati- 
bus moti, descrlbendo spatla in sesquipllcata ratlone diametrorum, 
amittent partes motuum proportionales totis. 

Corol. 3. Et unlversaliter, si aequiveloclbus corporibus resistitur in 
ratione dignltatis cujuscunque diametrorum : spatla qulbus globi 
homogenei, qulbuscunque cum velocitatlbus moti, amittent partes 



LIBER SECUNDUS. 243 

motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem 
illam applicati. Sunto diametri D & E ; & si resistentiae, ubi 
velocitates a^quales ponuntur, sint ut D" & E'' : spatia quibus globi, 
quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum 
proportionales totis, erunt ut D^-'* & E^-". Et propterea globi 
homogenei describendo spatia ipsis D^"'* & E^-'' proportionalia, 
retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio. 

Corol. 4. Quod si globi non sint homogenei, spatium a globo 
densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim, 
sub pari velocitate, major est in ratione densitatis, & tempus (per 
hanc propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium 
descriptum in ratione temporis.. 

CoroL 5. Et si globi moveantur in mediis diversis ; spatium in 
medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuendum erit in 
ratione majoris resistentiae. Tempus enim (per hanc propositionem) 
diminuetur in ratione resistentiae auctae, & spatium in ratione 
temporis. 

LEMMA II. 

Mome7itum genitcB cequatur mo7nentis laterum singulorum ge^ierantium 
ift eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia cofiti^iue 
ductis. 

Genitam voco quantitatem omnem, quae ex lateribus vel terminis 
quibuscunque in arithmetica per multiplicationem, divisionem, & 
extractionem radicum ; in geometria per inventionem vel contentorum 
& laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium, sine 
additione & subductione generatur. Ejusmodi quantitates sunt 
facti, quoti, radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera 
cubica, & similes. Has quantitates, ut indeterminatas & instabiles, 
& quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes, hic 
considero ; & earum incrementa vel decrementa momentanea 
sub nomine momentorum intelligo : ita ut incrementa pro momentis 
addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu 
negativis habeantur. Cave tamen intelkxeris particulas finitas. 
Particulae finitae non sunt momenta, sed quantitates ipsae ex momentis 
genitae. IntelHgenda sunt principia jamjam nascentia finitarum 



244 



DE MOTU CORPORUM 



magnitudlniim. Neqiie enlm spectatur In hoc lemmate magnltudo 
momentorum, sed prima nascentlum proportlo. Eodem recldlt si 
loco momentorum usurpentur vel velocltates Incrementorum ac 
decrementorum (quas etlam motus, mutatlones & fluxlones quantlta- 
tum nomlnare llcet) vel finltse quaevls quantltates velocltatlbus hlsce 
proportlonales. Laterls autem cujusque generantls coefficlens est 
quantitas, quse orltur appllcando genitam ad hoc latus. 

Igitur sensus lemmatis est, ut, si quantitatum quarumcunque 
perpetuo motu crescentium vel decrescentlum A, B, C, &c. momenta, 
vel hls proportlonales mutatlonum velocitates dicantur ^, b, r, &c. 
momentum vel mutatio genlti rectangiili A B fuerit ^ B + <5 A, & geniti 
contenti A B C momentum fuerit ^BC + ^AC + ^AB: & genitarum 



dlgnltatum A^ A^ 


K\ A^ A^ A^ A', K-\ PC\ & A-i momenta 


2 ^ A, 3 rt:A^ 4 


aK\\aK\%a A\ i a A~^, ^ a A~^, -a A'', 


- 2 a hr\ & - 1 


3 

a A~^ respective. Et generaliter," ut dlgnltatls 


« 
cujuscunque A '" 


momentum fuerit aA *« . Item ut P^enitae 



m 
A^B momentum fuerit 2 ^AB + ^^A^; & genitse A^ B* C^ momentum 

ZaA^ B^ C^-f 4^A^ B^ C^+^^A^ B^ C; & genit^e -^' sive 

A^ B-2 momentum i a A? B~^ — 2 b A? Vr^ : & sic in caeteris. 
Demonstratur vero lemma in hunc modum. 

Cas. I. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum A B, ubi 
de lateribus A & B deerant momentorum dlmidia \ a &i \ b, fuit 
A — J^in B — T<5, seu AVi^l aV> — \ b A-^\ ab ; & quam prlmum 
latera A & B alterls momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A-\-\ a 
in B + J^ seu AB + ^^B4-^^A + t«^. De hoc rectangulo 
3ubducatur rectangulum prius, & maneblt excessus ^ B 4- <5 A. Igltur 
laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum 
^B + ^A. Q.E,D. 

Cas. 2. Ponatur A B semper sequale G, & eontenti ABC seu 
GC momentum (per cas. i) erit^C + ^G, id est (si pro G &^ 
3cribantur A B & ^ B + ^ A) ^ B C-f^ A C + ^ A B. Et par est ratlo 
contenti $ub lateribus quotcunque. Q. E. D. 



LIBER SECUNDUS. 245 

Cas. 3. Ponantur latera A, B, C sibi mutuo semper aequalia ; & 
ipsius A% id est rectanguli A B, momentum aV>-\-b h. erit 2 a A, 
ipsius autem A^ id est contenti A B C, momentum a^ C-\-d KC 
H-rAB erit 3 ^ A^ Et eodem argumento momentum dignitatis 
cujuscunque A" est n a A"~'. Q.E.D. 

Cas. 4. Unde cum ^ in A sit i, momentum ipsius — ductum 
A A 

in A, una cum — ducto in a erit momentum ipsius i, id est, nihiL 
Proinde momentum ipsius — seu ipsius A~' est ^^. Et generaliter 

A r^ 

cum — in A" sit i, momentum ipsius — ductum in A" una cum 
A« ^ A" 

— in fua A"~' erit nihil. Et propterea momentum ipsius — seu 

A-» erit- 1;;^. Q.E.D. 

Cas. 5. Et cum A ^ in A ^ sit A, momentum ipsius A ^ ductum in 



2 A 2 erit a, per cas. 3 : ideoque momentum ipsius A ^ erit 



a 



2 A2 



sive \ a h '^ , Et generaliter si ponatur A "^ aequale B, erit A'" 
sequale B", ideoque m a A"""' aequale n b B"~', Bl m a A~' aequale 

m in — n 

n b B~' seu nb K " , ideoque — ^: A " aequale b, id est, aequale 

71 
m 

momento ipslus A'' , Q.E.D. 

Cas. 6. Igitur genitse cujuscunque A'" B" momentum est momen- 
tum ipsius A'" ductum in B", una cum momento ipsius B" ducto in 
A'", id est maK""-"- B^-^-nbB""-' A^" ; idque sive dignitatum in- 
dices m 81 n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel nega- 
tivi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q.E.D. 

Corol. I. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, 
momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multipli- 



246 DE MOTU CORPORUM 

cati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. 
Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales ; & si detur terminus 

C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut — 2 A, — B, 

D, 2 E, 3 F. 

CoroL 2. Et si in quatuor proportionalibus dua^ mediae dentur, 
momenta extremarum erunt ut eaedem extremse. Idem intelligendum 
est de lateribus rectanguli cujuscunque dati. 

CoroL 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, 
momenta laterum erunt reciproce ut latera. 

Sckolmm. 

In epistola quadam ad D, y. Collinium nostratem 10 Decem. 1672 
data, cum descripsissem methodum tangentium quam suspicabar 
eandem esse cum methodo Slusii tum nondum communicata ; sub- 
junxi : Hoc est unum particulare vel corollariu77t potius methodi 
generalis, qtcce extendii se citra molestum ulltim calculum, non modo 
ad diccendum tangentes adquasvis curvas sive geometricas sive mechanicas 
vel quomodocunque rectas lineas aliasve curvas respicienteSy verum 
etiam ad resolvendum alia abstrusiora problemattim genera de curvi- 
tatibuSy areis, longittidinibtis, centris gravitatis curvarum &c. neque 
(quemadmodum Huddenii methodtts de maximis & minimis) ad 
solas restringitur cequationes illas quce quantitatibus surdis sunt 
immunes. Hanc methodtcm i^itertextci alteri isti qua c^quationum 
exegesin instittco redtccendo eas ad series infinitas. Hactenus epistola. 
Et haec ultima verba spectant ad tractatum quem anno 1671 de 
his rebus scripseram. Methodi vero hujus generah's fundamentum 
continetur in lemmate praecedente. 



PROPOSITIO VIII. THEOREMA VI. 

Si corptcs in medio tmiformi, gravitate tcniformiter agente, recta 
ascendat vel descendaty & spatium tottcm desciHptum distingtcatur 
in partes c^qicales, inqtce principiis singularum partium (addendo 
resistentiam medii ad vim gravitatis, qtcando corptcs asce^idit, 
vel subduce7ido ipsam quando corpus descendit) investigentur 



LIBER SECUNDVS. 



247 



vires absolutcs ; dico quod vires illce absohctce sunt in progressione 
geometrica. 

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam A C ; resistentia 
per lineam indefinitam A K ; vis absoluta in descensu corporis per 
differentiam K C ; velocitas corporis per lineam A P, quae sit media 
proportionalis inter A K 81 A C, ideoque in subduplicata ratione 
resistentiae ; incrementum resistentise data temporis particula factum 
per lineolam K L, & contemporaneum velocitatis incrementum per 
lineolam PQ; & centro C asymptotis rectangulis CA, C //' describa- 
tur hyperbola quaevis B N S, erectis perpendiculis y^ ^, KN, LO 
occurrens in D, N, O. Quoniam A K ^s\.vX A P q, erit hujus mo- 
mentum K L vX illius momen- 
tum 2APQ: id est, wtAPm 
KC; nam velocitatis incremen- 
tum PQ (per motus leg. 11) 
proportionale est vi generanti 
K C, Componatur ratio ipsius 
K L cum ratione ipsius K N, 
& fiet rectangulum KL x KN 
utAP xKCxKN; hoc est, 
ob datum rectangulum K Cx KN, ut A P. Atqui areae hyperbolicae 
KN O L ad rectangulum KL x KN ratio ultirna, ubi coeunt puncta 
K &: L, est aequalitatis. Ergo area illa hyperbolica evanescens est 
ut A P. Componitur igitur area tota hyperbolica A B O L ex par- 
ticulis KNO L velocitati A P semper proportionalibus, & propterea 
spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area 
illa in partes aequales ABMI, I M N K, K N O L, &c. & vires 
absolutae A C, I C, K C, L C, &c. erunt in progressione geometrica. 
Q. E. D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad 
contrariam partem puncti A, aequales areas A Bmi, imnky knol, 
&c. constabit quod vires absolutse A C, i C, kC, l C, &c. sunt continue 
proportionales. Ideoque si spatia omnia in ascensu & descensu capi- 
antur aequalia ; omnes vires absolutae l C, kC, i C, A C, I C, K C, 
L C, &c. erunt continue proportionales. Q. E. D. 

Corol. I. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream hyper- 
bolicam A B N K; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis 




Q P 



248 ^^ MOTU CORPORUM 

& resistentia medii per lineas A C, A P & y^ A^ respective ; & vice 
versa. 

Corol. 2. Et velocitatis maximse, qiiam corpus in infinitum de- 
scendendo potest unquam acquirere, exponens est linea A C 

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia 
medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem 
illam datam in subduplicata ratione, quam habet vis gravitatis ad 
medii resistentiam illam cognitam. 



PROPOSITIO IX. THEOREMA VII. 

Positis jam demonstratis, dico quod, si taiigentes anguloriim sectoris 
circularis & sectoris hyperbolici sumafitur velocitatibus proportion- 
aleSy existente radio justcs magnitudinis : erit temptcs omne ascendendi 
ad locum summum ut sector circuli^ & temptcs om7ie descendendi a 
loco summo ut sector hyperbola. 

Rectae A C, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis 8l aequa- 
lis ducatur A D. Centro D semidiametro A D describatur tum 
circuli quadrans A t E; tum hyperbola rectangula A V Z axem ha- 
bens A X, verticem principalem A, & asymptoton D C. Ducantur 
D p, D P, &, erit sector circularis A t D ut tempus omne ascendendi 
ad locum summum ; & sector hyperbolicus A TD ut tempus omne 
descendendi a loco summo : Si modo sectorum tangentes A p, 
A P sint ut velocitates. 

Cas. I. Agatur enim D v q abscindens sectoris A D t &, trianguli 
ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv 
& q Dp. Cum particulae illse, ob angulum communem D, sunt in 

duplicata ratione laterum, erit particula t D v ut ^^P^J^ quad^ 

p D quad. 

id est, ob datam tD, ut |^^^ S^dpD quad. est A D quad. + 

Ap quad. id est, A D qtcad. -|- A D x A k, s^u A D x Ck; & qDp 

^sth A D xp q. Ergo sectoris particula tDv est ut ^-^; id est, 



LIBER SECUNDUS. 



249 



ut velocltatls decrementum quam minlmum / ^ dlrecte, & vls Illa Ck 
quae velocitatem dlminuit inverse ; atque ideo ut partlcula temporls 
decremento velocitatls respondens. Et componendo fit summa 
particularum omnium t D v m sectore A D t, ut summa particularum 
temporis singulis velocltatis decrescentis A p particulis amissis / q 
respondentlum, usque dum velocitas illa in nlhiluni diminuta evanuerit; 
hoc est, sector totus A D t ^st ut tempus totum ascendendi ad locum 
summum. Q.E.D. 

Cas, 2. Agatur DQ Fabscindens tum sectoris D A V, tum trian- 
guli D A Q partlculas quam minimas T D V 8>l P D Q ; 8c erunt hse 
partlculae ad invlcem ut D T q ad D P q/vdi est (si T X 81 A P 
parallelae slnt) ut Z^^^ ad Z^^ ^ vel TX q ad A P q, 81 divlsim ut 
D X q—T X q a.d D A q — A P q. Sed ex natura hyperbolae DXq 




— TXq est A D q, & per hypothesin A Pq est A DxA K. Ergo 

particul^ sunt ad invicem ut A D q ad A Dq—A DxA X ; id est, 

ut A D 2id A D—A X seu A C Sid CK : ideoque sectoris particula 

P D Q X A C 

; atque ideo ob datas A C & A D, 



TD V est 



CK 



ut 



PQ 



j^-^y icl est, ut incrementum velocitatls directe, utque vis generans 



250 



DE MOTU CORPORUM 



incrementum inverse; atque ideo ut particula temporis incremento 
respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, 
quibus omnes velocitatis A P particulee P Q generantur, ut summa 
particularum sectoris A T D, id est, tempus totum ut sector totus. 
Q-E.D. 

Corol. I. Hinc si A P sequetur quartse parti ipsius A C, spatium 
quod corpus tempore quovis cadendo describit, erit ad spatium, 
quod corpus velocitate maxima A C, eodem tempore uniformiter 
progrediendo describere potest, ut area A B N K, qua spatium 
cadendo descriptum exponitur, ad aream A TD, qua tempus expo- 
nitur. Nam cum sit ^ C ad ^ P ut A P 2A A K, erit (per corol. i 




lem. II hujus) Z iif ad P (? ut 2 A K ?id A P, hoc est, ut 2 A P ad 
AQ& inde L K Sid iP Q ut A P ad iA C vd A B; est & KN 
SidACvdADutABsid CK; itaque ex a^quo LKNO ad DPQ 
utAPsid CK. Sed erat DPQ ad D T V ut CA^ad A C Ergo 
rursus ex aequo L KNO est ad D T V ut A P 2id A C; hoc est, ut 
velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus 
cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum A B NK & ATD 
momenta LKNO & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum 
illarum partes omnes simul genitse ut spatia simul descripta, ideoque 



LIBER SECUNDUS. 25 1 

areae totae ab Inltio genltse A B N K & A T D ut spatla tota ab 
inltio descensus descripta. Q. E. D. 

Corol. 2. Idem consequltur etiam de spatlo quod in ascensu 
descrlbitur. Nimirum quod spatlum illud omne sit ad spatium, unl- 
formi cum velocitate A C eodem tempore descrlptum, ut est area 
A B n k did sectorem A D t, 

Corol. 3. Velocltas corporls tempore A T D cadentis est ad ve- 
locltatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, 
ut trlangulum A P D z,di sectorem hyperbolicum A T D. Nam 
velocltas in medio non resistente foret ut tempus A TD, 8>l in 
medlo resistente est ut A P, id est, ut triangulum A P D. Et ve- 
locltates illae inltio descensus sequantur inter se, perinde ut areae 
illae A TD, A P D, 

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocita- 
tem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum 
ascendendi motum amittere posset, ut triangulum Ap D ad sectorem 
circularem A t D; sive ut recta A p ad arcum A t. 

Corol. 5. Est igitur tempus, quo corpus in medio reslstente ca- 
dendo velocitatem A P acquirlt, ad tempus, quo velocitatem maxi- 
mam A C in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut sector 
A D T 2id triangulum A D C: & tempus, quo velocitatem Ap m 
medlo reslstente ascendendo posslt amittere, ad tempus quo velocita- 
tem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut 
arcus A t ad ejus tangentem Ap. 

Corol, 6. Hlnc ex dato tempore datur spatium ascensu vel de- 
scensu descriptum. Nam corporls in infinltum descendentis datur 
velocitas maxima (per corol. 2 & 3 theor. vi lib. 11) indeque datur 
tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo 
posset acqulrere. Et sumendo sectorem A D T vel A D t 2A trlan- 
gulum ^ Z^ C in ratione temporis dati ad tempus modo inventum ; 
dabltur tum velocltas A P vel A p, tum area A B N K vel A Bnk, 
quae est ad sectorem A D T vd A D t ut spatium quaesltum ad 
spatium, quod tempore dato, cum velocitate illa maxima jam ante 
inventa, uniformiter describi potest. 

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensiis spatio 
A B n k vd ABN K, dabitur tempus A D t vd A D T, 



252 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO X. PROBLEMA III. 

Tendat uni/ormis vls gravitatis directe ad plann?7t horizontis, sitcpte 
resistefitia tct medii densitas & qtiadratnm velocitatis cojijtmctim : 
requiritur ttim medii densitas in locis si^tgtilis, quce faciat ut corpns 
ifi data quavis linea curva moveatur; ttcm corporis velocitas & medii 
resistentia in locis singulis, 

Sit PQ planum illud plano schematis perpendiculare ; PFHQ 
linea curva plano huic occurrens in punctis P & Q; G, H, /, K 
loca quatuor corporis in hac curva ab /^ ad ^ pergentis \ 8l G D, 
HC, ID, K E ordinatae quatuor parallelae ab his punctis ad hori- 
zontem demissae, & Hneae horizontali P g ad puncta B, C, D, E 
insistentes; & sint BC, CD.DE 
distantiae ordinatarum inter se 
sequales. A punctis G & Hdu- 
cantur rectae GLy H N curvam 
tangentes m G &, H, & ordina- 
tis C H, D I sursum productis 
occurrentes in Z & A^, & com- 
pleatur parallelogrammum H C 
D M, Et tempora, quibus cor- 
pus describit arcus G H, H I, erunt in subdupHcata ratione altitu- 
dinum L H, N I, quas corpus temporibus ilHs describere posset, a 
tangentibus cadendo ; & velocitates erunt ut longitudines descriptae 
G H, H I directe & tempora inverse. Exponantur tempora per T 

& decrementum velocitatis 




& /, & velocitates per ^ J^ & ^^ 



G H 



HI 



Hoc decrementum 



tempore / factum exponetur per —- 

oritur a resistentia corpus retardante, & gravitate corpus acceler- 
ante. Gravitas, in corpore cadente & spatium TV^/ cadendo descri- 
bente, generat velocitatem, qua duplum illud spatium eodem tem- 
pore describi potuisset, ut Galilceics demonstravit ; id est, velocita- 

2 N I ^ . rr r 1 .t 

— ^ — ; at m corpore arcum H I describente, auget arcum illum 



tem 



LIBER SECUNDUS. 



253 



sola lonofitudlne H I—H N seu 



MIy.NI 
HI ' 



ideoque generat tan- 



tum velocitatem 



2MIy.NI 



Addatur haec velocltas ad decremen- 



tyHI 

tum prsedlctum, & habebltur decrementum velocitatis ex resistentla 

GH HI 2MIyNI 



sola oriundum, nempe 



tyHI 



Proindeque cum 



gravltas eodem tempore In corpore cadente generet velocltatem 



2NI 



reslstentia erlt ad gravltatem ut 



GH HI . 2MIyNI 



ad 



NI 



, sive ut 



tyGH 



^HI^ 



2MIyNI 



ad 2 NL 



tyHI 



t ' T HI 

Jam pro absclssls C B, C D, C E scrlbantur— ^, o, 20. Pro 
ordlnata C H scrlbatur P, & pro M I scrlbatur serles qusellbet 
Q^+ R^^4-S6>3+ ^c. Et seriel termlni omnes post , prlmum^ 
nempe R^^ + Sd?3 + &c. erunt iV/, & ordlnatse DI, E K, & BG 
erunt P - Q ^ - R^^ - S ^3 _ &c. P - 2 Q^ - 4 R^d? - 8 S ^^ _ 
&c. &P + Q<?— R^<?+S^3 — &c. respective. Et quadrando dlffe' 
rentlas ordlnatarum B G — C H & C H—D /, & ad quadrata 
prodeuntla addendo quadrata ipsarum B C, C D, habebuntur arcuum 
GH, H I quadrata ^^ + Q Q ^^ — 2 Q R o^ 4- &c. ^oo -^- Q^Q^oo 

Q R^^ 



4- 2 Q R ^^ + &c. Quorum radlces J\ + Q Q — 



& 



Vi + QQ' 
J i -^-OO ^ Y ^ ^ sunt arcus G H 81 HI Praeterea sl ab 

ordinata CH subducatur semlsumma ordlnatarum BG ac D I, 

& ab ordlnata DI subducatur semlsumma ordlnatarum C H &l 

EKy manebunt arcuum GI & /T/f sagittae Roo & Roo-\-^So\ 

Et hae sunt llneolls L H 8i iV/ proportlonales, Ideoque in du- 

pllcata ratlone temporum Infinlte parvorum T & /: & inde ratio 

/ ,R+3S^ R + ISd? . tyGH „. ^MIyNI. 

7y est J :^ — seu 



R 



R 



&^Ji^_^/+ 



HI 



substituendo ipsorum — , G H, H I, M I & N I valores jam In- 

ventos, evadit ^— ^ ^i + Q Q. Et cum 2 N I ^M^Roo, resi- 
2 R 



254 



DE MOTU CORPORUM 



stentia jam erit ad gravitatem ut - — — V ^ + Q Q ad 2 R ^ ^, id est, 

2 K. 



ut3S Vi + QQad4RR. 

Velocitas autem ea est, quacum corpus de loco quovis H, 
secundum tangentem H N egrediens, in parabola diametrum H C 

& latus rectum ^ seu ^ ^ ^ habente, deinceps in vacuo 

moveri potest. 

Et resistentia est ut medii densitas & quadratum velocitatis 
conjunctim, & propterea medii densitas est ut resistentia directe & 

quadratum velocitatis inverse, id est, ut - — J "^ >^ W jirecte & 

4 R R 



i + QQ 

R 



inverse, hoc est, ut 



Q.E.I. 



RVi + QQ" 
Corol. I. Si tangens HN producatur utrinque donec occurrat 

ordinatae cuilibet A F m T: erit — -— aequalis V i + Q Q, ideoque 



in superioribus pro J i ^-QQ scribi potest. Qua ratione resistentia 
erit ad gravitatem ut ^Sx/Zrad ^RRx^C, velocitas erit 



ut 



H T 



, & medii densitas erit ut 



Sx^ C 
RxHT 



ACJK 

CoroL 2. Et hinc, si curva 
linea P FHQ definiatur per 
relationem inter basem seu 
abscissam A C & ordinatim 
appHcatam C H, ut moris est ; 
& valor ordinatim applicatse 
resolvatur in seriem conver- 
gentem : Problema per primos 
seriei terminos expedite solve- 
tur, ut in exemplis sequentibus. ^ 

ExempL i. Sit linea PFHQ semicirculus super diametro PQ 
descriptus, & requiratur medii densitas quse faciat ut projectile 
in hac linea moveatur. 

Bisecetur diameter P Q m A ; dic A Q, n; AC,a; CH, e; & 
CD,o: & erit Dlq seu A Q g—A D q = nn'-(ia'-2 ao-oo.sm 




LIBER SECUNDUS. 



255 



•2 ao — 0, & radlce per methodum nostram extracta, fiet D I 
ao 00 aaoo a o^ a^ o^ 
e 2 e 2 e^ 2 e^ 



ee 






ee-\-aa, & evadet D I=e 

e 



2 e^ 
nno 



&c. HIc scribatur ^^/^ pro 
anno^ 



&c. 



2 ^^ 2 ^^ 

Hujusmodl series distinguo in termlnos successlvos In hunc modum. 
Termlnum prlmum appello, in quo quantltas infinite parva non 
extat ; secundum, in quo quantltas illa est unius dimenslonis ; tertlum, 
in quo extat duarum ; quartum, in quo trium est; & slc in infinltum. 
Et primus termlnus, qui hic est e, denotablt semper longltudinem 
ordinatse C H Inslstentls ad inltlum Indefinltae quantltatls 0, 

Secundus termlnus, qui hic est , denotabit differentiam inter C H 

& D N, \d est, lineolam M N, quae abscinditur complendo 

parallelogrammum H C D M, atque ideo posltlonem tangentls Z^TV 

semper determinat; ut in hoc casu caplendo M N ad H M vX est 

ao . . rr^. . .,. nnoo . , 

ad 0, seu « ad ^. 1 ermmus tertms, qui hic est — , designa- 

e 2 e 

bit lineolam I N, quae jacet inter tangentem & curvam, ideoque 

determlnat angulum contactus I H N seu curvaturam quam curva 

linea habet in H, Si lineola illa I N finitae est magnltudinis, 

designabltur per termlnum tertium una cum sequentlbus in infinltum. 

At si Hneola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes 

evadent infinlte mlnores tertlo, ideoque negllgi possunt Terminus 

quartus determlnat varlatlonem curvaturse, qulntus varlatlonem 

variationls, & slc deinceps. Unde obiter patet usus non contemnen- 

dus iiarum serierum in solutione problematum, quae pendent a 

tangentlbus & curvatura curvarum. 



Conferatur jam serles e — 



ao nnoo anno'^ 



— &c. cum ferie 



e 2 e^ 2 e^ 

P — Q^ — R^^ — S^3_&c. & perinde pro P, Q, R & S scrlbatur e, 

a nn ^ ann ^ , ^ ^ ., ,^ /7. n. n 

, & ^7-77 , & pro V I + Q Q scribatur v i H- 



a a 



2e' 



2 e^ 



seu 



& 



e e 



prodlbit medli densitas ut hoc est (ob datam ri) ut -, seu 

^ ne ^ ^ e 

A C . 

^ TT > id est, ut tangentis longitudo illa H T, quae ad semidlam^trum 



56 



DE MOTU CORPORUM 




A F ipsi P Q normaliter insistentem terminatur : & resistentia erit 

ad gravitatem ut 3 ^ ad 2 n, id est, ut 3 ^ C ad circuli diametrum 

PQ: velocitas autem erit ut J C II. Quare si corpus justa cum 

velocitate secundum lineam ipsi 

P Q parallelam exeat de loco 

7% & medii densitas in singulis 

locis H sit ut longitudo tangen- 

tis H T, 81 resistentia etiam in 

loco aliquo H sit ad vim gravi- 

tatis ut 3 ^ C ad P Q, corpus 

illud describet circuli quadran- 

t^m FHQ. Q.E.I. p 

At si corpus idem de loco P, secundum lineam ipsi P Q perpen- 
dicularem egrederetur, & in arcu semicirculi P FQ moveri inciperet, 
sumenda esset A C seu a ad contrarias partes centri A, & propterea 
signum ejus mutandum esset & scribendum —■ a pro -h a. Quo 

pacto prodiret medii densitas ut — - . Negativam autem densitatem, 

hoc est, quae motus corporum accelerat, natura non admittit : & 
propterea naturaliter fieri non potest, ut corpus ascendendo a P de- 
scribat circuli quadrantem P F Ad hunc effectum deberet corpus a 
medio impellente accelerari, non a resistente impediri. 

Exempl. 2. Sit linea P FQ parabola, axem habens A F horizonti 
PQ perpendicularem, & requiratur medii densitas, quse faciat ut 
projectile in ipsa moveatur. 

Ex natura parabolae, rectangulum P DQ 
aequale est rectangulo sub ordinata D I 81 
recta aliqua data : hoc est, si dicantur recta 
illa d; PC, a'/PQ, c;.CH, e; & CD, 
; rectangulum a->rO in c — a — o seu ac — 
aa — ^ ao-\-c — aequale est rectangulo 



1 



a c — a a 



b in D /, ideoqiie]^/^ / aequale , 

Jam scribendus 




^—2 a 



— 



00 



esset hujus seriei secundus 



2 a 



00 



termmus \ pro Q o, tertius item terminus —j- pro R^^. 



LIBER SECUNDUS. 



257 



Cum vero plures non slnt termlni, debeblt quartl coefficlens S 

evanescere, & propterea quantltas — — =^^, cui medil densltas 

proportionalis est, nihil erlt. Nulla igltur medii densitate move- 
bltur projectile In parabola, uti olim demonstravit Galilcsus, 
Q.E.L 

Exempl. 3. Slt linea A GK y 

hyperbola, asymptoton habens 
NX plano horizontall A K 
perpendicularem ; & quseratur 
medil densltas, quae faciat ut 
projectile moveatur In hac llnea. 

Slt MX asymptotos altera, 
ordlnatlm appllcatae D G pro- 
ductae occurrens in V ; & ex 
natura hyperbolae, rectangulum 
XVvci VG dabitur. Datur 
autem ratlo D N 2A VX, 81 
propterea datur etlam rectan- 
gulum DN in VG, Sit illud 

dd: & completo parallelo- imT a bd k 

grammo D N X Z ; dlcatur B N, a; B D, ; N X, c ; & ratlo data 

V Z ad Z X vel D N ponatur esse — . Et erit D N aequalls a^o. 




n 



bb 



m 



V G aequalls , V Z aequahs — a—Oy & GD seu NX— VZ— VG 

a — o n 



.. m m 

aequahs c a-\-— 

n n 



bb 



a — o 



Resolvatur terminus 



bb 



m seriem 



a — o 



b b b b b b b b o o^ ^i^ i- 

convers^entem 1 ^H -^ o^ &c. & net G D aequalis 

a aa a^ a^ 

m bb m bb bb ^ bb ^ ,,- 

c a 1 — o^ o^ <kc. Huius senei ter- 

n a 71 aa a^ a"^ 

. m bb , ^ . 

mmus secundus — usurpandus est pro Q 0, tertms cum signo 

n a a 

bb ^ ^ . . bb 

mutato — d^ pro R <? , & quartus cum signo etiam mutato — o^ 

R 



5B 



DE MOTU CGRPORUM 



pro S ^^ eorumque coemcientes , — & — scnbendae sunt 

^ 11 a a a^ a'^ 

in regula superlore pro Q, R & S. Ouo facto prodlt medii densitas 

dd 

a^ I 



ut 



b b /^ mm 
— VI + — 

d^ 17 t7. 



nn 



2mb b b^ 
naa a^ 



seu 



, ^ 7nm 2mb b b^ 

s/ aa-\ aa 1 

71 n 71 aa 



id 



est, si in VZ sumatur VY sequalls V G, ut -r^-i^. Namque aa & 



Resi- 



mm 2mbb b*' ^. xt-^o-^t^ i^ 

aa H sunt ipsarum X Z ^ Z Y quadrata. 

7171 n aa 

stentia autem invenltur in ra- 

tione ad gravltatem quam habet 

3 ;^ r ad 2YG; & velocltas 

ea est, quacum corpus in para- 

bola pergeret vertlcem G, dia- 

metnim D G, %l latus rectum 

^^ habente. Ponatur 

V G 

itaque quod medli densltates in 

locis slnguHs G sint reciproce 

ut dlstantlae X F, quodque resl- 

tentla in loco ahquo G sit ad 

gravitatem ut 3 X F ad 2 YG ; 

& corpus de loco A, justa cum 

velocltate emissum, describet m a b ^ 

hyperbolam Illam A G K. Q. E. I. 

Exempl. 4. Ponatur indefinlte, quod Hnea A G K hyperbola sit, 
centro X, asymptotls M X, N X ea lege descrlpta, ut constructo 
rectangulo XZ D N cujus latus Z D secet hyperbolam m G &l 
asymptoton ejus in F, fuerit VG reciproce ut ipslus ZX vel DN 
dlgnltas allqua D N'\ cujus index est numerus 71 : & quaeratur medii 
densitas, qua projectlle progredlatur In hac curva. 

Yxo B N, B D, N X scrlbantur A, O, C respective, sitque VZ 

bb 




2idXZ vel Z^iV ut ^ ad ^, & VG sequahs 



DN^' 



& erit DN aequa- 



LIBER SECUNDUS. 259 



bb 



lls A - O, VG^ -, FZ = -A-0, & GD seu iVX- FZ 

A-Of c 

^VG ^qualls C A -f - O — ===„^. Resolvatur termlnus Ille 

e e A — 0| 

bb . . . r ' ^ ^ nb b ^ 11 7t + 11 . . ^ 

^— 1« in senem mfinitam — + ^ O + ^^, + , b b O^ ^- 

— ^-^- — b b O^ &c. ac fiet G D sequalis C A 4- 

d ^ 71 b b ^ +7171 + 71 ^ ^ ^ + 71^ + X7171 + 271 , . ^ ^ . _ 

jus seriei termlnus secundus - O — a«+i O usurpandus est pro Q <?, 
. ^^^ + ^^ T i r\ T^ ?^^ 4- 3 ^ ^^ + 2 ;^ 



tertms — ^— b b 0"" pro R ^^ quartus . ^^^^ b b O^ pro 

S 
S^\ Et inde medii densitas -^ — . ^^, in loco quovls G, fit 

RVi + QQ 

, ideoque si in VZ capiatur V Y 



,<^ dd . 2d7ibb ^ nnb^ 
3VA^ + -A^---^A + 



ee eK'' A^" 

sequalls 71 x VG, densltas Illa est reclproce ut X Y, Sunt enim A^ 

^dd. 2d7ibb . 7inb^ , ^^ ^ c^ ^ ^r 1 -n . 

& — A^— — -r— A + — — ipsarum X Z Ql Z Y quadrata. Resisten- 

X Y 
tla autem in eodem loco G fit ad gravltatem ut 3 S in — v— ad 4 R R, 

27tn + 2n 
id est,ut XY2A — VG, Et velocltas ibidem ea Ipsa est, quacum 

corpus projectum in parabola pergeret, vertlcem G, dlametrum 

^ 7-. o 1 i + QO 2XY quad. , , ^ r- r 

G D cz. latus rectum ^^ seu habente. Q. E. I. 

R n7t + ftin VG 

Scholiunt. 

S X A C 
Eadem ratlone qua prodlit densltas medli ut ~ zT^ ^^ corol- 

lario primo, sl reslstentia ponatur ut velocitatis V dignitas quasli- 



26o 



DE MOTU CORPORUM 



bet V", prodibit densitas medii 
S 



ut 



R 



4-« ^ ^T" 



Et propterea 



si curva inveniri potest ea lege, 

S 
ut data fuerlt ratio ~^n ad 

R— 




corpus movebitur in hac curva 



Q 

in 



uniformi medio cum resistentia quae sit ut velocitatis dignitas V". 
Sed redeamus ad curvas simpliciores. 

Quoniam motus non fit in parabola nisi in medio non resistente, 
in hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam ; 
perspicuum est quod Hnea, quam projectile in medio unlformiter 
reslstente descrlbit, proplus accedlt ad hyperbolas hasce quam ad 
parabolam. Est utlque Hnea illa hyperbollcl generis, sed quae circa 
vertlcem magls dlstat ab asymptotls ; in partlbus a vertice remotiori- 
bus proplus ad Ipsas accedlt quam pro ratlone hyperbolarum quas hic 
descrlpsi. Tanta vero non est inter has & illam differentla, quin 
iUIus loco posslnt hae in rebus practicis non incommode adhiberi. 
Et utiliores forsan futurae sunt 
hae, quam hyperbola magis ac- 
curata & simul magls compo- 
sita. Ipsae vero in usum sic 
deducentur. 

Compleatur parallelogram- 
mum XYGT, & recta GT 
tanget hyperbolam in G, ideo- 
que densitas medli in G est 
reclproce ut tangens G T, &l 

velocltas ibidem ut J ^ J , 

reslstentla autem ad vlm gravi- 



tatis 
GV, 



ut GT d^d 



7/-h 2 



m 




LIBER SECUNDUS. 



261 



Prolnde si corpus de loco A secundum rectam A H projectum 
describat hyperbolam A G K, & A H producta occurrat asymptoto 
N X In H, actaque A I eldem parallela occurrat alteri asymptoto 
M X in /; erit medii densitas In A reclproce ut A H^ 81 corporis 

velocltas ut ^ — ^-y^ , ac resistentla Ibldem ad gravltatem ut A H 

ad In A I. Unde prodeunt sequentes regulae. 

Reg. I. SI servetur tum medll densitas In A, tum velocltas 
quacum corpus projicitur, & mutetur angulus NAH; manebunt 
longitudlnes A H, A I, H X, Ideoque sl longltudines Illse In aliquo 
casu invenlantur, hyperbola delnceps ex dato quovls ^xigvXo N A H 
expedlte determinari potest. 

Reg. 2. SI servetur tum angulus N A H, tum medll densitas In 
A, & mutetur velocltas quacum corpus projicltur; servabitur longitudo 
A Hy 81 mutabltur ^ / in dupllcata ratione velocltatls reclproce. 




Reg. 3. SI tam angulus N A H^ quam corporls velocltas in A, 
gravltasque acceleratrlx servetur, & proportlo reslstentlae in A ad 
gravltatem motricem augeatur In ratlone quacunque ; augebitur 
proportio A H 2A A I \w eadem ratione, manente parabolae praedictae 

latere recto, elque proportionall longltudine j : & propterea 



262 



DE MOTU CORPORUM 



minuetur A H m eadem ratlone, 8>l A I mlnuetur In ratione illa 
duplicata. Augetur vero proportlo reslstentlae ad pondus, ubi yel 
gravitas specifica sub sequali magnitudine fit mlnor, vel medii 
densitas major, vel resistentla, ex magnitudine dlminuta, diminuitur 
in minore ratione quam pondus. 

Reg, 4. Quoniam densitas medli prope verticem hyperbolae major 
est quam in loco A ; ut habeatur densitas mediocris, debet ratio 
minlmae tangentium 6^ 7" ad tangentem A H inveniri, & densltas in 
A augeri in ratione paulo majore quam semisummse harum tangentium 
ad minlmam tangentium G T, 

Reg, 5. Si dantur longitudines A H, A I, & describenda sit 
figura A GK : produc H N ad X, ut sit H X Sid A / utn-\-i ad i, 
centroque X & asymptotis MX, N X per punctum A describatur 
hyperbola, ea lege, ut sit ^ / ad quamvis F 6^ ut ^ F" ad X I'\ 




^^g' 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratse sunt hae 
hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae In ejus 
descensu ad iT; & contra. Hyperbola conica mediocrem ratlonem 
tenet, estque caeteris slmpllcior. Igitur si hyperbola sit hujus generls, 
& punctum K, ubi corpus projectum incldet in rectam quamvis A N 
per punctum A transeuntem, quaeratur : occurrat producta A N 
asymptotis M X, NX m M &, N, 81 sumatur NK ipsi A M a^qualis. 

Reg, 7. Et hlnc liquet methoduu expedita determinandi hanc 




LIBER SECUNDUS. 263 

hyperbolam ex ph^nomenls. Projiciantur corpora duo similia & 
cequaHa, eadem velocitate, in anguHs diversis H A K, h A k, inci- 
dantque in planum horizontis m K Sl k ; 81 notetur proportio A K 
ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo 
A /, assume utcunque longitudinem A H wd A h, & inde colHge 
graphice longitudines A K, A k, per reg. 6. Si ratio A K 2.d A k 
sit eadem cum ratione d ad e, longitudo A H recte assumpta fuit. 
Sin minus cape in recta infinita S M longitudinem SM a^qualem 
assumptse A H, 81 erige perpendiculum M N aequale rationum 

differentise "— ductze in rectam quamvis datam. SimiH methodo 

A k e 

ex assumptis pluribus longitudinlbus 

A H invenienda sunt plura puncta 

N, & per omnla agenda curva Hnea 

regularis N N X N, secans rectam 

SMMM in X. Assumatur demum 

A H aequaHs absclssae S X, 81 Inde 

denuo inveniatur longltudo A K ; & longltudlnes, quse sint ad 

assumptam longitudinem AI & hanc ultimam AH, ut longitudo AK 

per experlmentum cognita ad ultimo Inventam longitudinem A K, 

erunt verse ihae longitudines A I 81 A H, quas invenire oportuit. 

Hisce vero datls dabltur & reslstentia medll in loco A, quippe quae 

sit ad vlm gravltatls \xt A H 2id 2 A I. Augenda est autem densitas 

medii per reg. 4 & resistentla modo Inventa, sl in eadem ratlone 

augeatur, fiet accuratior. 

Reg. 8. Inventis longltudlnibus A H, HX; sl jam desideretur 

positio rectae A H, secundum quam projectile, data IHa cum velocitate 

emlssum, Incldlt In punctum quodvis K: ad puncta A 81 K 

erlgantur rectae A C, K F horizontl perpendiculares, quarum A C 

deorsum tendat, & aequetur Ipsi A I seu \ H X. Asymptotis A K, 

K F describatur hyperbola, cujus conjugata transeat per punctum 

C, centroque A & intervallo A H ' describatur clrculus secans 

hyperbolam IHam In puncto H; & projectile secundum rectam A H 

emissum incldet in punctum K. Q. E. /. Nam punctum H, ob 

datam longitudinem AH, locatur aHcubi in clrculo descripto. Agatur 

CH occurrens Ipsls A K 8l K F, iHI in E, huic In F; & ob 

paraHelas C H, MX & ^quales A C, A I, erit A E aequaHs A M, 



264 



DE MOTU CORFORUM 



& propterea etiam aequalis KN. Sed CB est ad A B wt F H 2id 
K Ny & propterea C E & F H aequantur. Incldlt ergo punctum H 
in hyperbolam asymptotls A K, K F descrlptam, cujus conjugata 
translt per punctum C, atque Ideo reperltur In communi intersectione 
hyperbolae hujus & circuH descripti. Q. E. D. Notandum est 
autem quod haec operatlo perinde se habet, sive recta AKN horizonti 
parallela slt, sive ad horlzontem In angulo quovls Incllnata : quodque 
ex duabus intersectionibus H, h duo prodeunt anguli N A H, 
NAh; & quod in praxi mechanica sufficit circulum semel 
describere, deinde regulam interminatam CH ita appHcare ad punctum 
C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequaHs sit ejus 
parti CE inter punctum C & rectam A K sitae. 

Quae de hyperboHs dicta sunt facile appHcantur ad parabolas. 
Nam si X A G K parabolam designet quam recta X V tangat in 
vertlce X, sintque ordinatim appHcatae lA, 
V G ut quaeHbet abscissarum X I, X V 
dlgnitates X F\ X V\' agantur XT, GT, 
A //, quarum X T parallela sit V G, & 
G T, A H parabolam tangant m G 81 A : 
& corpus de loco quovls A, secundum 
rectam A H productam, justa cum veloci- 
tate projectum, describet hanc parabolam, si 
modo densltas medii, in locis singuHs G, 
sit reclproce ut tangens G T. Velocitas 
autem in G ea erit quacum projectile 
pergeret, in spatlo non reslstente, in 
parabola conica vertlcem G, diametrum VG deorsum productam, 
2 G T^ 




& latus rectum 



n 71 — n X 



VG 



habente. Et resistentia in G erit ad 



vim gravitatls \xt G T 2A 



2 nn — 2 n 
n — 2 



VG. Unde s\ N A K Hneam 



horlzontalem designet, & manente tum densitate medii in A, tum 
velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunque angulus 
N A H ; manebunt longltudlnes A H, A I, H X, & inde datur 
parabolae vertex X, & posltio rectae X I, 81 sumendo V G a.d / A ut 
X V'' ad XI", dantur omnla parabolae puncta G, per quae projectile 
transibit. 



LIBER SECUNDUS. 



65 



SECTIO III. 

De motic corporiLin qicibits resistitur partim in ratione velocitatis, 
partim in ejicsdem ratione duplicata. 



PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII. 

Si corpori resistitur partim i^i ratione velocitatis, partim in veloci- 
tatis ratione duplicata, & idem sola vi insita in medio si^nilari 
movetur: sujnantur autem tempora in progressione arithmetica ; 
quantitates velocitatibus reciproce proportionales data quadam quan- 
titate auctce, erunt i7i progressione geometrica. 

Centro C, asymptotls rectangulis CADd^ C H, descrlbatur 
hyperbola B E e, Sc asymptoto CH parallelse slnt A B, D E, de. In 
asymptoto CD dentur puncta A, G : Et 
sl tempus exponatur per aream hyperbo- 
llcam^^^Z^ unlformlter crescentem ; 
dlco quod velocltas exponl potest per 
longltudlnem D Ey cujus reclproca GD 
una cum data C G componat longltudl- 
nem CZ^ In progresslone geometrlca cre- 
scentem. 

Slt enim areola DEed datum temporis 
incrementum quam mlnlmum, & erlt D d reclproce ut D E, ideoque 

I 




dlrecte ut C D. Ipslug autem 



GD 



decrementum, quod (per hujus 



lem. 11) est 
CG 



Dd 



erit ut 



CD CG^GD 



seu 



, Id est, ut 



GDq GDq GDq ' ' ^' GD 

Igltur tempore ABED per addltionem datarum particu- 



GDq 

larum jG'/^^^ unlformiter crescente, decrescit 



GD 



in . eadem ratione 



cum velocltate. Nam decrementum velocltatis est ut reslstentla, hoc 



266 



DE MOTV COBPORUM 



est (per hypothesln) iit summa duarum quantitatum, quarum una est 
ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis ; & ipsius -— — decre- 

Cr JD 

I o CG 
mentum est ut summa quantitatum — — & , quarum prior est 

ipsa-— , & posterior est ut ; proinde-^—-, ob analogum 

decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas G D, ipsi — — reci- 

G D 

proce proportionaHs, quantitate data C G ^ 

augeatur; summa C D , t^m^ovQ. A B E D 

uniformiter crescente, crescet in progres- 

sione geometrica. Q. E. D. 

Corol. I. Igitur si, datis punctis A, G, 

exponatur tempus per aream hyperboli- 

cam ABEDy exponi potest velocitas per 

ipsius G D reciprocam 7^-7^. 

G D 

Corol. 2. Sumendo autem G A ?iA G D wt velocitatis reciproca 

sub initio ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, 

invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis 

alio tem.pore inveniri potest. 




PROPOSITIO XII. THEOREMA IX. 

lisdem positis, dico qttod, si spatia descripta sumanttir in pj^ogressione 
arithmetica, velocitates data quadam qnantitate auct^e ertmt in pro- 
gressione geometrica. 

In asymptoto CD detur punctum 
R, & erecto perpendiculo RS, quod 
occurrat hyperbolae in S, exponatur 
descrlptum spatlum per aream hy- 
perbollcam RSED; & velocltas 
erit ut longitudo G D, quse cum 
data CG componlt longitudlnem 
C D In progressione geometrlca c" 
decrescentem, interea dum spatium RS E D augetur in arithmetica. 




LIBER SECUNDUS. 



267 



Etenim ob datum spatli incrementum E D de, lineola D d, quse 
decrementum est ipsius G D, erit reciproce ut ED, ideoque directe 
ut C D, hoc est, ut summa ejusdem G D 81 longitudinis datae CG. 
Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, 
quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & 
tempus conjunctim, id est, directe ut summa duarum quantitatum, 
quarum una est ut velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & 
inverse ut velocitas ; ideoque directe ut summa duarum quantitatum, 
quarum una datur, altera est ut velocitas. Decrementum igitur tam 
velocitatis quam lineae G D, est ut quantitas data & quantitas decres- 
cens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper 
erunt quantitates decrescentes ; nimirum velocitas & linea G D, 
Q. E.D. 

CoroL I. Si velocltas exponatur per longitudinem G D^ spatium 
descrlptum erit ut area hyperbolica DESR. 

Corol. 2. Et sl utcunque assumatur punctum R, Invenietur punc- 
tum G caplendo GR ad GD, ut est velocitas sub Initlo ad velocltatem 
post spatlum quodvls RSED descrlptum. Invento autem puncto (7, 
datur spatlum ex data velocltate, & contra. 

Co7^oL 3. Unde cum (per prop. xi) detur velocitas ex dato tem- 
pore, & per hanc propositionem detur spatium ex data velocitate ; 
dabitur spatium ex dato tempore : & contra. 

PROPOSITIO XIII. THEOREMA X. 

Posito quod corpics ab 2cnifor7ni gravitate deorsum attractum recta 
ascendit vel descendit ; & quod eide^n resistitur partim in ratione 
velocitatis, partim in ejusdon ratione duplicata: dico quod, si circuli 
& hyperbolcB diametris parallelce rectcB per cojijugatarum diametro- 
rum terminos ducantur, & velocitates sint 2ct segmenta qucedam 
parallelarimi a dato puncto ducta ; tempora erunt ut arearum 
sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi : df 
contra. 

Cas. I. Ponamus primo quod corpus ascendlt, centroque D & 
semidiametro quovis D B descrlbatur clrcull quadrans B E T E, 8i 



268 



DE MOTU CORPORUM 




per semidiametri DB terminum B agatur infinita B A P, semidia- 
metro Z^ /^ parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmen- 
tum A P velocitati proportionale. Et cum resistentiae pars altera 
sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum ; sit resistentia 
tota vX AP qicad,-\-2BAP, Jungantur DA, DP circulum secantes 
in E ^c T, 8i exponatur gravitas per D A 
quad. ita ut sit gravitas ad resistentiam ut 
DAq ad APq-\-2BAP: & tempus ascensus 
totius erit ut circuli sector ED T, 

Agatur enim D VQ, abscindens & velocita- 
tis A P momentum P Q, 8i sectoris D E T 
momentum D TV dato temporis momento 
respondens ; & velocitatis decrementum illud 
PQ erit ut summa virium gravitatis D A q 8i 
rtsistentid^ APq+2BAPy id est (per prop. 12 lib. 2 elem.) ut DP 
quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportiohalis, est ut DP quad, 
& area DTV, quse est ad aream DPQ ut DTq ad DPq, est ut 
datum D Tq. Decrescit igitur area E D T uniformiter ad modum 
temporis futuri, per subductionem datarum particularum D T V, Sl 
propterea tempori ascensus totius proportionalis est. Q.E.D. 

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem 
A P vX prius, & resistentia ponatur esse ut A P q-\-2B A P, and si 
vis gravitatis minor sit quam quse per DAq exponi possit; capiatur 
BD ejus longitudinis, ut sit ABq — BDq gravitati proportionale, 
sitque Z^i^ipsi D B perpendicu- 
laris & sequalis, & per verticem 
T^describatur hyperbola FTVE, 
cujus semidiametri conjugatae 
sint DB & DF, quaeque secet 
DA in E, & DP, DQmT&i V; 
& erit tempus ascensus totius ut 
hyperbolae sector TDE. 

Nam velocitatis decrementum 
PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistenti^ 
APq-{-2BAP 8Lgr2ivltRt[s A Bq-BDq, id cst, utBPq-BDq. 
Est autem area D T V Sid aream D P Q, ut DTq ad DPq; ideoque, 
si ad i9/^demittatur perpendiculum G^ Z; ut G^ 7^^ seu GDq—DFq 




LIBER SECUNDUS. 



269 



ad B Dq, utque GDq ad B P q, 81 dlvislm ut DFq ad B Pq — 
B Dq. Quare cum 2iiCQ2L D P Q sit \xtPQ, id est, ut B Pq — B Dq ; 
erlt area D T V wt, datum D Fq. Decresclt igltur area E D T 
uniformlter singulls temporis particulis aequalibus, per subductionem 
particularem totidem datarum D T V, & propterea tempori 
proportionalis est. Q. E. D. 

Cas. 3. Sit A P velocitas in descensu corporls, & APq+ 2 BAP 
resistentla, & B D q — A B q vls gravitatls, exlstente angulo D B A 
recto. Et si centro D, vertlce princlpall B, describatur hyperbola 
rectangula BETV secans productas D A, DP & DQ In E, 
T & V; erit hyperbolae hujus sector DETut tempus totum descensus. 

Nam velocltatls Incrementum PQ, eique 
proportionaHs area D P Q, est ut excessus 
gravitatls supra reslstentlam, id est, \xt B D q 
--A Bq-2 B A P-A Pq seu BDq- 
BPq. Et areaZ^TF est ad aream DPQ 
ut D Tq ad D P q, ideoque ut G Tq seu 
GDq-BDq ad B P q, utque GDq ad 
BDq, & dlvIsImut^Z^^adi^/^^-i^P^. 
Quare cum area DP Q slt ut B D q—B Pq, 
erlt area D T V \xt datum B D q. Cresclt 
igitur area E D T uniformlter slngulis temporis particulls sequallbus, 
per addltionem totidem datarum particularum D T V^ 8l propterea 
tempori descensus proportionaHs est. Q. E. D. . 

Corol. Si centro D semidiametro D A per verticem A ducatur 
arcus A t slmlHs arcui E T, 8z. slmlHter subtendens angulum A D T : 
velocltas A P erlt ad velocitatem, quam corpus tempore E D T, in 
spatio non reslstente, ascendendo amlttere vel descendendo acqulrere 
posset, ut area trianguH D A P 2A aream sectorls D A t ; ideoque 
ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non reslstente, 
temporl, atque Ideo sectori hulc proportionaHs est; in medio reslstente 
est ut triangukim ; & in medlo utroque, ubi quam minima est, accedit 
ad rationem sequaHtatis, pro more sectoris & trianguH. 

Scholmm. 

Demonstrari etlam posset casus in ascensu corporis, ubi vis 
gravitatis minor est quam quse exponi possit per D Aq seu A B.q -h 




270 



DE MOTU CORPORUM 



B Dq, Si major quam qiise exponl possit per A B q — B Dq, & exponi 
debet per A B q. Sed propero ad alia. 

PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI. 

lisdem positis, dico quod spatvain ascensu vel descensu descriptum, est 2ct 
differentia arecs per qtcam temptcs exp07iitur, & arece cujtcsdam 
alteriics qucB atcgetur vel diminuitur in progressione arithmetica ; si 
vires ex resistentia & gravitate compositce sinnanticr in progressione 
geometrica, 

Capiatur A C (in fig. tribus ultimis) gravitati, 81 A K resistentise 



H 





H 


\ 

\ 


6 

\ 


e/ 




c 


A 


/, 




B 


^ Q.P i 






y / 


y^ r. K 






/ ^^ 


y^ 




/^ 


^;:^^ 




^ 


y 


— 'f 






proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si cor- 



L IBER SE C UND US 



271 



piis descendlt, allter ad contrarlas. Erlgatur A b, quse slt 2id D B 
wX. D B q 3.d 4. B A C: & descrlpta ad asymptotos rectangulas C K, 
C H hyperbola b N, erectaque' K N 2A C K perpendlcularl, area 
AbN K augebltur vel dimlnuetur In progresslone arithmetlca, dum 
vlres CA' in progresslone geometrica sumuntur. Dico Igltur quod 
dlstantla corporls ab ejus altltudlne maxlma slt ut excessus areae 
A b-N K supra aream D E T. 

Nam cum AK slt ut reslstentla, Id est, ut APq-\-2 BAP; 
assumatur data qusevis quantitas Z, & ponatur A K aequaHs 

^ — ; & (per hujus lemma 11) erlt ipsius AK momentum 

KL ^quale ^ ^^ ^ g-^^/-^ ^ ^ ^ seu ^-^, &are^ ^^A^A^ 

j.rr^i,T 1 2BPQXLO BPQxB D cnb, 

momentum K L C^yv aequale seu — - — 7—7 -7—=. 

^ Z 2 Z X CKxA B 

Cas. I. Jam si corpus ascendit, sltque gravitas ut A B q + B D q 
existente B E T circulo (In figura prima) linea A C, quse gravitati 

proportlonalls est, erlt ^— ? , & DPq seu A Pq+2 BAP 

-^A B q-\-BDq erit A Kx Z-{-A Cx Z seu CKxZ ; ideoque area 
D TV erit ad aream DPQ utDTqvdDBq ad CKx Z. 

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit. ut ABq — B D q, 

linea A C (In figura secunda) erit ^-j , 81 D T q erlt ad 

DPqutDEqs&uDBq2idiBPq—BDq s^uAPq+2 BAP + 
A B q—B D q, id est, ad AKxZ-\-A CxZ seu CKxZ. Ideoque, 
area DTV erit ad aream D P Q ut DBq ad CKx Z. 

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea 
gravitas sit \xt B D q — A B q, Sl Hnea A C (In figura tertia) sequetur 

BDq—ABq ^^.^ ^^^^ DTV 2id aream D P Q Mt D B q ^d CK 

X Z : ut supra. 

Cum igltur areae IHae semper sint in hac ratione ; si pro area 
D T V, qua momentum temporis slbimet ipsi semper aequale 
exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta B Dxnty 



272 



DE MOTU CORPORUM 



erit area D P Q, id est, \ B Dy^PQ acl B DxmwtCKxZ ad 
B Dq. Atque Inde ^tPQxB D ctib. aequale 2 B DxntxCKxZ, 
& 2Lredd AdJVK momentum KLON superlus inventum fit 
PBxB Dx m 



AB 

X w, & restabit 



Auferatur areae DE T momentum D TV seu BD 
APy.BDy.m 



AB 



Est igitur dlfferentia momentorum, 



id est, momentum differentiae arearum, sequalis 



A P y. B Dy.m 
ATB 




n 



& 



H 


l 


6 

\ 


e/ 


B C 


A 


/, 


'/"---~_PN 


^ QP 




/ / 


^ T. K 




y/^ \l^ 


y^ 




^:^^ 


y 




— 'F 








B D xm 

propterea ob datum — ^^-o— ^^ velocitas A P, id est, ut momentum 

spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque dlf- 
ferentia arearum & spatium Illud, proportionalibus momentis crescen- 



LIBER SECUNDVS. 27^ 

tia vel decrescentia & slmul incipientia vel simul evanescentia, sunt 

proportionalia. Q. E. D. 

Corol. Si longitudo, quae oritur applicando aream DET ^d lineam 

BD, dicatur M ; & longitudo alia V sumatur in ea ratione ad lon- 

gitudinem M, quam habet linea D A 2id lineam DE: spatium, 

quod corpus ascensu vel descensu toto in medio resistente de- 

scribit, erit ad spatium, quod corpus in medio non resistente e 

quiete cadendo eodem tempore describere potest, ut arearum prae- 

B DxV^ 
dictarum differentia ad — ^— - — ; ideoque ex dato tempore datur. 

Nam spatium in medio non resistente est in duplicata ratione 

BDxV^ 
temporls, slve ut V"" \ & ob datas B D & A B ut — ^— ^ — . Hsec 

,. > DAgxBDxiM' ^ . . ,^ 

area sequalis est areae — =r^^=; -r-=, — , & ipsms J/momentum est m: 

D E qxA B 

DA q X B D X 2 M X 7n 

& propterea hujus arese momentum est \^ ^ -r-^ . Hoc 

D Eqy.A B 

autem momentum est ad momentum differentiae arearum praedicta- 

/izr-T^Q yiiATL- ' .APxBDxm DAqxBDxM 

rum DE T 81 AoNK, viz. ad -—=: , ut ^ 

A B D h q 

ad \BD X AP, sive ut J^ In DET 2id DAP; Ideoque, ubl areae 

Dhq 

D E T 8l D A P quam minimse sunt, in ratlone aequaHtatls. Area 

. . B DxV"" 

igitur , & differentla arearum D E T 8>l AbN K, quando 

A Jj 

omnes hae areae quam mlnlmae sunt, aequaHa habent momenta ; 

Ideoque sunt aequales. Unde cum velocltates, & propterea etiam 

spatia in medlo utroque In prlncipio descensus vel fine ascensus slmul 

descrlpta accedant ad aequahtatem ; ideoque tunc slnt ad invicem 

BDxV^ 

ut area ^ ^ , & arearum DETBnAbNK differentia ; & prae- 

A B ^ 

BDxV^ 
terea cum spatmm m medio non resistente sit perpetuo ut , 

& spatium in medio resistente sit perpetuo ut arearum D E T 81 
AbNK differentla : necesse est, ut spatia in medio utroque, in aequa- 
llbus qulbuscunque temporlbus descripta, slnt ad Invlcem ut area 

s 



2 74 



DE MOTU CORPORUM 



illa ^^^^ - . & areariim DET^AbNK differentla. Q. E. D, 
A B 



Scholium. 

Resistentla corporum sphsericorum in fluidls oritur partim ex 
tenacitate, partlm ex frictione, & partim ex densitate medii. Et 
resistentise partem illam, quae oritur ex densitate fluidi diximus esse 
in duplicata ratione velocitatis ; pars altera, quae oritur ex tenacitate 
fluidi, est uniformis, slve ut momentum temporis : ideoque jam 
pergere liceret ad motum corporum, qulbus resistitur partim vi 
uniformi seu in ratlone momentorum temporis, & partim in ratione 
duplicata velocitatis. Sed sufficit aditum patefecisse ad hanc 
speculationem in propositionlbus viii & ix, quse pra^cedunt, & eorum 
corollarlis. In iisdem utique pro corporis ascendentis resistentia 
uniformi, quae ex ejus gravitate oritur, substitui potest resistentia 
unlformis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus sola vi 
insita movetur; & corpore recta ascendente addere licet hanc 
uniformem resistentiam vi gravitatis ; eandemque subducere, quando 
corpus recta descendit. Pergere etiam liceret ad motum corporum, 
quibus resistltur partim uniformiter, partim in ratione velocltatis, 
& partim in ratione dupllcata velocitatis. Et viam aperui in pro- 
positionibus praecedentibus xiii & xiv, in quibus etiam resistentia 
uniformis,- quae oritur ex tenacitate medii pro vi gravitatis substitui 
potest, vel cum eadem, ut prius, componi. Sed propero ad alia. 



SECTIO IV. 

De corporum circtdari mottc in mediis resistentibics. 

LE MM A III. 

Sit P Q R spiralis qucs secet radios omnes S P, S Q, S R, &c. in 
cEqualibtis angulis. Agatur recta P T qucs tangat eandem in ptmcto 
quovis P, secetque radium S Q inT \ & ad spiralem erectis perpen- 



LIBER SECUNDUS, 



diculis P O, Q O concurrentibus in O.jungahtr S O. Dico quod 
si puncta P cS* Q accedant ad invicem & coeant, angulus P S O 
evadet rectus, & ulti^na ratio rectanguli TQx2PS ad PQ 
quad, erit ratio cBqualitatis, 

Etenlm de angulis rectls OPQ, O QR subducantur anguli aequales 
SPQ, SQR, & manebunt anguli cequales O P S, O Q S. Ergo 
clrculus qui transit per puncta 
Oy Sy P transiblt etlam per 
punctum Q. Coeant puncta 
P & Q, & hic clrculus in loco 
coltus P Q tanget splralem, 
ideoque perpendiculariter seca- 
blt rectam O P. Flet igitur 
O P diameter circuli hujus, & 
angulus O S P m semicirculo 
rectus. Q. E. D. 

Ad OP demittantur perpen- 
dicula Q D, S E, 8i linearum rationes ultlmae erunt hujusmodi : TQ 
ad PD ut TS vel PS ad P E, seu 2 P6^ ad 2 PS; item PD ad 
PQ ut PQ 2Ld 2 PO; & ex aequo perturbate TQ 2id PQ utPQ 
ad2PS. UndQfit PQq 3£qu3lG TQx 2 PS. Q.E.D. 




PROPOSITIO XV. THEOREMA XII. 

Si medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a 
centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis : 
dico quod corpus gyrari potest in spirali, quce radios omnes a centro 
illo ductos intersecat in angulo dato. 

Ponantur quae in superiore lemmate, & producatur SQ ad F, ut 
sit 6^ V aequalls S P. Tempore quovis, in medio resistente, describat 
corpus arcum quam mlnimum P Q, 81 tempore duplo arcum quam 
minimum P R ; 8c decrementa horum arcuum ex resistentla oriunda, 
sive defectus ab arcubus, qul in medio non resistente iisdem tempori- 
bus describerentur, erunt ad invicem ut quadrata temporum in quibus 



2 76 



DE MOTU CORPORUM 




generantur : Est itaque decrementum arcus P Q pars quarta de- 

crementi arcus P R. Unde etiam, si arese P SQ sequalis capiatur 

area Q S r, erit decrementu m 

arcus PQ sequale dimidio lineolse 

Rr; ideoque vis resistentiae & 

vis centripeta sunt ad invicem ut 

lineolaeiT^r &, T Q quas simul 

generant. Quoniam vis centri- 

peta, qua corpus urgetur in P, est 

reciproce ut S P q, & (per lem. x 

lib. i) lineola TQy quae vi illa 

generatur, est in ratione com- 

posita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus 

PQ describitur (nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem 

quam vis centripeta, negligo) erit TQ x SP^, id est (per lemma 

novissimum) iP Q ^x SP, in ratione dupHcata temporis, ideoque 

tempus est ut P Q x s/SP ; & corporis velocitas, qua arcus P Q illo 

PO I 

tempore describitur, ut — -r — ^ - seu , hoc est, in subdupli- 

cata ratione ipsius S P reciproce. Et simiH argumento, velocitas qua 
arcus Q R describitur, est in subdupHcata ratione ipsius SQ reciproce. 
Sunt autem arcus iHi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad 
invicem, id est, in subdupHcata ratione SQ ad S P, sive vX S Q ad 
JSPxSQ ; & ob aequales angulos SPQ, SQr & aequales areas 
P SQ, Q Sr, est arcus P g ad arcum Q r ut SQ ad S P. Sumantur 
proportionaHum consequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad 
arcum Rr ut S Q 2id SP- JSPxSQ, seu \ V Q. Nam punctis P 
& Q coeuntibus, ratio ultima SP^ JS P x 6^^ ad ^ VQ est aequaHta- 
tis. Quoniam decrementum arcus P Q, ex resistentia oriundum, sive 
hujus duplum Rr, est ut resistentia & quadratum temporis conjunctim; 

Rr 



erit resistentia ut 



adiVQ,& inde 



PQqxS P 
Rr 



fit ut 



Erat autem P Q ad Rr,utSQ 

\0S 



WQ 



sive ut 



PQqxSP PQxSPxSQ OPxSPq 

Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt, & an- 
gulus P VQ fit rectus ; & ob simiHa triangula P VQ, P S O, fit P Q 



LIBER SECUNDUS, 07- 

O S 
ad 1 Fg ut O P 2.di\0 S. Est igitur — — — — — — ut resistentia, id est, 

^ - ^ OPxSPq 

in ratione densitatis medii in /* & ratione duplicata velocitatis con- 
junctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio -^-p^, & 

manebit medii densitas in P ut . Detur spiralis, & ob da- 

tam rationem O S 2id O P, densitas medii in P erit ut -—^. In me- 

o ± 

dio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro S P, cor- 
pus gyrari potest in hac spirali. Q, E. D. 

Corol. I. Velocitas in loco quovis P ea semper est, quacum cor- 
pus in medio non resistente eadem vi centripeta gyrari potest in 
circulo, ad eandem a centro distantiam S P. 

O S , 

Corol. 2. Medii densitas, si datur distantia S P, est ut -7^-5, sin di- 

O S 
stantia illa non datur, ut -r-5 — rr^. Et inde spiralis ad quamlibet 

cy M X o ± 

medii densitatem aptari potest. 

Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centripetam 

in eodem loco ut^OSdid O P. Nam vires illae sunt ad invicem ut 

^RrSi TQ sive ut ^^^^i^^ & ^-^^^> ^oc est, Mt-VQ 81 P Q, 

S (J S P 

seu ^O S 81 O P. Data igitur spirali datur proportio resistentise ad vim 

centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur spiralis. 

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis 
resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat resistentia 
aequalis dimidio vis centripetae, & spiralis conveniet cum linea recta 
P S, inque hac recta corpus descendet ad centrum ea cum velocitate, 
quae sit ad velocitatem, qua probavimus in superioribus in casu 
parabolae (theor. x Hb. i) descensum in medio non resistente 
fieri, in subdupHcata ratione unitatis ad numerum binarium. Et 
tempora descensus hic erunt reciproce ut velocitates, atque ideo 
dantur. 

Corol. 5. Et quoniam in aequaHbus a centro distantiis velocitas 
eadem est in spiraH PQR atque in recta SP, & longitudo spiraHs ad 
longitudinem rectae P S est in data ratione, nempe in ratione OP ad 



2 78 



DE MOTU CORPORUM 



O S ; tempus descensus in spirali erit ad tempus descensus in recta 
S P in eadem illa data ratione, proindeque datur. 

Corol. 6. Si centro 6^ intervallis duobus quibuscunque datis descri- 
bantur duo circuli ; & manentibus hisce circulis, mutetur utcunque 
angulus quem spiralis continet cum radio P S: numerus revolutio- 
num quas corpus intra circulonim circumferentias, pergendo in spi- 
rali a circumferentia ad circumferentiam, complere potest, est ut 

P S 

sive ut tangens anguli illius quem spiralis continet cum radio 



OS' 



OP 



PS; tempus vero revolutionum earundem ut -^r-^, id est, ut secans 

anguli ejusdem, vel etiam reciproce ut medii densitas. 

CoroL 7. Si corpus in medio, cujus densitas est reciproce ut distan- 
tia locorum a centro, revolutionem in curva quacunque A E B circa 
centrum illud fecerit, & radium primum A S m eodem angulo secu- 
erit in B quo prius in A, idque cum velocitate quae fuerit ad velo- 
citatem suam primam in A reciproce in subduplicata ratione distan- 
tiarum a centro (id est, ut ^ kS' ad mediam proportionalem inter A S 




& B S) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones B FCy 
C G D, &c. facere, & intersectionibus distinguet radium ^ 6^ in par- 
tes A Sy B S, CSy DS, &c. continue proportionales. Revolutionum 



LJBER SECUNDUS. 279 

vero tempora erunt ut perimetri orbitarum AEB, BFC, CGD, 8cc. 
directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse ; id est, ut A 6*^, 

B S^, CS'K Atque tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, 

erit ad tempus revolutionis primae, ut summa omnium continue pro- 

333 
portionalium A S'^, B S^, CS^, pergentium in infinitum, ad terminum 

primum A S- ; id est, ut termmus ille primus A S^ ad differentiam 

3 3 

duorum primorum A S^ — B S^, sive ut ^A S sid AB quam proxime. 

Unde tempus illud totum expedite invenitur. 

Coro/. 8. Ex his etiam praeter propter colligere licet motus 
corporum in mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam 
quamcunque legem assignatam observat. Ceittro S, intervallis con- 
tinue proportionalibus SA, SB, SC, &c. describe circulos quotcunque, 
& statue tempus revolutionum inter perimetros duorum quorumvis 
ex his circulis, in medio de quo egimus, esse ad tempus revolutio- 
num inter eosdem in medio proposito, ut medii propositi densitas 
mediocris inter hos circulos ad medii, de quo egimus, densitatem 
mediocrem inter eosdem quam proxime : Sed & in eadem quoque 
ratione esse secantem anguli quo spiralis prsefinita, in medio de quo 
egimus, secat radium A S, ad secantem anguli quo spiralis nova 
secat radium eundem in medio proposito : Atque etiam ut sunt 
eorundem angulorum tangentes ita esse numeros revokitionum 
omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant 
passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. 
Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac 
temporibus corpora in medio quocunque regulari gyrari debebunt. 

Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in spiraHbus ad formam 
ovaHum accedentibus peragantur ; tamen concipiendo spiraHum 
iHarum singulas revolutiones iisdem ab invicem intervaHis distare, 
iisdemque gradibus ad centrum accedere cum spiraH superius descripta, 
inteHigemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi spiraHbus 
peragantur. 



28o 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIII. 

Si medii densitas in locis singulis sit reciproce tU distantia locorum a 
centro immobili, sitque vis centripeta reciproce ut dignitas qucelibet 
ejusdem distantice : dico quod corpus gyrari potest in spirali quce 
radios o?nnes a centro illo ductos intersecat in angtdo dato. 



Demonstratur eadem meth- 
odo cum propositlone superiore. 
Nam si vis centripeta in P slt 
reciproce ut distantia^ S P dig- 
nitas quaelibet SP"'^'^ cujus index p^ 
est n-{- i : colligetur ut supra, 
quod tempus, quo corpus descri- 
bit arcum quemvis P Q, erit ut 

PQx PS^'' ; & resistentia in P 
Rr . 




ut 



PQqxSP 



, sive ut 



i-knx VQ 
PQxSP^^xSQ 



, ideoque ut 



i-jnxOS 
OP X SP^^^' 



u ^ 1 1 i—\n X O S 

hoc est, ob datum — _ , reciproce ut S P"+\ Et propterea, 



OP 
cum velocitas sit reclproce ut SP^'\ densitas in P erit reciproce ut SP. 

Corol. I. Resistentia est ad vim centripetam ut i— J;^x C^^^ad 
OP. 

Corol. 2. Si vis centripeta sit reciproce ut SP cub. erit i —ln = o: 
ideoque resistentia & densitas medii nulla erit, ut in propositione 
nona hbrl primi. 

Corol. 3. Si vis centripeta sit reciproce ut dignitas ahqua radii SP 
cujus index est major numero 3, resistentia affirmativa in negativam 
mutabitur. 



Scholium. 

Cseterum haec propositio & superiores, quae ad media insequahter 
densa spectant, Intehigendse sunt de motu corporum adeo parvorum, 



LJBER SECUNUUS. 



28 



ut medil ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non 
consideranda veniat. Resistentlam quoque caeteris paribus densitati 
proportionalem esse suppono. U nde in mediis, quorum vis resistendi 
non est ut densitas, debet densltas eo usque augeri vel diminui, ut 
resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur. 

PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV. 

Invenire & vim centripetam & medii resistentiam, qua corpus in data 
spirali, data velocitatis lege, revolvi potest, 

Sit spiralls illa P Q R. Ex velocitate, qua corpus percurrit arcum 
quam minimum P Q, dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quse est ut 
vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vls. Delnde ex 




arearum, aequallbus temporum particulis confectarum PSQ 8>l QSR^ 
differentia RSr, dabltur corporis retardatio, & ex retardatione 
invenietur resistentia ac densitas medii. 



PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V. 

Data lege vis centripetce, invenire medii densitatem in locis singulisj 
qua corpus datam spiralem describet, 

Ex vi centripeta Invenienda est velocitas in locis singulis, deinde 



282 DE MOTU CORPORUM 

ex velocitatis retardatione quserenda medii densitas; ut in propositione 
superiore. 

Methodum vero tractandi hsec problemata aperui in hujus pro- 
positione decima, & lemmate secundo ; & lectorem in hujusmodi 
perplexis disquisitionibus diutius detinere nolo. Addenda jam sunt 
aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & 
resistentia mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines 
peraguntur. 

SECTIO V. 
De densitate & compressione fliddoriim, deque hydrostatica. 

Definitio Fluidi. 

Fluidum est corptis omne, cujus partes cedzmt vi cuicu7ique illatcey 
& cedendo facile moventur inter se. 

PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV. 

Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur 

& undique comprimitur, partes omnes (seposita coridensationis, 

gravitatis, & virium omnium centripetarum consideratione) csqualiter 

premmitur undique, & sine omni. mottc a pressione illa orto 

permanent hi locis suis. 

Cas, I. In vase sphaerico y^ ^ C claudatur a. 

& uniformiter comprimatur fluidum undique : y^ "^\ 

dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione / /' \ 

movebitur. Nam si pars ahqua D moveatur, / ^\ F ^ \ 

necesse est ut omnes hujusmodi partes, | "^" ./\ | 

ad eandem a centro distantiam undique \ d > / 

b\ ■''' ^' '■'' •■''' / 

consistentes, simih motu simul moveantur; \ '■••'' 4 / 

atque hoc ideo quia simiHs & aequaHs est \ '"'^y 

pmnium pressio, & motus omnis exclusus ^--— — ^^^^ 

supponitur, nisi qui a pressione iHa oriatur. Atqui non possunt 

omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum con- 



« 



LIBER SECUNDUS. 



283 



densetur; contra hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere, 
nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra hypo- 
thesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in pla- 
gam quamcunque, quia pari ratione movebuntur in plagam contra- 
riam ; in plagas autem contrarias non potest pars eadem, eodem 
tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. 
Q.E.D. 

Cas. 2. Dico jam, quod fluidi hujus partes omnes sphaericse aequa- 
liter premuntur undique. Sit enim E F pars sphaerica fluidi, & si 
hsec undique non premitur sequahter, augeatur pressio minor, usque 
dum ipsa undique prematur sequaHter ; & partes ejus, per casum 
primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem 
permanebunt in locis suis, per casum eundem primum, & additione 
pressionis novae movebuntur de locis suis, per definitionem fluidi. 
Quae duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod sphaera E F non 
undique premebatur aequaHter. Q. E. D. 

Cas. 3. Dico praeterea quod diversarum partium sphaericarum 
aequahs sit pressio. Nam partes sphaericae contiguae se mutuo pre- 
munt aequahter in puncto contactus, per motus legem iii. Sed &, 
per casum secundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur 
duae quaevis sphaericae non contiguae, quia pars sphaerica intermedia 
tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q. E. D. 

Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur 
aequaHter. Nam partes duae quaevis tangi possunt a partibus sphae- 
ricis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas sphaericas aequaHter 
premunt, per casum 3, & vicissim ab ilHs aequaHter premuntur, per 
motus legem tertiam. Q. E. D. 

Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quaeHbit G H I m fluido reHquo tan- 
quam in vase claudatur, & undique prematur aequaHter, partes autem 
ejus se mutuo aequaHter premant & quiescant inter se; manifestum 
est quod fluidi cujuscunque G H I, quod undique premitur aequaHter, 
partes omnes se mutuo premunt aequaHter, & quiescunt inter se. 
Q.E.D. 

Cas. 6. Igitur si fluidum iflud in vase non rigido claudatur, & un- 
dique non prematur aequaHter; cedet idem pressioni fortiori, per 
definitionem fluiditatis. 

Cas. 7. Ideoque in vase rigido fluidum non sustinebit pressionem 



284 



DE MOTU CORPORUM 



fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idque in 
momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem 
cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio 
undique ad sequalitatem verget. Et quoniam fluidum, quam primum 
a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam 
vasis ad latus oppositum ; reducetur pressio undique ad aeqilalitatem, 
in momento temporis, sine motu locali : & subinde partes fluidi, per 
casum quintum, se mutuo prement aequaliter, & quiescent inter se. 
Q.E.D. 

Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem 
fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt, nisi qua- 
tenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes 
intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur 
inter se. 



PROPOSITIO XX. THEOREMA XV. 

Si fluidi sphcerici, & in cBqualibus a centro distantiis komogenei, 
fundo sphcBrico concentrico incumbentis partes singulcs versus centrum 
totius gravitent ; sicstinet fundum pondus cylindri, cujus basis cequalis 
est superficiei fimdi, & altitudo eadem qucefluidi incumbentis. 

Sit Z^Zf^superficies fundi, SlAEI 
superficies superior fluidi. Superficie- 
bus sphaericis innumeris B F K, C G L 
distinguatur fluidum in orbes concen- 
tricos sequaliter crassos ; & concipe 
vim gravitatis agere solummodo in su- \ 
perficiem superiorem orbis cujusque, & 1 
sequales esse actiones in sequales partes 
superficierum omnium. Premiturergo 
superficies suprema AEv\ simplici gra- 
vitatis proprise, qua & omnes orbis su- 

premi partes & superficies secunda "- '"' 

B F K {^^x ^ro^. xix) pro mensura sua sequaliter premuntur. Pre- 
mitur prseterea superficies secunda B FK vi propri^ gravitatis, qu^ 




LIBER SECUNDUS. 



^5 



addlta vi priori facit pressionem duplam. Hac pressione, pro 
mensura sua, & insuper vi propriae gravitatis, id est, pressione tripla, 
urgetur superficies tertia C G L. Et similiter pressione quadrupla 
urgetur superficies quarta, quintupla quinta, & sic deinceps. Pressio 
igitur qua superiicies unaquaeque urgetur, non est ut quantitas solida 
fluidi incumbentis, sed ut numerus orbium ad usque summitatem 
fluidi; & sequatur gravltati orbis Infiml multipllcatse per numerum 
orbium : hoc est, gravitati solidi cujus ultlma ratlo ad cylindrum 
praefinitum (si modo orblum augeatur numerus & minuatur crassitudo 
in infinitum, sic ut actio gravitatls a superficie Infima ad supremam 
contlnua reddatur) fiet ratio aequalitatis. Sustinet ergo superficles 
infima pondus cylindri praefiniti. Q. E. D. Et simili argumentatione 
patet propositio, ubi gravitas decresclt in ratione quavls asslgnata 
distantlae a centro, ut & ubi fluldum sursum rarlus est, deorsum 
densius. Q. E. D. 

Corol. I. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis 
pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustlnet quae in 
proposltione describitur ; pondere reliquo a fluidi figura fornicata 
sustentato. 

• Corol. 2. In aequalibus autem a centro distantiis eadem semper est* 
pressionls quantitas, sive superficies pressa sit horizonti parallela vel 
perpendicularls vel obHqua ; slve fluidum, a superficie pressa sursum 
continuatum, surgat perpendlculariter secundum Hneam rectam, vel 
serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel 
maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hlsce circumstantlis 
pressionem nll mutarl colllgitur, appHcando demonstratlonem theo- 
rematls hujus ad casus slngulos fluldorum. 

Corol. 3. Eadem demonstratione coHigltur etlam (per prop. xix) 
quod fluldi gravls partes nuHum, ex pressione ponderis incumbentls, 
acquirunt motum inter se ; sl modo excludatur motus qui ex 
condensatione orlatur. 

Corol. 4. Et propterea si aHud ejusdem gravitatis specificae corpus, 
quod sit condensationis expers, submergatur In hoc fluido, id ex 
pressione ponderis incumbentis nuHum acquiret motum : non 
descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si 
sphaericum est manebit sphaericum, non obstante pressione; si quadra- 
tum est manebit quadratum : Idque sive molle sit, sive fluidissimum ; 



286 DE MOTU CORPORUM 

sive fluldo llbere innatet, sive fiindo Incumbat. Habet enlm fluldl 
pars quaelibet interna ratlonem corporls submersi, & par est ratlo 
omnlum ejusdem magnltudlnis, figurse & gravitatls speclficae 
submersorum corporum. SI corpus submersum servato pondere 
liquesceret & indueret formam fluldl ; hoc, sl prlus ascenderet vel 
descenderet vel ex pressione figuram novam Indueret, etlam nunc 
ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur : id 
adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuumc ausae permanent. Atqui 
(per cas. 5 prop. xix) jam quiesceret & figuram retlneret; Ergo & 
prius. 

CoroL 5. Prolnde corpus quod speclfice gravius est quam fluldum 
sibl contlguum subsideblt, & quod speclfice levius est ascendet, 
motumque & figurae mutatlonem consequetur, quantum excessus ille 
vel defectus gravitatis eflicere posslt. Namque excessus Ille vel 
defectus ratlonem habet Impulsus, quo corpus, allas In aequlllbrlo cum 
fluidi partlbus constltutum, urgetur ; & comparari potest cum excessu 
vel defectu ponderls in lance alterutra librae. 

Corol. 6. Corporum Igltur in fluidis constitutorum duplex est 
gravltas : altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & 
comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum 
tendit : relatlva & vulgarls est excessus gravitatis quo corpus magis 
tendit deorsum quam fluldum amblens. Prioris generis gravitate 
partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis suls : ideoque 
conjunctis ponderlbus componunt pondus totius. Nam totum omne 
grave esf, ut In vasis liquorum plenls experiri llcet ; & pondus totius 
aequale est ponderibus omnlum partlum, ideoque ex ilsdem com- 
ponitur. Alterius generls gravitate corpora non gravltant in locis 
suis, id est, inter se collata non praegravant, sed mutuos ad 
descendendum conatus impedientla permanent in locis suis, perinde ac 
si gravia non essent. Quae in aere sunt & non praegravant, vulgus 
gravia non judicat. Quae praegravant vulgus gravla judicat, quatenus 
ab aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt 
quam excessus verorum ponderum supra pondus aeris. Unde & 
vulgo dicuntur levia, quae sunt mlnus gravla, aerlque praegravanti 
cedendo superlora petunt. Comparative levla sunt, non vere, quia 
descendunt in vacuo. SIc & in aqua corpora, quae ob majorem vel 
minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparatlve & 



LIBER SECUNDUS. 



287 



apparenter gravia vel levla, & eorum gravitas vel levitas compara- 
tiva & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel 
superat gravitatem aquse vel ab ea superatur. Quae vero nec prse- 
gravando descendunt, nec praegravanti cedendo ascendunt, etiamsi 
veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen 
& in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum ca- 
suum demonstratio. 

Corol. 7. Quae de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis qui- 
buscunque viribus centripetis. 

CoroL 8. Proinde si medium, in quo corpus aliquod movetur, 
urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centripeta, 
& corpus ab eadem vi urgeatur fortius ; differentia virium est vis 
illa motrix, quam in praecedentibus propositionibus ut vim centri- 
petam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia 
virium pro vi centrifuga haberi debet. 

CoroL 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent 
eorum figuras externas, patet insuper (per corollarium prop. xix) quod 
non mutabunt situm partium internarum inter se : proindeque, si 
animalia immergantur, & sensatio omnis a motu partium oriatur ; nec 
Isedent corpora immersa, nec sensationem ullam excitabunt, nisi qua- 
tenus haec corpora a compressione condensari possunt. Et par est 
ratio cujuscunque corporum systematis fluido comprimente circundati. 
Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo 
constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, 
nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad 
easdem compressione conglutinandas requiratur. 

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI. 

Sit fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes 
ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce propor- 
tionali deorsum trahantur: dico quod^ si distantics illce sumantur 
continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt 
etiam continue proportionales, 

Designet A TV fundum sphaericum cui fluidum incumbit, S cen- 
trum, S A, SB, SQ S D, SE.SF, &c. distantias continue propor- 



288 



DE MOTU CORPORVM 



tionales. Erigantur perpendicula ^iY, BI, CK, D L, E M, FN, &c. 

quse sint ut densitates medii in locis A, B, C, D, E, F ; & specificse 

. .. j , . AH BI CK ^ 

gravitates in nsdem locis erunt ut , "^-^ ~r~^' ' quod 

. , AH BI CK p x:^. . , 

permde est, ut ^— b» 57^» T^' ^^- ^ ^^^^ pnmum has gravitates uni- 

formiter continuari ab ^ ad ^, a ^ ad C, a C ad D, &c. factis per 
gradus decrementis in punctis B, C, D, &c. Et 
hae gravitates ductse in altitudines A B, B C, C D, 
&c. conficient pressiones A H, BI, CK, &c. quibus 
fundum A T V ( juxta theorema xv) urgetur. Su- 
stinet ergo particula A pressiones omnes A H, BI, 
C A", Z^Z, pergendo in infinitum ; & particula B 
pressiones omnes prseter primam A H ; & parti- 
cula C omnes prseter duas primas AH,B I ; & sic 
deinceps : ideoque particulse primse A densitas 
A H est ad particulae secundse B densitatem B I 
ut summa omnium A H-\- B I-\- C K -\-D L, in in- 
finitum, ad summam omnium B I -\- C K+ D Z, &c. 
Et ^/densitas secundse B est ad C A' densitatem tertise C, ut sum- 
ma omnium B I+CK-\-DL, &c. ad summam omnium CK-\-DL, 
&c. Sunt igitur summse illse differentiis suisA H, B I, C K, &c. pro- 
portionales, atque ideo continue proportionales (per hujus lem. i) 
proindeque differentise A H, B I, CK, &c. summis proportionales, 
sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis 
A, B, C, &c. sint ut A H, B I, CK, &c. erunt etiam hse continue pro- 
portionales. Pergatur per saltum, & ex sequo in distantiis SA, S C, 
SE continue proportionaHbus, erunt densitates A H, C K, E M con- 
tinue proportionales. Et eodem argumento, in distantiis quibusvis 
continue proportionahbus S A, S D, S G, densitSLtes A H, D L, GO 
erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, 
&c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summi- 
tatem fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue 
proportionaHbus SA, SD, SG, densitates AH, D L, GO, semper ex- 
istentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue pro- 
portionales. Q. E. D. 

Corol. Hinc si detur densitas fluidi in duobus locis, puta A & 




LIBER SECUNDUS. 



289 



E, colligi potest ejus densitas in alio quovis loco Q. Centro S, 

asymptotis rectangulis 6" Q, SX describatur hyperbola secans perpen- 

dicula A H,EM,QT ma,e, q, ut & perpendicula HX, M Y, TZ, 

ad asymptoton SX demissa, in h, m, & 

t. Fiat area YiJitZ did aream datam 

Y mhX ut area data E eqQ ad aream 

datam E eaA ; & linea Z t producta 

abscindet lineam Q T densitati pro- 

portionalem. Namque si lineae S A, 

S E, SQ sunt continue proportionales, 

erunt arese EeqQ, EeaA sequales, 

Sz: inde areae his proportionales YmtZ, 

X hmY etiam aequales, & lineae SX, 

SY, SZ, id est, AH, E M, QT 

continue proportionales, ut oportet. 

Et si Hneae S A, S E, S Q obtinent alium quemvis ordinem in serie 

continue proportionalium, lineae AH, EM, QT, ob proportionales areas 

hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia ferie quantitatum 

continue proportionaHum. 



\ 


r 








\ 




\ 


t 


M 
















m 


v.rt 


H 


















T" 



PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII. 

Sitfiiiidi ctcjtisdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus 
a gravitate qtiadratis distantiarum suarum a centro reciproce 

proportionali deorsmn trahantur : dico quod, si distanticB sumantur 
in progressione musica, densitates fluidi in kis distantiis erunt in 

progressione geometrica, 

Designet 6^ centrum, & SA, SB, S Q S D, SE distantias in 

progressione geometrica. Erigantur perpendicula A H, B I, CK, 

&c. quae sint ut fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius 

,r . .. , , . AHBICK^^. 

e^ravitates specmcae m iisdem locis erunt ^ ^ , -7777- , ^ ^ , &c. r mge 

SAq SBq SCq 

has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, secundam 

a, B 3id C, tertiam a C ad Z^, &c. Et hae ductae in altitudines A B, 

B C, CD, D E, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, 

&c. altitudinibus iHis proportionales, conficient exponentes pressionum 



290 



DE MOTU CORPORUM 



A ]-f R T C K 

— — , , &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum 

S A. S B S C ^ 

summae, differentiae densitatum A H—B I, BI—CKy &c. erunt 

AH BI CK ^ r . c 
~^~A' ~SB' ~S~C ' ^entro .S, asymp- 



ut summarum differentiae 



totis SA, Sx describatur hyperbola quaevis, quae secet perpendicula 
A H, B I, CK, &c. in a, b, c, &c. ut & perpendicula ad asymptoton 
^^^i; demissa H t, I ti, Kw in h, i, k ; &, densitatum differentiae tu, 

AH B I 

u w, &c. erunt ut 



&c. seu tp, u q, &c. ut 



, &c. Et rectangula tuy.th, tcwxuty 
, &c.. id est, ut -^ ^, B b. 



S A' SB 

A Hxth B Ix ui 



SA ' SB 

&c. Est enim, ex natura hyperbolae, SA 2id A H vel St, ut t h ad 

^ ., AHxth , . ^^ . ... Blxui 

A a, ideoque ^r-^ — aequale A a. t.t simih argumento est 



SA 



SB 



p 

E 

D 
C 

B 

A 


1/ K- 


V 


M 


\. . 




L 


. 


i 






K 




\. 








I 




\„ 










H 




^ 


n 


m 
r 


l 


k . 


4=_^ 


S 


P 


i 


J J 


f a 


V if 


/ i 


^ t 



aequale Bb, &c. Sunt autem A a, B b, C c, &c. continue proportio- 
nales, & propterea differentiis suis A a—B b, B b — Cc, &c. propor- 
tionales ; ideoque differentiis hisce proportionaHa sunt rectangula tp^ 
uq, &c. ut & summis differentiarum A a — Cc vel A a—Dd summae 
rectangulorum tp-^uq vel tp + uq-^-wr. Sunto ejusmodi termini 
quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa—Ff, erit 
summae omnium rectangulorum, puta zth^i, proportionalis. Augeatur 
numerus terminorum & minuantur distantiae punctorum A, B, C, 



LIBER SECUNDUS. 20I 

&c. In infinitum, & rectangula illa evadent aequalia areae hyperbolicce 
zthn, ideoque huic areae proportionalis est differentia Aa—Ff. 
Sumantur jam distantiae quaeHbet, puta S A, SD, SF m progressione 
musica, & dififerentiae Aa — Dd, Dd—F/^vnnt aequales ; & prop- 
terea differentiis hisce proportionales areae thlx, xlnz aequales 
erunt inter se, & densitates St, Sx, S z, id est, A H, D L, FN, 
continue proportionales. Q.E.D. 

Corol. Hinc si dentur fluidi densitates duae quaevis, puta A H Sl 
Z?/, dabitur area thiti, harum differentiae tu respondens ; & inde 
invenietur densitas FN in altitudine quacunque S F, sumendo aream 
thnz ad aream illam datam thiu ut est differentia A a — Ff 2A 
differentiam A a—B b. 

Scholmm. 

SimiH argumentatione probari potest, quod si gravitas particula- 

rum fluidi diminuatur in tripHcata ratione distantiarum a centro, 

& quadratorum distantiarum S A, S B, S C, &c. reciproca (nempe 

SA cub. S A cub. SA cub. . . . ... 

^ . — , —77-7^ — , ~~E^ — ) sumantur m progressione anthmetica ; 
o A q o li q o C ^ 

densitates A H, B I, C K, &c. erunt in progressione geometrica. 

Et si gravitas diminuatur in quadrupHcata ratione distantiarum, & 

cuborum distantiarum reciproca (puta ^ ^ ^, , ^ ■ ^; , ^^ ^ % , &c.) 

^ SA cub. SB cub. S C cttb. 

sumantur in progressione arithmetica ; densitates A H, RI, C K, &c. 

erunt in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si 

gravitas particularum fluidi in omnibus distantiis eadem sit, & 

distantiae sint in progressione arithmetica, densitates erunt in progres- 

sione geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gra- 

vitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione 

arithmetica, densitates erunt in progressione geometrica. Et sic in 

infinitum. Haec ita se habent ubi fluidi compressione condensati 

densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a 

fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi possunt aHae con- 

densationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato- 

quadratum densitatis, seu tripHcata ratio vis eadem cum quadrupHcata 

ratione densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum 



292 



DE MOTU COBPORUM 



distantiae a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiae. Fin 
gatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, 
& si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit 
reciproce in sesquiplicata ratione distantise. Fingatur quod vis com- 
primens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in 
ratione duplicata distantiae, & densitas erit reciproce ut distantia. 
Casus omnes percurrere longum esset. Cseterum per experimenta 
constat quod densitas aeris sit ut vis comprimens vel accurate vel 
saltem quam proxime : & propterea densitas aeris in atmosphaera 
terrae est ut pondus aeris totius incumbentis, id est, ut altitudo mercurii 
in barometro. 



1 



PROPOSITIO XXIII. THEOREMA XVIII. 

Sifiiddi ex partic7tlis se niutuo ftcgiefitibus compositi densitas sit ut 
compressio, vires centrificgcB partictdarum sunt reciproce proportion- 
ales distantiis centrorum suorum, Et vice versa, particulce viribus 
qucB sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suortcm se 
mutuo fugientes componunt fiuidum elasticum, cujus densitas est 
compressioni p7'oportio7ialis. 

Includi intelligatur fluidum in spatio cubico A C E, dein com- 
pressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum, 
similem situm inter se in utroque spatio obtinentium, distantiae erunt 
ut cuborum latera A B, ab ; & mediorum densitates reciproce ut spa- 
tia continentia AB cub, 81. ab cub. In cubi majoris latere plano 
ABCD capiatur quadratum DP 
sequale lateri plano cubi minoris 
db ; & ex hypothesi, pressio, qua 
quadratum D P urget fluidum 
inclusum, erit ad pressionem, qua 
illud quadratum db urget fluidum 
inclusum, ut medii densitates ad 
invicem, hoc est, ut ^^ cub. ad 
A B C2cb. Sed pressio, qua quadratum DB urget fluidum inclusum, 
est ad pressionem, qua quadratum DP urget idem fluidum, ut quadra- 
tum DB ad quadratum DP, hoc est, ut AB qtiad. ad ab quad. Ergo, 



a 

/ 
d- 







A 


^^ 




/ 




B 


/ 






f> 


-^ 

i 
j 


Gr 


^ 




^ 


h 




b 

"-9 


..--■ 

^ 




c 





H 



D 



> 



LIBER SECUI^DUS. 293 

ex aequo, pressio qua quadratum DB urget fluidum, est ad pressionem 
qua quadratum db urget fluidum, ut ^<5 ad -^^. Planis FGH, 
fghy per media cuborum ductis, distinguatur fluidum in duas partes, 
& hae se mutuo prement iisdem viribus, quibus premuntur a planis 
A C, ac, hoc est, in proportione ad ad AB : ideoque vires centrifugse, 
quibus hae pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem 
particularum numerum similemque situm in utroque cubo, vires 
quas particulse omnes secundum plana FGH, fgh exercent in 
omnes, sunt ut vires quas singulae exercent in singulas. Ergo vires, 
quas singulae exercent in singulas secundum planum FG H m cubo 
majore, sunt ad vires, quas singulae exercent in singulas secundum 
ipldinum fgh in cubo minore, ut ad did AB, hoc est, reciproce ut 
distantiae particularum ad invicem. Q. E. D. 

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut 
distantiae, id est, reciproce ut cuborum latera AB, ab ; summae virium 
erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, d b ut summae 
virium ; & pressio quadrati D P ad pressionem lateris D B ut 
a b qicad. 2A A B quad. Et, ex aequo, pressio quadrati D P 2A 
pressionem lateris db ut ab cub. 2A A B cub. id est, vis compressionis 
ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q. E. D. 

Scholium. 

■ Simili argumento, si particularum vires centrifugae sint reciproce in 
duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium 
erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifugae sint 
reciproce in triplicata vel quadrupHcata ratione distantiarum, cubi 
virium comprementium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi den- 
sitatum. Et universahter, si D ponatur pro distantia, & E pro 
densitate fluidi compressi, & vires centrifugae sint reciproce ut 
distantiae dignitas quaeHbet D", cujus index est numerus n; vires 
comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis E"+^ cujus index est 
numerus 7i-\-2\ & contra. Intefligenda vero sunt haec omnia de 
particularum viribus centrifugis quae terminantur in particuHs proximis, 
aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus 
magneticis. Horum virtus attractiva terminatur fere in sui 
generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam 



2 94 



DE MOTU CORPORUM 



laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora 
ulteriora non tam a magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem 
modum si particulae fugant alias sui generis particulas sibi proximas, 
in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex 
hujusmodi particuHs componentur fluida de quibus actum est in hac 
propositione. Quod si particulae cujusque virtus in infinitum 
propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem majoris 
quantitatis fluidi. *An vero fluida elastica ex particuHs se mutuo 
fugantibus constent, qusestio physica est. Nos proprietatem fluidorum 
ex ejusmodi particuHs constantium mathematice demonstravimus, 
ut philosophis ansam praebeamus quaestionem illam tractandi. 

SECTIO VI. 

De moiu & resiste^itia corporum funependulorum. 

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. 

Qtiantitates materice in corporibus funependulis, qtcorum centra 
oscillationum a cefitro stcspensionis cequaliter distant, sunt in ratione 
composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum 
oscillationum in vac7w, 

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore 
generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo 
major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major 
generabitur velocitas. Id quod per motus legem secundam manifestum 
est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices 
in locis a perpendiculo aequaliter distantibus sunt ut pondera : ideoque 
si corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi 
dividantur in partes aequales ; cum tempora quibus corpora describant 
singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum 
totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscil- 
lationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora 
directe & quantitates materiae reciproce : ideoque quantitates 
materiae ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates 
reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque 



LIBER SECUNDUS, 



295 



ideo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata tem- 
porum, & propterea quantitates materiae sunt ut vires motrices & 
quadrata temporum, id est, ut pondera & quadrata temporum. 
Q,E,D. 

Corol, I. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitates materiae in 
singulis corporibus erunt ut pondera. 

Corol. 2. Si pondera sunt aequalia, quantitates materiae erunt ut 
quadrata temporum. 

Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera erunt reci- 
proce ut quadrata temporum. 

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum, caeteris paribus, sint ut 
longitudines pendulorum ; si & tempora & quantitates materiae ae- 
qualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum. 

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiae pendulae est ut pon- 
dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse. 

Corol. 6. Sed & in medio non resistente quantitas materiae pendu- 
lae est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & 
longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis mo- 
trix corporis in medio quovis gravi, ut supra explicui ; ideoque 
idem praestat in tali medio non resistente atque pondus absolutum in 
vacuo. 

Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, 
quoad quantitatem materiae in singulis; tum comparandi pondera 
ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem 
gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni 
semper quantitatem materiae in corporibus singulis eorum ponderi 
proportionalem esse. 

PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX. 

Corpora Fu7iependula quibus, in medio quovis, resistitur in ratione 
momentorum temporis, & corpora funependula qucs in ejusdem gravi- 
tatis specificcB medio non resistente moventur^ oscillationes in cycloide 
eodem tempore peragurit, & arcuum partes proportionales simul de- 
scribicnt. 

Sit A B cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in medio 
non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit 



296 DE MOTU CORPORUM 

infimum ejus punctum ; & erlt vis acceleratrix qua corpus urgetur 
in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus C D vel C d vel 
C E. Exponatur vis illa per eundem arcum ; & cum resistentia sit 
ut momentum temporis, ideoque detur, exponatur eadem per da- 
tam arcus cycloidis partem CO, Si sumatur arcus O d m ratione ad 
arcum CD quam habet arcus 6^^ ad arcum CB : & vis qua corpus 
in d urgetur in medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra re- 
sistentiam C O, exponetur per arcum Od, ideoque erit ad vim, qua 
corpus D urgetur in medio non resistente in loco D, ut arcus Od 
ad arcum CD; & propterea etiam in loco B ut arcus 6^^ ad ar- 
cum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco B, & his 
viribus urgeantur : cum vires sub initio sint ut arcus CB & O B, 
erunt velocitates primse & arcus primo descripti in eadem ratione. 
Sunto arcus ilH BD & B d, & arcus reHqui CD, Od erunt in ea- 
dem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportionales manebunt 




in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus 
in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & 
arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CB, O B, & prop- 
terea arcus ilH reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, 
d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in medio non 
resistente ad locum C, & alterum in medio resistente ad locum O. 
Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB, O B ; erunt 
arcus, quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem 
ratione. Sunto iHi C E &l O e. Vis qua corpus d in medio non 
resistente retardatur in E est ut C^, & vis qua corpus ^in medio 



LIBER SECUNDUS, 297 

resistente retardatur in e est ut summa vis Ce 8l resistentiae C O, id 
est ut O e ; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus 
CBy Oe proportionales arcus CB, O B ; proindeque velocitates, 
in data illa ratione retardatae, manent in eadem illa data ratione. 
Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem 
in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur 
arcus toti A B, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent 
hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Iso- 
chronae sunt igitur oscillationes totae, & arcubus totis BA, Ba 
proportionales sunt arcuum partes quaelibet B D, B d vel B E, B e 
quse simul describuntur. Q.E.D. 

Corol. Igitur motus velocissimus in medio resistente non incidit 
in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus 
totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, 
iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu 
suo a ^ ad (9. 



PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI. 

Corporum funependtUorumy quibus resistitur in ratione velocitatum^ 
oscillationes in cycloide sunt Isochronce. 

Nam si corpora duo, a centris suspensionum aequaliter distantia, 
oscillando describant arcus inaequales, & velocitates in arcuum 
partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti ; resistentiae 
velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. 
Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem 
arcus, auferantur vel addantur hae resistentiae, erunt differentiae vel 
summae ad invicem in eadem arcuum ratione : cumque velocitatum 
incrementa vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, 
velocitates semper erunt ut arcus toti : Igitur velocitates, si sint in 
aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed 
in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos 
describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velo- 
citates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut 
arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. 
Q.E.D, 



198 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII. 



Si corporibus funependulis resistihir in duplicata ratione velocitatum, 
differenticB inter tempora oscillationwn in medio resistente ac tem- 
pora oscillationum i^i ejusdem gravitatis specificcB medio non re- 
sistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales guam 
proxime. 

Nam pendulis aequalibus in medio resistente describantur arcus 
inaequales A, B ; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resisten- 
tiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione 
velocitatum, id est, ut A A ad B B, quam proxime. Si resistentia 
in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut A B ad A A ; tempora 
in arcubus A & B forent aequalia, per propositionem superiorem. 
Ideoque resistentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum 
temporis in arcu A supra tempus in medio non resistente ; & 
resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra tempus in 
medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes 
AB & BB quam proxime, id est, ut arcus A & B. Q.E.D. 

Corol. I. Hinc ex oscillationum temporibus, in medio resistente, 
in arcubus insequalibus factarum, cognosci possunt tempora oscil- 
lationum in ejusdem gravitatis specificse medio non resistente. Nam 
differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra 
tempus in medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum 
minorem. 

Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis isochronae, & brevis- 
simae iisdem temporibus peraguntur ac in medio non resistente, 
quam proxime. Earum vero, quae in majoribus arcubus fiunt, 
tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu 
corporis qua tempus producitur major sit pro ratione longitudinis 
in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subsequente qua 
tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium 
quam longarum nonnihil produci videtur per motum medii. Nam 
corporibus tardescentibus paulo minus resistitur, pro ratione veloci- 
tatis, & corporibus acceleratis paulo magis quam iis quae unifor- 
miter progrediuntur : idque quia medium, eo quem a corporibus 



LIBER SECUNDUS. 



299 



I 



acceplt motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis 
agitatur, in posteriore minus ; ac proinde magis vel minus cum 
corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis re- 
sistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque 
causa tempus producitur. 



PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIII. 

Si corpori funependulo in cycloide oscillanti resistitur in ratione mo- 
mentortcm temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus 
arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descrip- 
tum, adpe^iduli longitudinem duplicatam. 

Designet B C arcum descensu descriptum, C a arcum ascensu de- 
scriptum, & A a differentiam arcuum : & stantibus quae in proposi- 
tione XXV constructa & demonstrata sunt, erit vis, qua corpus os- 
cillans urgetur in loco quovis D, ad vim resistentise ut arcus CI? 
ad arcum C O, qui semissis est differentiae illius A a. Ideoque vis, 




qua corpus oscillans urgetur in cycloidis principio seu puncto altis- 
simo, id est, vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus cycloidis 
inter punctum illud supremum & punctum infimum C ad arcum 
C O ; id est (si arcus duplicentur) ut cycloidis totius arcus, seu dupla 
penduli longitudo, ad arcum A a. Q. E. D. 



300 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VI. 

Posito qtiod corpori in cycloide oscillanti resistitur in duplicata ratione 
velocitatis : invenire resistentiam in locis singulis. 

Sit Ba arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum 
cycloidis punctum, & CZ semissis arcus cycloidis totius, longitu- 
dini penduli sequalis ; & quaeratur resistentia corporis in loco quo- 
vis D. Secetur recta infinita O Q \n punctis O, S, P, Q, ea lege, 
ut (si erigantur perpendicula O K, S T, P /y Q E, centroque O & 
asymptotis O K, O Q describatur hyperbola TIGE secans perpendic- 
ula ST, PI, QE in T, I & E, & per punctum /agatur A^/^parallela 
asymptoto O Q occurrens asymptoto O K in K, & perpendiculis 6^ T 
& Q E in L & E) fuerit area hyperbolica P I E Q ad aream hyper- 
bolicam P I TS ut arcus B C descensu corporis descriptus ad arcum 






T 
K L. 


\ 


1 ^H F 








i 
j 

i 


^ 


"^ 


c 


» S 


\ 


T-E 


- <; 


\ M 



Ca ascensu descriptum, & area I E E did aream ILTmX. OQ ad OS. 

Dein perpendiculo i^iV^ abscindatur area hyperbolica P I N M quse 

sit ad aream hyperbolicam P lEQ ut arcus CZ ad arcum j^Cde- 

scensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area hy- 

perbolicaP/6^y?, quae sit adaream PIEQ ut arcus quiHbet CD 

ad arcum B C descensu toto descriptum ; erit resistentia in loco D 

OR 
ad vim gravitatis, ut area ^ lEE-IGHdid aream P I N M. 

Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, B, D, 
a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, C D, C a, & arcus illi sint ut are^ 



LIBER SECUNDUS. 301 

P IN M, PIEQ, PIGR, PI TS; exponantur tum arcus tum vlres 

per has areas respective. Sit insuper D d spatium quam minimum a 

corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream 

quam minimam R Gg r parallelis R G, r g comprehensam ; & pro- 

ducatur r g ad h, ut sint G H hg, & R Gg r contemporanea arearum 

O R 
IG H, P I G R decrementa. Et arese — -— I E F—I G H incremen- 

R r R r 

tum G Hhg^-~i I E F, seu RrxHG——r I E F, erit ad areae 

I E F 
PIGR decrementum RGgr^ seu RrxRG, ut HG — ad 

RG; ideoqueut ORxHG-^^IEF ad ORxGR seu OPx 

P I, hoc est (ob ^quaHa ORxHG, ORx HR-OR x GR, ORHK 
--OPIK, PIHR & PIGR^ IGH) ut PIGR^IGH^ 

~-^ lEF 2.AOP IK Igitur si area -^ I EF-IGH dicatur Y, 

atque areae P I G R decrementum R Gg r detur, erit incrementum 
areae Y utPIGR-Y. 

Quod si V designet vim a gravitate orlundam, arcul descrlbendo 
C D proportlonalem, qua corpus urgetur in Z^, & R pro reslstentia 
ponatur ; erit V — R vis tota qua corpus urgetur In D. Est itaque 
incrementum velocitatls ut V — R & partlcula Illa temporis In qua 
factum est conjunctim : Sed & velocitas Ipsa est ut incrementum 
contemporaneum spatii descripti directe & particula eadem temporis 
inverse. Unde, cum resistentia per hypothesin sit ut quadratum 
velocitatls, Incrementum resistentise (per lem. 11) erlt ut velocltas 
& Incrementum velocltatis conjunctlm, id est, ut momentum 
spatii & V — R conjunctlm ; atque ideo, si momentum spatii 
detur, ut V — R ; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens P I G R, 
& resistentia R exponatur per aHam aliquam aream Z, Mt P I G R 
-Z. 

Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem 
uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione P I G R^-Y, & 
area Z in ratione P I GR — Z. Et propterea si arese Y & Z simul 
incipiant & sub initio sequales sint, hse per additionem sequaHum 
momentorum pergent esse sequales, & sequaHbus itidem momentis 



302 



DE MOTU CORPORUM 



subinde decrescentes simul evanescent. Et viclssim, si simul incipi- 
unt & simul evanescunt, aequalia habebunt momenta & semper erunt 
aequales : id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum 
arcu illo Ca^ qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & 
puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius 
accedente ad punctum C, resistentia citius evanescet quam area Y. 
Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur. 

Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc 
est, in principio motus ubi arcus C D arcui CB sequatur & recta 
RG incidit in rectam Q Ey &, vs\ fine motus ubi arcus CD arcui 

O R 
Ca aequatur & jR G incidit in rectam .S T. Et area Y seu — — 

OR 



I E F'-! G H incipit desinitque ubi nulla est, ideoque ubi 



OQ 




T 
K L 


\ 


T h¥i Y 






51- 

i 

j 


^ 


^ 


5 


\ 


> H 


. K 


\ M 



lEF & I G H sequalia sunt : hoc est (per constructionem) ubi 

recta R G incidit successive in rectas Q E & S T. Proindeque areae 

iUae simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt 

O /? 
aequales. Igitur area -r-— /EF—IGH aequahs est areae Z, per 

quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream P I N M per 
quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem. Q. E. D. 
Corol. I. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, 

OP 
ut area -^ I E F yA aream P I N M. 

Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area P IHR est ad aream lEF 
\it O R 2idi O Q. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum P I G R 
— Y) evadit nullum. 



LIBER SECUNDUS. 



303 



Corol. 3. Hinc etlam innotescit velocitas in locis singulis : quippe 
quae est in subduplicata ratione resistentise, & ipso motus initio 
aequatur velocitati corporis in eadem cycloide sine omni resistentia 
oscillantis. 

Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per 
hanc propositionem inveniendae sunt, visum est propositionem sequen- 
tem subjungere. 



PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV. 

Si recta a B csqualis sil cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, 
& ad singula ejus puncta D eriganttir perpendicula D K, quce sint 
ad longitudinem penduli ut resistentia corporis in arcus punctis cor- 
respondentibus ad vim gravitatis : dico quod differentia inter arcum 
descensu toto descriptum & arcum ascensu toto subsequente descriptum^ 
ducta in arcuum eorundem semisummam, csqualis erit arecs B K a ^ 
perpendiculis omnibus D K occupatce. 

Exponatur enim tum cycloidis arcus, oscillatione integra descrip- 
tus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui describere- 
tur in vacuo per longitudinem A B. Bisecetur ^ ^ in C, & punc- 
tum C repraesentabit infimum cycloidis punctum, & erit C D ut 



^-^^'^ 




"""^^^^E 


y^ ^^ 




~--^ 




^s,^ 


//^ 




7n 

/ 






1 


\ 

A 


■/ 




K \ 


\ \ %^ 


/ -^ 




/ 






^^''''^ 



AMN » 



d I> 



B 



vis a gravitate oriunda, qua corpus in D secundum tangentem 
cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem pen- 
duli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis 



304 



DE MOTU CORPORUM 



illa per longitudinem CD, 8i vis gravitatis per longitudinem pen- 
duli, & si in Z^^ capiatur D K in ea ratione ad longitudinem pen- 
duli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens 
resistentiae. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicir- 
culus BEeA. Describat autem corpus tempore quam minimo 
spatium D d, 8i erectis perpendiculis D E, de circumferentiae occur- 
rentibus in ^ & ^, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, 
descendendo a puncto B, acquireret in locis D &. d. (Patet hoc 
per prop. lii lib. i.) Exponantur itaque hae velocitates per per- 
pendicula illa D E^ de ; sitque D F velocitas quam acquirit in D 
cadendo de B in medio resistente. Et si centro C & intervallo 
CT^ describatur circulus FfM occurrens rectis de 8l A B mf &, M^ 
erit M locus ad quem deinceps sine ulteriore resistentia ascen- 
deret, & ^/"velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg 
designet velocitatis momentum quod corpus D^ describendo spa- 




AMJsr " 



d D 



tium quam minimum D d, ex resistentia medii amittit; & suma- 
tur C N aequaHs Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps sine 
ulteriore resistentia ascenderet, Si M N erit decrementum ascensus 
ex velocitatis ilHus amissione oriundum. Ad df demittatur perpen- 
diculum Fm, & velocitatis D F decrementum Fg, a resistentia DK 
genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fm ^v\ C D ge- 
nitum, ut vis generans D K ^d vim generantem C D. Sed & ob 
simiHa triangula Fmf Fhg, FDC, estfm ad Fm seu D d \xt CD 
ad D F; & ex aequo Fg ad D d ut D K 2id D F Item Fh ad Fg 
utDFsid CF; & ex aequo perturbate, FA seu MN adDdutDK 
ad CF seu CM; ideoque summa omnium MNx CM aequaHs erit 
summae omnium DdxDK. Ad punctum mobile J/erigi semper 
inteHigatur ordinata rectangula aequaHs indeterminatae CM, quae 



I 



LIBER SECUNDUS. 305 

niotu continuo ducatur in totam longitudinem A a ; & trapezium 
ex illo motu descriptum sive huic aequale rectangulum A ay.\ a B 
aequabitur summae omnium M N y. C M, ideoque summae omnium 
DdxDK, id est, areae BK V Ta, Q. E, D, 

Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum C a, C B differentia A a 
colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime. 

Nam si uniformis sit resistentia D K, figura B K Ta rectangulum 
erit s\xh B a & D K ; & inde rectangulum sub l B a 81 A a erit aequale 
rectangulo sub B a 81 D K, 8l D K aequalis erit i A a. Quare cum 
D K sit exponens resistentiae, & longitudo penduli exponens gravi- 
tatis, erit resistentia ad gravitatem ut 4^ ^ ^ ad longitudinem penduli ; 
omnino ut in prop. xxviii demonstratum est. 

Si resistentia sit ut velocitas, figura B K Ta ellipsis erit quam 
proxime. Nam si corpus, in medio non resistente, oscillatione integra 
describeret longitudinem B A, velocitas in loco quovis D foret ut 
circuli diametro A B descripti ordinatim applicata D E. Proinde 
cum ^ ^ in medio resistente, 8l B A m medio non resistente aequalibus 
circiter temporibus describantur ; ideoque velocitates in singulis 
ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis cor- 
respondentibus longitudinis i?^, ut est ^^ ad BA; erit velocitas 
in puncto D in medio resistente ut circuli vel ellipseos super dia- 
metro B a descripti ordinatim applicata ; ideoque figura B K V Ta 
ellipsis erit quam proxime. Cum resistentia velocitati propor. 
tionalis supponatur, sit O V exponens resistentiae in puncto medio 
O ; 81 ellipsis B R FSa, centro O, semiaxibus O B, O V descripta, 
figuram B K V Ta, eique aequale rectangulum A a x B O, aequabit 
quamproxime. Est igitur A ax B O a.d O VxBOut area ellipseos 
hujus a.d O Vx B O : id est, A a a.d O V ut area semicircuH ad qua- 
dratum radii, sive ut 11 ad 7 circiter : Et propterea inr -^ ^ ad longi- 
tudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem 
gravitatem. 

Quod si resistentia D K sit in dupHcata ratione velocitatis, figura 
B K V Ta fere parabola erit verticem habens V 8l axem O F, ide- 
oque aequalis erit rectangulo sub \ B a 8l O V quam proxime. Est 
igitur rectangulum sub \ B a 8i A a aequale rectangulo sub % B a 8i 
O F, ideoque O V aequaHs \ A a: & propterea corporis oscillantis re- 
sistentia in O ad ipsius gravitatem utl Aa a.d longitudinem penduH. 

u 



;o6 



DE MOTU CGRPORUM 



Atque has conclusionei; in rebus practicis abunde satis accuratas 
esse censeo. Nam cum ellipsis vel parabola B R V Sa congniat cum 
figura BKVTa in puncto medio V, hsec si ad partem altenitram 
B R Kvel V Sa excedit figuram illam, deficiet ab cadem ad partem 
alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime. 



PROPOSITIO XXXI. THEOREMA XXV. 

Si corporis oscillantis resistentia in singulis arciium descriptorum 
partibus proportio7ialibus augeatur vel mitmatur in data ratione ; 
differentia inter arcum desceiisu descriptum & arcum subsequente 
ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione. 

Oritur enim differentia illa ex retardatione penduli per resistentiam 
medii, ideoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia 
retardans. In superiore propositione rectangulum sub recta \aB &l 
arcuum illorum C B, C^ differentia ^ ^ aequalis erat Tsx^TS^BKTa. 




AMN 



d I> 



Et area illa, si maneat longitudo a B, augetur vel diminuetur in ratione 
ordinatim appHcatarum D K ; hoc est, in ratione resistentiae, ideoque 
est ut longitudo a B 8l resistentia conjunctim. Proindeque rectangu- 
lum sub A a &i aB estut aB & resistentia conjunctim, & propterea 
A a \it resistentia. Q. E, D, 

Corol. I. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in 
eodem medio erit ut arcus totus descriptus : & contra. 

Corol. 2. Si resistentia sit in dupHcata ratione velocitatis, differentia 
illa erit in duplicata ratione arcus totius : & contra. 



LIBER SECUNDUS. 307 

Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia 
quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius : 
& contra. 

CoroL 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, 
partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione 
arcus totius & partim in ejus ratione duplicata : & contra. Eadem 
erit lex & ratio resistentise pro velocitate, quae est difFerentiae illius 
pro longitudine arcus. 

Corol. 5. Ideoque si, pendulo insequales arcus successive descri- 
bente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi differentia^ hujus 
pro longitudine arcus descripti ; habebitur etiam ratio incrementi ac 
decrementi resistentiic pro velocitate majore vel minore. 

Scholiicm Gefierale. 

Ex his propositionibus, per oscillationes pendulorum in mediis 
quibuscunque, invenire licet resistentiam mediorum. Aeris vero re- 
sistentiam investigavi per experimenta sequentia. Globum ligneum 
pondere unciarum Romanarum 57A, diametro digitorum Londi- 
nensitim 61 fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut 
inter uncum & centrum oscillationis globi distantia esset pedum lo^. 
In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspen- 
sionis distans ; & e regione puncti illius collocavi regulam in digitos 
distinctam, quorum ope notarem longitudines arcuum a pendulo 
descriptas. Deinde numeravi oscillationes quibus globus octavam 
motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendi- 
culo ad distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur ; ita ut 
toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque 
oscillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, 
arcum digitorum fere quatuor : idem oscillationibus 1 64 amisit octavam 
motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti 
unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit 
arcum digitorum quatuor; amisit octavam motus partem oscilla- 
tionibus 121, ita ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum 3|. 
Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta 
duorum vel sexaginta quatuor; amisit octavam motus partem oscilla- 
tionibus 69, 35I, 18I, 9!, respective. Igitur differentia inter arcus 
descensu primo & ascensu ultimo descriptos, erat in casu primo, 



^o8 J^^ MOTU CORPORUM 







secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum t, ^, i, 2, 4, 8 respec- 

tive. Dividantur eae differentiae per numerum oscillationum in casu 

unoquoque, & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3I, 

yh 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu & 

subsequente ascensu descriptorum, erit imr, m, A, tt, ^t, 14 partes 

digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in 

duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime, in minoribus 

vero paulo majores quam in ea ratione ; & propterea (per corol. 2 

prop. XXXI libri hujus) resistentia globi, ubi celerius movetur, est in 

duplicata ratione velocitatis quam proxime ; ubi tardius, paulo major 

quam in ea ratione. 

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sint- 

que A, B, C quantitates datae, & fingamus quod differentia arcuum 

3 2 

sit AV + BV^ + CV . Cum velocitates maximae sint in cycloide ut 

semisses arcuum oscillando descriptorum, in circulo vero ut semissium 

arcuum illorum chordae ; ideoque paribus arcubus majores sint in 

cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem 

chordas ; tempora autem in circulo sint majora quam in cycloide in 

velocitatis ratione reciproca ; patet arcuum differentias (quae sunt 

ut resistentia & quadratum temporis conjunctim) easdem fore, quam- 

proxime, in utraque curva : deberent enim differentiae illae in cycloide 

augeri, una cum resistentia, in duplicata circiter ratione arcus ad 

chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam ; & diminui, 

una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque 

ut reductio fiat ad cycloidem, eaedem sumendae sunt arcuum dif- 

ferentiae quae fuerunt in circulo observatae, velocitates vero maximae 

ponendae sunt arcubus vel dimidiatis vel integris, hoc est, numeris 

J, I, 2, 4, 8, 16 analogae. Scribamus ergo in casu secundo, 

quarto & sexto numeros i, 4 & 16 pro V; & prodibit arcuum 

differentia -^ = A + B-|-C in casu secundo; — =- = 4 A + 8 B-h 16 C 

o 

in casu quarto ; & -^^^^ 16 Ah- 64 B-f- 256 C in casu sexto. Et ex 
9-3 

his aequationibus, per debitam collationem & reductionem analyticam, 

fit A= 0,0000916, B = 0,0010847, & C== 0,0029558. Est igitur 

differentia arcuum ut 0,0000916 V -1-0,0010847 V^-|- 0,0029558 V'^ : 



LIBER SECUNDUS. 309 

& propterea cum (per corollarium propositlonis xxx applicatum ad 

hunc casum) reslstentia globl In medio arcus oscillando descripti, ubi 

3 
velocltas est V, sit ad ipslus pondus ut tt A V+ i^ B V'^ 4-f CV^ 

ad longitudinem pendull ; si pro A, B & C scrlbantur numerl Inventl, 

fiet resistentla globi ad ejus pondus^ ut 0,0000583^ + 0,0007593 V^ 
+ 0,0022169 V^ ad longitudinem pendull Inter centrum suspensionis 
& regulam, Id est, ad 121 dlgltos. Unde cum V in casu secundo 
deslgnet i, In quarto 4, In sexto 16 : erit reslstentla ad pondus globi 
in casu secundo ut 0,0030345 ad 121, In quarto ut 0,041748 ad 121, 
in sexto ut 0,61705 ad 121. 

Arcus quem punctum in filo notatum In casu sexto descrlpslt, erat 

o 

120 1 seu 119/17 digitorum. Et propterea cum radlus esset 121 

_ 9^ 
dlgitorum, & longltudo pendull inter punctum suspensionls & cen- 

trum globl esset 126 digitorum, arcus quem centrum globi descrlp- 

sit erat 124A digltorum. Quoniam corporis oscillantls vek)citas 

maxlma, ob resistentiam aerls, non Incidlt in punctum infimum 

arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totlus versatur : hsec 

eadem erit circiter ac si globus descensu suo toto in medio non 

resistente describeret arcus Illius partem dimldiam digitorum 62A, 

idque In cyclolde, ad quam motum penduli supra reduximus : & 

propterea velocitas illa sequalls erlt velocltatl quam globus, perpen- 

dlculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus IHius 

sinui verso sequalem, acqulrere posset. Est autem slnus ille versus 

in cycloide ad arcum istum 62A ut arcus idem ad penduH longl- 

tudinem duplam 252, & propterea sequaHs digitls 15,278. Quare 

velocltas ea ipsa est quam corpus cadendo & casu suo spatium 15,278 

digitorum descrlbendo acquirere posset. Tali Igitur cum velocltate 

globus resistentiam patltur, qua^ slt ad ejus pondus ut 0,61705 ad 

121, vel (si resistentlae pars illa sola spectetur quae est in velocitatis 

ratlone duplicata) ut 0,56752 ad 121. 

Experimento autem hydrostatico inveni quod pondus globl hujus 

lignei esset ad pondus globi aquei magnltudinis ejusdem ut 55 ad 

97 : & propterea cum 121 sit ad 213,4 in eadem ratione, erit re- 

sistentia globl aquel prsefata cum velocitate progredlentls ad ipslus 

pondus ut 0,56752 ad 213,4, id est, ut i ad 376A. Unde cum pon- 



3IO 



DE MOTU CORPORUM 



dus globi aquel, quo tempore globus cum velocitate uniformiter 
continuata describat longitudinem digitorum 30,556, velocitatem 
illam omnem in globo cadente generare posset ; manifestum est 
quod vis reslstentiae eodem tempore uniformiter continuata tollere 
posset velocitatem minorem in ratlone i ad 376-5V, hoc est, velocitatls 

totlus partem — --^ Et propterea quo tempore globus, ea cum 

velocltate uniformiter continuata, longltudinem semldiametrl suae, 
seu digitorum 3iir, describere posset, eodem amltteret motus sui 
partem ^st^. 

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus 
sui partem amisit. In sequente tabula numeri supremi denotant 
longitudinem arcus descensu prlmo descrlpti, in dlgitis & partibus 
digiti expressam : numeri medli- significant longitudinem arcus 
ascensu ultimo descripti ; & loco infimo stant numeri oscillatlonum. 
Experlmentum descrlpsi tanquam magis accuratum quam cum motus 
pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet. 



Descenstis primus 


2 


4 


8 


16 


32 


64 


Asceftstcs ultinms 


il 


3 


6 


12 


24 


48 


Numerus Oscillat. 


374 


272 


162^ 


83^ 


4i§ 


22§ 



Postea globum plumbeum diametro digitorum 2, & pondere un- 
ciarum Roina7iarimi 2 61 suspendi filo eodem, sic ut inter centrum 
globl & punctum suspenslonis intervallum esset pedum loj, & 
numerabam osclllatlones quibus data motus pars amitteretur. Tabu- 
larum subsequentium prior exhibet numerum oscillationum quibus 
pars octava motus totius cessavit ; secunda numerum osclllationum 
quibus ejusdem pars quarta amissa fuit. 



Descensus primus 


I 


2 


4 


8 


16 


32 


64 


Ascensus ultimus 


H 


i 


3^ 


7 


14 


28 


56 


Nicmerus Oscillat. 


226 


228 


193 


140 


90j 


53 


30 


Descensus primus 


I 


2 


4 


8 


16 


32 


64 


Ascensus ultimus 


3 

T 


\\ 


3 


6 


12 


24 


48 


Numerous Oscillat. 


510 


518 


420 


318 


204 


121 


70 



In tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam & 



I 



L IBER SEC UND US. 3 i i 

septlmam, & exponendo velocitates maximas in his observationibus 

particLilatim per niimeros i, 4, 16 respective, & generaliter per 

\_ 
quantitatem V ut supra : emerpfet In observatione tertia -^ = A + B 

193 
2 8 

+ C, in quinta — r== 4 A + 8 B + 16 C, in septima — =16^4-64^ 
90^ 30 

4-256 C. Hae vero aequationes reductae dant A == 0,001414, B 
=0,000297, C = 0,0008 79. Et inde prodit resistentla globl cum 
velocltate V moti in ea ratlone ad pondus suum unciarum 26^, 
quam habet 0,0009 V -f 0,000208 V^ 4- 0,000659 V^ ad penduli 
longitudlnem 121 digitorum. Et si spectemus eam solummodo 
resistentiae partem quae est in dupHcata ratlone velocitatis, h^ec erit 
ad pondus globi ut 0,000659 V^ ad 121 digitos. Erat autem haec 
pars resistentiae in experimento primo ad pondus globi Hgnel uncla- 
rurri 572^ ut 0,002217 V" ad 121 : & inde fit resistentia globl Hgnel 
ad reslstentlam globi phmibei (parlbus eorum velocitatlbus) ut 57/2 
in 0,002217 ad 26I In 0,000659, Id est, ut 7J ad i. Diametri 
globorum duorum erant 61 & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad 
Invlcem ut 47t & 4, seu iitJ & i quamproxlme. Ergo resistentiae 
globorum aequivelocium erant in minore ratione quam dupHcata 
diametrorum. At nondum conslderavimus resistentlam fiH, quae 
certe permagna erat, ac de pendulorum inventa reslstentla subduci 
debet. Hanc accurate definire non potui, sed .majorem tamen in- 
veni quam partem tertiam resistentlae totlus mlnoris penduH ; & 
Inde dldici quod resistentiae globorum, dempta fiH reslstentia, sunt 
quam proxime In dupHcata ratione dlametrorum. Nam ratio 7J — \ 
ad I— ^, seu \o\ ad i non longe abest a diametrorum ratlone dupH- 
cata 1 1 xi ad i . 

Cum resistentia fiH in globis majoribus minoris sit momentl, tentavi 
etlam experlmentum In globo cujus diameter erat i8f digltorum. 
Longitudo penduH inter punctum suspenslonis & centrum oscIHa- 
tlonls erat dlgitorum 122J, inter punctum suspensionls & nodum 
in filo 109^ dig. Arcus primo penduH descensu a nodo descriptus 
32 dig. Arcus ascensu ultimo post osciHationes qulnque ab eodem 
nodo descriptus 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscinatlone 
mediocri descriptus 60 dlg. Differentla arcuum 4 dlg. Ejus pars 
decima seu dlfferentia intcr descensum & ascensum In oscinatione 



312 DE MOTU CORPOR UM 

mediocri I dig. Ut radius 109J ad radium 1221 ita arcus totus 60 
dig. oscillatione mediocri a nodo descriptus ad arcum totum 67-j dig. 
oscillatione mediocri a centro globi descriptum ; & ita differentia § 
ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente 
longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad 122J; tempus 
oscillationis augeretur & velocitas penduli diminueretur in ratione 
illa subduplicata, maneret vero arcuum descensu & subsequente 
ascensu descriptorum differentia 0,4475. Deinde si arcus descriptus 
augeretur in ratione 124^3. ad 671, differentia ista 0,4475 augeretur 
in duplicata illa ratione, ideoque evaderet 1,5295. Haec ita se 
haberent, ex hypothesi quod resistentia penduli esset in dupHcata 
ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum totum 
124/1 digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensionis & 
centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum descensu 
& subsequente ascensu descriptorum foret 1,5295 digitorum. Et 
haec differentia ducta in pondus globi penduH, quod erat unciarum 
208, producit 318,136. Rursus ubi pendulum superius ex globo 
Hgneo constructum centro osciHationis, quod a puncto suspensionis 
digitos 126 distabat, describebat arcum totum 124^3^ digitorum, 

differentia arcuum descensu & ascensu descriptum fuit in — , 

\ 121 91 

quae ducta in pondus globi, quod erat unciarum 57^^^ producit 

49,396. Duxi autem differentias hasce in pondera globorum, ut 

invenirem eorum resistentias. Nam differentise oriuntur ex resis- 

tentiis, suntque ut resistentise directe & pondera inverse. Sunt 

igitur resistentiae ut numeri 318,136 & 49,396. Pars autem resisten- 

tiae globi minoris, quae est in dupHcata ratione velocitatis, erat ad 

resistentiam totam ut 0,56752 ad 0,61675, id est, ut 45,453 ad 

49»39^ I ^ P^^s resistentiae globi majoris propemodum aequatur ipsius 

resistentiae toti ; ideoque partes iHae sunt ut 318,136 & 45,453 

quamproxime, id est, ut 7 & i. Sunt autem globorum diametri i8t 

& 61 ; & harum quadrata 35 1^^ & 4711. sunt ut 7,438 & i, id est, ut 

globorum resistentiae 7 & i quamproxime. Differentia rationum 

haud major est, quam quae ex fiH resistentia oriri potuit. Igitur 

resistentiarum partes iHai quae sunt, paribus globis, ut quadrata 

velocitatum ; sunt etiam, paribus velocitatibus, ut quadrata diame- 

trorum globorum. 



LIBER SECUNDUS., 313 

Csetenim globorum, quibus usus sum In his experlmentis, maximus 
non erat perfecte sphaerlcus, & propterea in calculo hic allato minutias 
quasdam brevitatis gratia neglexi ; de calculo accurato in experimento 
non satis accurato minime solHcItus. Optarim itaque, cum demon- 
stratio vacui ex his dependeat, ut experlmenta cum globis & pluribus 
& majoribus & magis accuratis tentarentur. Si globi sumantur in 
proportione geometrica, puta quorum dlametri sint digitorum 4, 8, 16, 
32 ; ex progressione experimentorum colHgetur quid in globls adhuc 
majoribus evenire debeat. 

Jam vero conferendo resistentias dlversorum fluidorum inter se 
tentavi sequentla. Arcam Hgneam paravi longitudine pedum quatuor, 
latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi 
aqua fontana, feclque ut immersa pendula in medio aquae oscillando 
moverentur. Globus autem plumbeus pondere i66i unciarum, dia- 
metro 3| digltorum movebatur ut In tabula sequente descrlpsimus, 
exlstente videHcet longitudine penduH a puncto supensionis ad punc- 
tum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad osciUationis autem 
centrum 1 34» digitorum. 



Arcus dcscensti prinio a pnncto in ^ 
filo notato descriptus, digiti 



'toruni j 
riptus, \ 



64 32 16 842 I i i 



Arcus ascensu ultimo descriptus, lo^.x^ ^ ^tI 3 3 3 

... ^ > 40 24 12 O 3 If 4 8 IF 

digitormn j 

Arcuum differentia motui amisso\ j^ g a 2 ' \ \ \ JtV 

proportionalis, digitorum ) 

Ntimerus Oscillationum in aqua IJ It 3 7 Ut 1% ^S^ 

Numerus Oscillationem in aere 85J 2%^] 535 

In experimento columnse quartse, motus aequales oscinationibus 
535 In aere, & i^ In aqua amissi sunt. Erant quldem osciHatlones 
in aere paulo celeriores quam In aqua. At si oscillationes in aqua 
in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in medio utroque 
fierent sequlveloces, maneret numerus idem oscIHationum \\ in aqua, 
qulbus motus idem ac prius amitteretur ; ob resistentiam auctam & 
simul quadratum temporis diminutum in eadem ratione ifla dupHcata. 
Paribus igitur pendulorum velocitatibus motus sequales in aere 
oscinatlonibus 535 & in aqua oscinationibus \\ amissi sunt; ideoque 
reslstentia penduH in aqua est ad ejus resistentlam in aere ut 535 



314 DJl MO TU CORPOR UM 

ad il. Haec est proportlo resistentiariim totarum In casii columnee 
quartae. 

Designet jam A V + C V*- dififerentlam arcuum In descensu & 
subsequente ascensu descriptorum a globo in aere cum velocitate 
maxima V moto ; & cum velocltas maxima in casu column^ quartae 
sit ad velocltatem maxlmam In casu columna^ prlmce, ut i ad 8 ; 
& dlfferentia Illa arcuum In casu columnae quartae ad dlfferentiam In 

casu columnae prlmj^ ut ad — , seu ut 85^ ad 4280; scrlbamus 

in his casibus i & 8 pro velocltatlbus, atque 85! & 4280 pro differ- 
entlis arcuum, & fiet A + € = 85^ & 8 A + 64 € = 4280 seu A-l-8 C 
= 535 ; indeque per reductionem aequationum proveniet 7 ^ = 449^ 
& C = 64tt & A = 2It : atque ideo resistentia, cum sit ut tt A V-f 
f C V, erit ut 13A V-f 48A V. Quare in casu column^ quart^, 
ubi velocltas erat i, resistentia tota est ad partem suam quadrato 
velocitatis proportlonalem, ut 13^1 + 48^ seu 6iif ad 48 A ; & idcirco 
resistentia pendull in aqua est ad resistentlae partem illam in aere, 
quae quadrato velocitatis proportionalis est, quaeque sola in motibus 
velociorlbus conslderanda venit, ut ^iyf ad 48 A & 535 ad 1] con- 
junctlm, id est, ut 571 ad i. Si penduli in aqua osclllantis filum 
totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major ; adeo 
ut penduli in aqua oscillantis reslstentia illa, quae velocitatls quadrato 
proportlonalls est, qu^que sola In corporibus velociorlbus consideranda 
venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum veloci- 
tate in aere osclllantis, ut 850 ad i circiter, hoc est, ut densitas aqu^ 
ad densitatem aerls quamproxime. 

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiae penduli 
in aqua, quae esset ut quadratum velocitatls, sed (quod mirum forte 
vldeatur) resistentla in aqua augebatur in ratione velocltatls pkis- 
quam dupllcata. Ejus rei causam investlgando, in hanc incidl, quod 
arca nimis angusta esset pro magnltudine globi penduH, & motum 
aquae cedentis prae angustla sua nimis impediebat. Nam si globus 
pendulus, cujus dlameter erat dlgltl unius, immergeretur ; resistentia 
augebatur in duplicata ratione velocitatls quam proxime. Id tenta- 
bam construendo pendukim ex globis duobus, quorum inferior & 
minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam 
filo afiixus esset, & in aerc osclllando, adjuvaret motum pendull 



i6 


8 


4 


2 ■ 


12 


6 





ih 


4 


2 


I 


i 


3^ 


6i 


I2t^ 


2li 



I 


h 


1 


3 
4 


3 

F 


A 


1 
T 


4 


T5 



LIBER SECUNDUS. 315 

cumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc modo in- 
stituta se habebant ut in tabula sequente describitur. 

Arcus desceitsu primo descriptus 

Arcus ascensu ulti^no descriptus 

Arctmm diff. motui amisso propoj^t. 

Numerus Oscillationum 3I 6J I2t^ 21J 34 53 62 J 

Conferendo resistentias mediorum inter se, effeci etiam ut pendula 
ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fiH ferrei erat pedum 
quasi trium, & diameter globi penduli quasi tertia pars digiti. Ad 
filum autem proxime supra mercurium affixus erat globus ahus 
plumbeus satis magnus ad motum penduH diutius continuandum. 
Tum vasculum, quod capiebat quasi Hbras tres argenti vivi, implebam 
vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in fluido 
utroque successive osciHante, invenirem proportionem resistentiarum : 
& prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aquae ut 13 vel 14 
ad I circiter : id est, ut densitas argenti vivi ad densitatem aquse. 
Ubi globum pendulum paulo majorem adhibebam, puta cujus 
diameter esset quasi \ vel f partes digiti, prodibat resistentia argenti 
vivi in ea ratione ad resistentiam aquae, quam habet numerus 12 
vel 10 ad I circiter. Sed experimento priori magis fidendum est, 
propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magni- 
tudine globi immersi. AmpHato globo, deberet etiam vas ampHari. 
Constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus & 
in Hquoribus tum metaHorum fusorum, tum aHis quibusdam tam 
caHdis quam frigidis repetere : sed omnia experiri non vacat, & ex 
jam descriptis satis Hquet resistentiam corporum celeriter motorum 
densitati fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quam 
proxime. Non dico accurate. Nam fluida tenaciora, pari densitate, 
proculdubio magis resistunt quam Hquidiora, ut oleum frigidum quam 
caHdum, caHdum quam aqua pluviaHs, aqua quam spiritus vini. 
Verum in Hquoribus, qui ad sensum satis fluidi sunt, ut in aere, in 
aqua seu dulci seu salsa, in spiritibus vini, terebinthi & saHum, 
in oleo a faecibus per destiHationem Hberato & calefacto, oleoque 
vitrioH & mercurio, ac metaHis Hquefactis, & siqui sint aHi, qui 
tam fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius con- 
servent, effusique Hberrime in guttas decurrendo resolvantur, nuHus 



3 1 6 J^E MOTU CORPOR UM 

dubito quin regula allata satis accurate obtineat : praesertim si 
experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis 
instituantur. 

Denique cum nonnullorum opinio sit, medium quoddam aethereum 
& longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros 
& meatus liberrime permeet ; a tali autem medio per corporum poros 
fluente resistentia oriri debeat : ut tentarem an resistentia, quam in 
motis corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an 
vero partes etiam internae in superficiebus propriis resistentiam nota- 
bilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim 
longitudinis ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, 
suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendu- 
lum longitudinis praedictae. Uncus sursum praeacutus erat acie con- 
cava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. 
Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum 
deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex, idque 
secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante 
pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum 
suspensionis, in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. 
Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, 
dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad quae redibat in fine 
oscillationis primae, secundae ac tertiae. Hoc repetebam saepius, 
ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem 
plumbo & gravioribus, quae ad manus erant, metallis implebam. 
Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quae 
circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter 
uncum & pyxidem pendulam tendebatur. Nam filum tensum dimidio 
ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget. 
Huic ponderi addebam pondus aeris quem pyxis capiebat. Et 
pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum 
plenae. Tum quoniam pyxis metallorum plena, pondere suo ten- 
dendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam filum ut 
penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pen- 
dulo ad locum primo notatum retracto ac dimisso, numerabam 
oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum 
secundo notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad 



LTBER SECUNDUS. 



Z^l 



locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu 
suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod" resistentia tota 
pyxidis plense non majorem habebat proportionem ad resistentiam 
pyxidis vacuae quam 78 ad ']']. Nam si sequales essent ambarum 
resistentiae, pyxis plena, ob vim suam insitam septuagies & octies 
majorem vi insita pyxidis vacuae, motum suum oscillatorium tanto 
diutius conservare deberet, atque ideo completis semper oscillationi- 
bus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis 
oscillationibus ]]. 

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa, 
& B resistentiam pyxidis vacuae in partibus internis ; & si resistentiae 
corporum aequivelocium in partibus internis sint ut materia, seu 
numerus particularum quibus resistitur : erit 78 B resistentia pyxidis 
plenae in ipsius partibus internis : ideoque pyxidis vacuae resistentia 
tota A+B erit ad pyxidis plenae resistentiam totam A + 78 B ut 77 
ad 78, & divisim A-|- B ad ]] B, ut ]] ad i, indeque A + B ad B ut 
77 X 77 ad I, & divisim A ad B ut 5928 ad i. Est igitur resistentia 
pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam 
ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic vero dis- 
putamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenae, non 
ab alia aHqua causa latente oriatur, sed ab actione sola fluidi alicujus 
subtilis in metallum inclusum. 

Hoc experimentum recitavi memoriter. Narn charta, in qua illud 
aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum 
partes, quae memoria exciderunt, omittere compulsus sum. 

Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco 
infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quae- 
rendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus 
oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur. Parabam 
igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, & 
tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus. 



3 i : j DE MO TU CO R Pi VU/V 

SECTIO VII. 

' De motufluidoriim & rcsisteritia projcctilmrii. 

PROPOSITIO XXXII. THEOREMA XXVI. 

Si corporum systemata duo similia ex cequali particularum 7tumero 
constenty & particulcB correspondc7ites similes sint & proportionales, 
singulcB in mio systeinate singulis i7i altero, & simititer sitcs inter 
sCy ac datam hadeant rationem densitatis ad invicenZy & inter se 
temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant (ece inter se 
qucB in uno sunt systemate & ece inter se qucc sunt in altero) & si 
non tangant se mutuo quce i7i eodem sunt systemate, nisi in momentis 
reflexionum, neque attrahanty vel fugent se mutuo, nisi viribus 
acceleratricibus qtccs sint tit particularum correspondentium diametri 
iftverse & quadrata velocitatum directe : dico quod systeinatum 
particulce illce pergent inter se temporibus proportionalibus similiter 
moveri. 

Corpora similia & similiter sita temporibus proportionalibus inter 
se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum 
illorum semper sunt similes : puta si particulae unius systematis cum 
alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora 
erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figurarum 
similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur 
si duo sint ejusmodi systemata, particulse correspondentes, ob simi- 
Htudinem incceptorum motuum, pergent similiter moveri, usque 
donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, pro- 
gredientur uniformiter in lineis rectis per motus leg. i. Si viribus 
aliquibus se mutuo agitant, & vires illae sint ut particularum correspon- 
dentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe ; quoniam 
particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totae 
quibus particulse correspondentes agitantur, ex viribus singulis 



LIBER SECUNDUS. ^t^ 

agitantibiis (per legum corollarium secundum) compositae, similes 
habebunt determinationes, perinde ac si centra inter particulas similiter 
sita respicerent ; & erunt vires illae totae ad invicem ut vires singulse 
componentes, hoc est, ut correspondentium particularum diametri 
inverse, & quadrata velocitatum directe : & propterea efficient ut 
correspondentes particulae figuras similes describere pergant. Haec 
ita se habebunt (per corol. i & 8 prop. iv lib. i) si modo centra 
illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitu- 
dinem, similes manent eorum situs inter systematum particulas ; 
similes inducentur mutationes in figuris quas particulae describunt. 
Similes igitur erunt correspondentium & similium particularum motus 
usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & 
similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes motus inter 
se donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. 
Q.E,D. 

Corol. I. Hinc si corpora duo quaevis, quae similia sint & ad 
systematum particulas correspondentes simiHter sita, inter ipsas tem- 
poribus proportionaHbus similiter moveri incipiant, sintque eorum 
magnitudines ac densitates ad invicem ut magnitudines ac densitates 
correspondentium particularum : haec pergent temporibus propor- 
tionalibus simiHter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum 
systematis utriusque atque particularum. 

Corol. 2. Et si similes & simiHter positae systematum partes omnes 
quiescant inter se : & earum duae, quae caeteris majores sint, & sibi 
mutuo in utroque systemate correspondeant, secundum Hneas simiHter 
sitas simiH cum motu utcunque moveri incipiant : hae similes in reH- 
quis systematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas 
temporibus proportionaHbus simiHter moveri ; atque ideo spatia 
diametris suis proportionaHa describere. 

PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA XXVII. 

lisdem positis, dico quod systematum partes majores resistuntur 
in ratione composita ex duplicata i^atione velocitatum suarum & 
duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium syste- 
matum. 

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri- 



3 2 O 2^E MO TU CORPOR UM 



fugis quibus particulae systematum se mutuo agitant, partim ex occur- 
sibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris 
autem generis resistentise sunt ad invicem ut vires totae motrices a 
quibus oriuntur, id est, ut vires totae acceleratrices & quantitates 
materiae in partibus correspondentibus ; hoc est (per hypothesin) ut 
quadrata velocitatum directe & distantiae particularum correspon- 
dentium inverse & quantitates materiae in partibus correspondentibus 
directe : ideoque cum distantiae particularum systematis unius sint 
ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter par- 
ticulae vel partis in systemate priore ad diametrum particul^ vel 
partis correspondentis in altero, & quantitates materiae sint ut den- 
sitates partium & cubi diametrorum ; resistentiae sunt ad invicem ut 
quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium 
systematum. Q, E, D, Posterioris generis resistentiae sunt ut re- 
flexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri 
autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium corre- 
spondentium directe, & spatia inter earum reflexiones inverse. Et 
vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates 
partium correspondentium conjunctim ; id est, ut velocitates & dia- 
metrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus 
rationibus, resistentiae partium correspondentium sunt ad invicem ut 
quadrata velocitatum & quadrata diametronim & densitates partium 
conjunctim. Q, E, D. 

Corol, I. Igitur si systemata illa sint fluida duo elastica ad modum 
aeris, & partes eorum quiescant inter se : corpora autem duo similia 
& partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem propor- 
tionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter 
positas utcunque projiciantur ; vires autem acceleratrices, quibus par- 
ticulae fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum 
diametri inverse, & quadrata velocitatum directe : corpora illa tem- 
poribus proportionalibus similes excitabunt motus in fluidis, & spatia 
similia ac diametris suis proportionalia describent. 

Corol, 2. Proinde in eodem fluido projectile velox resistentiam 
patitur, quae est in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam 
si vires, quibus particulae distantes se mutuo agitant, augerentur in 
duplicata ratione velocitatis, resistentia foret in eadem ratione dupli- 
cata accurate ; ideoque in medio, cujus partes ab invicem distan- 



t 



LIBER SECUNDUS. 321 

tes sese vlrlbus nullis agltant, reslstentla est In dupllcata ratlone 
velocltatls accurate. Sunto Igltur medla tria A, B, C, ex partlbus 
slmlllbus & sequallbus & secundum dlstantlas sequales regularlter 
dlsposltls constantla. Partes mediorum A 81 B fuglant se mutuo 
vlrlbus quae sint ad invicem ut 7" & V, illae medii C ejusmodi virlbus 
omnlno destltuantur. Et si corpora quatuor sequalla D, E, F, G 
in hls medlis moveantur, prlora duo D Ba E m. prlorlbus duobus 
A 81 B, Sl altera duo E 8l G \n tertlo C ; sitque velocltas corporls 
D ad velocitatem corporls E, & velocltas corporls E ad velocltatem 
corporls G in subduplicata ratione virium T ad vlres V : resistentia 
corporis D erit ad resistentiam corporls E, & resistentia corporls 
E ad reslstentiam corporls G, in velocitatum ratlone dupllcata ; & 
propterea resistentia corporis D erit ad reslstentlam corporls E ut 
reslstentia corporis E ad resistentlam corporis G. Sunto corpora 
D Sz E eequlvelocla ut & corpora E 8c G ; & augendo velocitates 
corporum D 8l E m ratione quacunque, ac diminuendo vires par- 
ticularum medli B in eadem ratlone dupllcata, accedet medlum B 
ad formam & conditlonem medli C pro llbitu, & Idcirco resistentlse 
corporum aequalium & sequivelocium E 8l G \n his mediis, perpetuo 
accedent ad sequalltatem, ita ut earum differentia evadat tandem 
mlnor quam data qusevis. Proinde cum reslstentlse corporum D & 
E sint ad invicem ut reslstentise corporum E 81 G, accedent etlam 
hse simillter ad rationem sequalltatls. Corporum igitur D 8i E, 
ubi veloclsslme moventur, resistentise sunt sequales quam proxime : 
& propterea cum resistentla corporis E slt in dupllcata ratlone 
velocltatls, erit resistentia corporls D in eadem ratione quam prox- 
ime. 

Coro/. 3. Corporis in fluido quovis elastlco velocissime moti eadem 
fere est resistentia ac si partes fluldi virlbus suis centrlfugis destltue- 
rentur, seque mutuo non fugerent : si modo fluldl vis elastica ex 
partlcularum vlrlbus centrlfugls oriatur, & velocltas adeo magna sit ut 
vires non habeant satis temporis ad agendum. 

Corol. 4. Proinde cum reslstentise slmllium & ^qulveloclum cor- 
porum, in medlo cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut 
quadrata dlametrorum ; sunt etlam sequlveloclum & celerrlme motorum 
corporum resistentise in fluido elastico ut quadrata diametrorum quam 
proxime. 

X 



32 2 J^I^ MOTV COEPORUM 

Corol. 5. Et cum corpora similia, sequalia & sequivelocia, in me- 
diis ejusdem densitatis, quorum particulse se mutuo non fugiunt, sive 
particulce illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in 
eequalem materiae quantitatem temporibus cequalibus impingant, eique 
sequalem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus 
legem tertiam) sequalem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, 
sequaliter resistantur : manifestum est etiam quod in ejusdem densi- 
tatis fluidis elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum 
resistentiae quam proxime ; sive fluida illa ex particulis crassioribus 
constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex medii sub- 
tilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum dimi- 
nuitur. 

Corol. 6. Haec omnia ita se habent in fluidis, quorum vis elastica 
ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa 
aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar lanae vel 
ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum 
inter se redduntur minus liberi : resistentia, ob minorem medii fluidi- 
tatem, erit major quam in superioribus corollariis. 

PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA XXVIII. 

Si globus & cylifidrus cFqualibus diametris descripti, in medio raro ex 

particulis csqualibus & ad cequales ab invicem distantias libere dis- 

positis constante, secuftdum plagam axis cylindri, cequali cum veloci- 

tate moveant7cr : erit resistentia globi duplo minor quam resistentia 

cytindri. 

Nam quoniam actio medii in corpus eadem est (per legum corbl. 
5) sive corpus in medio quiescente moveatur, sive medii particulae 
eadem cum velocitate impingant in corpus quiescens : consideremus 
corpus tanquam quiescens, & videamus quo impetu urgebitur a 
medio movente. Designet igitur A B K I corpus sphaericum centro 
C semidiametro C A descriptum, & incidant particulae medii data 
cum velocitate in corpus illud sphaericum, secundum rectas ipsi A C 
parallelas: sitque F B ejusmodi recta. In ea capiatur L B semi- 
diametro C B aequalis, & ducatur B D quae sphaeram tangat in B. 
\n K C 81 B D demittantur perpendiculares B E, L Dy8i vis qua par- 



LIBER SECUNDUS. 



323 



K 



Tsr 



ticula meclii, secundum rectam F B oblique incldendo, globum ferit 

in B, erit ad vim qua particula eadem cylindrum O N GQ axe A CI 

circa globum descriptum perpendiculariter feriret in ^, ut L D ad 

LB vel BE ad BC. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum 

secundum incidentiae suse plagam FB vel A C, est ad ejusdem effi- 

caciam ad movendum globum se- 

cundum plagam determinationis 

suee, id est, secundum plagam rec- 

td^ B C qua globum directe urget 

ut B E 2A BC Et conjunctis 

rationibus, efficacia particulse iii 

globum secundum rectam F B 

oblique incldentis, ad movendum 

eundem secundum plagam Inci- 

dentlae suae, est ad efficaclam par- 

tlculse ejusdem secundum eandem rectam In cyllndrum perpendlcu- 

larlter Incidentls, ad Ipsum movendum In plagam eandem, vX B E 

quadratum 2A B C quadratum. Quare sl In b E, quse perpendicularls 

est ad cylindrl basem clrcularem N A O 81 sequalis radio A C, sum- 





hx\b 


t> L F 


f^\ 




c 


V 


^ 


c 


> 



atur d H aequalls 



B E quad. 
~CB 



erlt b H 2A b E ut effectus partlculae 



In globum ad effectum partlculae In cylindrum. Et propterea solidum 
quod a rectis omnibus b H occupatur erlt ad solldum quod a rectls 
omnibus b E occupatur, ut effectus particularum omnlum In globum ad 
effectum partlcularum omnlum In cyllndrum. Sed solidum prius est 
parabolols vertlce C, axe C A & latere recto C A descrlptum, & 
solidum posterius est cyllndrus parabololdi clrcumscrlptus : & notum 
est quod parabolols slt semlssls cyllndrl clrcumscriptl. Ergo vls 
tota medli in globum est duplo mlnor quam ejusdem vls tota In 
cylindrum. Et propterea sl partlculae medil qulescerent, & cyllndrus 
ac globus aequali cum velocltate moverentur, foret reslstentla globl 
duplo mlnor quam reslstentla cyllndri. Q.E.D. 

Scholmm. 
Eadem methodo figurae allae Inter se quoad reslstentiam comparari 
possunt, eaeque Invenlrl quae ad motus suos In mediis reslstentibus 
continuandos aptiores sunt. Ut sl base circulari C E B H, quae centro 



324 



DE MOTU CORPORUM 




O, radio O C describltur, & altitudine O D, 
construendum sit frustum coni C B G F, 
quod omnium eadem basi & altitudine 
constructorum & secundum plagam axis 
sui versus D progredientium frustorum 
minime resistatur : biseca altitudinem OD 
in g & produc O Q 2.di S mX. ^\X. Q S 
a^qualis Q C, Ba erit kS vertex coni cujus 
frustum quaeritur. 

Unde obiter, cum angulus CS B semper sit acutus, consequens 
est, quod si solidum A D B E convolutione figurae elliptlcae vel ovalis 
A D B E circa axem AB facta generetur, & tangatur figura generans 
a rectis tribus FGy G H, H I in punctis F, B & I, ea lege ut G H 
sit perpendicularis ad axem in puncto contactus By 8i FGy H I cum 
eadem 6^ Zf contineant angulos FGB, BH/ graduum 135, solidum, 
quod convolutione figurse A DFGH/E circa axem eundem^^^ 
generatur, minus resistitur quam solidum prius ; si modo utrumque 
secundum plagam axis sui A B progrediatur, & utriusque terminus B 
praecedat. Quam quidem proposltionem in construendis navibus non 
inutilem futuram esse censeo. 




. Quod si figura D N FG ejusmodi sit curva, ut, si ab ejus puncto 
quovis N ad axem A B demittatur perpendiculum N Ji/, & 2l puncto 
dato G ducatur recta G R quae parallela slt rectae figuram tangenti In 
N, & axem productum secet in R, fuerit J/ iV ad G R ut G R 
cub. ad ^BRxGBq; solidum quod figurae hujus revolutione 
circa axem A B facta describitur, in medio raro praedicto ab A ver- 



LIBER SECUNDUS. 325 

sus B movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitu- 
dine & latitudine descriptum solidum circulare. 



PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA VII. 

Si medium rarum ex particidis quam minimis quiesceutibus cequalibus 
& ad ceqicales ab invicem distantias libere dispositis constet : invenire 
resistentiam globi in hoc medio uniformiter progredientis, 

Cas. I. Cylindrus eadem diametro & altitudine descriptus pro- 
gredi intelligatur eadem velocitate secundum longitudinem axis 
sui in eodem medio. Et ponamus quod particulae medii, in quas 
globus vel cylindrus incidit, vi reflexionis quam maxima resiliant. 
Et cum resistentia globi (per propositionem novissimam) sit duplo 
minor quam resistentia cylindri, & globus sit ad cylindrum ut duo 
ad tria, & cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas, ipsas- 
que quam maxime reflectendo, duplam sui ipsius velocitatem ipsis 
communicet : cylindrus, quo tempore dimidiam longitudinem axis 
sui uniformiter progrediendo describit, communicabit motum parti- 
culis, qui sit ad totum cylindri motum ut densitas medii ad densi- 
tatem cylindri ; & globus, quo tempore totam longitudinem diame- 
tri suae uniformiter progrediendo describit, communicabit motum 
eundem particulis ; & quo tempore duas tertias partes diametri suse 
describit, communicabit motum particulis, qui sit ad totum globi 
motum ut densitas medii ad densitatem globi. Et propterea globus 
resistentiam patitur, quae sit ad vim qua totus ejus motus vel auferri 
possit vel generari quo tempore duas tertias partes diametri suse 
uniformiter progrediendo describit, ut densitas medii ad densitatem 
globi. 

Cas. 2. Ponamus quod particulse medii in globum vel cylindrum 
incidentes non reflectantur; & cylindrus incidendo perpendiculariter 
in particulas simplicem suam velocitatem ipsis communicabit, ideoque 
resistentiam patitur duplo minorem quam in priore casu, & resistentia 
globi erit etiam duplo minor quam prius. 

Cas. 3. Ponamus quod particulae medii vi reflexionis neque maxima 
neque nulla, sed mediocri aliqua resiliant a globo ; & resistentia globi 



o 



26 DE MOTU CORPORUM 



erit in eadem ratione mediocri inter resistentiam in primo casu & 
resistentiam in secundo. Q. E. I. 

Corol, I. Hinc si globus & particuLx sint infinite dura, & vi omni 
elastica & propterea etiam vi omni reflexionis destituta : resistentia 
globi erit ad vim qua totus ejus motus vel auferri possit vel generari, 
quo tempore globus quatuor tertias partes diametri suse describit, ut 
densitas medii ad densitatem globi. 

CoroL 2. Resistentia globi, cceteris paribus, est in duplicata ratione 
velocitatis. 

Corol. 3. Resistentia globi, caeteris paribus, est in duplicata ratione 
diametri. 

Corol. 4. Resistentia globi, cseteris paribus, est ut densitas medii. 

Corol. 5. Resistentia globi est in ratione quae componitur ex 
duplicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione 
densitatis medii. 

Corol. 6. Et motus globi cum ejus resistentia sic exponi potest. 
Sit^^tempus quo globus per resistentiam suam uniformiter con- 
tinuatam totum suum motum amittere potest. Ad AB erigantur 
perpendicula AD, BC. Sitque BC motus ille totus, & per punctum 
C asymptotis AD, AB describatur hyperbola CF. Producatur AB 
ad punctum quodvis E. Erigatur per- 
pendiculum ^T^ hyperbolae occurrens in F. 
Compleatur parallelogrammum CBEG, 
& agatur AF ipsi BC occurrens in //. 
Et si globus tempore quovis BE, motu 
suo primo BC uniformiter continuato, in 
medio non resistente describat spatium 
CBEG per aream parallelogrammi expositum, idem in medio 
resistente describet spatium CBEF per aream hyperbolae expositum, 
& motus ejus in fine temporis ilHus exponetur per hyperbolae ordi- 
natam EF, amissa motus ejus parte FG. Et resistentia ejus in fine 
temporis ejusdem exponetur per longitudinem BH^ amissa resistentiae 
parte CH. Patent haec omnia per corol. i & 3 prop. v Hb. II. 

Corol. 7. Hinc si globus tempore T per resistentiam R uniformiter 

continuatam amittat motum suum totum M : idem globus tempore 

t in medio resistente, per resistentiam R in dupHcata velocitatis 

. .. ^M 

ratione decrescentem, amittet motus sui M partem .p . , ma- 




LIBER SECUNDUS. 327 

TM 

nente parte = — ; & describet spatlum quod sit ad spatlum motu 

unlformi M eodem tempore / descrlptum, ut logarlthmus numerl 
Z. multiplicatus per numerum 2,302585092994 est ad numerum 

— , propterea quod area hyperbollca B C FE est ad rectangulum 
BCGE in hac proportione. 

Scholium. 
In hac propositione exposui resistentiam & retardationem projec- 
tlHum sphaericorum in medlls non continuis, & ostendi quod haec 
resistentia slt ad vim qua totus globi motus vel tolH possit vel gene- 
rarl quo tempore globus duas tertias diametri suse partes velocitate 
uniformlter contlnuata descrlbat, ut densltas medli ad densltatem 
globi, si modo globus & partlculse medli slnt summe elastlca & vi 
maxlma reflectendi polleant: quodque hsec vls slt duplo mlnor ubi 
globus & partlculse medii sunt infinite dura & vi reflectendi pror- 
sus destituta. In mediis autem continuis quaHa sunt aqua, oleum 
caHdum, & argentum vivum, in quibus globus non incidit immedlate 
in omnes fluldl particulas reslstentiam generantes, sed premlt tantum 
proximas partlculas & hse premunt aHas & hae aHas, reslstentla est 
adhuc duplo minor. Globus utique in hujusmodi mediis fluidissimis 
reslstentiam patltur quae est ad vim qua totus ejus motus vel toHi 
posslt vel generari quo tempore, motu IHo uniformiter contlnuato, 
partes octo tertias diametri suae descrlbat, ut densitas medii ad densi- 
tatem globi. Id quod in sequentibus conabimur ostendere. 



PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA VIII. 

AqucB de vase cylindrico per foramen in fundo fachcm effluentis 

defnire motMm. 

Slt ACDB vas cyHndricum, AB ejus orificium superius, CD 
fundum horizonti paraHelum, E F foramen clrculare in medio fundi, 
G centrum foramlnls, 81 G H axls cyHndrl horizonti perpendicularis. 
Et finge cyHndrum glaciei A P Q B ejusdem esse latitudinls cum 



328 



DE MOTU CORPORUM 




cavitate vasis, & axem eundem habere, & uniformi cum motu per- 

petuo descendere, & partes ejus quam primum attingunt superficiem 

A B liquescere, & in aquam conversas gravitate sua defluere in vas, 

& cataractam vel columnam aquse A B N F E M Q,-3.^^xiAo formare, 

& per foramen E F transire, idemque adsequate implere. Ea vero 

sit uniformis velocitas glaciei descendentis 

ut & aquae contigu^e in circulo A B, quam 

aqua cadendo & casu suo describendo alti- 

tudinem I H acquirere potest; & jaceant 

I H &L H G m directum, & per punctum / 

ducatur recta K L horizonti parallela & 

lateribus glaciei occurrens in A' & Z. Et 

velocitas aquae effluentis per foramen E F 

ea erit quam aqua cadendo ab / & casu suo 

describendo altitudinem / G acquirere po- 

test. Ideoque per theoremata Galilcei erit 

IG^AIHm duplicata ratione velocitatis 

aquae per foramen effluentis ad velocitatem 

aquae in circulo A B, hoc est, in duplicata ratione circuli A B 2id 

circulum i5'/^; nam hi circuli sunt reciproce ut velocitates aquarum 

quae per ipsos, eodem tempore & aequali quantitate, ad^quate tran- 

seunt. De velocitate aquae horizontem versus hic agitur. Et motus 

horizonti parallelus quo partes aquae cadentis ad invicem accedunt, 

cum non oriatur a gravitate, nec motum horizonti perpendicularem a 

gravitate oriundum mutet, hic non consideratur. Supponimus quidem 

quod partes aquae aliquantulum cohaerent, & per cohaesionem suam 

mter cadendum accedant ad invicem per motus horizonti parallelos, 

ut unicam tantum efforment cataractam & non in plures cataractas 

dividantur: sed motum horizonti parallelum, a cohaesione illa oriun- 

dum, hic non consideramus. 

Cas. I. Concipe jam cavitatem totam in vase, in circuitu aquae 
cadentis ABJVFEM, glacie plenam esse, ut aqua per glaciem tan- 
quam per infundibulum transeat. Et si aqua glaciem tantum non 
tangat, vel, quod perinde est, si tangat & per glaciem propter sum- 
mam ejus polituram quam liberrime & sine omni resistentia labatur ; 
haec defluet per foramen EF eadem velocitate ac prius, & pondus 
totum columnae aquae ABNFEM impendetur in defluxum ejus 



LIBER SECUNDUS. -^^o 

generandum uti prlus, & fundum vasis sustinebit pondus glaciei 
columnam ambientis. 

Liquescat jam glacies in vase ; & effluxus aquae, quoad velocitatem, 
idem manebit ac prius. Non minor erit, quia glacies in aquam 
resoluta conabitur descendere : non major, quia glacies in aquam 
resoluta non potest descendere nisi impediendo descensum aquae 
alterius descensui suo aequalem. Eadem vis eandem aquae effluentis 
velocitatem generare debet. 

vSed foramen in fundo vasls, propter obliquos motus partlcularum 
aquae effluentis, paulo majus esse debet quam prius. Nam particulae 
aquae jam non transeunt omnes per foramen perpendiculariter ; sed a 
lateribus vasis undique confluentes & in foramen convergentes, 
obliquis transeunt motibus ; & cursum suum deorsum flectentes in 
venam aquae exilientis conspirant, quae exilior est paulo infra foramen 
quam in Ipso foramine, existente ejus diametro ad diametrum fora- 
minis ut 5 ad 6, vel 51 ad 6\ quam proxime, sl modo diametros 
recte dimensus sum. Parabam utique laminam planam pertenuem 
in medio perforatam, exlstente clrcularls foraminls diametro partium 
quinque octavarum digltl. Et ne vena aquae exllientis cadendo 
acceleraretur & acceleratione redderetur angustior, hanc laminam non 
fundo sed lateri vasls affixi sic, ut vena illa egrederetur secundum 
llneam horlzontl parallelam. Deln ubl vas aqua plenum esset, 
aperul foramen ut aqua efflueret ; & venae diameter, ad distantiam 
quasl dlmidil dlgltl a foramlne quam accuratissime mensurata, prodilt 
partium vlgintl & unlus quadragesimarum digitl. Erat Igitur 
dlameter foramlnls hujus circularis ad diametrum venae ut 25 ad 
21 quamproxlme. Aqua igltur transuendo per foramen, converglt 
undique, & postquam effluxit ex vase, tenulor reddltur conver- 
gendo, & per attenuationem acceleratur donec ad distantiam semissis 
digiti a foramine pervenerit, & ad distantlam illam tenuior & 
celerlor fit quam in ipso foramlne In ratlone 25x25^^ 21x21 
seu 17 ad 12 quamproxlme, id est In subdupHcata ratione binaril 
ad unltatem circlter. Per experimenta vero constat quod quantitas 
aquae, quae per foramen clrculare In fundo vasis factum, dato tempore 
effluit, ea sit quae cum velocitate praedicta, non per foramen illud, sed 
per foramen circulare, cujus diameter est ad diametrum foramlnis 
illius ut 21 ad 25, eodem tempore effluere debet. Ideoque aqua 



330 



DE MOTU CORPORUM 



illa effluens velocitatem habet deorsiim in ipso foramine quam 
grave cadendo & casu suo describendo dimidiam altitudinem aquce 
in vase stagnantis acquirere potest quamproxime. Sed postquam 
exivit ex ' vase, acceleratur convergendo donec ad distantlam a 
foramine diametro foraminis prope sequalem pervenerit, & ve- 
locitatem acquisiverit majorem in ratione subduplicata binarii ad 
unitatem circiter; quam utique grave cadendo, & casu suo descri- 
bendo totam altitudinem aquae in vase stagnantis, acquirere potest 
quamproxime. 

In sequentibus igitur diameter venae designetur per foramen illud 
minus quod vocavimus E F, Et plano foraminis E F parallelum 
duci intelligatur planum aliud superius VW ad distantiam diametro 
foraminis aequalem circiter & foramine majore 6^ T pertusum ; per 
quod utique vena cadat, quae adaequate impleat foramen inferius 
EF, atque ideo cujus diameter sit ad diametrum foraminis inferioris 
ut 25 ad 21 circiter. Sic enim vena per foramen inferius perpen- 
diculariter transibit ; & quantitas aquae effluentis, pro magnitudine 
foraminis hujus, ea erit quam sohitio problematis postulat quam- 
proxime. Spatium vero, quod planis duobus & vena cadente 
clauditur, pro fundo vasis haberi potest. Sed ut solutio problematis 
simpHcior sit & magis mathematica, praestat adhibere planum solum 
inferius pro fundo vasis, & fingere quod 
aqua quae per glaciem ceu per infundibu- 
lum defluebat, & e vase per foramen E F 
in plano inferiore factum egrediebatur, 
motum suum perpetuo servet, & glacies 
quietem suam. In sequentibus igitur sit 
6^ T diameter foraminis circularis centro Z 
descripti per quod cataracta effluit ex vase 
ubi aqua tota in vase fluida est. Et sit 
-fi*/^ diameter foraminis per quod cataracta 
cadendo adaequate transit, sive aqua exeat ex vase per foramen illud 
superius ^ 7) sive cadat per medium glaciei in vase tanquam per in- 
fundibulum. Et sit diameter foraminis superioris 6^ ?" ad diametrum 
inferioris E F \xt 2^ ad 21 circiter, & distantia perpendicularis inter 
plana foraminum aequahs sit diametro foraminis minoris E F, 
Et velocitas aquae e vase per foramen 6^ T exeuntis ea erit in ipso 



K 




LIBER SECUNDUS. 



331 



\ 



foramine deorsum qiiam corpus cadendo a dlmidio altitudinis IZ 
acquirere potest : velocitas autem cataractce utriusque cadentis ea 
erit in foramine EF, quam corpus cadendo ab altitudine tota IG 
acquiret. 

Cas. 2. Si foramen EF non sit in medio fundi vasis, sed 
fundum alibi perforetur : aqua effluet eadem cum velocitate ac 
prius, si modo eadem sit foraminis magnitudo. Nam grave ma- 
jori quidem tempore descendit ad eandem profunditatem per 
lineam obliquam quam per lineam perpendicularem, sed descen- 
dendo eandem velocitatem acquirit in utroque casu, ut Galilceus 
demonstravit. 

Cas. 3. Eadem est aquse velocitas effluentis per foramen in latere 
vasis. Nam si foramen parvum sit, ut intervallum inter superficies 
AB 81 KL quoad sensum evanescat, & vena aquae horizontaliter 
exilientis figuram parabolicam efformet : ex latere recto hujus parabolae 
colligetur, quod velocitas aquse effluentis ea sit quam corpus ab aquse 
in vase stao-nantis altitudine II G vel IG cadendo acquirere potuisset. 
Facto utique experimento inveni quod, si altitudo aquse stagnantis 
supra foramen esset viginti digitorum & altitudo foraminis supra 
planum horizonti parallelum esset quoque viginti digitorum, vena 
aqu^ prosiHentis incideret in planum illud ad distantiam digitorum 37 
circiter a perpendiculo quod in planum illud a foramine demittebatur 
captam. Nam sine resistentia, vena incidere debuisset in planum 
illud ad distantiam digitorum 40, existente venae parabolic^ latere 

recto digitorum 80. 

Cas. 4. Quinetiam aqua effluens, si sursum feratur, eadem egredi- 
tur cum velocitate. Ascendit enim aquee exiHentis vena parva motu 
perpendiculari ad aquse in vase stagnantis altitudinem GH vel 
GI, nlsi quatenus ascensus ejus ab aeris resistentla aHquantulum 
impediatur ; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab altitudine 
illa cadendo acquirere potuisset. Aquae stagnantis particula unaquae- 
que undique premitur aequaHter (per prop. xix Hb. 2) & pressioni 
cedendo sequaH impetu in omnes partes fertur, sive descendat per 
foramen in fundo vasis, sive horizontaHter effluat per foramen in ejus 
latere, sive egrediatur in canalem & inde ascendat per foramen 
parvum in superiore canaHs parte factum. Et velocitatem qua aqua 
effluit eam esse, quam in hac propositione assignavimus, non sokmi 



332 



DE MOTU CORPORUM 



ratione colllgltur, sed etiam per experlmenta notissima jam descripta 
manlfestum est. 

Cas. 5. Eadem est aquae effluentls velocitas slve figura foraminls 
slt circularis sive quadrata vel triangularis aut alla qusecunque cir- 
culari aequalls. Nam velocitas aquse effluentis non pendet a figura 
foraminis sed oritur ab ejus altitudine infra planum KL. 

Cas. 6. Si vasls ABDC pars inferlor in aquam stagnantem im- 
mergatur, & altitudo aquae stagnantis supra fundum vasis sit GR : 
velocitas quacum aqua quae in vase est, effluet per foramen £J^ m 
aquam stagnantem, ea erit quam aqua cadendo & casu suo descri- 
bendo altitudinem /£ acqulrere potest. Nam pondus aquae omnis 
in vase quae inferior est superficie aquae stagnantis, sustinebitur in 
aequilibrio per pondus aquae stagnantis, ideoque motum aquae de- 
scendentis in vase minime accelerabit. Patebit etlam & hlc casus per 
experimenta, mensurando scilicet tempora quibus aqua effluit. 

Coro/. I. Hinc si aquae altitudo CA producatur ad A', ut sit AK 
ad CK in duplicata ratlone areae foramlnls in quavis fundi parte facti, 
ad aream circuli AB : velocitas aquae effluentis aequalis erit velocitati 
quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem KC acquirere 
potest. 

Corol. 2. Et vis, qua totus aquae exilientis motus generari potest, 
aequalis est ponderi cylindricae columnae aquae, cujus basis est foramen 
EF, & altitudo 2GI vel 2CK. Nam aqua exiliens, quo tempore 
hanc columnam aequat, pondere suo ab altitudine GI cadendo veloci- 
tatem suam, qua exIHt, acquirere potest. 

Corol. 3. Pondus aquae totius in vase ABDC est ad ponderis 
partem, quae in defluxum aquae impendltur, ut summa circulorum 
A B & E F ^A duplum circulum E F. 
Sit enim / O media proportionalls inter r- 
IH & IG ; & aqua per foramen EF egre- 
diens, quo tempore gutta cadendo ab / 
describere posset altitudinem I G, aequaHs 
erit cyHndro cujus basis est circulus EF 
& altitudo est 2 I G, id est, cyHndro cujus 
basis est circulus A B & altltudo est 2 10, 
nam circulus EF est ad clrculum A B m 
subdupHcata ratione altitudinis ///" ad al- 



T. 




t 



LIBER SECUNDUS. .^. 

titudinem / G, hoc est, in simplici ratione mediae proportionalis / O 
ad altitudinem / G : & quo tempore gutta cadendo ab / describere 
potest altitudinem / //, aqua egrediens aequalis erit cylindro cujus 
basis est circulus A B 8i altitudo est 2 / // : & quo tempore gutta 
cadendo ab / per // 2id G describit altitudinum differentiam //G, 
aqua egrediens, id est, aqua tota in solido A B N FEM sequalis erit 
dififerentiae cylindrorum, id est, cylindro cujus basis est AB & altitudo 
2//O. Et propterea aqua tota in vase ABDC est ad aquam 
totam cadentem in solido A B NFE M \xt // G ad 2 //O, id est, ut 
//0+0Gad2//0,seu ///+ / O ^d 2 ///. Sed pondus aquae 
totius in solido A B NFE M in aquse defluxum impenditur : ac 
proinde pondus aquae totius in vase est ad ponderis partem quae in 
defluxum aquae impenditur, ut / // -\- / O ad 2///, atque ideo ut 
summa circulorum E F 81 A B ad duplum circulum E F. 

Corol. 4. Et hinc pondus aquae totius in vase ABDC est ad 
ponderis partem alteram quam fundum vasis sustinet, ut summa 
circulorum A B 8>l E F 2id diflerentiam eorundem circulorum. 

Corol. 5. Et ponderis pars, quam fundum vasis sustinet, est ad 
ponderis partem alteram, quae in defluxum aquae impenditur, ut 
diflerentia circulorum A B 81 EF ad duplum circulum minorem E F, 
sive ut area fundi ad dupkim foramen. 

Corol. 6. Ponderis autem pars, qua sola fundum urgetur, est ad 
pondus aquae totius, quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus 
A B a.d summam circulorum A B & E Fj sive ut circulus A B ad 
excessum dupli circuli A B supra fundum. Nam ponderis pars, qua 
sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius in vase, ut diflerentia 
circulorum AB & E F ad summam eorundem circulorum, per 
cor. 4 : & pondus aquae totius in vase est ad pondus aquae totius 
quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circuhis A B a.d diflerentiam 
circulorum A B 8l E F. Itaque ex aequo perturbate, ponderis 
pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius, quae 
fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus -^ ^ ad summam 
circulorum A B & E F ve\ excessum dupH circuH A B supra 
fundum. 

Co7^o/. 7. Si in medio foraminis E F \ocetur circellus P g centro 
G descriptus & horizonti parallehis : pondus aquae quam circellus 
ille sustinet, majus est pondere tertiae partis cyhndri aquae cujus basis 



334 



DE MOTU CORPORUM 




est circellus ille & altitudo est G H. Slt enim ADNFEM cataracta 

vel columna aquee cadentis axem habens G H \xt supra, & congelari 

intelligatur aqua omnis in vase, tam in 

circuitu cataractae quam supra circellum, ; 

cujus fluiditas ad promptissimum & ^ 

celerrimum aquae descensum non requiri- 

tur. Et siX, P H Q columna aquee supra 

circellum congelata, verticem habens H 

& altitudinem GH. Et finge cataractam 

hancce pondere suo toto cadere, & non 

incumbere in PHQ nec eandem premere, 

sed libere & sine frictione pra^terlabi, nisi 

forte in ipso glaciei vertice quo cataracta 

ipso cadendi initio incipiat esse cava. 

Et quemadmodum aqua in circuitu cataractce congelata A M E C, 

BNFD convexa est in superficie interna A ME, B N F v^rsxxs 

cataractam cadentem, sic etiam haec columna P HQ convexa erit 

versus cataractem, & propterea major cono cujus basis est circellus ille 

PQ 8i altitudo G H, id est, major tertia parte cylindri eadem base 

"& altitudine descripti. Sustinet autem circellus ille pondus hujus 

columnae, id est, pondus quod pondere coni seu terti^ partis cyHndri 

illius majus est. 

CoroL 8. Pondus aquse quam circellus valde parvus P Q sustinet, 
minor esse videtur pondere duarum tertiarum partium cyHndri aquae 
cujus basis est circellus ille & altitudo est H G. Nam stantibus 
jam positis, describi intelligatur dimidium sphaeroidis cujus basis est 
circellus ille & semiaxis sive altitudo est H G. Et h^c figura ^qua- 
lis erit duabus tertiis partibus cylindri ilHus & comprehendet columnam 
aquae congelatae PHQ cujus pondus circeHus iHe sustinet. Nam 
ut motus aquae sit maxime directus, columnae iHius superficies 
externa concurret cum basi P Q m angulo nonnihil acuto, propterea 
quod aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter accelerationem 
fit tenuior; & cum angulus iHe sit recto minor haec columna 
ad inferiores ejus partes jacebit intra dimidium sph^roidis. Eadem 
vero sursum acuta erit seu cuspidata, ne horizontaHs motus 
aquae ad verticem sphaeroidis sit infinlte velocior quam ejus 
motus horizontem versus. Et quo mlnor est clrceHus P Q ^o 



LIBER SECUNDUS. 



335 



acutlor erlt vertex columnae ; & clrcello In Infinitum dlminuto, 
angulus PHQ in infinltum dlmlnuetur, and propterea columna 
jacebit intra dimidium sphaeroidis. Est igitur columna illa minor 
dimidio sphaeroldis, seu duabus tertiis partibus cyHndri cujus basis 
est circellus ille & altitudo GH. Sustlnet autem circellus vim 
aquse ponderi hujus columnae aequalem, cum pondus aquae ambientis 
in defluxum ejus impendatur. 

CoroL 9. Pondus aquae quam clrcellus valde parvus PQ sustlnet, 
aequale est ponderi cyHndri aquae cujus basis est circellus ille & alti- 
tudo est \G H quamproxime. Nam pondus hocce est medium 
arithmeticum Inter pondera coni & hemisphaeroldls praedlctae. At si 
clrcelkis ille non sit valde parvus, sed augeatur donec aequet foramen 
E F; hic sustinebit pondus aquae totius sibi perpendiculariter 
immlnentls, id est, pondus cylindri aquae cujus basis est circellus 
ille & altitudo est G H, 

Corol 10. Et (quantum sentio) pondus quod circellus sustinet, est 
semper ad pondus cyHndri aquae, cujus basis est clrceHus iHe & 
altitudo est \GH,ut E Fq ad E Fq — \PQq, sive ut circukis E F 
ad excessum circuH hujus supra semissem circeHi P Q quamproxime. 

L E M M A IV. 

Cylindri, qui secundtim lojigitudinem suam uniformiter progredittcr, 
resistentia ex aucta vel diminuta ejus longittidine 7ion mutatur ; 
ideoqite eadem est ciim resistentia circuli eadem diametro descripti & 
eadem velocitate secundum lineam rectamplano ipsitcs perpendictdarem 
progredientis. 

Nam latera cyHndri motui ejus minlme opponuntur : & 
cyHndrus, longitudine ejus in infinitum dlmlnuta, in circulum 
vertitur. 



36 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX. 

Cylindrij . qni in Jinido co77ipresso infinito & no7t elastico secundum 
longitudinem suam tmiformiter progreditur, resistentia, qucB 
oritur a magnitudijie sectionis tranverscs, est ad vim qua totus 
ejus motus, interea dicm quadruplum longitiidinis S7ice describit, 
vel tolli possit vel generari, ut densitas medii ad dejtsitatem 
cylindri quamproxiffie. 

Nam si vas A BD C fundo suo CD su- 
perficiem aquse stagnantis tangat, & aqua 
ex hoc vase per canalem cylindricum 
EFTS horizonti perpendicularem in 
aquam stagnantem effluat, locetur autem 
circellus PQ horizonti parallelus ubivis 
in medio canaHs, & producatur C^ ad 
K, ut ^\\.AK2ACK in duplicata ratione 
quam habet excessus orificii canalis E F 
supra circellum P Q z.A circulum AB: 
manifestum est (per cas. 5 cas. 6 & cor. 
I prop. xxxvi) quod velocitas aquse, 
transeuntis per spatium annulare inter circelkim & latera vasis, ea erit 
quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem KC vel 
/ G acquirere potest. 

Et (per corol. x prop. xxxvi) si vasis latitudo sit infinita, ut 
lineola JY/ evanescat & altitudines I G, H G aequentur : vis aquse 
defluentis in circellum erit ad pondus cylindri cujus basis est circellus 
ille & altitudo est ll G, ut E Fq ad E Fq — IP Qq, quam proxime. 
Nam vis aquse, uniformi motu defluentis per totum canalem, eadem 
erit in circellum P Q, in quacunque canalis parte locatum. 

Claudantur jam canalis orificia E F, S T^ & ascendat circellus in 
fluido undique compresso & ascensu suo cogat aquam superiorem 
descendere per spatium annulare inter circellum & latera canalis : 
& velocitas circelli ascendentis erit ad velocitatem aquse descen- 
dentis ut differentia circulorum EF & PQ ad circulum PQ, & 
velocitas circelli ascendentis ad summam velocitatum, hoc est, ad 



K 




I 


li 


^ 




B 


C 


i 






?_? 


E 




S 


i' 



LIBER SECUNDUS. 337 

•velocitatem relatlvam aquae descendentis qua prseterfluit circellum 
ascendentem, ut differentia circulorum E F & P Q ad circulum 
E F, sive ut E Fq — P Qq ad EFq. Sit illa velocitas relativa 
sequalis velocitati, qua supra ostensum est aquam transire per 
idem spatium annulare dum circellus interea immotus manet, id 
est, velocitati quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem 
/ G acquirere potest : & vis aquae in circellum ascendentem eadem 
erit ac prius (per legum corol. v) id est, resistentia circelli 
ascendentis erit ad pondus cylindri aquae cujus basis est circellus 
ille & altitudo esti /Gj ut EFq ad E Fq — \ P Q q quamproxime. 
Velocitas autem circelli erit ad velocitatem, quam aqua cadendo 
& casu suo describendo altitudinem I G acquirit, ut E Fq — P Q q 
ad E Fq. 

Augeatur amplitudo canalis in infinitum : & fationes illae inter 
EFq — PQq & EFqj interque EFq & EFq —^PQq accedent ultimo 
ad rationes aequalitatis. Et propterea velocitas circelli ea nunc erit 
quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem IG acquirere 
potest, resistentia vero ejus aequalis evadet ponderi cylindri cujus 
basis est circellus ille & altitudo dimidium est altitudinis I G, 2. 
qua cylindrus cadere debet ut velocitatem circelli ascendentis acquirat; 
& hac velocitate cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis 
suae describet. Resistentia autem cylindri, hac velocitate secundum 
longitudinem suam progredientis, eadem est curn resistentia circelli 
(per lemma iv) ideoque sequalis est vi qua motus ejus, interea 
dum quadruplum longitudinis suae describit, generari potest 
quamproxime. 

Si longitudo cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & 
tempus, quo quadruplum longitudinis suae describit, augebitur vel 
minuetur in eadem ratione ; ideoque vis illa, qua motus auctus vel 
diminutus, tempore pariter aucto vel diminuto, generari vel tolli 
possit, non mutabitur; ac proinde etiamnum aequahs est resistentiae 
cylindri, nam & haec quoque immutata manet per lemma iv. 

Si densitas cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & vis 
qua motus eodem tempore generari vel tolH potest, in eadem ratione 
augebitur vel minuetur. Resistentia itaque cylindri cujuscunque 
erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum quadruplum 



33^ 



DE MOTU CORPORUM 



longitudinis suae describit, vel generari possit vel tolli, ut densitas 
medii ad densitatem cylindri quamproxime. Q. E. D. 

Fluidum autem comprimi debet ut sit continuum; continuum 
vero esse debet & non elasticum ut pressio omnis, quae ab ejus com- 
pressione oritur, propagetur in instanti, & in omnes moti corporis 
partes aequaliter agendo resistentiam non mutet. Pressio utique, quae 
a motu corporis oritur, impenditur in motum partium fluidi generandum 
& resistentiam creat. Pressio autem quae oritur a compressione 
fluidi, utcunque fortis sit, si propagetur in instanti, nullum generat 
motum in partibus fluidi continui, nullam omnino inducit motus 
mutationem; ideoque resistentiam nec auget nec minuit. Certe 
actio fluidi, quae ab ejus compressione oritur, fortior esse non 
potest in partes posticas corporis moti quam in ejus partes anticas, 
ideoque resistentiam in hac propositione descriptam minuere non 
potest : & fortior non erit in partes anticas quam in posticas, si 
modo propagatio ejus infinite velocior sit quam motus corporis 
pressi. Infinite autem velocior erit & propagabitur in instanti, si 
modo fluidum sit continuum & non elasticum. 

Co7'ol. I. Cylindrorum, qui secundum longitudines suas in mediis 
continuis infinitis uniformiter progrediuntur, resistentiae sunt in ratione 
quae componitur ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione 
diametrorum & ratione densitatis mediorum. 

CoroL 2. Si amplitudo canalis non 
augeatur in infinitum, sed cylindrus in 
medio quiescente incluso secundum 
longitudinem suam progrediatur, & interea 
axis ejus cum axe canalis coincidat : 

resistentia ejus erit ad vim qua totus ejus c 

motus, quo tempore quadruplum longitu- 
dinis suae describit, vel generari possit vel 
tolli, in ratione quae componitur ex ratione 
EFq ad EFq—kPQq semel, & ratione 
EFq ad EFq—PQq bis, & ratione den- 
sitatis medii ad densitatem cylindri. 

Corol. 3. lisdem positis, & quod longitudo L sit ad quadruplum 
longitudinis cylindri in ratione quae componitur ex ratione EFq — 



K 




I 


L 


A 


: 


B 




Hj 




1 
j 




C 


G; 


D 




£ 


^^ 






S 


1 



LIBER SECUNDUS. 33^ 

\PQq ad E Fq semel, & ratione E Fq—P Qq ad EFq bis : 
resistentia cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum 
longitudinem L describit, vel tolli possit vel generari, ut densitas 
medii ad densitatem cylindri. 

Scholiuni, 

In hac propositione resistentiam investigavimus quae oritur a sola 
magnitudine transversae sectionis cylindri, neglecta resistentiae parte 
quae ab obliquitate motuum oriri possit. Nam quemadmodum in 
casu primo propositionis xxxvi obliquitas motuum, quibus partes 
aquae in vase undique convergebant in foramen E F, impedivit 
effluxum aquae illius per foramen : sic in hac propositione, obliquitas 
motuum, quibus partes aquae ab anteriore cylindri termino pressae, 
cedunt pressioni & undique divergunt, retardat eorum transitum 
per loca in circuitu termini ilHus antecedentis versus posteriores 
partes cylindri, efficitque ut fluidum ad majorem distantiam com- 
moveatur & resistentiam auget, idque in ea fere ratione qua effluxum 
aquae e vase diminuit, id est, in ratione duplicata 25 ad 21 
circiter. Et quemadmodum, in propositionis illius casu primo, 
effecimus ut partes aquae perpendiculariter & maxima copia transirent 
per foramen E F, ponendo quod aqua omnis in vase quae in circuitu 
cataractae congelata fuerat, & cujus motus obliquus erat & inutiHs, 
maneret sine motu : sic in hac propositione, ut obHquitas motuum 
toHatur, & partes aquae motu maxime directo & brevissimo cedentes 
faciUimum praebeant transitum cyHndro, & sola maneat resistentia, 
quae oritur a magnitudine sectionis transversae, quaeque diminui non 
potest nisi diminuendo diametrum cyHndri, concipiendum est quod 
partes fluidi, quarum motus sunt obHqui & inutiles & resistentiam 
creant, quiescant inter se ad utrumque cyHndri terminum, & cohaereant 

&cyHndrojungantur. SitABCD ^^ 

rectangulum, & ^mt A E 81 B E 
arcus duo paraboHci axe A B 

descripti, latere autem recto quod ^' 

sit ad spatium H G, describendum ^ ^ 

a cyHndro cadente dum velocitatem suam acquirit, ut H G did iA B. 

Sint etiam C F 81 D F arcus aHi duo paraboHci, axe CD 81 latere 



^.Q DE MOTU CORPORUM 

recto quod slt prioris lateris . recti quadruplum descriptl ; & con- 
volutione figurse clrcum axem EF generetur solldum cujus medla 
pars ABDCsxt cyllndrus de quo aglmus, & partes extremae A B E 
& Ci^/^ contlneant partes fluldl Inter se qulescentes & in corpora 
duo riglda concretas, quae cylIndro'utrInque tanquam caput & cauda 

adh^reant. Et solldi ^^C/^Z^^, ^ ^g 

secundum longltudlnem axis sui ^ ^ 

FE In partes versus E progred- „. j i -\ 

ientis, reslstentla ea erit quamprox- #• | ^ .-•''' ^ 

ime quam in hac proposltlone ^ ^ 

descrlpsimus, id est, quse ratlonem illam habet ad vlm qua totus 
cyHndri motus, interea dum longltudo ^A C motu illo unlformlter 
contlnuato descrlbatur, vel tolli possit vel generari, quam densltas 
fluldi habet ad densltatem cyhndri quamproxime. Et hac vi 
reslstentia mlnor esse non potest quam in ratione 2 ad 3, per corol. 7 
prop. XXXVI. 

L E M M A V. 

Si cylindruSy sphcera & sphcErois, quortim latitudines su7it cBquales, 
in medio canalis cylindrici ita locefitur successive ut eorum axes cum 
axe canalis coincidant : hcEC corpora fluxum aqtccB per canalem 
cequaliter impedient, 

Nam spatla inter canalem & cyHndrum, sphaeram & sphseroldem 
per quae aqua transit, sunt aequaha : & aqua per aequaha spatia 
sequahter transit. 

Haec ita se habent ex hypothesi, quod aqua omnis supra 
cyhndrum sphaeram vel sphaeroldem congelatur, cujus fluiditas ad 
celerrimum aquae transitum non requiritur, ut in corol. 7 prop. 
xxxvi exphcui. 



LIBER SECUNDUS. 341 



L E M M A VI 



lisdem positis, corpora prcBdicta cequaliter urgentur ab aqua per 

canalem fluente, 

Patet per lemma v & motus legem tertlam. Aqua utlque & 
corpora se mutuo aequallter agunt. 



L E M M A VII. 

Si aqua quiescat in canali, & hcec corpora in partes contrarias cequali 
velocitate per canalem ferantur : ceqiiales eru7it eorum resistenticB 
inter se. 

Constat ex lemmate superlore, nam motus relatlvl Ildem inter se 
manent. 

Scholium. 

Eadem est ratlo corporum omnlum convexorum & rotundorum, 
quorum axes cum axe canalls colncldunt. Dlfferentla allqua ex majore 
vel mlnore frlctlone orlrl potest ; sed In hls lemmatls corpora esse 
politlsslma supponimus, & medil tenacltatem & frlctlonem esse 
nullam, & quod partes fluldl, quae motlbus suis obliquis & superfluls 
fluxum aquae per canalem perturbare, Impedire & retardare possunt, 
qulescant inter se tanquam gelu constrlctae, & corporlbus ad ipsorum 
partes anticas & posticas adhaereant, perlnde ut in scholio propositlo- 
nls praecedentls exposul. Agitur enim in sequentibus de resistentia 
omnium minima quam corpora rotunda, datis maxlmis sectionibus 
transversis descrlpta, habere possunt. 

Corpora fluidis innatantia, ubl moventur In directum, efliciunt 
ut fluidum ad partem antlcam ascendat, ad postlcam subsidat, prae- 
sertlm sl figura sint obtusa; & inde reslstentiam paulo majorem 
sentlunt quam si capite & cauda slnt acutis. Et corpora in fluidls 
elasticis mota, sl ante & post obtusa sint, fluldum paulo magis 
condensant ad anticam partem & paulo magis relaxant ad posticam ; 
& inde resistentiam paulo majorem sentiunt quam sl capite & cauda 
sint acutis. Sed nos In his lemmatis & proposltionibus non agimus 



342 



DE MOTU CORPORUM 



de fluidis elasticis, sed de non elasticis ; non de insidentibus 
fluido, sed de alte immersis. Et ubi resistentia corporum in fluidis 
non elasticis innotescit, augenda erit hsec resistentia aliquantulum 
tam in fluidis elasticis, qualis est aer, quam in superficiebus fluidorum 
stagnantium, qualia sunt maria & paludes. 



PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XXX. 

Glodty in fluido compresso infinito & non elastico tmiformiter' 
progredientis^ resistentia est ad vim qua totus ejus motuSy quo tempore 
octo tertias partes diametri sucE describit, vel tolli possit vel ge^ieraH, 
ut densitas fluidi ad densitatem globi quamproxime. 

Nam globus est ad cylindrum circumscriptum ut duo ad tria ; 
& propterea vis illa, quae tollere possit motum omnem cylindri interea 
dum cylindrus describat longitudinem quatuor diametrorum, globi 
motum omnem tollet interea dum globus describat duas tertias 
partes hujus longitudinis, id est, octo tertias partes diametri proprise. 
Resistentia autem cylindri est ad hanc vim quamproxime ut 
densitas fluidi ad densitatem cyHndri vel globi per prop. xxxvii & 
resistentia globi sequalis est resistentiae cylindri per lem. v, vi, vii. 
Q-E.D. 

Corol. i. Globorum, in mediis compressis infinitis, resistentise 
sunt in ratione quse componitur ex duplicata ratione velocitatis & 
duplicata ratione diametri & ratione densitatis mediorum. 

Corol. 2. Velocitas maxima quacum globus, vi ponderis sui 
comparativi, in fluido resistente potest descendere, ea est quam 
acquirere potest globus idem, eodem pondere, sine resistentia cadendo 
& casu suo describendo spatium quod sit ad quatuor tertias partes 
diametri suse ut densitas globi ad densitatem fluidi. Nam globus 
tempore casus sui, cum velocitate cadendo acquisita, describet spatium 
quod erit ad octo tertias diametri suse, ut densitas globi ad 
densitatem fluidi : & vis ponderis motum hunc generans erit ad 
vim quse motum eundem generare possit, quo tempore globus 
octo tertias diametri suse eadem velocitate describit, ut densitas 



LIBER SECUNDUS. 343 

fluidi ad densitatem globi ; ideoque per hanc propositionem, vis 
ponderis aequalis erit vi resistentiae, & propterea globum accelerare 
non potest. 

Corol. 3. Data & densitate globi & velocitate ejus sub initio 
motus, ut & densitate fluidi compressi quiescentis in qua globus 
movetur ; datur ad omne tempus & velocitas globi & ejus resistentia 
& spatium ab eo descriptum, per corol. 7 prop. xxxv. 

Corol. 4. Globus in fluido compresso quiescente ejusdem secum 
densitatis movendo dimidiam motus sui partem prius amittet quam 
longitudinem duarum ipsius diametrorum descripserit, per idem 
corol. 7. 



PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXI. 

Globiy per fiuidum in canali cylindrico clausum & compressum 
U7iiformiter progredientis, resistentia est ad vim, qua tottcs ejus 
motuSy interea dum octo tertias partes diametri sucb descridit, 
vel generari possit vel tolli, in ratione quce componitur ex 
ratione orificii canalis ad excessum kujtcs orificii supra 
dimidium circuli maxifni globi, & ratione duplicata orificii 
canalis ad excessum hujus orificii supra circulum maximum 
globi, & ratione densitatis fiuidi ad densitatem globi quam- 
proxime. 

Patet per corol. 2 prop. xxxvii : procedit vero demonstratio 
quemadmodum in propositione prsecedente. 

Scholium. 

In propositionibus duabus novissimis (perinde ut in lem. v) 
suppono quod aqua omnis congelatur quse globum prsecedit, & cujus 
fluiditas auget resistentiam globi. Si aqua illa omnis liquescat, 
augebitur resistentia aliquantulum. Sed augmentum illud in his 
propositionibus parvum erit & negHgi potest, propterea quod convexa 
superficies globi totum fere oflicium glaciei faciat. 



344 ^^ MOTV CORPORUM 



PROPOSITIO XL. PROBLEMA IX. 

Globi, in medio flicidissimo compresso progredientis, invenire resistentiam 

per phcsnometia. ija 

Sit A pondus globi in vacuo, B pondus ejus- in medio resistente, 
D diameter globi, F spatium quod sit ad * D ut densitas globi ad 
densitatem medii, id est, ut A ad A — B, G tempus quo globus pondere 
B sine resistentia cadendo describit spatium F, & H velocitas quam 
globus hocce casu suo acquirit. Et erit H velocitas maxima quacum 
globus, pondere suo B, in medio resistente potest descendere, 
per corol. 2 prop. xxxviii : & resistentia, quam globus ea cum 
velocitate descendens patitur, sequalis erit ejus ponderi B : resistentia 
vero, quam patitur in alia quacunque velocitate, erit ad pondus B in 
duplicata ratione velocitatis hujus ad velocitatem illam maximam H, 
per corol. i prop. xxxviii. 

Haec est resistentia quse oritur ab inertia materiae fluidi. Ea vero 
quse oritur ab elasticitate, tenacitate, & frictione partium ejus, sic 
investigabitur. 

Demittatur globus ut pondere suo B in fluido descendat ; & sit 
P tempus cadendi, idque in minutis secundis si tempus G in minutis 
secundis habeatur. Inveniatur numerus absolutus N qui con- 

2 P 

gruit logarithmo 0,4342944819 -T^, sitque L logarithmus numeri 

N + 1 _ . N— I 

-^- :. & velocitas cadendo acquisita erit ^ H, altitudo autem 

2PF 
descripta ^xiX.—^ — 1,3862943611 F + 4,6051 701 86 LF. Si fluidum 

satis profundum sit, negligi potest terminus 4,6051 701 86LF ; 

2PF 
& erit -jp 1,3862943611 F altitudo descripta quamproxime. Pa- 

tent haec per Hbri secundi propositionem nonam & ejus corollaria, 
ex hypothesi quod globus nullam aHam patiatur resistentiam nisi quae 
oritur ab inertia materise. Si vero aliam insuper resistentiam patiatur, 
descensus erit tardior, & ex retardatione innotescet quantitas hujus 
resistentiae. 



LIBER SECUNDUS. 



345 



Ut corporis in fluido cadentis velocitas & descensus facilius 

innotescant, composui tabulam sequentem, cujus columna prima 

denotat tempora descensus, secunda exhibet velocitates cadendo 

acquisitas existente velocitate maxima loooooooo, tertia exhibet 

spatia temporibus ilHs cadendo descripta, existente 2 F spatio quod 

corpus tempore G cum velocitate maxima describit, & quarta exhibet 

spatia iisdem temporibus cum velocitate maxima descripta. Numeri 

2 P 
in quarta columna sunt -pr-, & subducendo numerum 1,3862944 — 

4,605 1 702 L, inveniuntur numeri in tertia columna, & multipHcandi 
sunt hi numeri per spatium F ut habeantur spatia cadendo descripta. 
Quinta his insuper adjecta est columna, quae continet spatia 
descripta iisdem temporibus a corpore, vi ponderis sui comparativi B, 
in vacuo cadente. 



Tempora 


Velocitates cadentis 


Spatia cadendo descripta 


Spatia motu 


Spatia cadendo 


P 


influido. 


influido. 


maximo descripta. 


descripta in vacuo. 


0,001 G 


99999IS 


0,000001 F 


0,002 F 


0,000001 F 


0,01 G 


999967 


0,0001 F 


0,02 F 


0,0001 F 


0,1 G 


9966799 


0,0099834 F 


0,2 F 


0,01 F 


0,2 G 


19737532 


0,0397361 F 


0,4 F 


0,04 F 


0,3 G 


29131261 


0,0886815 F 


0,6 F 


0,09 F 


0,4 G 


37994896 


0,1559070 F 


0,8 F 


0,16 F 


0,5 G 


46211716 


0,2402290 F 


1,0. F 


0,25 F 


0,6 G 


53704957 


0,3402706 F 


1,2 F 


0,36 F 


0,7 G 


60436778 


0,4545405 F 


1,4 F 


0,49 F 


0,8 G 


66403677 


0,5815071 F 


1,6 F 


0,64 F 


0,9 G 


71629787 


0,7196609 F 


1,8 F 


0,81 F 


I G 


76159416 


0,8675617 F 


2 F 


I F 


2 G 


96402758 


2,6500055 F 


4F 


4 F 


3 G 


99505475 


4,6186570 F 


6 F 


9 F 


4 G 


99932930 


6,6143765 F 


8 F 


16 F 


5 G 


99990920 


8,6137964 F 


10 F 


25 F 


6 G 


99998771 


10,6137179 F 


12 F 


36 F 


7 G 


99999834 


12,6137073 F 


,4F 


49 F 


8 G 


99999980 


14,6137059 F 


16 F 


64 F 


9 G 


99999997 


16,6137057 F 


18 F 


81 F 


10 G 


99999999I 


18,6137056 F 


20 F 


100 F 



Scholium. 
Ut resistentias fluidorum investigarem per experimenta, paravi 



346 D^ MOTU CORPORUM 

vas ligneum quadratum, longitudine & latitudine interna digitorum 
novem pedis LondinensiSy profunditate pedum novem cum semisse, 
idemque . implevi aqua pluviali ; & globis ex cera & plumbo 
incluso formatis, notavi tempora descensus globorum, existente 
descensus altitudine 1 1 2 digitorum pedis, Pes solidus cubicus 
Londinensts continet 76 libras Romanas aquse pluvialis, & pedis 
hujus digitus solidus continet ^ uncias librae hujus seu grana ^ 5 3 J ; 
& globus aqueus diametro digiti unius descriptus continet grana 
132,645 in medio aeris, vel grana 132,8 in vacuo ; & globus quilibet 
alius est ut excessus ponderis ejus in vacuo supra pondus ejus in 
aqua. 

Exper, I. Globus, cujus pondus erat 156J granorum in aere & 
77 granorum in aqua, altitudinem totam digitorum 112 tempore 
minutorum quatuor secundorum descripsit. Et experimento repe- 
tito, globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor 
secundorum. 

Pondus globi in vacuo est.156^ gran. & excessus hujus ponderis 
supra pondus globi in aqua est 79^! gran, Unde prodit globi 
diameter 0,84224 partium digiti. Est autem ut excessus ille ad 
pondus globi in vacuo, ita densitas aquse ad densitatem globi, & 
ita partes octo tertiae diametri globi (ms. 2,24597 dig.) ad spatium 
2 F, quod proinde erit 4,4256 dig. Globus tempore minuti unius 
secundi, toto suo pondere granorum 156JI, cadendo in vacuo describet 
digitos 193^; & pondere granorum 77, eodem tempore, sine 
resistentia cadendo in aqua describit digitos 95,219; & tempore 
G, quod sit ad minutum unum secundum in subdupHcata ratione 
spatii F seu 2,2128 dig. ad 95,219 dig. describet 2,2128 dig. & 
velocitatem maximam H acquiret quacum potest • in aqua descendere. 
Est igitur tempus G 0^^15244. Et hoc tempore G, cum 
velocitate illa maxima H, globus describet spatium 2 F digitorum 
4,4256; ideoque tempore minutorum quatuor secundorum describet 
spatium digitorum 116,1245. Subducatur spatium 1,3862944 F 
seu 3,0676 dig. & manebit spatium 113,0569 digitorum quod globus 
cadendo in aqua, in vase amplissimo, tempore minutorum qua- 
tuor secundorum describet. Hoc spatium, ob angustiam vasis 
lignei praedicti, minui debet in ratione quae componitur ex 



LIBER SECUNDUS. 347 

subduplicata ratlone orificii vasis ad excessum orificii hujus supra 
semicirculum maximum globi & ex simplici ratione orificii ejusdem 
ad excessum ejus supra circulum maximum globi, id est, in ratione 
I ad 0,9914. Quo facto, habebitur spatium 112,08 digitorum, quod 
globus cadendo in aqua in hoc vase ligneo tempore minutorum 
quatuor secundorum per theoriam describere debuit quamproxime. 
Descripsit vero digitos 112 per experimentum. 

Exper. 2. Tres globi sequales, quorum pondera seorsim erant 
1^\ granorum in aere & 5^3. granorum in aqua, successive demitte- 
bantur ; unusquisque cecidit in aqua tempore minutorum secun- 
dorum quindecim, casu suo describens altitudinem digitorum 112. 

Computum ineundo prodeunt pondus globi in vacuo 76^ gran, 
excessus hujus ponderis supra pondus in aqua 71^ gran. diameter 
globi 0,81296 dig. octo tertiae partes hujus diametri 2,16789 dig. 
spatium 2 F 2,3217 dig. spatium quod globus pondere ^^ gran. 
tempore i^'' sine resistentia cadendo describat 12,808 dig. 81 tempus 
G o^', 30 105 6. Globus igitur, velocitate maxima quacum potest 
in aqua vi ponderis ^^ gran. descendere, tempore 0^^301056 describet 
spatium 2,3217 dig. & tempore 15'' spatium 115,678 dig. Subducatur 
spatium 1,3862944 F seu 1,609 ^-^^- & manebit spatium 114,069 dig. 
quod proinde globus eodem tempore in vase latissimo cadendo 
describere debet. Propter angustiam vasis nostri detrahi debet 
spatium 0,895 dig. circiter. Et sic manebit spatium 113,174 dig. 
quod globus cadendo in hoc vase, tempore 1 5'' describere debuit per 
theoriam quamproxime. Descripsit vero digitos 112 per experi- 
mentum. Differentia est insensibiHs. 

Exper. 3. Globi tres sequales, quorum pondera seorsim erant 
121 gran. in aere & i gran. in aqua, successive demittebantur ; & 
cadebant in aqua temporibus 46^', 47'^ & 50'^ describentes 
altitudinem digitorum 112. 

Per theoriam hi globi cadere debuerunt tempore 40'' circiter. 
Quod tardius ceciderunt, utrum minori proportioni resistentiae, 
quae a vi inertiae in tardis motibus oritur, ad resistentiam quae oritur 
ab aliis causis tribuendum sit; an potius bulluHs nonnullis globo 
adhaerentibus, vel rarefactioni cerae ad calorem vel tempestatis vel 
manus globum demittentis, vel etiam erroribus insensibihbus in 



348 DE MOTU CORPORUM 

ponderandis globis in aqua, incertum esse puto. Ideoque pondus 
globi in aqua debet esse plurium granorum, ut experimentum certum 
& fide dignum reddatur. 

Exper. 4. Experimenta hactenus descripta ccepi, ut investigarem 
resistentias fluidorum, antequam theoria in propositionibus proxime 
praecedentibus exposita mihi innotesceret. Postea, ut theoriam 
inventam examinarem, paravi vas Hgneum latitudine interna digitorum 
81, profunditate pedum quindecim cum triente. Deinde ex cera 
& plumbo incluso globos quatuor formavi, singulos pondere 1 39J 
granorum in aere & 7|. granorum in aqua. Et hos demisi ut 
tempora cadendi in aqua per pendulum, ad semi-minuta secunda 
oscillans, mensurarem. Globi, ubi ponderabantur & postea cadebant, 
frigidi erant & aHquamdiu frigidi manserant ; quia calor ceram 
rarefacit, & per rarefactionem diminuit pondus globi in aqua, & 
cera rarefacta non statim ad densitatem pristinam per frigus 
reducitun Antequam caderent, immergebantur penitus in' aquam ; 
ne pondere partis aHcujus ex aqua extantis descensus eorum sub 
initio acceleraretur. Et ubi penitus immersi quiescebant, demitte- 
bantur quam cautissime, ne impulsum aHquem a manu demittente 
acciperent. Ceciderunt autem successive temporibus osciHationum 
47J, 481, 50 & 51, describentes altitudinem pedum quindecim & 
digitorum duorum. Sed tempestas jam paulo frigidior erat quam 
cum globi ponderabantur, ideoque iteravi experimentum aHo die, 
& globi ceciderunt temporibus osciHationum 49, 49^, 50 & 53, ac 
tertio temporibus osciHationum 491, 50, 51 & 53. Et experimento 
saepius capto, globi ceciderunt maxima ex parte temporibus 
osciHationum 49^ & 50. Ubi tardius cecidere, suspicor eosdem 
retardatos fuisse impingendo in latera vasis. 

Jam computum per theoriam ineundo, prodeunt pondus globi 
in vacuo 1392 granorum. Excessus hujus ponderis supra pondus 
globi in aqua 132J1 gran. Diameter globi 0,99868 dig. Octo 
tertiae partes diametri 2,66315 dig. Spatium 2 F 2,8066 dig. 
Spatium quod globus pondere 7J granorum, tempore minuti unius 
secundi, sine resistentia cadendo describit 9,88164 dig. Et tempus 
G o'^, 3 76843. Globus igitur, velocitate maxima, quacum pote^t in 
aqua vi ponderis 71 granorum descendere, tempore 0^^376843 de- 



LIBER SECUNDUS. ^.q 

scrlbit spatium 2,8066 digitorum, & tempore i" spatium 7,44766 
digitorum, & tempore 25" seu oscillationum 50 spatium 186,1915 dig. 
Subducatur spatium 1,386294 F, seu 1,9454 dig. & manebit spatium 
184,2461 dig. quod globus eodem tempore in vase latissimo 
describet. Ob angustiam vasis nostri, minuatur hoc spatium in 
ratione quae componitur ex subduplicata ratione orificii vasis ad 
excessum hujus orificii supra semicirculum maximum globi, & 
simplici ratione ejusdem orificii ad excessum ejus supra circulum 
maximum globi ; & habebitur spatium 181,86 digitorum, quod globus 
in hoc vase tempore oscillationum 50 describere debuit per theoriam 
quamproxime. Descripsit vero spatium 182 digitorum tempore 
oscillationum 49!^ vel 50 per experimentum. 

Exper. 5. Globi quatuor pondere \^\\ gran. in aere & 2\\ gran. 
in aqua saepe demissi cadebant tempore oscillationum 2 81, 29, 29I 
Sc 30, & nonnunquam 31, 32 & 33, descrlbentes altitudinem pedum 
quindecim & digitorum duorum. 

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 29 quam- 
proxlme. 

Exper, 6. Globi qulnque pondere 2 1 2% gran. In aere & 79^ in 
aqua saepe demlssi cadebant tempore osclllationum 15, 15I, 16, 17 
& 18, descrlbentes altltudlnem pedum qulndeclm & dlgitorum 
duorum. 

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 15 quam- 
proxime. 

Exper. 7. Globi quatuor pondere 2(^i\gran. In aere & Z^l gra^t. 
in aqua ssepe demissi cadebant tempore oscillationum 291, 30, 
301» 31» 32 & 33. describentes altitudinem pedum quindecim & dlgltl 
unius cum semisse. 

Per theorlam cadere debuerunt tempore osclllationum 28 quam- 
proxime. 

Causam Investigando cur globorum, ejusdem ponderis & magni- 
tudinis, allqul cltius alii tardlus caderent, in hanc Incldi ; quod globi, 
ubi primum demittebantur & cadere Incipiebant, oscillarent circum 
centra, latere illo quod forte gravlus esset primum descendente, 
& motum oscillatorium generante. Nam per oscillationes suas 
globus majorem motum communlcat aquse, quam si slne oscll- 
latlonibus descenderet ; & communicando amittit partem motus 



350 DE MOTU CORPORUM 

proprii qiio descendere deberet : & pro majore vel minore oscil- 
latione, magis vel minus retardatur. Quinetiam globus recedit 
semper a latere suo quod per oscillationem descendit, & recedendo 
appropinquat lateribus vasis & in latera nonnunquam impingi- 
tur. Et hsec oscillatio in globis gravioribus fortior est, & in 
majoribus aquam magis agitat. Quapropter, ut oscillatio globorum 
minor redderetur, globos novos ex cera & plumbo construxi, 
infigendo plumbum in latus aliquod globi prope superficiem ejus ; 
& globum ita demisi, ut latus gravius, quoad fieri potuit, esset 
infimum ab initio descensus. Sic oscillationes factae sunt multo 
minores quam prius, & globi temporibus minus inaequalibus ceciderunt, 
ut in experimehtis sequentibus. 

Exper. 8. Globi quatuor, pondere granorum 139 in aere & 6\ in 
aqua, saepe demissi, ceciderunt temporibus oscillationum non plu- 
rium quam 52, non pauciorum quam 50, & maxima ex parte tem- 
pore oscillationum 51 circiter, describentes altitudinem digitorum 
182. 

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 52 circi- 
ter. 

Exper. (^. Globi quatuor, pondere granorum 2 73^ in aere & 
I40f in aqua, ssepius demissi, ceciderunt temporibus oscillationum 
non pauciorum quam 12, non plurium quam 13, describentes 
altitudinem digitorum 182. 

Per theoriam vero hi globi cadere debuerunt tempore oscillationum 
iij quamproxime. 

Exper. 10. Globi quatuor, pondere granorum 384 in aere & 
iiQjin aqua, saepe demissi, cadebant temporibus oscillationum 17^, 
18, 18J & 19, describentes altitudinem digitorum 181^. Et ubi 
ceciderunt tempore oscillationum 19, nonnunquam audivi impulsum 
eorum in latera vasis antequam ad fundum pervenerunt. 

Per theoriam vero cadere debuerunt tempore oscillationum 155 
quamproxime. 

Exper. II. Globi tres aequales, pondere granorum 48 in aere & 
311 in aqua, saepe demissi, ceciderunt temporibus oscillationum 43^, 
44. 444. 45 & 46, & maxima ex parte 44 & 45, describentes altitu- 
dinem digitorum 182J quamproxime. 



LIBER SECUNDUS. ^^I 

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 46I cir- 
citer. 

Exper, 12. Globi tres aequales, pondere granorum 141 in aere & 
41 in aqua, aliquoties demissi, ceciderunt temporibus oscillationum 
61, 62, 63, 64, & 65, describentes altitudinem digitorum 182. 

Et per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 64I 
quamproxime. 

Per haec experimenta manifestum est quod, ubi globi tarde 
ceciderunt, ut in experimentis secundis, quartis, quintis, octavis, 
undecimis ac duodecimis, tempora cadendi recte exhibentur per 
theoriam : at ubi globi velocius ceciderunt, ut in experimentis sextis, 
nonis ac decimis, resistentia paulo major extitit quam in duplicata 
ratione velocitatis. Nam globi inter cadendum oscillant aHquantulum; 
& hsec oscillatio in globis levioribus & tardius cadentibus, ob 
motus languorem cito cessat ; in gravioribus autem & majoribus, 
ob motus fortitudinem diutius durat, & non nisi post plures 
oscillationes ab aqua ambienti cohiberi potest. Ouinetiam globi^ quo 
velociores sunt, eo minus premuntur a fluido ad posticas suas partes ; 
& si velocitas perpetuo augeatur, spatium vacuum tandem a 
tergo rehnquent, nisi compressio fluidi simul augeatur. Debet autem 
compressio fluidi (per prop. xxxii & xxxiii) augeri in duplicata 
ratione velocitatis, ut resistentia sit in eadem duplicata ratione. 
Quoniam hoc non fit, globi velociores paulo minus premuntur a tergo, 
& defectu pressionis hujus, resistentia eorum fit paulo major quam in 
duplicata ratione velocitatis. 

Congruit igitur theoria cum phsenomenis corporum cadentium 
in aqua, reHquum est ut examinemus phaenomena cadentium in 
aere. 

Exper. 13. A culmine ecclesise Sancti Pauli, in urbe Londini, 
mense Junio 1710, globi duo vitrei simul demittebantur, unus argenti 
vivi plenus, alter aeris ; & cadendo describebant altitudinem pedum 
Londinensium 220. Tabula Hgnea ad unum ejus terminum poHs 
ferreis suspendebatur, ad alterum pessulo Hgneo incumbebat; & 
globi duo huic tabulae impositi simul demittebantur, subtrahendo 
pessulum ope fiH ferrei ad terram usque demissi ut tabula poHs ferreis 
solummodo innixa super iisdem devolveretur, & eodem temporis 
momento pendulum ad minuta secunda osciHans, per filum 



352 



DE MOTU CORPORUM 



illud ferreum tractum demltteretur & osclllare inciperet. Dlametri & 
pondera globorum ac tempora cadendl exhlbentur In tabula sequente. 



GLOBORUM MERCURIO PLENORUM. 


GLOBORUM AERE PLENORUM. 


Pondera. 


Diametri. 


Tempora 
cadendi. 


Pondera. 


Diametri. 


Tempora 
cadendi. 


908 gran. 

983 
866 

747 
808 
784 


0,8 digit. 

0,8 

0,8 

0,75 

0,75 

0,75 


4" 

4— 

4 

4+ 

4 

4+ 


510 gran. 
642 

599 
515 
483 
641 


5,1 digit. 

5,2 
5,1 
5,0 
5,0 
5,2 


8 

8i 
81 
8" 



Caeterum tempora observata corrigi debent. Nam globi mercu- 
riales (per theoriam Galilm) minutis quatuor secundis describent 
pedes Lojidirmises 257, & pedes 220 minutis tantum 3" \2"'. Tabula 
lignea utlque, detracto pessulo, tardlus devolvebatur quam par 
erat, & tarda sua devolutlone impediebat descensum globorum sub 
initio. Nam globi incumbebant tabulae prope medlum ejus, & 
paulo quldem propiores erant axi ejus quam pessulo. Et hinc tem- 
pora cadendi prorogata fuerunt mlnutis tertils octodeclm circlter, 
& jam corrlgi debent detrahendo illa minuta, praesertim in globls 
majoribus qui tabulae devolventi paulo dlutlus incumbebant propter 
magnltudinem dlametrorum. Quo facto tempora, qulbus globl sex 



8' 



12' 



r 42' 



42' 



r sr 



dlametro digltoruml 
cecidit tempore 8^'^ 
Pondus aquae hulc 



majores cecidere, evadent 

%" I2"\8l f A,2'", 

Globorum Igltur aere plenorum quintus 
quinque pondere granorum 483 constructus, 
\2'", descrlbendo altltudlnem pedum 220. 

globo aequaHs est 1 6600 granorum ; & pondus aerls eldem aequahs 
^st i||oo gran. seu \^^^ gran. ideoque pondus globi in vacuo est 
502,^ gran. & hoc pondus est ad pondus aeris globo aequahs, ut 
502 A ad iqtit, & ita sunt 2 F ad octo tertias partes diametri globi, 
id est, ad 13J dlgitos. Unde 2 F prodeunt 28/^^. 11 dig. Globus 
cadendo in vacuo, toto suo pondere 502A granorum, tempore mlnuti 
unius secundi describlt dlgitos 193^ ut supra, & pondere 483 
gran. describit dlgitos 185,905, & eodem pondere 483 gran. etiam 



LIBER SECUNDUS. 



353 



in vacuo descrlbit spatium F seu 14 ped. 5J dig. tempore 57''' ^^"" , 
& velocitatem maximam acquirit quacum possit in aere descendere. 
Hac velocitate globus, tempore 8''' 12'", describet spatium pedum 
245 & digitorum 5J. Aufer 1,3863 F seu 20 ped. o\ dig. & 
manebunt 225 ped. 5 dig. Hoc spatium igitur globus, tempore Z" 
\2"\ cadendo describere debuit per theoriam. Descripsit vero 
spatium 220 pedum per experimentum. Differentia insensibilis est. 
Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos applicatis, 
confeci tabulam sequentem. 



Globorum 
pondera. 


Diametri. 


Tempora cadendi 
ab altitudine 
pedum 220 


Spatia describenda 
per theoriam. 


Excesstcs. 


$10 gran. 

642 

599 

515 

483 

641 


5»i <ik' 

5,2 

5,1 

5 
5 

5,2 


8- 12'" 
7 42 
7 42 

7 57 

8 12 

7 42 


226 ped. II dig. 
230 9 
237 10 

224 5 

225 5 
230 7 


6 ped. II dig. 
10 9 

7 10 

4 5 

5 5 
10 7 



Exper, 14. Anno 1719. mense Julio D. Desaguliers hujusmodi 
experimenta iterum cepit, formando vesicas porcorum in orbem 
sphaericum ope sphserae ligneae concavae ambientis, quam madefactae 
implere cogebantur inflando aerem ; & hasce arefactas & exemptas 
demittendo ab altiore loco in templi ejusdem turri rotunda fornicata, 
nempe ab altitudine pedum 272; & eodem temporis momento 
demittendo etiam globum plumbeum cujus pondus erat duarum 
librarum Romanarum circiter. Et interea aHqui stantes in suprema 
parte templi, ubi globi demittebantur, notabant tempora tota cadendi, 
& alii stantes in terra notabant differentiam temporum inter casum 
globi plumbei & casum vesicae. Tempora autem mensurabantur 
pendulis ad dimidia niinuta secunda oscillantibus. Et eorum qui 
in terra stabant unus habebat horologium cum elatere ad singula 
minuta secunda quater vibrante ; alius habebat machinam aliam 
affabre constructam cum pendulo etiam ad singula minuta secunda 
quater vibrante. Et similem machinam habebat unus eorum qui 
stabant in summitate templi. Et haec instrumenta ita formabantur, 

z 



354 



DE MOTU COBPORUM 



ut motus eorum pro lubitu vel inciperent vel sisterentur. Globus 
autem plumbeus cadebat tempore minutorum secundorum quatuor 
cum quadrante circiter. Et addendo hoc tempus ad praedictam 
temporis differentiam, colligebatur tempus totum quo vesica cecidit. 
Tempora, quibus vesicae quinque post casum globi plumbei prima 
vice ceciderunt, erant 14!'^ 12%' \ \^V\ \^V\ & i6f'^ & secunda 
vice \\V\ \\\", 14'', 19'', & \t\'\ Addantur d^\" , tempus utique 
quo globus plumbeus cecidit, & tempora tota, quibus vesicae 
quinque ceciderunt, erant prima vice 19'', 17'^, \Zy\ 22^^, & 2\\" \ 
& secunda vice, 18!'^ iSy, i8r'', 231-'', & 2\", Tempora autem 
in summitate tempH notata erant prima vice 19!'', \^\'\ i8J^', 



22^ 



& 2ir ; & secunda vice 19^ iSr, i8r, 24^ & 21^. Cse- 
terum vesicae non semper recta cadebant, sed nonnunquam volitabant, 
& hinc inde oscillabantur inter cadendum. Et his motibus tempora 
cadendi prorogata sunt & aucta nonnunquam dimidio minuti 
unius secundi, nonnunquam minuto secundo toto. Cadebant 
autem rectius vesica secunda & quarta prima vice ; & prima ac 
tertia secunda vice. Vesica quinta rugosa erat & per rugas suas 
nonnihil retardabatur. Diametros vesicarum deducebam ex earum 
circumferentiis filo tenuissimo bis circundato mensuratis. Et theoriam 
contuH cum experimentis in tabula sequente, assumendo densitatem 
aeris esse ad densitatem aquae pluvialis ut i ad 860, & computando 
spatia quae globi per theoriam describere debuerunt cadendo. 



Vesicarum 
pondera. 


Diametri. 


Tempora cadendi 
ab altitudine 
pedum 272. 


Spatia iisdem temporibus 
describenda per theoriam. 


Differentia inter theor. 

" dr» exper. 


12S gran. 

156 

i37i 

99J 


5,28 dig 

5»i9 

5»3 

5,26 

5 


19' 

22 


2^1 ped. II dig. 
272 o^ 
272 7 
277 4 
282 


— ped. I dig. 
+ o^ 
+ 7 

+ 5 4 
-|- 10 



Globorum igitur tam in aere quam in aqua motorum resistentia 
prope omnis per theoriam nostram recte exhibetur, ac densitati 
fluidorum, paribus globorum velocitatibus ac magnitudinibus, pro- 
portionaHs est. 



LIBER SECUND US. ^cc 

In scholio, quod sectioni sextse subjunctum est, ostendimus per 
experimenta pendulorum quod globorum aequalium & sequivelocium 
in aere, aqua, & argento vivo motorum resistentiae sunt ut fluidorum 
densitates. Idem hic ostendimus magis accurate per experimenta 
corporum cadentium in aere & aqua. Nam pendula singuHs oscil- 
lationibus motum cient in fluido motui penduli redeuntis semper 
contrarium, & resistentia ab hoc motu oriunda, ut & resistentia fili 
quo pendulum suspendebatur, totam penduli resistentiam majorem 
reddiderunt quam resistentia quae per experimenta corporum caden- 
tium prodiit. Etenim per experimenta pendulorum in scholio illo 
exposita, globus ejusdem densitatis cum aqua, describendo longitu- 
dinem semidiametri suae in aere, amittere deberet motus sui partem 
^^. At per theoriam in hac septima sectione expositam & expe- 
rimentis cadentium confirmatam globus idem describendo longitudinem 
eandem amittere deberet^ motus sui partem tantum .^^, posito 
quod densitas aquae sit ad densitatem aeris ut 860 ad i. Resistentiae 
igitur per experimenta pendulorum majores prodiere (ob causas jam 
descriptas) quam per experimenta globorum cadentium, idque in 
ratione 4 ad 3 circiter. Attamen cum pendulorum in aere, aqua & 
argento vivo oscillantium resistentiae a causis similibus similiter 
augeantur, proportio resistentiarum in his mediis, tam per experimenta 
pendulorum, quam per experimenta corporum cadentium, satis recte 
exhibebitur. Et inde concludi potest quod corporum in fluidis 
quibuscunque fluidissimis motorum resistentiae, caeteris paribus, sunt 
ut densitates fluidorum. 

His ita stabilitis, dicere jam licet quamnam motus sui partem glo- 
bus quilibet, in fluido quocunque projectus, dato tempore amittet 
quamproxime. Sit D diameter globi, & V velocitas ejus sub initio 
motus, & T tempus, quo globus velocitate V in vacuo describet 
spatium, quod sit ad spatium | D ut densitas globi ad densitatem fluidi : 
& globus in fluido illo projectus, tempore quovis alio /, amittet 

/V TV 
velocitatis suae partem Tp — : , manente parte 7^ , & describet 

spatium, quod «it ad spatium uniformi velocitate V eodem tempore 
descriptum in vacuo, ut logarithmus numeri >p multiplicatus per 



356 DE MOTU CORPORUM 

t 
numerum 2,302585093 est ad numerum qF- , per corol. 7 prop. 

XXXV. In motibus tardis resistentia potest esse paulo minor propterea 
quod figura globi paulo aptior sit ad motum quam figura cylindri 
eadem diametro descripti. In motibus velocibus resistentia potest esse 
paulo major, propterea quod elasticitas & compressio fluidi non 
augeantur in duplicata ratione velocitatis. Sed hujusmodi minutias 
hic non expendo. 

Et quamvis aer, aqua, argentum vivum & similia fluida, per di- 
visionem partium in infinitum, subtiliarentur & fierent media infinite 
fluida ; tamen globis projectis haud minus resisterent. Nam 
resistentia, de qua agitur in propositionibus praecedentibus, oritur 
ab inertia materise & inertiae materiae corporibus essentialis est & 
quantitati materiae semper proportionalis. Per divisionem partium 
fluidi, resistentia quae oritur a tenacitate & frictione partium diminui 
quidem potest : sed quantitas materiae per divisionem partium ejus 
non diminuitur ; & manente quantitate materiae, manet ejus vis 
inertiae, cui resistentia, de qua hic agitur, semper proportionalis est. 
Ut haec resistentia diminuatur, diminui debet quantitas materiae in 
spatiis per quae corpora moventur. Et propterea spatia coelestia, 
per quae globi planetarum & cometarum in omnes partes liberrime 
& sine omni motus diminutione sensibili perpetuo moventur, fluido 
omni corporeo destituuntur, si forte vapores longe tenuissimos & 
trajectos lucis radios excipias. 

Projectilia utique motum cient in fluidis progrediendo, & hic 
motus oritur ab excessu pressionis fluidi ad projectilis partes anticas 
supra pressionem ad ejus partes posticas, & non minor esse potest 
in mediis infinite fluidis quam in aere, aqua & argento vivo pro 
densitate materiae in singuHs. Hic autem pressionis excessus, pro 
quantitate sua, non tantum motum ciet in fluido, sed etiam agit 
in projectile ad motum ejus retardandum : & propterea resistentia 
in omni fluido est ut motus in fluido a projectili excitatus, nec minor 
esse potest in aethere subtilissimo pro densitate aetheris, quam in aere, 
aqua & argento vivo pro densitatibus horum fluidorum. 



LIBER SECUNDUS. 



357 



SECTIO VIII. 

De motu per fluida propagato. 

PROPOSITIO XLI. THEOREMA XXXII. 

Pressio non propagatitr per fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi 
particulce fluidi in directum jacent. 




Si jaceant partlculse a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pres- 
sio directe propagari ah a2id e ; at particula e urgebit particulas oblique 
positas f 81 g oblique, & particulae illae / 8i g non sustinebunt 
pressionem illatam, nisi fulciantur a particulis ulterioribus h 81 k ; 
quatenus autem fulciuntur, premunt particulas fulcientes ; & hae non 
sustinebunt pressionem nisi fulciantur ab ulte- 
rioribus l 81 m easque premant, & sic deinceps 
in infinitum. Pressio igitur, quum primum 
propagatur ad particulas quae non in directum 
jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur 
in infinitum ; & postquam incipit oblique 
propagari, si inciderit in particulas ulteriores, 
quae non in directum jacent, iterum divaricabit ; idque toties, quoties 
in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D. 

Corol. Si pressionis, a dato puncto per fluidum propagatae, pars 
aliqua obstaculo intercipiatur ; pars reliqua, quae non intercipitur, 
divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam demon- 
strari potest. A puncto A propagetur pressio quaquaversum, idque 
si fieri potest secundum lineas rectas, & obstaculo iVi^ CA^perfora- 
to in B C intercipiatur ea omnis, praeter partem coniformem A P Q, 
quae per foramen circulare B C transit. Planis transversis de, fg, 
h i distinguatur conus A P Q va frusta ; & interea dum conus A B C, 
pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in 
superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fg ih in 
superficie/^, & frustum illud urget frustum tertium, & sic deinceps 
in infinitum ; manifestum est (per motus legem tertiam) quod fru- 



358 



DE MOTU CORPORUM 



stum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur 
& premetur in superficie fg, quantum urget & premit frustum 
illud secundum. Frustum igitur degfm\.^r conum AdeSi frustum 
fhig comprimitur utrinque, & propterea (per corol. 6 prop. xix) 
figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. 
Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de, fg, cona- 




bitur cedere ad latera df, eg ; ibique (cum rigidum non sit, sed 
omnimodo fluidum) excurret ac dilatabitur, nisi fluidum ambiens 
adsit quo conatus iste cohibeatur. Proinde conatu excurrendi, 
premet tam fluidum ambiens ad latera df eg quam ix\x^\x\m f g h i 
eodem impetu ; & propterea pressio non minus propagabitur a 
lateribus df eg in spatia NO.KL hinc inde, quam propagatur a 
superficie fg versus P Q. Q, E, D. 



LIBER SECUNDUS. 



359 



PROPOSITIO XLII. THEOREMA XXXIII. 

Motus omnis per fiuidtim propagatus divergit a recto tramite in 

spatia immota. 

Cas. I. Propagetur motus a puncto A per foramen B C, pergat- 
que, si fieri potest, in spatio conico B CQP secundum lineas rectas 
divergentes a puncto A. Et ponamus primo quod motus iste sit 
undarum in superficie stagnantis aquse. Sintque de, fg, ki, kl, 
&c. undarum singularum partes altissimae, vallibus totidem inter- 




mediis ab invicem distinct^. Igitur quoniam aqua in undarum 
juo-is altior est quam in fluidi partibus immotis L K, N O, defluet 
eadem de jugorum terminis ., g. i /, &c. ^, / K ^, &c. hinc mde 
versus K L & N : 8i quoniam in undarum vallibus depressior est 
quaminfluidi partibus immotis K L, N O ; defluet eadem de parti- 
bus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum juga, 
posteriore valles hinc inde dilatantur & propagantur versus KL^ 



,6o 



DE MOTU CORPORUM 



N O. Et quoniam motus undarum ab A versus P Q ^X. per conti- 
nuum defluxum jugorum in valles proximos, ideoque celerior non 
est quam pro celeritate descensus ; & descensus aquse hinc inde 
versus KL & N O eadem velocitate peragi debet; propagabitur 
dilatatio undarum hinc inde versus K L 8l N O eadem velocitate 
qua undae ipsae ab A versus P Q recta progrediuntur. Proindeque 
spatium totum hinc inde versus KL & NO ab undis dilatatis r/^ r, 
shisy tklt, vmiiVy &c. occupabitur. Q.E.D, Heec ita se habere 
quilibet in aqua stagnante experiri potest. 






m. 



""""iiiii 



""""11,,.. 



m 



m 






^^^ 






^ 



^^ 




— ,i.rtttW 



Cas. 2. Ponamus jam quod ^^,/^, ^i, kl,mn designent pulsus a 
puncto A per medium elasticum successive propagatos. Pulsus 
propagari concipe per successivas condensationes & rarefactiones 
medn sic ut pulsus cujusque pars densissima spharicam occupet 
superficem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos 
ffiqualia mtercedant intervalia. Designent autem \m^2t dejg, hi, 
kl,&c. densissimas pulsuum partes, per foramen BC propagatas 
Et quoniam medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus 
KL &JVO, dilatabit sese tam versus spatia illa /^L, NO utrinque 



LIBER SECUNDUS. »6l 

sita, quam versus pulsuum rariora intervalla ; eoque pacto rarius 
semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione 
pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum 
progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum 
versus antecedentia intervalla rariora ; & pulsus eadem fere celeritate 
sese in medii partes quiescentes K L, N O hinc inde relaxare debent; 
pulsus illi eadem fere celeritate sese dilatabunt undique in spatia 
immota K L, N O, qua propagantur directe a centro A ; ideoque 
spatium totum K L O N occupabunt. Q.E.D. Hoc experimur in 
sonis, qui vel monte interposito audiuntur, vel in cubiculum per 
fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis 
omnibus audiuntur, non tam reflexi a parietibus oppositis, quam a 
fenestra directe propagati, quantum ex sensu judicare licet. 

Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis 
propagetur ab A per foramen B C : 8i quoniam propagatio ista non 
fit, nisi quatenus partes medii centro A propiores urgent commovent- 
que partes ulteriores ; & partes quse urgentur fluidae sunt, ideoque 
recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur : recedent 
esedem versus medii partes omnes quiescentes, tam laterales K L 8i 
N (9, quam anteriores P Q, eoque pacto motus omnis, quumprimum 
per foramen B C transiit, dilatari incipiet & inde tanquam a principio 
& centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D. 



PROPOSITIO XLIII. THEOREMA XXXIV. 

Corpus omne tremulum in medio elastico propagabit motum pulsuum 
undique in directum ; in medio vero fion elastico motum circularem 
excitabit. 

Cas. I. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo 8: re- 
deundo itu suo urgebunt & propellent partes medii sibi proximas, 
& urgendo compriment easdem & condensabunt ; dein reditu suo 
sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igitur partes 
medii corpori tremulo proximee ibunt & redibunt per vices, 
ad instar partium corporis illius tremuli : & qua ratione partes 
corporis hujus agitabant hasce medii partes, hae similibus tremoribus 
agitata^ agitabunt partes sibi proximas, eaeque simiHter agitatse 



362 J^R MOTU CORPORUM 

agitabunt ulterlores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum 
medii partes primae eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic 
partes reliquae quoties eunt condensabuntur, & quoties redeunt sese 
expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic 
enim determinatas ab invicem distantias servando, non rarefierent 
& condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi conden- 
santur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquae earum ibunt dum aliae 
redeunt ; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes & 
eundo condensatae, ob motum suum progressivum, quo feriunt 
obstacula, sunt pulsus ; & propterea pulsus successivi a corpore omni 
tremulo in directum propagabuntur ; idque aequalibus circiter ab 
invicem distantiis, ob aequalia temporis intervalla, quibus corpus 
tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat. Et quanquam 
corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam 
certam & determinatam, tamen pulsus inde per medium propagati 
sese dilatabunt ad latera, per propositionem praecedentem ; & a cor- 
pore illo tremulo tanquam centro communi, secundum superficies 
propemodum sphaericas & concentricas, undique propagabuntur. 
Cujus rei exemplum aliquod habemus in undis, quae si digito tremulo 
excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus 
digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim 
cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet 
locum vis elasticae. 

Cas, 2. Quod si medium non sit elasticum : quoniam ejus partes 
a corporis tremuli partibus vibratis pressae condensari nequeunt, 
propagabitur motus in instanti ad partes ubi medium facillime cedit, 
hoc est, ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo 
relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in medio quocunque 
projecti. Medium cedendo projectilibus non recedit in infinitum; 
sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. 
Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque, 
medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relinquit; 
& quoties corpus regreditur ad locum priorem, medium inde 
repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus 
tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen 
magnitudine datum maneat, qnoniam tremoribus suis nequit medium 
ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat, efficiet ut medium, 



LIBER SECUNDUS. 



363 



recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in orbem ad partes 
quae eidem cedunt. Q.E.D. 

Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium 
flammae ad pressionem, per medium ambiens, secundum lineas 
rectas propagandum conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab 
agitatione sola partium flammae, sed a totius dilatatione derivari. 



I 



PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV. 

Si aqua in canalis cruribus erectis K L, M N vicibus alternis ascendat 
& descendat ;■ construatur autem penduhcm cujus longitudo inter 
pu7ictttm suspensionis & centrum oscillationis cEquetur semissi 
longitudinis aqucs in canali : dico quod aqua ascendet & descendet 
iisdem temporibus quibus pe^tdulum oscillatur, 

Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & crurum, 
eandem summae horum axium sequando ; & resistentiam aquae, quae 
oritur ab attritu canalis, hic non considero. Designent igitur A B, 
CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque ; & ubi aqua 




in crure KL ascendit ad altitudinem E F, descenderit aqua in 
crure J/iV ad altitudinem GH. Sit autem P corpus pendulum, 
V P filum, Fpunctum suspensionis, R P Q S cyddx'^ quam pendulum 
describat, P ejus punctum infimum, PQ arcus ahitudini AE aequahs. 



364 



DE MOTU CORPORUM 



Vis, qua motus aquae alternls vicibus acceleratur & retardatur, 
est excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in 
altero, ideoque, ubi aqua in crure K L ascendit 2A E F, & in crure 
altero descendit ad GH, vis illa est pondus duplicatum aquse EABF^ 
& propterea est ad pondus aquse totius m\. A E seu P Q 2A V P seu 

V-r K M 




P R. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur & 
retardatur in cycloide (per corol. prop. li) est ad ejus pondus 
totum, ut ejus distantia P Q 3. loco infimo P ad cycloidis longitu- 
dinem P R, Quare aquse & penduli, aequalia spatia A E, P Q 
describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda ; ideoque, 
si aqua & pendulum in principio quiescunt, vires illae movebunl 
eadem aequaliter temporibus aequalibus, efficientque ut motu reciprocoj 
simul eant & redeant. Q.E.D, 

Corol. I. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus 
intensior sit sive remissior, vices omnes sunt isochronae. 

Corol. 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisiendm 
(i\ : aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempon 
minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vicibus alternis inj 
infinitum. Nam pendulum pedum 3tV longitudinis tempore minuti 
unius secundi oscillatur. 

Corol. 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, augetur vel 
diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione subduplicata. 



LIBER SECVNDUS. 



365 



PROPOSITIO XLV. THEOREMA XXXVI. 

Undarum velocitas est in subduplicata ratione latitudimim. 
Consequitur ex constructione propositionis sequentis. 

PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA X. 

Inve7iire velocitatem undaricm, 

Constituatur pendulum cujus longitudo, inter punctum suspensionis 
& centrum oscillationis, sequetur latitudini undarum : & quo tempore 
pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem undae progre- 
diendo latitudinem suam propemodum conficient. 

Undarum latitudinem voco mensuram transversam, quae vel 
vallibus imis, vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF 
superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac 
descendentem ; sintque A, C, E, &c. undarum culmina, & B, D, F, 
&c. vales intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae 
successivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes Ay C, E, &c. 



quae nunc altissimae sunt, mox fiant infimae ; & vis motrix, qua partes 
altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae ; 
alternus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco 
aquae in canali, easdemque temporis leges observabit : & propterea 
(per prop. xliv) si distantiae inter undarum loca altissima A, Cy E 
& infima B, D, F aequentur duplae penduli longitudini ; partes 
altissimae A, C, E, tempore oscillationis unius evadent infimae, & 
tempore oscillationis alterius denuo ascendent. Igitur inter transitum 
undarum singularum tempus erit oscillationum duarum ; hoc est, 
unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis 
oscillatur ; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla 
est, ideoque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q,E,L 
Corol. I. Igitur undae, quae pedes Parisienses ^A latae sunt, tem- 
pore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient ; 



366 



DE MOTU CORPORUM 



ideoque tempore minuti unius primi percurrent pedes 
183J, & horse spatio pedes iiooo quamproxime. 

CoroL 2. Et undarum majorum vel minorum 
velocitas' augebitur vel diminuetur in subduplicata 
ratione latitudinis. 

Haec ita se habent ex hypothesi quod partes aquse 
recta ascendunt vel recta descendunt ; sed ascensus 
& descensus ille verius fit per circulum, ideoque 
tempus hac propositione non nisi quamproxime 
definitum esse affirmo. 



PROP. XLVII. THEOR. XXXVII. 

Pulsibus per fltiidum propagatis, 
singulce fltddi particulcs, motu 
reciproco brevissimo euntes & 
redeunteSj acce/erantur semper 
& retardantur pro lege oscillan- 
tis penduli. 




I 






Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivo- 
rum a^quales distantias; ABCplsigam motus pulsuum 
ab A versus B propagati ; B, F, G puncta tria 
physica medii quiescentis in recta y^ C ad aequales 
ab invicem distantias sita ; Ee, Ffl Gg spatia sequalia 
perbrevia per quae puncta illa motu reciproco singuh*s 
vibrationibus eunt & redeunt ; e, 0, 7, loca quaevis 
intermedia eorundem punctorum ; 8l E F, FG Hneo- 
las physicas seu medii partes lineares punctis ilHs 
interjectas, & successive translatas in loca e ^, 7 & 
^ff fg' Rectae Ee aequahs ducatur recta P S. 
Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo O P 
describatur circulus SlPi. Per hujus circumferentiam 
totam cum partibus suis exponatur tempus totum 
vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus; sic ut completo 
tempore quovis PH w^\ PHSk, si demittatur ad PS perpendiculum 



LIBER SECUNDUS. 



367 



H L vel hl^ & capiatur Ee aequalis P L vel P/, punctum physicum 
E reperiatur in e. Hac lege punctum quodvis E, eundo ab E per 
e ad ^, & inde redeundo per e ad E, iisdem accelerationis ac retar- 
dationis gradibus vibrationes singulas peraget cum oscillante pendulo. 
Probandum est quod singula medii puncta physica tali motu agitari 
debeant. Fingamus igitur medium tah motu a causa quacunque 
cieri, & videamus quid inde sequatur. 

In circumferentia PHSh capiantur sequales arcus HL, LK v^\ hi, 
ik, eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent 
aequales rectse EE, EG ad pulsuum intervallum totum B C, Et 
demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, E, G 
motibus simiHbus successive agitantur, & vibrationes suas integras 
ex itu & reditu compositas interea peragunt dum pulsus transfer- 
tur a, B 2id C; si P H vel P H Sh sit tempus ab initio motus puncti 
E, GTit P / vel PHSi tempus ab initio motus puncti E, & 
PK vel PHSk tempus ab initio motus puncti G ; 81 propterea 
Ee, E(p, Gy erunt ipsis P L, P M, P N in itu punctorum, vel ipsis 
P l, P m, P n m punctorum reditu, aequales respective. Unde ey seu 
EG-^Gy — ^e in itu punctorum aequalis erit EG — L N, in reditu 
.autem aequahs ^ 6^-1-/;/. Sed ey latitudo est seu expansio partis 
medii E G m loco ey ; & propterea expansio partis illius in itu est 
ad ejus expansionem mediocrem, ut EG—LN2A E G; in reditu 
autem ut E G^-ln seu EG-\-L N 2A E G. Quare cum sit L N 2A 
KH ut IM ad radium OP, & KH ad EG ut circumferentia PHShP 
ad B C, id est, si ponatur V pro radio circuli circumferentiam haben- 
tis sequalem intervallo pulsuum ^ C, ut 6^ i^ ad V ; & ex aequo L N 
zA E G mX. I M ^dV \ erit expansio partis E G punctive physici E in 
loco ey ad expansionem mediocrem, quam pars illa habet in loco 
suo primo ^ (9, ut V-/ J/ ad V in itu, utque V ^-im ad V in reditu. 
Unde vis elastica puncti F in loco ey est ad vim ejus elasticam 

mediocrem in loco E G, ut y^JM ^^ h ^^ ^^^' ^^ ^^^^^^ ^^^"^ "^ 

— ^ — ad — . Et eodem argumento vires elasticae punctorum 
V -\-i m V 

physicorum ^ & 6^ in itu, sunt ut ^ _ j^ j^ ^ V — KN ^^ 



368 JDE MOTU CORPORUM 

- ; & virium differentia ad medii vim elasticam mediocrem, ut 
V 

HL-KN H ' H 

VY-Y xHL-Y xKN+HLxKN y "^ ^^^' ^'^ 

,^^ ad -, sive ut HL — KN ad V, si modo (ob angustos 

limites vibrationum) supponamus HL & KN indefinite minores esse 
quantitate V. Quare cum quantitas V detur, differentia virium est 
ut HL — KN, hoc est (ob proportionales HL—KN ad HK, & OM 
ad Olvel OP, datasque HK & OP) ut OM; id est, si /7*bisecetur 
in O, ut Q(p. Et eodem argumento differentia virium elasticarum 
punctorum physicorum e & 7, in reditu lineolae physicae €7 est ut 
^^. Sed differentia illa (id est, excessus vis elasticae puncti e supra 
vim elasticam puncti 7) est vis qua interjecta medii lineola physica 
€7 acceleratur in itu & retardatur in reditu ; & propterea vis acce- 
leratrix lineolae physicae e 7, est ut ipsius distantia a medio vibrationis 
loco 0. Proinde tempus (per prop. xxxviii lib. i) recte exponitur 
per arcum PI; & medii pars linearis e^ lege praescripta movetur 
id est, lege oscillantis penduli : estque par ratio partium omnium 
linearium ex quibus medium totum componitur. Q. E. D. 

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit 
cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in 
eorum progressu. Nam lineola physica e^, quumprimum *ad locum 
suum primum redierit, quiescet ; neque deinceps movebitur, nisi 
vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore 
tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quum 
primum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt. 



PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XXXVIII 

Pulsuum in fiuido elastico propagatorum velocitates sunt i?t rationi 
composita ex subdtiplicata ratione vis elasticcs directe & subdtiplicata 
ratione densitatis inverse ; si modo fltcidi vis elastica ejusdem 
condensationi proportionalis esse supponatur. 

Cas. I. Si media sint homogenea, & pulsuum distantiae in hisl 
mediis aequentur inter se, sed motus in uno medio intensior sit : con-j 



LIBER SECUNDUS. 



369 



tractiones & dllatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. 
Accurata quidem non est haec proportio. Veruntamen nisi contrac- 
tiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensibiliter, 
ideoque pro physice accurata haberi potest. Sunt autem vires 
elasticae motrices ut contractiones & dilatationes ; & velocitates 
partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque aequales & 
correspondentes pulsuum correspondentium partes itus & reditus 
suos per spatia contractionibus & dilatationibus proportionaHa, cum 
velocitatibus quae sunt ut spatia, simul peragent : & propterea pulsus, 
qui tempore itus & reditus unius latitudinem suam progrediendo 
conficiunt, & in loca pulsuum proxime praecedentium semper 
succedunt, ob aequaHtatem distantiarum, aequali cum velocitate in 
medio utroque progredientur. 

Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in 
uno medio quam in altero ; ponamus quod partes correspondentes 
spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singuHs vicibus eundo & 
redeundo describant : & aequales erunt earum contractiones & 
dilatationes. Ideoque si media sint homogenea, aequales erunt etiam 
vires iHae elasticae motrices quibus reciproco motu agitantur. 
Materia autem his viribus movenda est ut pulsuum latltudo ; & in 
eadem ratione est spatlum per quod singuHs vicibus eundo & 
redeundo moveri debent. Estque tempus itus & reditus unius in 
ratione composita ex ratione subdupHcata materiae & ratione 
subdupHcata spatii, atque Ideo ut spatium. Pulsus autem temporl- 
bus Itus & reditus unlus eundo latitudines suas conficlunt, hoc est, spatia 
temporlbus proportionaHa percurrunt; & propterea sunt aequive- 
loces. 

Cas. 3. In medlis igitur densitate & vl elastica paribus, pulsus 
omnes sunt aequiveloces. Quod si medli vel densitas vel vis elastlca 
Intendatur, quonlam vis motrix In ratione vls elasticae, & materla 
movenda In ratione densitatis augetur; tempus, quo motus ildem 
peragantur ac prlus, augebltur in subdupHcata ratlone densltatis, ac 
dlminuetur in subdupHcata ratlone vls elastlcae. Et propterea 
velocitas pulsuum erit in ratlone composlta ex ratlone subdupHcata 
densitatis medli Inverse & ratione subdupHcata vls elastlcae directe. 
Q.E.D. 

Haec proposltio ulterius pateblt ex constructlone sequentis. 



2 A 



370 



DE MOTU CORPORUM 



PROPOSITIO XLIX. PROBLEMA XI 



Datis inedii densitate & vi elastica, invenire 
velocitatem pulstmm. 

Fingamus medium ab incumbente pondere pro 
more aeris nostri comprimi ; sitque A altitudo medii 
homogenei, cujus pondus adsequet pondus incumbens, 
& cujus densitas eadem sit cum densitate medii 
compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui au- 
tem intelligatur pendulum, cujus longitudo inter punc- 
tum suspensionis & centrum oscillationis sit A : & 
quo tempore pendulum illud oscillationem integram 
ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus 
eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio 
A descripti aequale. 

Nam stantibus quae in proposi- 
tione XLVii constructa sunt, si linea 
quaevis physica EF, singulis vibra- 
tionibus describendo spatium P S, 
urgeatur in extremis itus & reditus 
cujusque locis P & 6", a vi elastica 
quae ipsius ponderi aequetur ; pera- 
get haec vibrationes singulas quo 
tempore eadem in cycloide, cujus perimeter tota 
longitudini P6' aequalis est, oscillari posset : id adeo 
quia vires aequales aequalia corpuscula per ^equalia spa- 
tia simul impellent. Ouare cum oscillationum tempora 
sint in subduplicata ratione longitudinis pendulorum, 
& longitudo penduli aequetur dimidio arcui cycloidis 
totius ; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscil- 
lationis penduli, cujus longitudo est A, in subduplicata 
ratione longitudinis \ P S s>^m P(9ad longitudinem 
A. Sed vis elastica, qua lineola physica E G, in 
locis suis extremis P, 6^ existens, urgetur, erat (in de- 
monstratione propositionis xlvii) ad ejus vim totam 
elasticam ut H L—K N 2A V, hoc est (cum punctum 




h 



G-- 
F- 



LIBER SECUNDUS. 371 

K jam incldat in P) ut H K ad V : & vis illa tota, hoc est pondus 
incumbens quo lineola EG comprlmitur, est ad pondus lineolae ut 
ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem E G ; 
ideoque ex aequo, vis qua lineola ^ 6^ in locis suls P & S urgetur 
est ad lineolae illius pondus ut I/K x A did V x E Gy sive ut P 6> x A 
ad VV, nam //K erat ad E G ut jP (9 ad V. Quare cum tempora, 
quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint reciproce 
in subduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius, urgente 
vi Illa elastica, ad tempus vibrationis, urgente vl ponderls, In 
subduplicata ratione V V ad P O x A, atque Ideo ad tempus 
oscillationis penduli cujus longltudo est A in subduplicata ratlone 
VV ad P O X A, &, subdupllcata ratione P O a.d A conjunctim ; id 
est, in ratione integra V ad A. Sed tempore vibrationis unius ex 
itu & redltu compositae, pulsus progrediendo conficlt latitudinem 
suam B C. Ergo tempus, quo pulsus percurrlt spatlum B C, est ad 
tempus osclllationls unius ex Itu & redltu compositae, ut V ad A, 
id est, ut -^ C ad clrcumferentiam clrculi cujus radius est A. Tempus 
autem, quo pulsus percurret spatium B C, est ad tempus quo 
percurret longltudinem hulc circumferentiae aequalem, in eadem 
ratlone ; Ideoque tempore taHs osclllationls pulsus percurret 
longltudinem huic clrcumferentlae aequalem. Q. E. D. 

Corol. I. Velocitas pulsuum ea est, quam acqulrunt gravla aequa- 
liter accelerato motu cadendo, & casu suo describendo dlmidlum 
altitudlnis A. Nam tempore casus hujus, cum velocltate cadendo 
acquislta, pulsus percurret spatlum quod erit aequale toti altltudini 
A ; Ideoque tempore oscillationis unius ex Itu & redltu compositae 
percurret spatlum aequale circumferentlae circuH radio A descrlpti : 
est enim tempus casus ad tempus oscillationis ut radius circuli ad 
ejusdem clrcumferentlam. 

Corol. 2. Unde cum altltudo illa A sit ut fluidi vls elastica dlrecte 
81 densitas ejusdem inverse ; velocitas pulsuum erit in ratione com- 
posita ex subduplicata ratione densitatis inverse & subdupHcata 
ratione vls elasticae directe. 



372 DE MOTU CORPOR UM 

PROPOSITIO L. PROBLEMA XIL 

Inve7iire pulsuum dista^itias. 

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus 
vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spatium 
quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inventa erit 
pulsus unius latitudo. Q.E.I, 

Scholium. 

Spectant propositiones novissimae ad motum lucis & sonorum. 
Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola 
(per prop. xli & xlii) consistere nequit. Soni vero propterea 
quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quam aeris 
pulsus propagati, per prop. xliii. Confirmatur id ex tremoribus 
quos excitant in corporibus objectis, si modo vehementes sint & 
graves, quales sunt soni tympanorum. Nam tremores celeriores & 
breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas 
corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum 
est. Confirmatur etiam ex velocitate sonorum. Nam cum pondera 
specifica aquae pluvialis & argenti vivi sint ad invicem ut i ad 
13I circiter, & ubi mercurius in Barometro altitudinem attingit 
digitorum Anglicorum 30, pondus specificum aeris & aquae pluvialis 
sint ad invicem ut i ad 870 circiter : erunt pondera specifica aeris & 
argenti vivi ut i ad 1 1 890. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 
digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum 
subjectum comprimere posset, erit 356700 digitorum, seu pedum 
Anglicorum 29725. Estque haec altitudo illa ipsa quam in construc- 
tione superioris problematis nominavimus A. Circuli radio 29725 
pedum descripti circumferentia est pedum 186768. Et cum pendu- 
lum digitos 39^ longum oscillationem ex itu & reditu compositam 
tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; 
pendulum pedes 29725 seu digitos 356700 longum oscillationem 
consimilem tempore minutorum secundorum 190! absolvere debebit. 
Eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes 186768, 
ideoque tempore minuti unius secundi pedes 979. 



LIBER SECUNDUS. 373 

Cseterum in hoc computo nulla habetur ratio crassitudinis solida- 
rum particularum aeris, per quam sonus utique propagatur in 
instanti. Cum pondus aeris sit ad pondus aquae ut i ad 870, & sales 
sint fere duplo densiores quam aqua ; si particulae aeris ponantur 
esse ejusdem circiter densitatis cum particulis vel aquae vel salium, 
& raritas aeris oriatur ab intervallis particularum : diameter parti- 
culae ' aeris erit ad intervallum inter centra particularum, ut i ad 9 
vel 10 circiter, & ad intervallum inter particulas ut i ad 8 vel 9. 
Proinde ad pedes 979, quos sonus tempore minuti unius secundi juxta 
calculum superiorem conficiet, addere licet pedes ^i® seu 109 circiter, 
ob crassitudinem particularum aeris : & sic sonus tempore minuti 
unius secundi conficiet pedes 1088 circiter. 

His adde quod vapores in aere latentes, cum sint alterius elateris 
& alterius toni, vix aut ne vix quidem participant motum aeris 
veri quo soni propagantur. His autem quiescentibus, motus ille 
celerius propagabitur per solum aerem verum, idque in subdupli- 
cata ratione minoris materiae. Ut si atmosphaera constet ex decem 
partibus aeris veri & una parte vaporum, motus sonorum celerior 
erit in subdupHcata ratione 11 ad 10, vel in integra circiter ratione 
21 ad 20, quam si propagaretur per undecim partes aeris veri : 
ideoque motus sonorum supra inventus, augendus erit in hac 
ratione. Quo pacto sonus, tempore minuti unius secundi, conficiet 
pedes 1 142. 

Haec ita se habere debent tempore verno & autumnali, ubi aer 
per calorem temperatum rarescit & ejus vis elastica nonnihil intendi- 
tur. At hyberno tempore, ubi aer per frigus condensatur, & ejus 
vis elastica remittitur, motus sonorum tardior esse debet in subdupli- 
cata ratione densitatis ; & vicissim aestivo tempore debet esse velocior. 

Constat autem per experimenta quod soni tempore minuti unius 
secundi eundo conficiunt pedes Londinenses plus minus 1142, Pari- 
sienses vero 1070. 

Cognita sonorum velocitate innotescunt etiam intervalla pulsuum. 
Invenit utique D. Sauvetir, factis a se experimentis, quod fistula 
aperta, cujus longitudo est pedum Parisiensium plus minus quinque, 
sonum edit ejusdem toni cum sono chordae quae tempore minuti 
unius secundi centies recurrit. Sunt igitur pulsus plus minus 
centum in spatio pedum Parisiensium 1070, quos sonus tempore 



3 74 ^^ MOTU CORPOR UM 

minuti unius secundi percurrit ; ideoque pulsus unus occupat spatium 
pedum Parisiensium quasi lOiir, id est, duplam circiter longitudinem 
fistulae. Unde versimile est quod latitudines pulsuum, in omnium 
apertarum fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistula- 
rum. 

Porro cur soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque 
diutius audiuntur ubi longissime distamus a corporibus sonoris, quam 
cum proxime absumus, patet ex corollario propositionis xlvii libri 
hujus. Sed & cur soni in tubis stentorophonicis valde augentur ex 
allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus 
singuHs recursibus a causa generante augeri solet. Motus autem 
in tubis dilatationem sonorum impedientibus, tardius amittitur & 
fortius recurrit, & propterea a motu novo singuHs recursibus impresso 
magis augetur. Et haec sunt praecipua phaenomena sonorum. 

SECTIO IX. 
De motu circulari fliiidorum. 

H YPOTH ESIS. 

Resistentiam, qucs oritur ex defectu lubricitatis partiu7u fluidi, ccEteris 
paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fltiidi separantur 
ab invicem. 

PROPOSITIO LI. THEOREMA XXXIX. 

Si cylindrus solidtcs infinite lo7igus in fluido uniformi & infi^iito 
circa axem positio7ie datum uniformi cum motu revolvatur, & 
ab hujtcs impulsu solo agattir fluidum in orbem, perseveret autem 
fluidi pars U7iaqucsque tmiformiter in motu suo ; dico quod 
tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distantice ab 
axe cylindri. 

Sit A FL cylindrus uniformiter circa axem 6^ in orbem actus, & 
circuHs concentricis B G M, CH N, D I O, E K P, &c. distinguatur 
fluidum in orbes cyHndricos innumeros concentricos soHdos ejusdem 



LIBER SECUNDUS. 



375 



crassltudinis. Et quoniam homogeneum est fluidum, impressiones 
contiguorum orbium in se mutuo factae erunt (per hypothesin) 
ut eorum translationes ab invicem, & superficies contiguae in 
quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aliquem major est 
vel minor ex parte concava quam ex parte convexa ; praevalebit 
impressio fortior, & motum orbis vel accelerabit vel retardabit, 
prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur. 
Proinde ut orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret, 
debent impressiones ex parte utraque sibi invicem sequari & 
fieri in regiones contrarias. U nde cum impressiones sunt ut contiguse 
superficies & harum translationes ab invicem, erunt translationes 
inverse ut superficies, hoc est, inverse ut superficierum distantise 
ab axe. Sunt autem differentiae motuum angularium circa axem 
ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translationes 
directe & distantiae inverse ; hoc est, 
conjunctis rationibus, ut quadrata 
distantiarum inverse. Quare si ad 
infinitae rectae S A BC D EQ partes 
singulas erigantur perpendicula A a, 
B b, C c, D dy E e, &c. ipsarum SA, 
SB, SC, SD, SE, &c. quadratis / 
reciproce proportionalia, & per termi- | 
nos perpendicularium duci intelHgatur 
linea curva hyperbolica ; erunt sum- 
mae differentiarum, hoc est, motus toti 
angulares, ut respondentes summae 

Hnearum A a, B d, Cc, D d, E e, id " 

est, si ad constituendum medium uniformiter fluidum, orbium numerus 
augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areae hyperbolicae his 
summis analog^e A aQ, B b Q, C c Q, D d Q, E eQ, &c. Et tempora 
motibus angularibus reciproce proportionaHa, erunt etiam his areis 
reciproce proportionaHa. Est igitur tempus periodicum particulae 
cujusvis D reciproce ut area DdQ, hoc est (per notas curvarum 
quadraturas) directe ut distantia S D. Q.E.D. 

Corol. I. Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciproce 

ut ipsarum distantiae ab axe cyHndri, & velocitates absolutae sunt 
aequales. 




T^ye DE MOTU CORPORUM 

Corol. 2. Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinitae 
contineatur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem 
cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum 
tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fluidi pars unaquaeque 
in motu suo : erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum 
distantise ab axe cylindrorum. 

Corol. 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel 
auferatur communis quilibet motus angularis ; quoniam hoc novo 
motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur 
motus partium inter se. Nam translationes partium ab invicem 
pendent ab attritu. Pars qusehbet in eo perseverabit motu, qui, attritu 
utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quam 
retardatur. 

Corol. 4. Unde si toti cyHndrorum & fluidi systemati auferatur 
motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in 
cylindro quiescente. 

Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus, 
revolvatur cylindrus interior uniformiter ; communicabitur motus 
circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur ; nec 
prius desinet augeri quam fluidi partes singulae motum corollario 
quarto definitum acquirant. 

Corol, 6. Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius 
propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi 
violenter detentus ; & accelerabitur ejus motus quoad usque tempora 
periodica cylindri utriusque aequentur inter se. Quod si cylindrus 
exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare ; 
& nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecus impressa motum 
illum conservet, efliciet ut idem paulatim cesset. 

Quae omnia in aqua profunda stagnante experiri licet. 



LIBER SECUNDUS. 



377 



PROPOSITIO LII. THEOREMA XL. 

Si sphcsra solida, in fluido uniformi & infinito, circa axern positione 

datum uniformi cu77i motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo 

agattcr flttidum in orbem ; perseveret autem fltcidi pars tmaqucBqtce 

tcniformiter in ^nottc suo : dico quod tempora periodica partium 

fltcidi erunt ut quadrata distantiarum a centro sphcBrce, 



Cas, I. Sit AFL sphaera uniformiter circa axem 6^ in orbem acta, 
& circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distinguatur 
fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis. 
Finge autem orbes illos esse solidos ; & quoniam homogeneum est 
fluidum, impressiones contiguorum orbium in se mutuo factae erunt 
(per hypothesin) ut eorum translatio- 
nes ab invicem & superficies contiguae 
in quibus impressiones fiunt. Si 
impressio in orbem aHquem major est 
vel minor ex parte concava quam ex 
parte convexa ; praevalebit impressio 
fortior, & velocitatem orbis vel 
accelerabit vel retardabit, prout in 
eandem regionem cum ipsius motu 
vel in contrariam dirigitur. Proinde 
ut orbis unusquisque in motu suo 
perseveret uniformiter, debebunt 
impressiones ex parte utraque sibi 
invicem aequari, & fieri in regiones contrarias. Unde cum impressio- 
nes sint ut continguae superficies & harum translationes ab invicem ; 
erunt translationes inverse ut superficies, hoc est, inverse ut quadrata 
distantiarum superficierum a centro. Sunt autem diflerentiae motuum 
angularium circa axem ut hae translationes appHcatae ad distantias, 
sive ut translationes directe &: distantiae inverse ; hoc est, conjunctis 
rationibus, ut cubi distantianmi inverse. Quare si ad rectae infinitae 
S A B C D E Q partes singulas erigantur perpendicula ^ ^, ^5 ^, Cc, 
Dd, Ee, &c. ipsarum S A, SB, S C, S D, SE, &c. cubis reciproce 




37^ 



DE MOTU CORPORUM 




proportlonalla, erunt summae dlfferentlarum, hoc est, motus totl 

angulares, ut respondentes summae 

llnearum A a, B d, Cc, D d, E e: id 

est (sl ad consltuendum medlum 

unlformlter fluldum, numerus orblum 

augeatur & latltudo mlnuatur in 

infinltum) ut areae hyperbollcae hls 

summls analogae A aQ, BbQ, CcQ, 

DdQy EeQ, &c. Et tempora 

perlodlca motlbus angularlbus reci- 

proce proportionaHa erunt etiam his 

areis reciproce proportlonaHa. Est 

igiturtempus periodlcum orbls cujus- 

vis D I O reciproce ut area DdQ, 

hoc est, per notas curvarum quadraturas, directe ut quadratum 

distantiae S D. Id quod volui primo demonstrare. 

Cas. 2. A centro sphaerae ducantur Infinitae rectae quam plurimae, 
quae cum axe datos contineant angulos, aequaHbus dlfferentlis se mutuo 
superantes ; & hls rectls circa axem revolutls concipe orbes in 
annulos innumeros secari ; & annulus unusqulsque habeblt annulos 
quatuor sibi contlguos, unum interlorem, alterum exteriorem Sc 
duos laterales. Attritu interiorls & exterioris non potest annulus 
unusqulsque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, aequaHter 
& in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus 
primi. Et propterea annulorum serles quaeHbet a globo In infinitum 
recta pergens, movebltur pro lege casus prlmi, nlsi quatenus 
impedltur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege 
facto attrltus annulorum ad latera nuHus est ; neque ideo motui 
quo mlnus hac lege fiat, impediet. Si annuH, qui a centro aequaHter 
distant, vel citius revolverentur vel tardlus juxta polos quam juxta^ 
ecHptlcam ; tardlores accelerarentur, & veloclores retardarentur al 
attrltu mutuo, & slc vergerent semper tempora periodica ad aequa- 
Htatem, pro lege casus prlmi. Non impedit igltur hlc attritus qu( 
minus motus fiat secundum legem casus prlml, & propterea lex iHaj 
obtlnebit : hoc est, annulorum slngulorum tempora perlodlca erunl 
ut quadrata distantiarum Ipsorum a centro globi. Quod volui secundol 
demonstrare. 



LTBER SECUNDUS. ^y^ 

Cas. 3. Divldatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis 
In particulas innumeras constituentes substantiam absolute & unifor- 
miter fluidam ; & quoniam hse sectiones non spectant ad legem 
motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt, 
perseverabit motus circularis ut prius. His sectionibus annuli omnes 
quam minimi asperitatem & vlm attritus mutui aut non mutabunt, aut 
mutabunt sequaliter. Et manente causarum proportione manebit 
eflectuum proportio, hoc est, proportio motuum & periodicorum 
temporum. Q. E. D. Cseterum cum motus circularis, & inde 
orta vis centrifuga, major sit ad ecHpticam quam ad polos ; debebit 
causa aliqua adesse qua particulae singulse in circulis suis retineantur ; 
ne materia, quae ad eclipticam est, recedat semper a centro & per 
exteriora vorticis migret ad polos, indeque per axem ad eclipticam 
circulatione perpetua revertatur. 

Corol. I. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi, 
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a centro globi, & velocita- 
tes absolutse reciproce ut eadem quadrata applicata ad distantias 
ab axe. 

Corol. 2. Si globus in fluido quiescente slmilarl & infinito circa 
axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communica- 
bitur motus fluido in morem vorticis, & motus iste paulatim pro- 
pagabitur In Infinitum ; neque prius cessabit in singuHs fluidi partibus 
accelerari, quam tempora periodica slngularum partlum sint ut 
quadrata distantlarum a centro globl. 

Corol. 3. Quoniam vortlcis partes interiores ob majorem suam 
velocitatem atterunt & urgent exterlores, motumque Ipsis ea actione 
perpetuo communlcant, & exterlores ilH eandem motus quantitatem 
In allos adhuc exteriores slmul transferunt, eaque actione servant 
quantitatem motus sui plane Invarlatam ; patet quod motus perpetuo 
transfertur a centro ad circumferentiam vorticis, & per infinltatem 
clrcumferentlse absorbetur. Materia Inter sphaericas duas quasvis 
superficles vorticl concentricas nunquam accelerabitur, eo quod 
motum omnem a materla Interiore acceptum transfert semper in 
exteriorem. 

Corol. 4. Proinde ad conservatlonem vorticis constanter In eodem 
movendl statu, requirltur principium aHquod activum, a quo globus 
eandem semper quantitatem motus acclpiat, quam Imprlmit In 



-;8o DE MOTU CORPORUM 

materiam vorticis. Sine tali principio necesse est ut* globus & 
vorticis partes interiores, propagantes semper motum suum in exterio- 
res, neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paulatim 
& in orbem agi desinant. 

Corol. 5. Si globus alter huic vortici ad certam ab ipsius centro 
distantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi 
aliqua constanter revolveretur ; hujus motu raperetur fluidum in 
vorticem : & primo revolveretur hic vortex novus & exiguus una 
cum globo circa centrum alterius, & interea latius serperet ipsius 
motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis 
primi. Et eadem ratione, qua hujus globus raperetur motu vorticis 
alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo 
circa intermedium ahquod punctum revolverentur, seque mutuo ob 
motum illum circularem fugerent, nisi per vim aHquam cohibiti. 
Postea si vires constanter impressae, quibus globi in motibus suis 
perseverant, cessarent, & omnia legibus mechanicis permitterentur, 
languesceret paulatim motus globorum (ob rationem in corol. 3 & 4 
assignatam) & vortices tandem conquiescerent. 

Corol. 6. Si globi pkires datis in locis circum axes positione datos 
certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices 
totidem in infinitum pergentes. Nam globi singuH eadem ratione, 
qua unus aHquis motum suum propagat in infinitum, propagabunt 
etiam motus suos in infinitum, adeo ut fluidi infiniti pars unaquae- 
que eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat. 
Unde vortices non definientur certis Hmitibus, sed in se mutuo 
paulatim excurrent ; globique per actiones vorticum in se mutuo 
perpetuo movebuntur de locis suis, uti in coroHario superiore exposi- 
tum est ; neque certam quamvis inter se positionem servabunt, nisi 
per vim aHquam retenti. Cessantibus autem viribus iHis quse in 
globos constanter impressse conservant hosce motus, materia ob 
rationem in coroHario tertio & quarto assignatam, paulatim requiescet 
& in vortices agi desinet. 

Corol. 7. Si fluidum similare claudatur in vase sphaerico ac globi 
in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus 
autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, 
sintque eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum : 
partes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine accelera- 



LIBER SECUNDUS. -,gj 



j' 



tlone & retardatlone, quam sint eorum tempora periodlca ut quadrata 
distantiarum a centro vorticis. Alia nulla vorticis constitutio potest 
esse permanens. 

Corol. 8. Si vas, fluidum inclusum, & globus servent hunc motum, 
& motu prseterea communi angulari circa axem quemvis datum 
revolvantur ; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium 
fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter se. Nam 
translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars quaeHbet in 
eo perseverabit motu, quo flt ut attritu ex uno latere non magis 
tardetur quam acceleretur attritu ex altero. 

Corol. 9. Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus 
fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi & motu 
contrario revolvi ; & pone summam temporis revolutionis hujus & 
revolutionis globi esse ad tempus revolutionis globi, ut quadratum 
semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi : & tempora 
periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata 
distantiarum suarum a centro globi. 

Corol. 10. Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel 
circa diversum aHquem data cum velocitate quacunque moveatur, 
dabitur motus fluidi. Nam si systemati toti auferatur vasis motus 
angularis, manebunt motus omnes iidem inter se qui prius, per corol. 
8. Et motus isti per corol. 9 dabuntur. 

Corol. II. Si vas & fluidum quiescant & globus uniformi cum 
motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum 
in vas, & circumagetur vas nisi violenter detentum, neque prius 
desinent fluidum & vas accelerari, quam sint eorum tempora 
periodica aequaHa temporibus periodicis globi. Quod si vas vi aHqua 
detineatur vel revolvatur motu quovis constanti & uniformi, deveniet 
medium paulatim ad statum motus in corolariis 8, 9 & 10 definiti, 
nec in aHo unquam statu quocunque perseverabit. Deinde vero 
si, viribus iHis cessantibus quibus vas & globus certis motibus 
revolvebantur, permittatur systema totum legibus mechanicis ; vas 
& globus in se invicem agent mediante fluido, neque motus suos 
in se mutuo per fluidum propagare prius cessabunt, quam eorum 
tempora periodica aequentur inter se, & systema totum ad instar 
corporis unius soHdi simul revolvatur. 



:.82 DE MOTU CGRPORUM 



Scholium. 



In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem 
fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eode 
cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes & aequales,' 
ad aequales semper a se distantias, ubivis in fluido constitutus, pro- 
pagare possit. Conatur quidem materia per motum suum circularem 
recedere ab axe vorticis, & propterea premit materiam omnem 
ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior & separatio 
ab invicem diflicilior ; & per consequens diminuitur materise fluiditas. 
Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores, fluiditas 
ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes separentur 
ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel 
lubricitate partium vel lentore aHave aHqua conditione restitui sup- 
pono. Hoc nisi fiat, materia ubi minus fluida est magis cohaerebit 
& segnior erit, ideoque motum tardius recipiet & longius propagabit 
quam pro ratione superius assignata. Si figura vasis non sit sphae- 
rica, movebuntur particulae in Hneis non circularibus sed conformibus 
eidem vasis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata 
mediocrium distantiarum a centro quamproxime. In partibus inter 
centrum & circumferentiam, ubi .latiora sunt spatia, tardiores erunt 
motus, ubi angustiora velociores, neque tamen particulae velociores 
petent circumferentiam. Arcus enim describent minus curvos, & 
conatus recedendi a centro non minus diminuetur per decrementum 
hujus curvaturae, quam augebitur per incrementum velocitatis. Per- 
gendo a spatiis angustioribus in latiora recedent paulo longius a 
centro, sed isto recessu tardescent ; & accedendo postea de latioribus 
ad angustiora accelerabuntur, & sic per vices tardescent & ac- 
celerabuntur particulae singulae in perpetuum. Haec ita se habebunt 
in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio vorticum innotescit 
per propositionis hujus coroHarium sextum. 

Proprietates autem vorticum hac propositione investigare conatus 
sum, ut pertentarem siqua ratione phaenomena coelestia per vortices 
expHcari possint. Nam phaenomenon est, quod planetarum circa 
jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquipHcata 
distantiarum a centro jovis ; & eadem regula obtinet in planetis 
qui circa solem revolvuntur. Obtinent autem hae regulae in plane- 



A 



LIBER SECUNDUS. 383 

tls utrlsque quam accuratlssime, quatenus observationes astronomicae 
hactenus prodidere. Ideoque si planet^ illi a vorticibus circa jovem 
& solem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi vortices eadem 
leo-e revolvi. Verum tempora periodica partium vorticis prodierunt 
in ratlone dupHcata distantiarum a centro motus : neque potest 
ratio illa diminui & ad rationem sesquipHcatam reduci, nisi vel 
materia vorticis eo fluidior slt quo longius distat a centro, vel resi- 
stentia, quae oritur ex defectu kibricitatis partium fluidi, ex aucta 
velocitate qua partes fluldi separantur ab invicem, augeatur in majori 
ratione quam ea est in qua velocitas augetur. Quorum tamen 
neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores & mlnus 
fluidae, nisi graves sint in centrum, circumferentiam petent ; & 
verisimile est quod, etiamsi demonstrationum gratia hypothesin talem 
initlo sectionls hujus proposuerim, ut resistentla velocitati proportionaHs 
esset, tamen resistentia in minori slt ratione quam ea velocitatis est. 
Quo concesso, tempora periodica partium vortlcis erunt in majori 
quam dupHcata ratione distantiarum ab ipsius centro. Quod si 
vortices (uti aHquorum est opinio) celerlus moveantur prope centrum, 
deln tardius usque ad certum Hmltem, tum denuo celerlus juxta 
clrcumferentlam ; certe nec ratio sesquipHcata neque aHa quaevis 
certa ac determinata obtinere potest. Viderint itaque philosophi quo 
pacto ph^enomenon IHud rationis sesquIpHcatse per vortices expHcari 
possit. 

PROPOSITIO LIII. THEOREMA XLI. 

Corpora, quce in vortice delata ht orbem redeunty ejusdem sunt 
densitatis cum vortice, & eade^n lege ctcm ipsius partibus 
quoad velocitatem & cursics determinationem moventur. 

Nam si vorticis pars aHqua exigua, cujus partlculse seu puncta 
physica datum servant situm inter se, congelari supponatur; hsec, 
quoniam neque quoad densitatem suam, neque quoad vim insltam 
aut figuram suam mutatur, movebltur eadem lege ac prius : & contra, 
si vortlcis pars congelata & soHda ejusdem sit densitatis cum reHquo 
vortice, & resolvatur in fluidum ; movebitur hsec eadem lege ac 
prius, nisl quatenus ipsius particulse jam fluidse factse moveantur 



,84 



DE MOTU CORPORUM 



inter se. Negllgatur igitur motus particularum inter se, tanquam 
ad totius motum progressivum nil spectans, & motus totius idem 
erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum vorticis 
partium a centro sequaliter distantium, propterea quod solidum in 
fluidum resolutum fit pars vorticis caeteris partibus consimilis. Ergo 
solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia vorticis, eodem motu 
cum ipsius partibus movebitur, in materia proxime ambiente relative 
quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere a 
centro vorticis quam prius ; ideoque vorticis vim illam, qua prius 
in orbita sua tanquam in sequilibrio constitutum retinebatur, jam 
superans, recedet a centro & revolvendo describet spiralem, non 
amplius in eundem orbem rediens. Et eodem argumento si rarius 
sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem orbem nisi 
sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est, 
quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi a centro vorticis 
aequaliter distantibus. Q. E. D. 

Corol. I. Ergo solidum quod in vortice revolvitur & in eundem 
orbem semper redit, relative quiescit in fluido cui innatat. 

Corol. 2. Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem 
ad quamlibet a centro vorticis distantiam revolvi potest. 

Scholiitm. 

Hinc liquet planetas a vorticibus corporeis non deferri. Nam 
planetae secundum hypothesin Co- 
perniccEam circa solem delati re- 
volvuntur in ellipsibus umbilicum 
habentibus in sole, & radiis ad so- 
lem ductis areas describunt tem- 
poribus proportionales. At partes 
vorticis tali motu revolvi neque- p 
unt Designent A Dy B E, C F^ 
orbes tres circa solem 6" descrip- 
tos, quorum extimus C/^circulus 
sit soli concentricus, & interiorum 
duorum aphelia sint A, B 8>l peri- 
heha D, E. Ergo corpus quod 
revolvitur in orbe C Fy radio ad solem ducto areas temporibus pro 




LIBER SECUNDUS. 



385 



portlonales describendo, movebitur uniformi cum motu. Corpus 
autem, quod revolvitur in orbe B E, tardius movebitur in aphelio 
B & veloclus in perihello E, secundum leges astronomlcas ; cum 
tamen secundum leges mechanlcas materia vorticis in spatio angusti- 
ore inter A Sc C velocius moveri debeat quam in spatio latiore 
inter D & F ; Id est, in aphelio velocius quam in perihelio. Quae 
duo repugnant inter se. SIc In prlnclpio slgni virginls, ubi apheHum 
martls jam versatur, distantia inter orbes martls & veneris est ad 
distantiam eorundem orbLum In prlncipio signi plscium ut ternarius 
ad binarlum circiter, & propterea materla vortlcis inter orbes illos 
in princlpio plsclum debet esse veloclor quam In prlnciplo virginls In 
ratione ternarli ad blnarium. Nam quo angustius est spatlum per quod 
eadem materiae quantltas eodem revolutlonis unius tempore transit, 
eo majori cum velocitate transire debet. Igitur si terra in hac 
materla coelesti relative quiescens ab ea deferretur, & una circa solem 
revolveretur, foret hujus velocitas in principio piscium ad ejusdem 
velocltatem in principlo vlrginis in ratlone sesquialtera. Unde 
solis motus diurnus apparens in principio virginis major esset quam 
minutorum primorum septuaginta, & in princlplo plsclum minor 
quam minutorum quadraginta & octo : cum tamen (experientla teste) 
apparens iste soHs motus major sit in princlplo pisclum quam In 
princlplo vlrginis, & propterea terra velocior in princlplo virglnis quam 
in principlo piscium. Itaque hypothesis vorticum cum phsenomenls 
astronomlcis omnlno pugnat, & non tam ad expHcandos quam ad 
perturbandos motus coelestes conducit. Quomodo vero motus Isti 
in spatiis Hberis sine vorticibus peraguntur Intenigl potest ex Hbro 
primo, & in mundi systemate jam plenius docebltur. 



2 B 



DE 

MUNDI SYSTEMATE. 

LIBER TERTIUS, 



IN libris prsecedentibus principia philosophiae tradidi, non tamei 
philosophica sed mathematica tantum, ex quibus videHcet ii 
rebus philosophicis disputari possit. Haec sunt motuum & viriJ 
um leges & conditiones, quae ad philosophiam maxime spectant. 
Eadem tamen, ne steriha videantur, illustravi schoHis quibusdam 
philosophicis, ea tractans quse generaHa sunt, & in quibus philosophia 
maxime fundari videtur, uti corporum densitatem & resistentiam, 
spatia corporibus vacua, motumque lucis & sonorum. Superest 
ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem systematis mun- 
dani. De hoc argumento composueram Hbrum tertium methodo 
populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus principia posita satis 
inteHecta non fuerint, ii vim consequentiarum minime percipient, 
neque praejudicia deponent, quibus a multis retro annis insueverunt : 
& propterea ne res in disputationes trahatur, summam Hbri iHius 
transtuli in propositiones, more mathematico, ut ab iis soHs legantur 
qui principia prius evolverint. Veruntamen quoniam propositiones 
ibi quam plurimae occurrant, quae lectoribus etiam mathematice 
doctis moram nimiam injicere possint, auctor esse nolo ut quisquanr 
eas omnes evolvat; suffecerit siquis definitiones, leges motuum 
sectiones tres priores Hbri primi sedulo legat, dein transeat ad hun< 
Hbrum de mundi systemate, & reHquas Hbrorum priorum proposi- 
tiones hic citatas pro lubitu consulat. 



DE MUNDI SYSTEMATE, &-€. ^^^y 



REGUL^ PHILOSOPHA NDI, 



REGULA I. 

Causas rerum natMralium non plures admitti dedere, quam quce & ve^^cB 
sint & earum phcenomenis explicandis sufficiant. 

Dicimt utique philosophi : Natura nihil agit frustra, & frustra fit 
per plura quod fieri potest per pauciora. Natura enim simplex est & 
rerum causis superfluis non luxuriat. 

REGULA IL 

Ideoque effectuum naturalium ejtcsdem generis ecsdem assignandce sunt 
causce, quatenus fieri potest. 

Uti respirationis in homine & in bestia; descensus lapidum in 
Europa and in America ; lucis in igne cuHnari & in sole; reflexionis 
lucis in terra & in planetis. 

REGU LA I I L 

Qtialitates corporum quce intendi & remitti nequeunty quceqtie cor- 
poribus omfiibus cojnpettmt in quibus experimenta instittcere hcet, 
pro qualitatibus corporum tmiversorum habendce sunt. 

Nam quahtates corporum non nisi per experimenta innotescunt, 
ideoque generales statuendae sunt quotquot cum experimentis gene- 
rahter quadrant; & quae minui non possunt, non possunt auferri 



388 DE MVNDI SYSTEMATE 

Certe contra experimentorum tenorem somnia temere confingenda 
non sunt, nec a naturae analogia recedendum est, cum ea simplex 
esse soleat & sibi semper consona. Extensio corporum non nisi 
per sensus innotescit nec in omnibus sentitur : sed quia sensibilibus 
omnibus competit de universis affirmatur. Corpora plura dura esse 
experimur. Oritur autem durities totius a duritie partium, & inde 
non horum tantum corporum quae sentiuntur sed 'aliorum etiam 
omnium particulas indivisas esse duras merito concludimus. Cor- 
pora omnia impenetrabilia esse non ratione sed sensu colligimus. 
Quse tractamus impenetrabilia inveniuntur, & inde concludimus 
impenetrabilitatem esse proprietatem corporum universorum. Cor- 
pora omnia mobilia esse, & viribus quibusdam (quas vires inertise 
vocamus) perseverare in motu vel quiete, ex hisce corporum visorum 
proprietatibus colHgimus. Extensio, durities, impenetrabilitas, mobi- 
Htas & vis inertia^ totius oritur ab extensione, duritie, impenetra- 
biHtate, mobiHtate & viribus inertiae partium : & inde concludimus 
omnes omnium corporum partes minimas extendi & duras esse & 
impenetrabiles & mobiles & viribus inerti^e praeditas. Et hoc est 
fundamentum philosophiae totius. Porro corporum partes divisas & 
sibi mutuo contiguas ab invicem separari posse ex phaenomenis 
novimus, & partes indivisas in partes minores ratione distingui posse 
ex mathematica certum est. Utrum vero partes iHae distinctae & 
nondum divisae per vires naturae dividi & ab invicem separari 
possint, incertum est. At si vel unico constaret experimento quod 
particula aHqua indivisa, frangendo corpus durum & soHdum, divi- 
sionem pateretur : concluderemus vi hujus regulae, quod non sokim 
partes divisae separabiles essent, sed etiam quod indivisae in infinituin, 
dividi possent. 

Denique si corpora omnia in circuitu terrae gravia esse in terram| 
idque pro quantitate materiae in singuHs, & lunam gravem esse ii 
terram pro quantitate materiae suae, & vicissim mare nostrum grav< 
esse in lunam, & planetas omnes graves esse in se mutuo, & come- 
tarum similem esse gravitatem in solem, per experimenta & obser- 
vationes astronomicas universaHter constet: dicendum erit per hanc 
regulam quod corpora omnia in se mutuo gravitant. Nam & for- 
tius erit argumentum ex phaenomenis de gravitate universaH, quai 



LIBER TERTIUS. 389 

de corporum impenetrabilltate : de qua utique in corporibus coelesti- 
bus nullum experimentum, nullam prorsus observationem habemus. 
Attamen gravitatem corporibus essentialem esse minime affirmo. 
Per vim insitam intelligo solam vim inertise. Haec immutabilis est. 
Gravitas recedendo a terra diminuitur. 

R E G U L A IV. 

In philosophia experimentali, propositiones ex phcBnomenis per induc- 
tionem collectcE, non obstantibus contrariis hypothesibus^ pro veris 
aut accurate aut qua^nproxi^ne haberi debent, donec alia occurrerint 
phcenomena, per quce aut accuratiores reddantur aut exceptionibus 
obnoxice. 

Hoc fieri debet ne argumentum inductionis tollatur per hypo- 
theses. 



390 



DE MUNDI SYSTEMATE 



PH^NOMENA, 



PH^NOMENON I. 

Planetas cirmmjoviales, radiis ad centrumjovis ductis, areas describere 
temporibus proportionales, eorumqtie tempora periodica, stellis fixis 
gtiiescentibuSy esse in ratione sesquiplicata dista^itiarum ab ipsitcs 
centro, 

Constat ex observationibus astronomicis. Orbes horum planeta- 
rum non differunt sensibiliter a circulis jovi concentricis, & motus 
eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero 
periodica esse in sesquiplicata ratione semidiametrorum orbium con- 
sentiunt astronomi ; & idem ex tabula sequente manifestum est. 

Satellitum jovializim tempora periodica. 

i^' i9^' 2/ 34^'; 3^- 13^- 13' 42'^ f' 3^- 42' 36'^ i6^- i6^- 32' 9^^ 
DistanticB satellitum a centro jovis. 



Ex observationibus 

Borelli 

Townlei per microm. . 
Cassini per telescop. . . 
Cassini per eclips. satell. 


I 


2 


3 


4 


5t 
5.52 
5 
5t 


8S 
8.78 
8 
9 


14 

13,47 

13 


24t ^ 
24.72 / 
23 (Semidiam. 

25TC novis. 


Ex temporibus periodicis . 


5.667 


9,017 


14.384 


25.299J 



Elongationes satellitum jovis & diametrum ejus D. Pound 
micrometris optimis determinavit ut sequitur. Elongatio maxima 
heliocentrica satellitis quarti a centro jovis micrometro in tubo quin- 
decim pedes longo capta fuit, & prodiit in mediocri jovis a terra 
distantia 8' 16'^ circiter. Ea satellitis tertii micrometro in telescopio 



LIBER TERTIUS. 39 1 

pedes 123 longo capta fult, & prodiit in eadem jovis a terra distantla 
4' 42 '^ Elongationes maximae reliquorum satellitum In eadem jovls 
a terra distantia ex temporibus periodicis prodeunt 1' 56'^ a^"]'" & 
i' ^\" 6'". 

Dlameter jovls mlcrometro in telescoplo pedes 123 longo ssepius 
capta fuit, & ad medlocrem jovls a sole vel terra dlstantiam reducta, 
semper minor prodiit quam \o'\ nunquam minor quam 38'^ saepius 
y^" . In telescopiis brevioribus hsec diameter est 40'Wel 41'^. Nam 
lux jovis per inaequalem refrangibilitatem nonnlhll dilatatur, & haec 
dllatatlo minorem habet ratlonem ad dlametrum jovls In longl- 
orlbus & perfectiorlbus telescopiis quam In brevlorlbus & minus per- 
fectis. Tempora qulbus satellltes duo, primus ac tertlus, transibant 
per corpus jovls, ab Inltlo fngressus ad Inltium exltus, & ab Ingressu 
completo ad exltum completum, observata sunt ope telescopil ejusdem 
longiorls. Et dlameter jovls in mediocrl ejus a terra dlstantla pro- 
dllt per transitum priml satellltls 37^^ & per transltum tertll 37I''. 
Tempus etlam quo umbra prlml satellltls translt per corpus jovis 
observatum fult, & inde dlameter jovls In mediocrl ejus a terra dls- 
tantia prodlit 37" circiter. Assumamus dlametrum ejus esse 37^" 
quamproxlme ; & elongationes maximse satellitls prlmi, secundl, 
tertil, & quartl aequales erunt semidiametrls jovis 5,965'; 9,494; 15,141 
& 26,63 respective. 

P H ^ N O M E N O N 1 1 * 

Planetas circicmsaturnios, radiis ad saturnum ductis, areas describere 
temporibus proportionales, & eorum tempora periodica, stellis fixis 
quiescentibuSy esse in ratio7ie sesquiplicata distantiartcm ab ipsius 
centro. 

Cassifius utique ex observatlonibus suls distantias eorum a centro 
saturni & periodica tempora hujusmodl esse statult. 

Satellitum saturniorum tempora periodica. 

jd. 2ih. 18^ 27''; 2^- 17^- 41' 22^^ 4^- 12^- 25' \2"', \t 22^- \\' \^' \ 

79^^- f 48' 00''. 



392 



DE MUNDI SYSTEMATE 



DistanticE satellitum a centro saturni in semidiametris annuli. 



Ex observatioiiibus i^J 2\ 3J 8 24 

Ex temporibtis periodicis. 1,93 2,47 3,45 8 23,35 

Quartl satellitis elongatio maxima a centro saturni ex observationlbus 
colligi solet esse semldlametrorum octo quamproxime. At elongatio 
maxlma satellltis hujus a centro saturni, micrometro optlmo in tele- 
scopio Hugeniano pedes 123 longo capta, prodiit semidlametrorum 
octo cum septem decimls partlbus semldiametrl. Et ex hac obser- J 
vatlone & temporlbus perlodicis, distantiae satellitum a centro saturni^ 
in semidlametrls annuH sunt 2,1; 2,69; 3,75; 8,7 & 25,35. Saturni 
diameter in eodem telescopio erat ad diametrum annuH ut 3 ad 7, 
& diameter annuH dlebus Maii 28 & 29 anni 1719 prodiit 43'^ 
Et inde diameter annuli In mediocri saturni a terra distantia est 42'' 
& diameter saturni \W . Haec ita sunt In telescopiis longlsslmis 
& optimis, propterea quod magnitudines apparentes corporum coel- 
estium in longloribus telescopiis majorem habeant proportionem ad 
dilatatlonem lucis in terminis illorum corporum quam in brevioribus. 
Si rejiclatur lux omnis erratica, manebit dlameter saturni haud major 
quam \6". 

PH^NOMENON III. 

Planetas quijique primarios mercurium^ venerem^ martem.jovem 
& saturnum orbibus suis solem cingere. 

Mercurium & venerem circa solem revolvl ex eorum phaslbus 
lunaribus demonstratur. Plena facle lucentes ultra solem siti sunt ; 
dlmldiata e regione solis ; falcata cls solem, per discum ejus ad modum 
macularum nonnunquam transeuntes. Ex martis quoque plena facle 
prope solis conjunctionem, & glbbosa in quadraturis, certum est, quod 
is solem amblt. De jove etlam & saturno Idem ex eorum phasibus 
semper plenls demonstratur : hos enim luce a sole mutuata splendere 
ex umbris satellitum in ipsos projectis manifestum est. 



LIBER TERTIUS. 393 



PH^NOMENON IV 



Pla7ietarum quinqtce primariorum, & vel solis circa terram vel terrcB 
circa solem tempora periodica, stellis fixis quiescentibus, esse in 
ratione sesquiplicata mediocrium distantiarum a sole. 

Haec a Keplero inventa ratlo in confesso est apud omnes. Eadem 
iitique sunt tempora periodica, eaedemque orbium dimensiones, sive 
sol circa terram sive terra circa solem revolvatur. Ac de mensura 
quidem temporum periodicorum convenit inter astronomos universos. 
Magnitudines autem orbium Keplerus & Btcllialdus omnium diligen- 
tissime ex observationibus determinaverunt : & distantise mediocres, 
quse temporibus periodicis respondent, non differunt sensibiliter a 
distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum 
intermediae ; uti in tabula sequente videre licet. 

Planetarum ac telluris tempora periodica circa solem respectu fixarum^ 
in diebus & partibtis decimalibus diei. 

h 4 c? i ? ^ 

'0759.275. 4332,514- 686,9785. 365,2565. 224,6176. 87,9692. 

Planetarum ac telluris distanticB mediocres a sole. 

h 4 ^ * ? ^ 

Secundum ^^/<?r«w 951000. 519650. 152350. looooo. 72400. 38806. 

^QCMTidMm Btillialdum 954198. 522520. 152350. 100000. 72398. 38585. 

Secundum tempora periodica 954006. 520096. 152369. 100000. 72333. 38710. 

De distantiis mercurii & veneris a sole disputandi non est locus, 
cum hse per eorum elongationes a sole determinentur. De distantiis 
etiam superiorum planetarum a sole tollitur omnis disputatio per 
eclipses satellitum jovis. Etenim per eclipses illas determinatur 
positio umbrae quam jupiter projicit, & eo nomine habetur jovis 
longitudo heliocentrica. Ex longitudinibus autem heliocentrica & 
geocentrica inter se collatis determinatur distantia jovis. 



194 



DE MVNDI SYSTEMATE 



PH^NOM ENON V. 

Pla7ietas primarios radiis ad terram ductis areas describere temporibus 
minime proportionales ; at radiis ad solem ductis areas temporibus 
proportionales perctcrrere, 

Nam respectu terrae nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, 
nunc etiam regrediuntur : At ^olis respectu semper progrediunturi 
idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen 
in periheliis ac tardius in apheliis, sic ut arearum ^quabilis sit 
descriptio. Propositio est astronomis notissima, & in jove apprime 
demonstratur per ecHpses satellitum, quibus echpsibus heHocentricas 
planetae hujus longitudines & distantias a sole determinari diximus. 



PH^NOMENON VI. 

Ltmam radio ad centrum terrce ducto areain tempori proportio7talem 

describere, 

Patet ex lunae motu apparente cum ipsius diametro apparente 
collato. Perturbatur autem motus lunaris ahquantulum a vi solis, 
sed errorum insensibiles minutias in hisce ph^nomenis neghgo. 



LIBER TERTIUS. 395 



PROPOSITION ES, 



PROPOSITIO I. THEOREMA I. 

VireSy qiiibus plaiietcs cirmmjoviales perpetuo retrahtmtur a motibus 
rectilineis & in orbibics stcis rethientur, respicere centrum jovis 
& esse reciproce tct quadrata distantiarum locorzcm ab eodem 
centro, 

Patet pars prior propositionis per phaenomenon primum & pro- 
positionem secundam vel tertiam libri primi : & pars posterior per 
phsenomenon primum & corollarium sextum propositionis quartae 
ejusdem Hbri. 

Idem intelHge de planetis qui saturnum comitantur, per phseno- 
menon secundum. 

PROPOSITIO II. THEOREMA II. 

Vires, qicibus planetcB primarii perpetuo retrahunticr a motibus rectili- 
neis & in orbibics suis retifienttcr, respicere solem & esse reciproce ict 
qtcadrata distantiartcm ab ipsitcs centro, 

Patet pars prior propositionis per phsenomenon quintum & propo- 
sitionem secundam Hbri primi: & pars posterior per phsenomenon 
quartum & propositionem quartam ejusdem Hbri. Accuratissime 
autem demonstratur hsec pars propositionis per quietem apheHorum. 

Nam aberratio quam minima a ratione dupHcata (per corol. i 
prop. XLV Hb. i) motum apsidum in singuHs revolutionibus notabilem, 
in pluribus enormem, efficere deberet. 



396 DE MUNDI SYSTEMATE 

PROPOSITIO III. THEOREMA III. 

Vim, qtia buia retinettcr in orbe suo, respicere terram & esse reciproce 
ut quadratiim distanticB locornm ab ipsius ceiitro. 

Patet assertlonis pars prlor per phaenomenon sextum & proposi- 
tionem secundam vel tertlam llbrl prlmi : & pars posterlor per motum 
tardlsslmum lunarls apogael. Nam motus Ille, qul slngulls revolutlon- 
ibus est graduum tantum trlum & mlnutorum trlum In consequentla, 
contemni potest. Patet enlm (per corol. i prop. xlv llb. i) quod 
sl dlstantla lunae a centro terrse slt ad semldiametrum terrae ut D ad 

4 

I, vis a qua motus talls orlatur sit reclproce ut D^^^, id est, 
reciproce ut ea ipslus D dlgnltas cujus Index est 2-m, hoc est, in 
ratlone dlstantlae paulo majore quam dupllcata inverse, sed quae 
partibus 59^ propius ad dupHcatam quam ad trlpllcatam accedlt. 
Oritur vero ab actione solis (uti posthac dlcetur) & propterea hic 
negllgendus est. Actlo soHs, quatenus lunam dlstrahit a terra, est ut 
dlstantla lunae a terra quamproxime ; ideoque (per ea quae dlcuntur 
in corol. 2 prop. xlv lib. i) est ad lunae vim centripetam ut 2 ad 
357,45 clrclter, seu i ad 178!!. Et neglecta soHs vi tantlHa vis 
rellqua qua luna retlnetur in orbe erit reclproce ut D". Id quod 
etiam plenlus constablt conferendo hanc vlm cum vi gravltatls, ut fit 
in propositlone sequente. 

CoroL Si vls centripeta mediocris qua luna retinetur in orbe 
augeatur primo in ratlone i^^fJad 178!^, deinde etlam in ratlone 
dupHcata semldlametrl terrae ad medlocrem dlstantlam centri lunae 
a centro terrae : habebitur vls centripeta lunaris ad superficlem terrae, 
posito quod vis illa descendendo ad superficlem terrae perpetuo 
augeatur in reciproca altltudlnis ratione dupllcata. 

PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. 

Lunam graviiare in terra^n, & vi gravitatis retrahi semper a motu 
rectilineo & i^i orbe suo retineri, 

Lunae distantla medlocrls a terra in syzyglis est semldlametrorum 
terrestrium secundum PtolemcBum & plerosque astronomorum 59, 



LIBER TERTIUS. 3^7 

secundum Vendelifi^mi & Hiigenmm 60, secundum Copernicum 6ol^, 
secundum Streetnm 60I, & secundum Tychonem 56J. Ast Tycho, 
& quotquot ejus tabulas refractionum sequuntur, constituendo re- 
fractiones solis & lunae (omnino contra naturam lucis) majores 
quam fixarum, idque scrupulis quasi quatuor vel quinque, auxerunt 
parallaxin lunae scrupulis totidem, hoc est, quasi duodecima vel de- 
cima quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur iste error, & dis- 
tantia evadet quasi 60I semidiametrorum terrestrium, fere ut ab 
aliis assignatum est. Assumamus distantiam mediocrem sexaginta 
semidiametrorum in syzygiis ; & lunarem periodum respectu fixarum 
compleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab astronomis 
statuitur ; atque ambitum terrse esse pedum Parisiensium 123249600, 
uti a Gallis mensurantibus definitum est: & si luna motu omni 
privari fingatur ac dimitti, ut urgente vi illa omni, qua (per corol. 
prop. iii) in orbe suo retinetur, descendat in terram ; haec spatio 
minuti unius primi cadendo describet pedes Parisienses 15^2. Col- 
Hgitur hoc ex calculo vel per propositionem xxxvi Hbri primi, 
vel (quod eodem recidit) per corollarium nonum propositionis quartae 
ejusdem Hbri, confecto. Nam arcus iHius quem luna tempore minuti 
unius primi, medio suo motu, ad distantiam sexaginta semidiame- 
trorum terrestrium describat, sinus versus est pedum Parisiensium 
1 51^ circiter, vel magis accurate pedum 15 dig. i & Hn. il. Unde, 
cum vis iHa accedendo ad terram augeatur in dupHcata distantiae 
ratione inversa ideoque ad superficiem terrae major sit partibus 60 
X 60 quam ad kmam, corpus vi iHa in regionibus nostris cadendo 
describere deberet spatio minuti unius primi pedes Parisienses 60 
X60X15A, & spatio minuti unius secundi pedes 15x2, vel magis 
accurate pedes 15 dig. i & Hn. i|. Et eadem vi gravia revera de- 
scendunt in terram. Nam penduH, in latitudine Lutetiae Parisiorum 
ad singula minuta secunda osciHantis, longitudo est pedum trium 
Parisiensium & Hnearum 8i ut observavit Hngenius. Et altitudo 
quam grave tempore minuti unius secundi cadendo describit, est 
ad dimidiam longitudinem penduH hujus in dupHcata ratione circum- 
ferentiae circuH ad diametrum ejus (ut indicavit etiam Htcgenius) 
ideoque est pedum Parisiensium 15 dig. i Hn. \l. Et propterea 
vis qua kma in orbe suo retinetur, si descendatur in superficiem 
terrse, aequaHs evadit vi gravitatis apud nos, ideoque (per reg. i 



398 DE MUNDI SYSTEMATE 

& 1 1) est illa ipsa vis quam nos gravltatem dicere solemus. Nam 
si gravitas ab ea diversa esset, corpora viribus utrisque conjunctis 
terram petendo duplo velocius descenderent, & spatio minuti unlus 
secundl cadendo describerent pedes Parlsienses 30I : omnino contra 
experlentiam. 

Calculus hlc fundatur In hypothesl quod terra qulescit. Nam si 
terra & luna moveantur circum solem, & Interea quoque circum 
commune gravltatis centrum revolvantur : manente lege gravitatis 
distantla centrorum lunae ac terrse ab invlcem erit 60J semidlametro- 
rum terrestrlum clrciter ; utl computationem Ineunti pateblt Com- 
putatlo autem iniri potest per prop. lx Hb. i. 

Scholmm. 
Demonstratio propositionis sic fuslus expHcarl potest. SI lunae 
plures circum terram revolverentur, perinde ut fit in systemate 
saturnl vel jovls : harum tempora periodica (per argumentum In- 
ductionls) observarent legem planetarum a Keplero detectam, & 
propterea harum vires centripetae forent reclproce ut quadrata dis- 
tantlarum a centro terrae, per prop. i hujus. Et si earum infima 
esset parva, & vertices altissimorum montlum prope tangeret : 
hujus vis centrlpeta, qua retlneretur in orbe, gravitates corporum 
in vertlclbus Illorum montlum (per computatlonem praecedentem) 
aequaret quamproxime, efiiceretque ut eadem lunula, sl motu omnl 
quo pergit in orbe suo privaretur, defectu vls centrifugae, qua In 
orbe permanserat, descenderet In terram, Idque eadem cum velo- 
citate qua gravla cadunt in illorum montium verticibus, propter 
sequalltatem virium qulbus descendunt. Et sl vls illa, qua lunula 
Illa Infima descendit, dlversa esset a gravitate, & lunula Illa etiam 
gravis esset in terram more corporum in verticibus montlum : eadem 
lunula vi utraque conjuncta duplo velocius descenderet. Quare 
cum vlres utraeque, & hae corporum gravlum, & illae lunarum, 
centrum terrae resplclant, & sint Inter se similes & aequales, eaedem 
(per reg. i & 11) eandem habebunt causam. Et propterea vis illa, 
qua luna retlnetur in orbe suo, ea ipsa erit quam nos gravitatem 
dlcere solemus : Idque maxime ne lunula in vertlce montls vel 
gravltate careat, vel duplo velocius cadat quam corpora gravia solent 
cadere. 



LIBER TERTIUS. 399 



PROPOSITIO V. THEOREMA V. 

Planetas circtcmjoviales gravitare in jovem, circumsaturnios in satur- 
num, & circumsolares in solem, & vi gravitatis sucb retrahi 
semper a motibus rectilineis, & in orbibus curvilineis retineri. 

Nam revolutlones planetarum clrcumjovlalium circa jovem, clr- 
cumsaturnlorum circa saturnum, & mercurli ac veneris reliquorum- 
que circumsolarium clrca solem sunt phaenomena ejusdem generis 
cum revolutione lunae clrca terram ; & propterea (per reg. 11) a 
causis ejusdem generis dependent : praesertim cum demonstratum sit 
quod vires, a quibus revolutiones illae dependent, respiciant centra 
jovis, saturni ac solis, & recedendo a jove, saturno & sole decrescant 
eadem ratione ac lege, qua vis gravltatls decrescit in recessu a 
terra. 

Corol. I. Gravltas Igltur datur In planetas universos. Nam vene- 
rem, mercurium, caeterosque esse corpora ejusdem generis cum 
jove & saturno nemo dubitat. Et cum attractio omnis per motus 
legem tertiam mutua sit, jupiter In satellites suos omnes, saturnus 
In suos, terraque In lunam, & sol In planetas omnes primarlos gra- 
vitabit. 

Corol. 2. Gravltatem, quae planetam unumquemque resplclt, esse 
reciproce ut quadratum distantiae locorum ab ipsius centro. 

Corol. 3. Graves sunt planetae omnes in se mutuo per corol. i 
& 2. Et hinc juplter & saturnus prope conjunctionem se invicem 
attrahendo sensibillter perturbant motus mutuos, sol perturbat motus 
lunares, sol & luna perturbant mare nostrum, ut In sequentibus 
explicabltur. 

Scholium. 

Hactenus vim illam qua corpora coelestia In orblbus suls retlnentur 
centripetam appellavimus. Eandem jam gravitatem esse constat, & 
propterea gravitatem In posterum vocabimus. Nam causa vls ilhus 
centripet^, qua luna retlnetur in orbe, extendl debet ad omnes 
planetas per reg. i, n, & iv. 



400 ^^ MUNDI SYSTEMATE 



PROPOSITIO VI. THEOREMA VI. 

Corpora omnia in planetas singtUos gravitare, & pondera eorum in 
eundem quemvis planetam, paribus distafitiis a centro planetce, pro- 
portionalia esse quantitati materice in singulis. 

Descensus gravium omnium in terram (dempta saltem insequali 
retardatione quse ex aeris perexigua resistentia oritur) sequalibus 
temporibus fieri, jamdudum observarunt alii ; & accuratissime quidem 
notare licet sequalitatem temporum in pendulis. Rem tentavi in 
auro, argento, plumbo, vitro, arena, sale communi, ligno, aqua, 
tritico. Comparabam pyxides duas ligneas rotundas & sequales. 
Unam implebam ligno, & idem auri pondus suspendebam (quam 
potui exacte) in alterius centro oscillationis. Pyxides ab sequalibus 
pedum undecim filis pendentes constituebant pendula, quoad 
pondus, figuram, & aeris resistentiam omnino paria : & paribus 
oscillationibus, juxta positse, ibant una & redibant diutissime. 
Proinde copia materise in auro (per corol. i & 6 prop. xxiv lib. ii.) 
erat ad copiam materise in ligno, ut vis motricis actio in totum 
aurum ad ejusdem actionem in totum lignum ; hoc est, ut pondus 
ad pondus. Et sic in cseteris. In corporibus ejusdem ponderis 
differentia materise, quse vel minor esset quam pars millesima mate- 
rise totius, his experimentis manifesto deprehendi potuit. Jam vero 
naturam gravitatis in planetas eandem esse atque in terram non est 
dubium. Elevari enim fingantur corpora hsec terrestria ad usque 
orbem lunse & una cum luna motu omni privata demitti, ut in 
terram simul cadant ; & per jam ante ostensa certum est quod tem- 
poribus sequaHbus describent sequaHa spatia cum luna, ideoque quod 
sunt ad quantitatem materise in luna, ut pondera sua ad ipsius pondus. 
Porro quoniam satelHtes jovis temporibus revolvuntur quse sunt in 
ratione sesquipHcata distantiarum a centro jovis, erunt eorum gravi- 
tates acceleratrices in jovem reciproce ut quadrata distantiarum a cen- 
tro jovis ; & propterea in sequaHbus a jove distantiis, eorum gravitates 
acceleratrices evaderent sequales. Proinde temporibus sequaHbus ab 
sequaHbus altitudinibus cadendo, describerent sequaHa spatia ; perinde 



LTBER TERTIUS. ^OI 

ut fit In gravibus in hac terra nostra. Et eodem argumento planetae 
circumsolares, ab sequalibus a sole distantiis demissi, descensu suo 
in solem aequalibus temporibus sequalia spatia describerent. Vires 
autem, quibus corpora in^qualia aequaliter accelerantur, sunt ut 
corpora ; hoc est, pondera ut quantitates materise in planetis. Porro 
jovis & ejus satelUtum pondera in solem proportionaHa esse quan- 
titatibus materiae eorum patet ex motu satellitum quam maxime 
regulari ; per corol. 3 prop. lxv Hb. i. Nam si horum aliqui 
magis traherentur in solem, pro quantitate materiae suae, quam 
caeteri : motus satelHtum (per corol. 2 prop. lxv lib. i) ex inae- 
quaHtate attractionis perturbarentur. Si, paribus a sole distantiis, 
sateHes aHquis gravior esset in solem pro quantitate materiae suae, 
quam jupiter pro quantitate materiae suae, in ratione quacunque 
data, puta ^ ad e: distantia inter centrum soHs & centrum orbis 
sateHitis major semper foret quam distantia inter centrum soHs & 
centrum jovis in ratione subdupHcata quam proxime ; uti calculo 
quodam inito inveni. Et si sateHes minus gravis esset in solem 
in ratione iHa d ad e, distantia centri orbis sateHitis a sole minor 
foret quam distantia centri jovis a sole in ratione iHa subdupHcata. 
Ideoque si, in aequaHbus a sole distantiis, gravitas acceleratrix satel- 
Htis cujusvis in solem major esset vel minor quam gravitas accele- 
ratrix jovis in solem, parte tantum miHesima gravitatis totius ; foret 
distantia centri orbis sateHitis a sole major vel minor quam distantia 
jovis a sole parte Woir distantiae totius, id est, parte quinta distantiae 
sateHitis extimi a centro jovis : quae quidem orbis eccentricitas 
foret valde sensibiHs. Sed orbes sateHitum sunt jovi concentrici, 
& propterea gravitates acceleratrices jovis & sateHitum in solem 
sequantur inter se. Et eodem argumento pondera saturni & comitum 
ejus in solem, in sequaHbus a sole distantiis, sunt ut quantitates 
materise in ipsis : & pondera lunse ac terrse in solem vel nuHa sunt, 
vel earum massis accurate proportionaHa. AHqua autem sunt per 
corol. I & 3 prop. v. 

Quinetiam pondera partium singularum planetse cujusque in aHum 
quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singuHs. Nam si 
partes aHquse plus gravitarent, aHse minus, quam pro quantltate 
materlae : planeta totus, pro genere partium quibus maxime abundet, 
gravitaret magis vel minus quam pro quantltate materlse totlus. Sed 

2 c 



402 



DE MUNDI SYSTEMATE 



nec refert utrum partes illae externce sint vel internse. Nam si verbi 
gratia corpora terrestria, quae apud nos sunt, in orbem lunae elevari 
fingantur, & conferantur cum corpore lunee : si horum pondera essent 
ad pondera partium externarum lunse ut quantitates materise in iisdem, 
ad pondera vero partium internarum in majori vel minori ratione, 
forent eadem ad pondus lunae totius in majori vel minori ratione : 
contra quam supra ostensum est. 

Corol. I. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis 
& texturis. Nam si cum formis variari possent ; forent majora vel^ 
minora, pro varietate formarum, in aequali materia : omnino conti 
experientiam. 

CoroL 2. Corpora universa, quae circa terram sunt, gravia sunl 
in terram ; & pondera omnium, quae aequaliter a centro tern 
distant, sunt ut quantitates materiae in iisdem. Haec est qualitc 
omnium in quibus experimenta instituere licet, & propterea per regj 
III de universis affirmanda est. Si sether aut corpus aHud quod- 
cunque vel gravitate omnino destitueretur, vel pro quantitate 
materiae suae minus gravitaret : quoniam id (ex mente Aristotelisy 
Cartesii & aHorum) non differt ab aHis corporibus nisi in forma 
materiae, posset idem per mutationem formae gradatim transmutari 
in corpus ejusdem conditionis cum iis, quae pro quantitate materiae 
quam maxime gravitant, & vicissim corpora maxime gravia, for- 
mam ilHus gradatim induendo, possent gravitatem suam gradatim^ 
amittere. Ac proinde pondera penderent a formis corporum, pos- 
sentque cum formis variari, contra quam probatum est in corollari( 
superiore. 

CoroL 3. Spatia omnia non sunt aequaliter plena. Nam si spatij 
omnia aequaliter plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris ^ 
impleretur, ob summam densitatem materiae, nil cederet gravitati 
specificae argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque 
densissimi ; & propterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus 
in aere descendere posset. Nam corpora in fluidis, nisi specifice 
graviora sint, minime descendunt. Quod si quantitas materiae in 
spatio dato per rarefactionem quamcunque diminui possit, quidni 
diminui possit in infinitum ? 

CoroL 4. Si omnes omnium corporum particulae solidae sinl 
ejusdem densitatis, neque sine poris rarefieri possint, vacuum datur. 



LIBER TERTIUS. * 403 

Ejusdem densltatls esse dlco, quarum vlres Inertlae sunt ut magnl- 
tudines. 

Corol. 5. VIs gravltatls dlversl est generls a vl magnetlca. Nam 
attractlo magnetlca non est ut materla attracta. Corpora allqua magls 
trahuntur, alla mlnus, plurlma non trahuntur. Et vls magnetlca In 
uno & eodem corpore Intendl potest & remlttl, estque nonnunquam 
longe major pro quantltate materlse quam vls gravltatis^ & In recessu 
a magnete decrescit in ratlone distantiae non dupHcata, sed fere 
trlphcata, quantum ex crassls quibusdam observationibus animadvertere 
potul. 

PROPOSITIO VII. THEOREMA VII. 

Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse 
quantitati m^terice in singulis. 

Planetas omnes In se mutuo graves esse jam ante probavlmus, ut 
& gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reclproce ut 
quadratum distantlae locorum a centro planetse. Et inde consequens 
est (per prop. lxix Hb. i & ejus coronaria) gravitatem in omnes 
proportlonalem esse materlse in iisdem. 

Porro cum planetae cujusvis A partes omnes graves slnt in plane- 
tam quemvis By & gravitas partls cujusque slt ad gravitatem totius, 
ut materia partis ad materlam totius, & actloni omnl reactlo (per 
motus legem tertlam) aequaHs slt ; planeta B in partes omnes planetae 
A vicissim gravitabit, & erit gravltas sua In partem unamquamque 
ad gravitatem suam in totum, ut materia partls ad materiam totlus. 
Q.E.D. 

Corol. I. Orltur igltur & componitur gravltas in planetam totum 
ex gravltate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus in 
attractionibus magnetlcls & electrlcis. Orltur enlm attractio omnis 
in totum ex attractlonlbus in partes slngulas. Res intenigetur In 
gravltate, conclplendo planetas plures minores in unum globum 
colre & planetam majorem componere. Nam vls totius ex viribus 
partium componentium orlri debeblt. Slquis objlciat quod corpora 
omnia, quae apud nos sunt, hae lege gravltare deberent in se mutuo, 
cum tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur : respondeo quod 



404 



DE MUNDI SYSTEMATE 



gravitas in haec corpora, cum sit ad gravitatem in terram totam ut 
sunt haec corpora ad terram totam, longe minor est quam quae sentiri 
possit. 

Corol: 2. Gravitatio in singulas corporis particulas aequales est 
reciproce ut quadratum distantiae locorum a particuHs. Patet per 
corol. 3 prop. lxxiv Hb. i. 

PROPOSITIO VIII. THEOREMA VIII. 

Si globorum duoru7n in se mutuo gravitantium materia tmdique in 
regionibus, qucB a centris cequaliter distatit, homogenea sit : erit 
pondus globi alterutrius in alterum reciproce ut quadratum distantics 
inter centra, 

Postquam invenissem gravitatem in planetam totum oriri & com- 
poni ex gravitatibus in partes ; & esse in partes singulas reciproce 
proportionalem quadratis distantiarum a partibus : dubitabam an 
reciproca illa proportio dupHcata obtineret accurate in vi tota ex 
viribus pluribus composita, an vero quam proxime. Nam fieri posset 
ut proportio, quae in majoribus distantiis satis accurate obtineret, 
prope superficiem planetae ob inaequales particularum distantias & 
situs dissimiles, notabiHter erraret. Tandem vero, per prop. lxxv & 
Lxxvi Hbri primi & ipsarum coroHaria, inteHexi veritatem proposi- 
tionis de qua hic agitur. 

Corol. I. Hinc inveniri & inter se comparari possunt pondera 
corporum in diversos planetas. Nam pondera corporum aequaHum 
circum planetas in circuHs revolventium sunt (per corol. 2 prop. iv 
Hb. i) ut diametri circulorum directe & quadrata temporum periodi- 
corum inverse ; & pondera ad superficies planetarum, aHasve quasvis 
a centro distantias, majora sunt vel minora (per hanc propositionem) 
in dupHcata ratione distantiarum inversa. Sic ex temporibus perio- 
dicis veneris circum solem dierum 224 & horarum i6f, sateHitis 
extimi circumjoviaHs circum jovem dierum 16 & horarum 16A, sa- 
teHitis Hugeniani circum saturnum dierum 15 & horarum 22!, & 
kmae circum terram dierum 27 hor. 7 min. 43, coHatis cum distantia 
mediocri veneris a sole & cum elongationibus maximis heHocentri- 
cis sateHitis extimi circumjoviaHs a centro jovis 8^ 16'^, sateHitis 



LIBER TERTIUS. ^or 

Hugenlani a centro saturnl 3' 4^^^, & lunae a centro terrae 10' 33'', 
computum Ineundo invenl quod corporum aequalium & a centro solls, 
jovis, saturni ac terrse aequallter dlstantium pondera slnt in solem, 
jovem, saturnum ac terram ut i, twt, ¥^, & W282 respective, & 
auctls vel diminutis dlstantiis, pondera diminuuntur vel augentur In 
duplicata ratlone : pondera aequalium corporum in solem, jovem, 
saturnum ac terram in dlstantils loooo, 997, 791, & 109 ab eorum 
centrls, atque Ideo in eorum superficlebus, erunt ut loooo, 943, 529, 
& 435 respective. Quanta sint pondera corporum in superlicie lunae 
dicetur in sequentibus. 

Corol. 2. Innotescit etiam quantitas materiae in planetis slngulis. 
Nam quantitates materiae in planetls sunt ut eorum vlres in aequalibus 
dlstantlis ab eorum centris, id est, in sole, jove, saturno ac terra 
sunt ut I, TTTBT, W^T, & 1 6 6^2 s a respective. Si parallaxls solls statuatur 
major vel minor quam 10'' 30'^^ debebit quantltas materlae in terra 
augeri vel diminui in trlplicata ratlone. 

Corol. 3. Innotescunt etiam densitates planetarum. Nam pondera 
corporum aequallum & homogeneorum in sphaeras homogeneas sunt 
in superficlebus sphaerarum ut sphaerarum diametri, per prop. lxxii 
lib. 1, ideoque sphaerarum heterogenearum densitates sunt ut pon- 
dera illa appHcata ad sphaerarum diametros. Erant autem verae 
solis, jovis, saturni ac terrae diametri ad invicem ut loooo, 997, 791, 
& 109, & pondera in eosdem ut loooo, 943, 529 & 435 respective, 
& propterea densitates sunt ut 100, 94!, 67 & 400. Densitas terrae 
quae prodit ex hoc computo non pendet a parallaxi solis, sed deter- 
mlnatur per parallaxin lunae, & propterea hlc recte definltur. Est 
igltur sol paulo densior quam juplter, & jupiter quam saturnus, & 
,terra quadruplo densior quam sol. Nam per ingentem suum calorem 
sol rarescit. Luna vero denslor est quam terra, ut in sequentibus 
patebit. 

Corol. 4. Densiores igltur sunt planetae qui sunt minores, caeterls 
parlbus. Sic enlm vis gravitatls in eorum superficlebus ad aequaH- 
tatem magis accedit. Sed & densiores sunt planetae, caeteris paribus, 
qui sunt soh propiores ; ut jupiter saturno, & terra jove. In diversis 
utlque dlstantiis a sole collocandi erant planetae ut quihbet pro 
gradu densitatis calore sohs majore vel mlnore frueretur. Aqua 
nostra, si terra locaretur in orbe saturni, rigesceret, si in orbe 



4o6 DE MUNDI SYSTEMATE 

mercurii in vapores statim abiret. Nam lux solis, cui calor propor- 
tionalis est, septuplo densior est in orbe mercurii quam apud nos : & 
thermometro expertus sum quod septuplo solis aestivi calore aqua 
ebullit. Dubium vero non est quin materia mercurii ad calorem 
accommodetur, & propterea densior sit hac nostra; cum materia 
omnis densior ad operationes naturales obeundas majorem calorem 
requirat. 

PROPOSITIO IX. THEOREMA IX. 

Gravitatem pergendo a superficiebtis planetarum deorsum decrescere in 
ratio7ie dista^itiarum a ce^itro quam proxime, 

Si materia planetse quoad densitatem uniformis esset, obtineret 
haec propositio accurate : per prop. lxxiii lib. i. Error igitur tantus 
est, quantus ab inaequabiH densitate oriri possit. 

PROPOSITIO X. THEOREMA X. 

Mottis planetarum in ccelis diutissime conservari posse, 

In scholio propositionis xl lib. 1 1 ostensum est quod globus 
aquae congelatae, in aere nostro libere movendo & longitudinem 
semidiametri suae describendo, ex resistentia aeris amitteret motus 
sui partem tts^. Obtinet autem eadem proportio quam proxime 
in globis utcunque magnis & velocibus. Jam vero globum terrae 
nostrae densiorem esse, quam si totus ex aqua constaret, sic colligo. 
Si globus hicce totus esset aqueus, quaecunque rariora essent quam 
aqua, ob minorem specificam gravitatem emergerent & supernata- 
rent. Eaque de causa globus terreus aquis undique coopertus, si 
rarior esset quam aqua, emergeret alicubi, & aqua omnis inde 
defluens congregaretur in regione opposita. Et par est ratio terrae 
nostrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec si densior non 
esset, emergeret ex maribus, & parte sui pro gradu levitatis extaret 
ex aqua, maribus omnibus in regionem oppositam confluentibus. 
Eodem argumento maculae solares leviores sunt quam materia lucida 
solaris cui supernatant. Et in formatione qualicunque planeta- 
rum, ex aqua materia omnis gravior, quo tempore massa fluida erat, 



LIBER TERTIUS. .^^ 

centrum petebat. Unde cum terra communis suprema quasi duplo 
gravior sit quam aqua, & paulo inferius in fodinis quasi triplo vel 
quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur : verisimile est 
quod copia materiae totius in terra quasi quintuplo vel sextuplo 
major sit quam si tota ex aqua constaret ; praesertim cum terram 
quasi quadruplo densiorem esse quam jovem jam ante ostensum sit. 
Quare si jupiter paulo densior sit quam aqua, hic spatio dierum tri- 
ginta, quibus longitudinem 459 semidiametrorum suarum describit, 
amitteret in medio ejusdem densitatis cum aere nostro motus sui 
partem fere decimam. Verum cum resistentia mediorum minuatur 
in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, quae partibus 1 3! levior 
est quam argentum vivum, minus resistat in eadem ratione ; & 
aer, qui partibus 860 levior est quam aqua, minus resistat in eadem 
ratione : si ascendatur in ccelos ubi pondus medii, in quo planetae 
moventur, diminuitur in immensum, resistentia prope cessabit. Os- 
tendimus utique in scholio ad prop. xxii lib. 1 1 quod si ascenderetur 
ad altitudinem milliarium ducentorum supra terram, aer ibi rarior 
foret quam ad superficiem terrae in ratione 30 ad 0,0000000000003998, 
seu 75000000000000 ad i circiter. Et hinc stella jovis in medio 
ejusdem densitatis cum aere illo superiore revolvendo, tempore 
annorum 1 000000, ex resistentia medii non amitteret motus sui partem 
decimam centesimam millesimam. In spatiis utique terrae proximis, 
nihil invenitur quod resistentiam creet praeter aerem exhalationes 
& vapores. His ex vitro cavo cyHndrico diHgentissime exhaustis 
gravia intra vitrum Hberrime & sine omni resistentia sensibiH cadunt ; 
ipsum aurum & pluma tenuissima simul demissa aequaH cum velo- 
citate cadunt, & casu suo describendo altitudinem pedum quatuor sex 
vel octo simul incidunt in fundum, ut experientia compertum est. 
Et propterea si in ccelos ascendatur aere & exhalationibus vacuos, 
planetae & cometae sine omni resistentia sensibiH per spatia iHa 
diutissime movebuntur. 



4o8 DE MUNDl SYSTEMATE 

HYPOTHESIS I. 

Centrtcm systematis mtmdajii qtciescere, 

Hoc ab omnlbus concessum est, dum aliqui terram, alii solem 
in centro systematis quiescere contendant. Videamus quid inde 
sequatur. 

PROPOSITIO XI. THEOREMA XI. 

Commune centrtim gravitatis terrcEy solis & pla^ietarum omnium 

qtnescere. 

Nam centrum illud (per legum corol. iv) vel quiescet vel pro- 
gredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper progre- 
diente centrum mundi quoque movebitur contra hypothesin. 

PROPOSITIO XII. THEOREMA XII. 

Solem motu perpetuo agitari, sed mmqtcam longe recedere a communi 
gravitatis centro planetarum omnitmt. 

Nam cum (per corol. 2 prop. viii) materia in sole sit ad materiam 
in jove ut 1067 ad i, & distantia jovis a sole sit ad semidiametrum 
soHs in ratione paulo majore ; incidet commune centrum gravitatis 
jovis & solis in punctum paulo supra superficiem solis. Eodem 
argumento cum materia in sole sit ad materiam in saturno ut 302 1 
ad I, & distantia saturni a sole sit ad semidiametrum solis in ratione 
paulo minore : incidet commune centrum gravitatis saturni & soHs 
in punctum paulo infra superficiem soHs. Et ejusdem calcuH vestigiis 
insistendo si terra & planetse omnes ex una soHs parte consisterent, 
commune omnium centrum gravitatis vix integra soHs diametro a 
centro soHs distaret. AHis in caslbus dlstantia centrorum semper 
minor est. Et propterea, cum centrum IHud gravitatis perpetuo 
quiescit, sol pro vario planetarum situ in omnes partes movebitur, sed 
a centro IHo nunquam longe recedet. 

Corol. Hinc commune gravitatis centrum terrse, soHs & plane- 
tarum omnium pro centro mundi habendum est Nam cum terra, 



LIBER TERTIUS. .qq 

sol & planetae omnes gravitent In se mutuo, & propterea, pro vi 
gravitatis suae, secundum leges motus perpetuo agitentur : perspicuum 
est quod horum centra mobilia pro mundi centro qulescente haberl 
nequeunt. Si corpus illud in centro locandum esset in quod corpora 
omnia maxime gravltant (utl vulgl est opinlo) privilegium Istud 
concedendum esset soll. Cum autem sol moveatur, eligendum erit 
punctum qulescens, a quo centrum solls quam mlnime dlscedit^ & a 
quo idem adhuc minus discederet, sl modo sol densior esset & major, 
ut minus moveretur. 

PROPOSITIO XIII. THEOREMA XIII. 

PlanetiE moventur in ellipsibus umdiliacm habentibus in centro solis, 
& radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporibus 
proportionales, 

Disputavlmus supra de hls motlbus ex phaenomenls. Jam cog- 
nltis motuum prlnclplls, ex hls colliglmus motus coelestes a prlorl. 
Quonlam pondera planetarum In solem sunt reclproce ut quadrata 
dlstantiarum a centro solls ; sl sol qulesceret & planetse rellqul non 
agerent in se mutuo, forent orbes eorum elllptlci, solem in umbillco 
communl habentes, & areae descrlberentur temporlbus proportionales 
(per prop. i & xi & corol. i prop. xiii lib. i) actiones autem 
planetarum In se mutuo perexiguae sunt (ut posslnt contemni) & 
motus planetarum in ellipslbus clrca solem mobilem minus perturbant 
(per prop. lxvi Hb. i) quam si motus istl clrca solem quiescentem 
peragerentur. 

Actio quldem jovls In saturnum non est omnlno contemnenda. 
Nam gravitas In jovem est ad gravltatem In solem (parlbus distantiis) 
ut I ad 1067; Ideoque In conjunctlone jovls & saturnl, quoniam 
distantia saturnl a jove est ad distantlam saturnl a sole fere ut 4 ad 9, 
erlt gravitas saturni in jovem ad gravltatem saturni In solem ut 81 ad 
16 X 1067 seu I ad 211 clrciter. Et hinc oritur perturbatlo orbls 
saturnl In slngulls planetae hujus cum jove conjunctlonibus adeo 
sensibills ut ad eandem astronoml haereant. Pro varlo sltu planetae In 
hls conjunctionlbus, eccentrlcltas ejus nunc augetur nunc dlminultur, 
aphelium nunc promovetur nunc forte retrahitur, & medius motus 



4IO 



DE MUNDI SYSTEMATE 



per vices acceleratur & retardatur. Error tamen omnls in motu 
ejus circum solem a tanta vi oriundus (praeterquam in motu medio) 
evitari fere potest constituendo umbilicum inferiorem orbis ejus in 
communi centro gravitatis jovis & solis (per prop. lxvii lib. i) & 
propterea ubi maximus est vix superat minuta duo prima. Et error 
maximus in motu medio vix superat minuta duo prima annuatim. In 
conjunctione autem jovis & saturni gravitates acceleratrices solis in 
saturnum, jovis in saturnum & jovis in solem sunt fere ut 1 6, 8 1 & 

T T\ ^^ 5\ T ^^ ^ C\ O T 

^ seu 156609, ideoque differentia gravitatum solis in 

25 _ 

saturnum & jovis in saturnum est ad gravitatem jovis in solem ut 65 

ad 156609 seu i ad 2409. Huic autem differentiae proportionalis 

est maxima saturni efficacia ad perturbandum motum jovis, & prop- 

terea perturbatio orbis jovialis longe minor est quam ea saturnii. 

Reliquorum orbium perturbationes sunt adhuc longe minores, praeter- 

quam quod orbis terrse sensibiliter perturbatur a luna. Commune 

centrum gravitatis terrae & lunee ellipsin circum solem in umbilico 

positum percurrit, & radio ad solem ducto areas in eadem temporibus 

proportionales describit, terra vero circum hoc centrum commune 

motu menstruo revolvitur. 

PROPOSITIO XIV. THEOREMA XIV. 
Orbium aphelia & nodi quiescunt, 

Aphelia quiescunt, per prop. xi lib. i ; ut & orbium plana, per 
ejusdem Hbri prop. i & quiescentibus planis quiescunt nodi. Atta- 
men a planetarum revolventium & cometarum actionibus in se invicem 
orientur inaequalitates aliquae, sed quae ob parvitatem hic contemni 
possunt. 

Corol. i. Quiescunt etiam stellae fixae, propterea quod datas ad 
aphelia nodosque positiones servant. 

CoroL 2. Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex 
terrae motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum 
distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione systematis nostri. 
Quinimo fixae in omnes cceli partes aequaliter dispersae contrariis 
attractionibus vires mutuas destruunt, per prop. lxx lib. i. 



LIBER TERTIUS. ^H 

Scholmm. 
Cum planetse soli proplores (nempe mercurius, venus, terra, & 
mars) ob corporum parvitatem parum agant in se invicem : horum 
aphelia & nodi quiescent, nisi quatenus a viribus jovis, saturni 
& corporum superiorum turbentur. Et inde colligi potest per 
theoriam gravitatis, quod horum aphelia moventur aHquantulum in 
consequentia respectu fixarum, idque in proportione sesquipHcata 
distantiarum horum planetarum a sole. Ut si aphelium martis in 
annis centum conficiat 33' 20'^ in consequentia respectu fixarum ; 
apheha terrse, veneris, & mercurii in annis centum conficient 1 7^ \o" , 
\o' 53^^ & 4' i(i" respective. Et hi motus, ob parvitatem, negli- 
guntur in hac propositione. 

PROPOSITIO XV. PROBLEMA I. 

Invenire orbinm principales diametros, 

Capiendae sunt hse in ratione subsesquiplicata temporum perlodi- 
corum, per prop. xv lib. i ; deinde sigillatim augendae in ratione 
summse massarum solis & planetse cujusque revolventis ad primam 
duarum medie proportionaHum inter summam illam & solem, per 
prop. LX Hb. I. 

PROPOSITIO XVI. PROBLEMA II. 

hivenire orbium eccentricitates & aphelia, 

Problema confit per prop. xviii Hb. i. 

PROPOSITIO XVII. THEOREMA XV. 

Planetarum motus ditcrnos nniformes esse, & librationem luncB ex 

ipsius motu diurno oriru 

Patet per motus legem i, & corol. 22 prop. lxvi Hb. i. Jupiter 
utique respectu fixarum revolvitur horis 9 56^, mars horis 24 39^ 
venus horls 23 clrciter, terra horis 23 56^ sol dlebus 25 J & luna 
dlebus 27 hor. 7. 43^ Haec ita se habere ex phsenomenis manifes- 
tum est. Maculse in corpore soHs ad eundem situm in disco soHs 
redeunt diebus 27I clrciter, respectu terrse ; ideoque respectu fixa- 
rum sol revolvltur diebus 25^ circiter. Quoniam vero lunse circa 



412 DE MUNDI S YSTEMA TE 

axem suum uniformiter revolventis dies menstruus est : hujus facies 
eadem ulteriorem umbilicum orbis ejus semper respiciet quam- 
proxime, & propterea pro situ umbilici illius deviabit hinc inde a 
terra. Haec est libratio lunae in longitudinem. Nam Hbratio in 
latitudinem orta est ex latitudine lunae & inclinatione axis ejus ad 
planum ecHpticae. Hanc Hbrationis lunaris theoriam D. N. Alercator 
in astronomia sua, initio anni 1676 edita, ex Hteris meis plenius 
exposuit. SimiH motu extimus saturni sateHes circa axem suum 
^ revolvi videtur, eadem sui facie saturnum perpetuo respiciens. Nam 
circum saturnum revolvendo, quoties ad orbis sui partem orienta- 
lem accedit, segerrime videtur & plerumque videri cessat : id quod 
evenire potest per maculas quasdam in ea corporis parte quae terrae 
tunc obvertitur, ut Cassinus notavit. SimiH etiam motu sateHes 
extimus joviaHs circa axem suum revolvi videtur, propterea quod in 
parte corporis jovi aversa maculam habeat quae tanquam in corpore 
jovis cernitur ubicunque sateHes inter jovem & oculos nostros 
transit. 

PROPOSITIO XVIII. THEOREMA XVI. 

Axes planetarum diametris qucs ad eosdem axes normaliter ducti7itur 

minores esse. 

Planetae sublato omni motu circulari diurno figuram sphaericam, 
ob aequalem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per 
motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta aequa- 
torem ascendere conentur. Ideoque materia si fluida sit ascensu 
suo ad aequatorem diametros adaugebit, axem vero descensu suo ad 
polos diminuet. Sic jovis diameter (consentientibus astronomorum 
observationibus) brevior deprehenditur inter polos quam ab oriente 
in occidentem. Eodem argumento, nisi terra nostra paulo altior 
esset sub aequatore quam ad polos, maria ad polos subsiderent, & 
juxta aequatorem ascendendo ibi omnia inundarent. ■ 

PROPOSITIO XIX. PROBLEMA III. * 

/nvenire proportionem axis planetcs ad diametros eidem perpendiculares. 
Norwoodus noster circaannum 1635 mensurando distantiam pedum 



LIBER TERTIUS. • 413 

Londlnensium 905751 mX.^r Londinuni & Eboracum, & observando 
differentlam latitudlnum 2 gr. 28' colleglt mensuram gradus unlus 
esse pedum Londlnenslum 367196, id est, hexapedarum Parlslenslum 

57300- 

Picartus mensurando arcum gradus unius & 22' 55'^ In meridiano 

inter Ambianum 8l Malvoisinam, invenlt arcum gradus unlus esse 

hexapedarum Parlsiensium 57060. Cassinus senlor mensuravlt dls- 

tantlam in merldiano a villa Collioicre in Roicssiliofi ad observatorium 

Parisiense ; & filius ejus addidit distantiam ab observatorio ad turrem 

urbis Dicnkirk. Dlstantia tota erat hexapedarum 486156!^, & differ- 

entia latltudinum villae Collioicre & urbis Dunkirk erat graduum octo 

& 31^ \\l". Unde arcus gradus unlus prodit hexapedarum Pari- 

slensium 57061. Et ex his mensuris coHIgltur ambltus terrae pedum 

Parisienslum 123249600, & semidiameter ejus pedum 19615800^ ex 

hypothesi quod terra sit sphaerica. 

In latitudine Lictetics Parisiorum corpus grave tempore minuti 
unius secundi cadendo describit pedes Parislenses 15 dlg. i Hn. i^ 
ut supra, id est, lineas 2173^. Pondus corporis dimlnultur per 
pondus aeris ambientls. Ponamus pondus amissum esse partem un- 
decimam millesimam ponderis totius, & corpus illud grave cadendo 
in vacuo describet altitudinem Hnearum 2 1 74 tempore minuti unius 
secundl. 

Corpus in circulo ad distantiam pedum 19615800 a centro, singulis 
diebus sidereis horarum 23. 56' ^!' unlformiter revolvens, tempore 
minuti unius secundi describet arcum pedum 1433,46, cujus sinus 
versus est pedum 0,0523656, seu Hnearum 7,54064. Ideoque vis, 
qua gravia descendunt in latitudlne LuteticB, est ad vim centrlfugam 
corporum in aequatore a terrae motu diurno oriundam, ut 2 1 74 ad 
7,54064. 

Vis centrifuga corporum in aequatore terrae est ad vim centri- 
fugam, qua corpora directe tendunt a terra in latitudine Ltctetice 
graduum 48. 50' lo'^ in dupHcata ratlone radli ad sinum comple- 
menti latitudinis iHius, id est, ut 7,54064 ad 3,267. Addatur haec 
vis ad vim qua gravla descendunt in latitudlne IHa Ltctetia^, & corpus 
in latltudine IHa, vl tota gravitatls cadendo, tempore minuti unius 
secundi describet Hneas 2177,267 seu pedes Parisienses 15 dig. i 
& Hn. 5,267. Et vis tota gravitatis in latitudine IHa erit ad vim 



414 • ^^ MUNDI S YSTEMA TE 

centrifugam corporum in sequatore terr^ ut 2177,267 ad 7,54064 seu 
289 ad I. 

Unde si A P B Q figuram terrae designet jam non amplius sphae- 
ricam sed revolutione ellipseos circum axem minorem P Q genitam, 
sitque A CQqca canalis aquae plena, a polo ^^ ad centrum Cc & 
inde ad aequatorem A a pergens : debebit pondus aquae in canalis 
crure A Cca esse ad pondus aquse in crure altero ^ C^^ ut 289 ad 
288, eo quod vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam e 
ponderis partibus 289 sustinebit ac detrahet, & pondus 288 in altero 
crure sustinebit reliquas. Porro (ex propo- 
sitioms xci corol. 2 hb. i) computationem 
ineundo invenio quod, si terra constaret ex 
uniformi materia motuque omni privaretur 
& esset ejus axis P Q 2A diametrum AB 
ut 100 ad loi, gravitas in loco Q in ter- 
ram foret ad gravitatem in eodem loco Q in 
sphaeram centro C radio P C vel Q C de^ 
scriptam, ut 126 ad 125. Et eodem argu- 
mento grayitas in loco A in sphaeroidem, convolutione elHpseos 
APBQ circa axem AB descriptam, est ad gravitatem in eodem 
loco A in spheeram centro C radio A C descriptam, ut 125 ad 126. 
Est autem gravitas in loco A in terram media proportionaHs inter 
gravitates in dictam sphaeroidem & sphaeram : propterea quod sph^ra, 
diminuendo diametrum P Q in ratione loi ad 100, vertitur in figuram 
terrae ; & haec figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam, 
quae diametris duabus A B, P Q, perpendicularis est, vertitur in 
dictam sphaeroidem ; & gravitas in A, in casu utroque, diminuitur 
in eadem ratione quam proxime. Est igitur gravitas in A in sphaeram 
centro C radio A C descriptam ad gravitatem in A in terram ut 
126 ad I2 5i & gravitas in loco Q in spha^ram centro C radio Q C 
descriptam est ad gravitatem in loco A in sphaeram centro C radio 
A C descriptam in ratione diametrorum (per prop. lxxii Hb. i); id 
est, ut 100 ad loi. Conjungantur jam hae tres rationes, 126 ad 125, 
126 ad I25i & 100 ad loi : & fiet gravitas in loco Q in terram ad 
gravitatem in loco A in terram, ut 126 x 126 x 100 ad 125 x 125^ x 
loi, seu ut 501 ad 500. 




LIBER TERTIVS. ^I^ 

Jam cum (per corol. 3 prop. xci lib. i) gravitas In canalls crure 
utrovls ACca vel QCcq slt ut dlstantla locorum a centro terr^ ; 
sl crura illa superficlebus transversls & aequidlstantlbus distinguantur 
in partes totls proportlonales, erunt pondera partlum slngularum in 
crure A Cca ad pondera partium totidem in crure altero, ut mag- 
nitudlnes & gravltates acceleratrices conjunctlm ; id est, ut loi ad 
100 & 500 ad 501, hoc est, ut 505 ad 501. Ac prolnde si vis 
centrifuga partls cujusque in crure A Cca ex motu dlurno orlunda 
fulsset ad pondus partls ejusdem ut 4 ad 505, eo ut de pondere 
partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret; 
manerent pondera in utroque crure sequalia, & propterea fluidum 
conslsteret in aequIHbrlo. Verum vis centrifuga partls cujusque est 
ad pondus ejusdem ut i ad 289, hoc est, vls centrlfuga quae deberet 
esse ponderis pars ws est tantum pars ^. Et propterea dico, 
secundum regulam auream, quod si vis centrifuga ws faciat ut 
altitudo aquae in crure A Cca superet altitudlnem aquse in crure 
Q C c q parte centeslma totius altitudinis : vis centrifuga w faciet ut 
excessus altitudinis in crure A Cca sit altitudlnis in crure altero 
QCcq pars tantum tw. Est igitur diameter terrae secundum aequa- 
torem ad ipslus dlametrum per polos ut 230 ad 229. Ideoque cum 
terrae semidiameter medlocris, juxta mensuram Picarti, sit pedum 
Parisienslum 196 15800, seu mllliarium 3923,16 (posito quod milliare 
sit mensura pedum 5000) terra altior erit ad aequatorem quam ad 
polos excessu pedum 85472, seu milHarum i^tV. Et altltudo ejus ad 
sequatorem erlt 19658600 pedum circiter, & ad polos 19573000 
pedum. 

Si planeta major slt vel minor quam terra manente ejus densitate 
ac tempore periodico revolutlonls diurnae, maneblt proportio vis 
centrlfugae ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio 
dlametri inter polos ad diametrum secundum aequatorem. At si 
motus dlurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, 
augebitur vel minuetur vis centrifuga in dupHcata IHa ratione, & 
propterea differentia diametrorum augebitur vel minuetur in eadem 
dupHcata ratlone quamproxime. Et si densltas planetae augeatur 
vel mlnuatur In ratlone quavis, gravltas etiam in Ipsum tendens 
augebltur vel minuetur in eadem ratione, & dlfferentla diametrorum 
vicissim minuetur in ratione gravitatis auctae vel augebitur in ratione 



4i6 



DE MUNDI SYSTEMATE 



gravltatis dimlnutae. Unde cum terra respectu fixarum revolvatur 
horls 23. 56', jupiter autem horis 9. 56', sintque temporum quadrata 
ut 29 ad 5, & revolventlum densltates ut 400 ad 94 J : dlfferentla 

dlametrorum iovls erit ad Ipslus dlametrum mlnorem ut -5 x ^-. 
^ 5 94^ 

ad I, seu i ad 9J quamproxime. Est Igltur dlameter jovis ab 



229 



orlente In occidentem ducta ad ejus diametrum inter polos ut \o\ 
ad 9J quamproxime. Unde cum ejus diameter major slt 37'' ejus 
dlameter minor quae polis Interjacet erlt 33^" 25'^^ Pro luce 
erratlca addantur 2!' clrciter, & hujus planetse dlametrl apparentes 
evadent 40'^ & 36'' 2^'" : quae sunt ad Invicem ut \\\ ad \o\ quam- 
proxlme. Hoc Ita se habet ex hypothesl quod corpus jovis slt 
uniformiter densum. At sl corpus ejus slt denslus versus planum 
aequatorls quam versus polos diametrl ejus possunt esse ad Invlcem 
ut 12 ad II, vel 13 ad 12, vel forte 14 ad 13. Et Cassinus quldem 
anno 1691 observavit, quod jovls diameter ab oriente In occldentem 
porrecta diametrum alteram superaret parte sul circiter declma 
quinta. Poicndics autem noster telescopio pedum 123 longitudlnli 
& optimo mlcrometro dlametros jovls anno 1719 mensuravit ui 
sequitur. 



Tempora. 


Diam. max. 


Diam. min. 


Diametri ad invicem. 


dies 
Jan. 28 
Mar. 6 
Mar. 9 
Apr. 9 


hor. 

6 

7 
7 
9 


part. 

13^40 
I3»I2 
I3>J2 
12,32 


part. 
12,28 
12,20 
12,08 
11,48 


ut \2 ad 11 
i3t i2f 

I2§ Ilf 

i4t i3t 



Congrult Igitur theorla cum phaenomenls. Nam planetae magis^ 
Incalescunt ad lucem soHs versus aequatores suos, & propterea paulo^ 
magls Ibl decoquuntur quam versus polos. 

Quinetiam gravitatem per rotatlonem diurnam terrae nostrae minui 
sub aequatore atque Ideo terram ibl altlus surgere quam ad polos 
(sl materia ejus uniformlter densa sit) patebit per experimenta pen- 
dulorum quae recensentur In proposltione sequente. 



LIBER TERTIUS. ^jy 



PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV. 

Invenire & i^iter se comparare pondera corporum in terrcs hujus 

regionibus diversis. 

Quonlam pondera inaequalium crurum canalls aqueae ACQqca 
aequalia sunt ; & pondera partlum, cruribus totis proportionalium & 
similiter in totls sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, ideoque 
etiam aequantur inter se ; erunt pondera sequallum & in cruribus 
similiter sitarum partium reciproce ut crura, id est, reciproce ut 230 
ad 229. Et par est ratlo homogeneorum & sequallum quorumvis & 
In canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum pondera sunt 
reciproce ut crura, id est, reciproce ut dlstantlse corporum a centro 
terrse. Proinde si corpora in supremis canalium partibus, sive in 
superficle terrae conslstant; erunt pondera eorum ad invicem reciproce 
ut distantlse eorum a centro. Et eodem argumento pondera, in aliis 
quibuscunque per totam terrse superficiem regionibus, sunt reciproce 
ut distantiae locorum a centro ; & propterea, ex hypothesi quod terra 
sphaerois sit, dantur proportione. 

Unde tale confit theorema, quod Incrementum ponderis pergendo 
ab ^quatore ad polos sit quam proxime ut sinus versus latitudinis 
dupHcatae vel, quod perlnde est, ut quadratum sinus rectl latitudinls. 
Et in eadem circiter ratione augentur arcus graduum latitudinis in 
meridiano. Ideoque cum latitudo Lictetics Parisiortm sit 48^'- 50^ 
ea locorum sub aequatore 00 ^ 00', & ea locorum ad polos 90 ^*'- & 
duplorum slnus versi sint 11334, 00000 & 20000, existente radio 
loooo, & gravltas ad polum sit ad gravitatem sub aequatore ut 230 
ad 229, & excessus gravitatis ad polum ad gravitatem sub aequatore 
ut I ad 229 : erlt excessus gravitatls in latltudine LtcteticB ad gravi- 
tatem sub aequatore, ut i x IwJo^ ad 229, seu 5667 ad 2290000. Et 
propterea gravitates totae in his locis erunt ad Invicem ut 2295667 
ad 2290000. Quare cum longitudines pendulorum aequahbus tem- 
poribus oscillantlum sint ut gravitates, & in latltudlne LuteticB Pari- 
siorum longltudo penduH singuHs minutls secundls oscinantls sit 
pedum trium Parisiensium & Hnearum 8^, vel potius ob pondus aeris 
84 : longitudo penduH sub aequatore superabltur a longitudine syn- 

2 D 



4i8 



DE MUNDI SYSTEMATE 



chroni penduli Parisiensis excessu lineae unius ^ Z^ partium mille- 
simarum linese. Et simili computo confit tabula sequens. 



Latitudo loci. 


Longitudo penduli. 


Mensura gradus unius in 
meridiano. 


grad. 


ped. lin. 


hexapedce. 


o 


3 7,468 


56637 


5 


3 7,482 


56642 


lO 


3 7,526 


56659 


15 


3 7,596 


56687 


20 


3 7,692 


56724 


25 


3 7,812 


56769 


30 


3 7,948 


56823 


35 


3 8,099 


56882 


40 


3 8,261 


56945 


I 


3 8,294 


56958 


2 


3 8,327 


56971 


3 


3 8,361 


56984 


4 


3 8,394 


56997 


45 


3 8,428 


57010 


6 


3 8,461 


57022 


7 


3 8,494 


57035 


8 


3 8,528 


57048 


9 


3 8,561 


57061 


50 


3 8,594 


57074 


55 


3 8,756 


57137 


60 


3 8,907 


57196 


65 


3 9,044 


57250 


70 


3 9,162 


57295 


l^ 


3 9,258 


57332 


80 


3 9,329 


57360 


85 


3 9,372 


57377 


90 


3 9,387 


57382 



Constat autem per hanc tabulam quod graduum ina^qualitas tai 
parva sit, ut in rebus geographicis figura terrae pro sphaerica habei 
possit : prsesertim si terra paulo densior sit versus planum aequatoris 
quam versus polos. 

Jam vero astronomi aliqui in longinquas regiones ad observationes 
astronomicas faciendas missi observarunt quod horologia oscillatoria 
tardius moverentur prope aequatorem quam in regionibus nostris. 
Et primo quidem D. Richer hoc observavit anno 1672 in insula 
Cayennce. Nam dum observaret transitum fixarum per meridianum 



LIBER TERTIUS. ^j^ 

mense Aiigicsto, reperlt horologium suum tardius moveri quam pro 
medio motu solis, existente differentia 2' 28'' singulis diebus. De- 
inde faciendo ut pendulum simplex ad minuta singula secunda per 
horologium optimum mensurata oscillaret, notavit longitudinem 
penduli simplicis, & hoc fecit saepius singuHs septimanis per menses 
decem. Tum in Galliam redux contulit longitudinem hujus penduli 
cum longitudine penduli Parisiensis (quse erat trium pedum Parisi- 
ensium & octo Hnearum cum tribus quintis partibus lineae) & 
reperit brevlorem esse, existente dlfferentla llneae unlus cum quadrante. 

Postea Halleius noster clrca annum 1677 ad insulam Sanctce 
HelencB navlgans reperlt horologium suum oscillatorlum ibi tardius 
moverl quam Londini, sed dlfferentiam non notavlt. Pendulum 
vero brevlus reddldit plusquam octava parte digltl, seu Hnea una 
cum semlsse. • Et ad hoc efticiendum, cum longltudo cochleae In 
ima parte penduH non sufficeret, annulum Hgneum thecae cochleae & 
ponderl pendulo Interposult. 

Delnde anno 1682 D. Varin & D. Des Hayes Invenerunt 
longltudinem penduH slnguHs mlnutis secundis oscinantls in ob- 
servatorio reglo Parlslensl esse ped. 3 Hn. 81. Et In Insula Gorea 
eadem methodo longltudlnem penduH synchronl Invenerunt esse 
ped. 3 Hn. 61, exlstente longitudlnum differentla Hn. 2. Et 
eodem anno ad Insulas Guadaloupam & Martinicam navigantes, 
invenerunt longltudlnem penduH synchronl in his InsuHs esse ped. 
3 Hn. 6i 

Posthac D. Couplet fiHus anno 1697 mense Julio horologium 
suum oscinatorlum ad motum soHs medlum in observatorio regio 
Parisiensi slc aptavit, ut tempore satls longo horologium cum motu 
soHs congrueret. Delnde Ulyssipponem navlgans invenlt quod mense 
Novembri proxlmo horologlum tardlus iret quam prius, exlstente 
dlfferentla 2^ 13^^ In horls 24. Et mense Martio sequente Paraibam 
navlgans Invenlt Ibi horologlum suum tardius ire quam Parisiis, 
exlstente dlfferentla 4' \2" In horls 24. Et affirmat pendulum 
ad mlnuta secunda osciUans brevlus fulsse Ulyssipponi Hnels 2\ 
& Paraibcs Hneis 3! quam Parisiis. Rectius posuisset differentlas 
esse i\ & 2I. Nam hae dlfferentiae differentiis temporum 2' 13'', 
& 4' 12^^ respondent. Crassiorlbus hujus observatlonibus mlnus 
fidendum est. 



420 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Annis proximis (1699 & 1700) D. Des Hayes ad Americam denuo 
navigans determinavit quod in insulis Cayermce & Granadce longi- 
tudo penduli ad minuta secunda oscillantis esset paulo minor quam 
ped. 3 lin. 61^, quodque in insula S. Christophori longitudo illa 
esset ped. 3 lin. 6f, & quod in insula S. Dominici eadem esset 
ped. 3 lin. 7. ^ 

Annoque 1704. P. Feuilleus invenit in Porto-bello in America 
longitudinem penduli ad minuta secunda oscillantis esse pedum 
trium Parisiensium & linearum tantum 5^2, id est, tribus fere lineis 
breviorem quam Ltitetice Parisiorum, sed errante observatione. 
Nam deinde ad insulam Martinicam navigans, invenit longitu- 
dinem penduli isochroni esse pedum tantum trium Parisiensium & 
linearum ^f?. 

Latitudo autem Paraibcs est 6^- 38' ad austrum, & ea Po7'to-belli 
9^' 33' ^^ boream, & latitudines insularum Caye^mce, Gorece, Guada- 
loupcB, Marti7iiccB, GranadcB, Sancti Christophori, & Sancti Dominici 
sunt respective 4^- 55', 14^- 40', 14^- oo^ 14^- 44', 12^- 6\ ly^- 
19^, & 19^- 48' ad boream. Et excessus longitudinis penduli 
Parisiensis supra longitudines pendulorum isochronorum in hisi 
latitudinibus observatas sunt paulo majores quam pro tabula longi 
tudinum penduH superius computata. Et propterea terra aliquanto. 
altior est sub sequatore quam pro superiore calculo, & densior ad 
centrum quam in fodinis prope superficiem, nisi forte calores in zona 
torrida longitudinem pendulorum ahquantulum auxerint. 

Observavit utique D. Picartus quod virga ferrea, quse tempore 
hyberno ubi gelabant frigora erat pedis unius longitudine, ad ignem 
calefacta evasit pedis unius cum quarta parte Hneae. Deinde D. 
de la Hire observavit quod virga ferrea quae tempore consimili 
hyberno sex erat pedum longitudinis, ubi soli aestivo exponebatur 
evasit sex pedum longitudinis cum duabus tertiis partibus Hneae. In 
priore casu calor major fuit quam in posteriore, in hoc vero major 
fuit quam calor externarum partium corporis humani. Nam metalla 
ad solem aestivum valde incalescunt. At virga penduH in horologio 
osciHatorio nunquam exponi solet calori soHs aestivi, nunquam calorem 
concipit calori externae superficiei corporis humani aequalem. Et 
propterea virga penduH in horologio tres pedes longa paulo 
quidem longior erit tempore aestivo quam hyberno, sed excessu 



LIBER TERTIUS. 42 1 

quartam partem linese unlus vlx superante. Prolnde differentia tota 
longltudlnls pendulorum quae in dlversls reglonlbus isochrona sunt 
dlverso calorl attrlbul non potest. Sed neque errorlbus astronomorum 
e Gallia mlssorum trlbuenda est haec dlfferentla. Nam quamvls 
eorum observatlones non perfecte congruant Inter se, tamen errores 
sunt adeo parvi ut contemni posslnt. Et in hoc concordant omnes, 
quod isochrona pendula sunt breviora sub aequatore quam in obser- 
vatorlo reglo Parlslensi, exlstente dlfferentla non mlnore quam Ilneae 
unius cum quadrante, non majore quam Hnearum 2I. Per observa- 
tiones D. Richeri In Cayenna factas dlfferentia fult Hneae unius cum 
quadrante. Per eas D. Des Hayes dlfferentia illa correcta prodllt 
lineae unlus cum semisse vel unius cum tribus quartls partlbus Hneae. 
Per eas aHorum mlnus accuratas prodiit eadem quasi duarum Hne- 
arum. Et haec discrepantla partim ab erroribus observationum, 
partim a dlsslmllltudine partlum internarum terrae & altitudlne mon- 
tium, & partim a diversis aeris caloribus orlri potult. 

Vlrga ferrea pedes tres longa tempore hyberno in Anglia brevior 
est quam tempore aestlvo, sexta parte llne^ unlus, quantum sentio. 
Ob calores sub aequatore auferatur haec quantitas de dlfferentla llneae 
unius cum quadrante a Richero observata, & maneblt linea \t% : quae 
cum llnea Itw?7 per theoriam jam ante collecta probe congruit. 
Richerns autem observatlones in Cayenna factas slngulls septimanls 
per menses decem iteravit, & longitudines penduli. In virga ferrea ibi 
notatas cum longitudlnlbus ejus in Gallia slmlllter notatis contullt. 
Quae diligentla & cautela in allis observatoribus defuisse vldetur. Si 
hujus observationibus fidendum est, terra altlor erlt ad ^quatorem 
quam ad polos excessu milliarium septendecim circiter, ut supra per 
theoriam prodiit. 



42 2 DE MUNDI SYSTEMATE 

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVII. 

Puncta csqtdnoctialia regredi, & axem terrce singtUis revolntiotiidns 
anmiis nutando bis iiiclinari in eclipticam & bis redire ad positionem 
priorem. 

Patet per corol. 20 prop. lxvi lib. i. Motus tamen iste nutandi 
perexiguus esset debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis. 

PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII. 

Motus omnes lunares, omnesque motuimi incsquatitates ex allatis 

principiis consequi, 

Planetas majores, interea dum circa solem feruntur, posse alios 
minores circum se revolventes planetas deferre, & minores illos in 
ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere 
patet per prop. lxv lib. i. Actione autem solis perturbabuntur 
eorum motus multimode, iisque adficientur in^qualitatibus qu^ in 
luna nostra notantur. Haec utique (per corol. 2, 3, 4, & 5 prop. 
Lxvi) velocius movetur, ac radio ad terram ducto describit aream 
pro tempore majorem, orbemque habet minus curvum atque ideo 
propius accedit ad terram in syzygiis quam in quadraturis, nisi qua- 
tenus impedit motus eccentricitatis. Eccentricitas enim maxima est 
(per corol. 9 prop. lxvi) ubi apogaeum lunae in syzygiis versatur, & 
minima ubi idem in quadraturis consistit ; & inde luna in perigseo 
velocior est & nobis propior, in apogaeo autem tardior & remotior 
in syzygiis quam in quadraturis. Progreditur insuper apog^um, - 
& regrediuntur nodi, sed motu inaequabili. Et apog^um quiden^ 
(per corol. 7 & 8 prop. lxvi) velocius progreditur in syzygiis suis, 
tardius regreditur in quadraturis, & excessu progressus supra re- 
gressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per corol. 2 
prop. Lxvi) quiescunt in syzygiis suis & velocissime regrediuntur 
in quadraturis. Sed & major est lunae latitudo maxima in ipsius 
quadraturis (per corol. ib prop. lxvi) quam in syzygiis : & motus 
medius tardior in perihelio terrae (per corol. 6 prop. lxvi) quam in 
ipsius aphelio. Atque hae sunt inaequalitates insigniores ab astrono- 
mis notatae. 



LIBER TERTIUS. 423 

Sunt etlani aliae quaedam a prloribus astronomls non observatae 
inaequalitates, quibus motus lunares adeo perturbantur, ut nulla hac- 
tenus lege ad regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates 
• enim seu motus horarii apogaei & nodorum lunae & eorundem 
aequationes, ut & differentia inter eccentricitatem maximam in syzy- 
giis & minimam in quadraturis, & inaequalitas quae variatio dicitur 
augentur ac diminuuntur annuatim (per corol. 14 prop. lxvi) in 
tripHcata ratione diametri apparentis solaris. Et variatio praeterea 
augetur vel diminuitur in dupHcata ratione temporis inter quadraturas 
quam proxime (per corol. i & 2 lem. x & corol. 16 prop. lxvi Hb. i) 
sed haec InaequaHtas in calculo astronomico ad prosthaphaeresin lunae 
referri solet, & cum ea confundi. 

PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA V. 

Motus inceqicales satellitum jovis & saturni a motibus lunaridus 

derivare, 

Ex motibus lunae nostrae motus analogi lunarum seu sateHItum 
jovis sic derivantur. Motus medius nodorum sateHitis extimi joviaHs, 
est ad motum medium nodorum lunae nostrae in ratione composita ex 
ratione dupHcata temporis periodici terrae circa solem ad tempus 
periodicum jovis clrca solem & ratione simpHci. temporis periodici 
sateHItis clrca jovem ad tempus periodicum lunae circa terram (per 
corol. 16 prop. Lxvi lib. i) ideoque annis centum conficlt nodus iste 
8^- 24' in antecedentia. Motus medii nodorum satellitum interiorum 
sunt ad motum hujus ut illorum tempora periodica ad tempus perio- 
dicum hujus <per idem corollarium) 8i inde dantur. Motus autem 
augis satellitis cujusque in consequentia est ad motum nodorum 
ipsius In antecedentia ut motus apogaei lunae nostrae ad hujus motum 
nodorum (per idem corol.) & inde datur. Diminui tamen debet 
motus augis slc inventus in ratione 5 ad 9 vel i ad 2 circiter ob 
causam quam hic exponere non vacat. ^quationes maximae nodo- 
rum & augls satellitis cujusque fere sunt ad aequationes maximas 
nodorum & augis lunae respective ut motus nodorum & augis satel- 
litum tempore unius revolutionis aequationum priorum ad motus 
nodorum & apoga^I lun^e tempore unius revolutionis aequationum 



424 



DE MVNDI SYSTEMATE 



posteriorum. Varlatio satellitis e jove spectati est ad variationem 
lunae ut sunt ad invicem toti motus nodorum temporibus quibus 
satelles & luna ad solem revolvuntur, per idem corollarium ; ideoque 
in satellite extimo non superat 5^' 12' 



./// 



PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. 

Fluxum & refltixum maris ab actionibtcs solis ac hc7ics oriri. 

Mare singulis diebus tam lunaribus quam solaribus bis intumescere 
debere ac bis defluere patet per corol. 19 & 20 prop. lxvi lib. i ut 
& aquae maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appul- 
sum luminarium ad meridianum loci minori quam sex horarum spatio 
sequi, uti fit in maris Atlantici & ^thiopici tractu toto orientali inter 
Galliam & promontorium Boncc Spei ut & in maris Pacifici littore 
Ckilensi & Pertcviano : in quibus omnibus littoribus aestus in horam 
circiter secundam tertiam vel quartam incidit, nisi ubi motus ab 
oceano profundo per loca vadosa propagatus usque ad horam quintam 
sextam septimam aut ultra retardatur. Horas numero ab appulsu 
luminaris utriusque ad meridianum loci, tam infra horizontem quam 
supra, & per horas diei lunaris intelHgo vigesimas quartas partes 
temporis quo luna motu apparente diurno ad meridianum loci rever- 
titur. Vis solis vel hmae ad mare elevandum maxima est in ipso 
appulsu luminaris ad meridianum loci. Sed vis eo tempore in mare 
impressa manet aHquamdiu & per vim novam subinde impressam 
augetur, donec mare ad altitudinem maximam ascenderit, id quod 
fiet spatio horae unius duarumve sed saepius ad Httora spatio horarum 
trium circiter vel etiam plurium si mare sit vadosum. 

Motus autem bini, quos luminaria duo excitant, non cernentur 
distincte, sed motum quendam mixtum efificient. In himinarium 
conjunctione vel oppositione conjungentur eorum effectus, & com- 
ponetur fluxus & refluxus maximus. In quadraturis sol attollet 
aquam ubi luna deprimit, deprimetque ubi luna attoHit ; & ex 
effectuum differentia aestus omnium minimus orietur. Et quoniam, 
experientia teste, major est effectus hmae quam soHs, incidet aquae 
maxima akitudo in horam tertiam lunarem circiter. Extra syzygias 
& quadraturas, aestus maximus qui sola vi lunari incidere semper 
deberet in horam tertiam hmarem, & sola solari in tertiam solarem, 



LIBER TERTIUS. ^2=; 

compositls vlribus Incldet In tempus allquod Intermedium quod tefti^ 
lunari propinquius est ; Ideoque In transitu lunse a syzygiis ad qua- 
draturas, ubi hora tertia solaris praecedit tertiam lunarem, maxima 
aquae altitudo prsecedet etiam tertiam lunarem, Idque maximo Inter- 
vallo paulo post octantes lunse ; & paribus Intervallis ^stus maxlmus 
sequetur horam tertlam lunarem In transltu luna^ a quadraturls ad 
syzygias. Hsec ita sunt In mari aperto. Nam In ostiis fluviorum 
fluxus majores caeterls parlbus tardlus ad aKixhv venlent. 

Pendent autem effectus lumlnarlum ex eorum dlstantils a terra. 
In mlnorlbus enim distantlls majores sunt eorum eflectus, in majorlbus 
mlnores, Idque In trlpHcata ratione diametrorum apparentlum. Igitur 
sol tempore hyberno, In perigseo existens, majores edit eflectus, 
eflicltque ut sestus In syzyglis paulo majores sint, & In quadraturls 
paulo minores (cseterls paribus) quam tempore sestlvo ; & luna in 
perigseo slngulls mensibus jnajores ciet sestus quam ante vel post dles 
quindecim, ubi in apogseo versatur. Unde fit ut sestus duo omnlno 
maximi in syzygiis continuls se mutuo non sequantur. 

Pendet etiam eflectus utriusque luminaris ex ipslus decllnatlone 
seu distantla ab sequatore. Nam sl kimlnare In polo constltueretur, 
traheret Ilkid slngulas aquse partes constanter sine actionls Intensione 
& remlssione, ideoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur 
lumlnaria recedendo ab sequatore pokim versus eflectus suos gradatlm 
amlttent, & propterea mlnores clebunt sestus in syzygils solstitlalibus 
quam in sequInoctiaHbus. In quadaturls autem solstltiaHbus majores 
ciebunt sestus quam In quadraturls sequinoctlaHbus ; eo quod lunse 
jam In aequatore constitutse eflectus maxime superat eflectum soHs. 
Incidunt igitur sestus maximi in syzygias & minlml in quadraturas 
luminarium, circa tempora sfequlnoctii utriusque. Et sestum maxlmum 
in syzygiis comltatur semper minimus in quadraturls, ut experientla 
compertum est. Per minorem autem dlstantlam soHs a terra tem- 
pore hyberno quam tempore sestivo fit ut sestus maxlmi & miniml 
sseplus praecedant sequlnoctium vernum quam sequantur, & sseplus 
sequantur autumnale quam prsecedant. 

Pendent etlam eflectus lumlnarium ex locorum latitudlne. De- 
slgnet Ap E P teHurem aquis profundls undlque coopertam ; C cen- 
trum ejus ; P, p polos ; A E sequatorem ; F locum quemvis extra 
sequatorem ; /T^paraHelum loci ; D d parallelum ei respondentem ex 



426 



DE MUNDI SYSTEMATE 





^ ] 


C j^ 






i^^ 


Y^\ " 


\^ 


\ y/\ 




'^ 


A^ 




>? 


^-/\/^ 


i^^ 


, 


_jC>^ 



altera parte sequatoris ; L locum quem luna tribus ante horis occu- 
pabat ; H locum telluris ei perpendiculariter subjectum ; h locum 
huic oppositum ; K, k loca inde gradibus 90 distantia ; C H, Ch maris 
altitudines maximas mensuratas a centro telkiris ; & C K, C k alti- 
tudines minimas : & si axibus H h, K k describatur ellipsis, deinde 
ellipseos hujus revolutione circa axem majorem Hk describatur sph^e- 
rois HPKhpk; designabit 
hsec figuram maris quam prox- 
ime, & erunt C F, Cf, C D, 
Cd altitudines maris in locis 
F, /, D, d. Quinetiam si in ]^[ 
praefata ellipseos revolutione 
punctum quodvis N describat 
circulum N M, secantem pa- 
rallelos Ff, Dd m locis qui- 
busvis R, T, & sequatorem 
A Em S ; erit CN altitudo maris in locis omnibus, R, S, T, sitis in 
hoc circulo. Hinc^in revolutione diurna loci cujusvis F affluxus erit 
maximus in F hora tertia post appulsum lunse ad meridianum supra 
horizontem ; postea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum 
lunae ; dein affluxus maximus in / hora tertia post appulsum kmee ad 
meridianum infra horizontem ; ukimo defluxus maximus in Q hora 
tertia post ortum lunse ; & affluxus posterior in / erit minor quam 
affluxus prior in F Distinguitur enim mare totum in duos omnino 
fluctus hemisphaericos, unum in hemisphaerio KHk ad boream ver- 
gentem, akerum in hemisphaerio opposito Khk; quos igitur fluctum 
borealem & fluctum australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi 
mutuo oppositi veniunt per vices ad meridianos locorum singulorum, 
interposito intervallo horarum lunarium duodecim. Cumque regiones 
boreales magis participant fluctum borealem, & australes magis 
australem, inde oriuntur ^stus akernis vicibus majores & minores 
in locis singuHs extra aequatorem, in quibus luminaria oriuntur & 
occidunt. ^stus autem major, luna in verticem loci decHnante, in- 
cidet in horam circiter tertiam post appulsum lun^ ad meridianum 
supra horizontem, & kma decHnationem mutante vertetur in minorem. 
Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora solstitiorum ; 
praesertim si kmae nodus ascendens versatur in principio arietis. 



LIBER TERTIUS. ^^ 

Sic experientla compertum est, qiiod sestus matutini tempore hyber- 
no superent vespertinos & verspertini tempore sestivo matutinos, 
ad PlyimUlmm quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam 
vero altitudine quindecim digitorum : observantibus Colepressio & 
Stimnio. 

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim 
illam reciprocationis aquarum, qua maris aestus, etiam cessantibus 
luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio 
hsecce motus impressi minuit differentiam ^stum alternorum ; & 
sestus proxime post syzygias majores reddit, eosque proxime post 
quadraturas minuit. Unde fit ut sestus alterni ad Plymuthum & 
Bristoliicm non multo magis differant ab invicem quam altitudine 
pedis unius vel digitorum quindecim ; utque aestus omnium maximi 
in iisdem portubus, non slnt prlml a syzygiis, sed tertii. Retardantur 
etiam motus omnes In transltu per vada, adeo ut aestus omnium 
maxlml in fretls qulbusdam & fluvlorum ostlis sint quarti vel etlam 
qulnti a syzygiis. 

Porro fieri potest ut sestus propagetur ab oceano per freta dlversa 
ad eundem portum, & cltlus transeat per aHqua freta quam per alia : 
quo in casu aestus Idem, in duos vel plures successive advenientes 
dlvisus, componere posslt motus novos diversorum generum. Fin- 
gamus aestus duos aequales a diversis locls In eundem portum venlre^ 
quorum prior praecedat alterum spatio horarum sex, Incldatque in 
horam tertlam ab appulsu hmae ad meridianum portus. SI luna in 
hocce suo ad merldlanum appulsu versabatur Iri aequatore, venlent 
slnguHs horis senls ^quales affluxus, qui In mutuos refluxus incidendo 
eosdem affluxibus aequabunt, & sic spatio diei IlHus efficient ut aqua 
tranquIHe stagnet. SI luna tunc decHnabat ab aequatore, fient sestus 
In oceano vlcibus alternis majores & mlnores, uti dlctum est; & 
Inde propagabuntur in hunc portum affluxus blnl majores & blni 
mlnores, vlclbus alternis. Affluxus autem blnl majores component 
aquam altissimam in medlo inter utrumque, affluxus major & mlnor 
faclet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in medlo Ipsorum, 
& inter affluxus blnos minores aqua ascendet ad altltudlnem mlnimam. 
SIc spatio viglntl quatuor horarum aqua non bis ut fierl solet sed 
semel tantum perveniet ad maximam altltudlnem & semel ad mini- 
mam ; & altltudo maxima, si luna decHnat In polum supra horizontem 



42 8 DE MUNDI S YSTEMA TE 

loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu lunee 

ad meridianum, atque luna declinationem mutante mutabitur in 

defluxum. Ouorum omnium exemplum in portu regni Tunqitini 

ad Batsham sub latitudine boreali 20^""' 50'. Halleitcs ex nautarum 

observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum lunse per sequa- 

torem sequente stagnat, dein luna ad boream declinante incipit 

fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis 

diebus ; & aestus incidit in occasum lunae, defluxus maximus in 

ortum. Cum lunae declinatione augetur hic aestus usque ad diem 

septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus 

decrescit, quibus antea creverat ; & hma dechnationem mutante 

cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus 

in occasum lunae & affluxus in ortum, donec luna iterum mutet 

decHnationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, 

alter ab oceano Sinensi inter continentem & insulam Ltcconiam, alter 

a mari Indico inter continentem & insulam Borneo. An aestus 

spatio horarum duodecim a mari Indico & spatio horarum sex a 

mari Sinensi per freta illa venientes, & sic in horam tertiam & nonam 

lunarem incidentes, componant hujusmodi motus ; sitne aha marium 

illorum conditio, observationibus vicinorum Httorum determinandum 

rehnquo. 

Hactenus causas motuum lunae & marium reddidi. De quantitate 
motuum jam convenit aHqua subjungere. 

PROPOSITIO XXV. PROBLEMA VI. 

Invenire vires solis ad perturbandos motus luncB, 
Designet 6^ solem, Tterram, P lunam, CADB orbem kmae. In 




D 

SP capiatur SK ^equaHs ST; sitque SL ad SK in dupHcata ratione 



LIBER TERTIUS. .^Q 

S K 2A SP, 8c ipsl P T agatur parallela L M ; & si gravltas ac- 
celeratrix terrae In solem exponatur per dlstantlam 6" T vel S K, 
erit S L gravltas acceleratrlx lunae in solem. Ea componitur ex 
partlbus S M, L M, quarum L M 8l ipsius S M ^divs TM perturbat 
motum lunae, ut in libri prlmi prop. lxvi & ejus corollarlls expositum 
est. Ouatenus terra & luna circum commune gravitatls centrum re- 
volvuntur, perturbabltur etiam motus terrae circa centrum illud a 
vlrlbus consimlllbus ; sed summas tam vlrlum quam motuum referre 
licet ad lunam & summas virium per lineas Ipsls analogas T M 81 
ML designare. Vis M L m medlocri sua quantltate est ad vim 
centripetam, qua luna in orbe suo clrca terram qulescentem ad dis- 
tantlam P T^revolvl posset, In dupllcata ratlone temporum perlodi- 
corum lunae circa terram & terrae clrca solem (per corol. 1 7 prop. lxvi 
lib. i) hoc est, in dupllcata ratione dierum 27 hor. 7 mln. 43 ad 
dies 365 hor. 6 min. 9, id est, ut 1000 ad 178725, seu i ad i^Sfl. 
Invenimus autem In propositione quarta quod, si terra & luna clrca 
commune gravltatis centrum revolvantur, earum distantia medlocrls 
ab invicem erit 60^ semidlametrorum mediocrium terrae quamproxime. 
Et vis, qua luna in orbe clrca terram qulescentem ad dlstantlam 
P T semidlametrorum terrestrium 60 J revolvi posset, est ad vlm, 
qua eodem tempore ad distantlam semidiametrorum 60 revolvi 
posset, ut 60J ad 60 ; & haec vis ad vim gravltatis apud nos ut i ad 
60 X 60 quamproxime. Ideoque vls mediocris M L est ad vim 
gravitatis in superficie terrae ut i x 60^ ad 60 x 60 x 60 x 1 78!^, seu 
i ad 638092,6. Inde vero & ex proportione Hnearum TM, M Ly 
datur etlam vis T M : & hae sunt vlres solis quibus lunae motus per- 
turbantur. Q, E, /. 

PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA VII. 

Invenire incrementwn horarium arecs quam luna, radio ad terram 
dtcctOj in orbe circulari describit. 

Diximus aream, quam luna radio ad terram ducto descrlblt, esse 
tempori proportionalem, nisi quatenus motus lunaris ab actione solis 
turbatur. Inaequalltatem momentl vel Incrementl horarli hic mves- 
tigandam proponlrrius. Ut computatio facIHor reddatur, fingamus 
orbem luna^ clrcularem esse, & inaequalitates omnes negllgamus, ea 



430 



DE MUNDI SYSTEMATE 



sola excepta, de qua hic agltur. Ob ingentem vero solis distantlam 
ponamus etiam lineas S P, S T ^\k:i\ invicem parallelas esse. Hoc 
pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantltatem 
TP, ut & vis TAI ad mediocrem suam quantltatem ^ P K. Hse 
vires (per legum corol. 2) componunt vim TL ; & haec vis, si in 
radium T P demittatur perpendiculum L E, resolvitur in vires T E, 
E L, quarum TE agendo semper secundum radium TP nec 
accelerat nec retardat descrlptionem arece TP C radlo illo T P 
factam ; & E L agendo secundum perpendiculum accelerat vel re- 
tardat ipsam, quantum accelerat vel retardat limam. Acceleratio illa 
lunae, in transitu ipsius a quadratura C ad conjunctionem A, singulis 




Irf 



temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans E L, hoc est ut 

2,PKxTK ^ 

Yp • -b-xponatur tempus per motum medium lunarem, vel 

(quod eodem fere recidit) per angulum C TP, vel etiam per arcum 
CP. Ad C r erigatur normalls CG ipsi C T sequalis. Et diviso 
arcu quadrantali ^ C in particulas innumeras aequales P/, &c. per 
quas sequales totidem particulae temporls exponi posslnt, ductaque//^ 
perpendiculari ad C T jungatur TC ipsis A^P, /§/ productis occur- 
rens in E&/; & erit /^A^aequalls TK, & K^ erit ad PA^ut P/> 
ad 7>, hoc est in data ratione, ideoque EK x Kk seu area FKkf^xit 



LIBER TERTIUS. .^j 

xPKx TK 
ut - — j^ , id est, \xt E L ; & composlte, area tota G C K F wt 

summa omnium virium E L tempore toto CP impressarum in lunam, 
atque ideo etiam ut velocitas hac summa genita, id est, ut acceleratlo 
descriptionis areae C TP, seu incrementum momentl. Vis, qua 
luna clrca terram qulescentem ad dlstantlam TP tempore suo perlo- 
dlco CADB dierum 27 hor. 7 min. 43 revolvi posset, efficeret 
ut corpus tempore C T cadendo descrlberet longitudlnem k C T 81 
velocltatem simul acqulreret sequalem velocltatl, qua luna In orbe 
suo movetur. Patet hoc per corol. 9 prop. iv lib. i. Cum autem 
perpendlculum K d m TP demlssum slt Ipslus E L pars tertia & 
ipslus TP seii M L Inoctantibus pars dimldla, vls ^Z In octantlbus, 
ubl maxlma est, superablt vim M L m ratione 3 ad 2, ideoque erlt ad 
vim Illam, qua luna tempore suo perlodico clrca terram qulescentem 
revolvl posset, ut 100 ad 1x17872^ seu 11915, & tempore CT 
velocltatem generare deberet quse esset pars tItts velocitatls lunarls, 
tempore autem CP A velocltatem majorem generaret In ratione C A 
ad C T^seu TP. Exponatur vls maxlma E L inoctantlbus per aream 
F KxKk rectangulo \ TP x P p sequalem. Et velocitas, quam vis 
maxima tempore quovls CP generare posset, erlt ad velocltatem 
quam vls omnls mlnor ^ Z eodem tempore generat, ut rectangulum 
iTPxCP ad aream KCGF: tempore autem toto CPA velocl- 
tates genltae erunt ad invlcem ut rectangulum i TP x C A & trlangu- 
lum TCG, sive ut arcus quadrantalls CA & radlus TP. Ideoque 
(per prop. ix Hb. v elem.) velocltas posterior, toto tempore genita, 
erit pars tt^tt velocltatis lunse. Hulc lunae velocltatl, quse arese 
momento mediocrl analoga est, addatur & auferatur dlmldlum velocl- 
tatis alterius; & si momentum mediocre exponatur per numerum 
11915, summa 11915 + 50 seu 11965 exhlbeblt momentum maxlmum 
areee in syzgyla A, ac dlfferentia 11915-50 seu 11865 ejusdem 
momentum minimum in quadraturls. Igitur arese temporlbus 
sequaHbus in syzgiis & quadraturls descrlptse sunt ad Invicem ut 
11965 ad 11865. Ad momentum mlnlmum 11865 addatur momen- 
tum, quod slt ad momentorum differentlam 100 ut trapezium FKCG 
ad trlangulum TCG (vel quod perlnde est, ut quadratum slnus PK 
ad quadrantum radll TP, id est, ut P^ad TP) & summa exhibeblt 
momentum areae, ubi luna est in loco quovls intermedio P. 



432 



DE MUNDl SYSTEMATE 



Hsec omnia ita se habent, ex hypothesi quod sol & terra quiescunt, 
& kma tempore synodico dierum 27 hor. 7 min. 43 revolvitur. Cum 
autem periodus synodica lunaris vere sit dierum 29 hor. 12 & min. 
44, -augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis, 
id est, in ratione 1080853 ad 1 000000. Hoc pacto incrementum 
totum, quod erat pars itJtt momenti mediocris, jam fiet ejusdem 
pars ilfloa. Ideoque momentum areae in quadratura lunae erit ad 
ejus momentum in syzygia ut 11023 — 50 ad 11023 + 50, seu 10973 
ad 11073; & ad ejus momentum, ubi luna in aHo quovis loco 
intermedio P versatur, ut 10973 ad 10973 + P fl^, existente videlicet 
TP sequali 100. 

Area igitur, quam luna radio ad terram ducto singulis temporis 
particuHs sequaHbus describit, est quam proxime ut summa numeri 
219,46 & sinus versi dupHcatae distantiae lunae a quadratura proxima, 
in circulo cujus radius est unitas. Haec ita se habent ubi varlatio in 
octantibus est magnitudinis mediocris. Sin variatio ibi major sit vel 
minor, augeri debet vel minui sinus iHe versus in eadem ratione. 



PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA VIII. 
Ex motu horario luncB invenire ipsius distantiam a terra, 

Area, quam luna radio ad terram ducto singuHs temporis momentis 
describit, est ut motus horarius lunae & quadratum distantiae lunae 
a terra conjunctim ; & propterea distantia kmae a terra est in ratione 
composita ex subdupHcata ratione areae directe & subdupHcata ratione 
motus horarii inverse. Q, E, /. 

CoroL I. Hinc datur lunae diameter apparens : quippe quae sit 
reciproce ut ipsius distantia a terra. Tentent astronomi quam probe 
haec regula cum phaenomenis congruat. 

Corol. 2. Hinc etiam orbis lunaris accuratius ex phaenomenis quam 
antehac definiri potest. 



LIBER TERTIUS. ... 

PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA IX. 

Invenire diametros orbis in quo hma, siite eccentricitate, moveri 

deberet. 

Curvatura trajectoriae, quam moblle, si secundum trajectori^ 
illius perpendlculum trahatur, describit, est ut attractio directe & 
quadratum velocitatls inverse. Curvaturas Ilnearum pono esse inter 
se in ultlma proportlone sinuum vel tangentlum angulorum con- 
tactuum ad radios aequales pertinentlum, ubi radii illl in infinltum 
dimlnuuntur. Attractio autem lunae in terram in syzyglls est exces- 
sus gravltatis ipslus In terram supra vlm solarem 2 P K {vidie Jig. pag, 
428) qua gravltas acceleratrlx lunse in solem superat gravltatem acce- 
leratrlcem terrse in solem vel ab ea superatur. In quadraturis 
autem attractio illa est summa gravitatis lunae in terram & vis solaris 

K T, qua luna in terram trahitur. Et hae attractiones, si "^ 

2 

J. ^ XT ^ 178725 2000 I7872S 1000 

dxcatur N, sunt -Z^ - ^-^^ & ^' + ^^j^ quam 

proxime; seu ut 178725 N x C T q — 2000 A T q x C T Si 
178725 N X ^ Tq -f- 1000 C Tq X A T Nam si gravitas accele- 
ratrix lunae in terram exponatur per numerum 178725, vls mediocris 
MLy qu^ in quadraturis est P T vel TK & lunam trahit in terram, 
erit 1000, & vls medlocris T M m syzygiis erlt 3000; de qua, si vls 
mediocris M L subducatur, manebit vis 2000 qua luna in syzyglls 
distrahitur a terra, quamque jam ante nominavl 2 P K. Velocltas 
autem lunae in syzygiis A & ^5 est ad ipsius velocitatem In quadra- 
turis C & Z^, ut C 7" ad A T 8z momentum areae quam luna radio 
ad terram ducto descrlbit in syzygils ad momentum ejusdem areae In 
quadraturls conjunctim, i. e. ut 11073 CT^ad 10973 ^ ^- Sumatur 
haec ratlo bis inverse & ratlo prlor semel directe, & fiet curvatura 
orbis lunarls in syzygiis ad ejusdem curvaturam In quadraturis ut 
120406729 X 178725 A Tq X C Tq X N — 120406729 x 
2000 A Tqq X C Tdid 12 261 1329 x 178725 y^ Tq x C Tq x N 
-h 12261 1329 X 1000 C Tqq x A T, l e. ut 2151969 A T x C T 
X N — 24081 y^ Tc7d. ad2i9i37i ATx CT x N + 12261 CTcub. 
Quonlam figura orbis lunarls ignoratur, hujus vice assumamus 
ellipsln DBCAy in cujus centro 7" terra collocetur, & cujus axis 

2 E 



434 



DE MUNDJ SYSTEMATE 



sc 



major D C quadraturis, minor A B syzyglis interjaceat. Cum autem 
planum elllpseos hujus motu angularl clrca terram revolvatur, & tra- 
jectoria cujus curvaturam consideramus descrlbi debet in plano quod 
omni motu angulari omnino destltui- 
tur : consideranda erit figura, quam 
luna in ellipsi illa revolvendo descri- 
bit in hoc plano, hoc est figura Cp a^ 
cujus puncta singula p inveniuntur 
capiendo punctum quodvis P in el- 
lipsi, quod locum lunae repraesentet, 
& ducendo Tp sequalem TP, ea lege 
ut angulus P Tp sequalls sit motui 
apparenti soHs a tempore quadraturae 
C confecto; vel (quod eodem fere 
recidit) ut angulus C Tp sit ad angu- ^ 
lum C T P ut tempus revolutionis 
synodicae lunaris ad tempus revolu- 
tionis perlodicae seu 29"^- I2''' 44' ad 
2^d. ^h. ^^f^ Capiatur igitur angulus 
C Ta in eadem ratione ad angulum rectum C TA, & sit longitudoJ 
Ta aequaHs longitudini TA ; & erit a apsis ima & C apsis summaj 
orbis hujus Cpa, Rationes autem ineundo invenio quod differentia 
inter curvaturam orbis Cp a m vertice a & curvaturam circuH centro 
T intervaHo TA descripti slt ad dlfferentiam inter curvaturam eHIp- 
seos in vertice A & curvaturam ejusdem circuH in dupHcata ratione 
anguH C TP ad angulum C Tp ; & quod curvatura eHIpseos in A 
sit ad curvaturam circuH iHIus in dupHcata ratione TA ad TC; & 
curvatura clrcuH iHIus ad curvaturam circuH centro T IntervaHo TCj 
descripti ut 7"C ad TA ; hujus autem curvatura ad curvaturam 
eHIpseos in C in dupHcata ratione TA ad TC; & dlfferentla inter 
curvaturam eHIpseos in vertice C & curvaturam clrcuH novissimi ad 
differentiam inter curvaturam figurae Tp a in vertlce C & curvaturam 
ejusdem circuH in dupHcata ratione anguH C Tp ad angulum C TP. 
Quae quidem rationes ex sinubus angulorum contactus ac differentia- 
rum angulorum faclle colllguntur. HIs autem inter se collatis, pro- 
dit curvatura figurae Cp a in a ad ipsius curvaturam in C ut -^ 7" 
cu6. + ^^a^CTq X A Tad CTcub, -f ^'^ A Tq x CT Ubi 




LIBER TERTIUS. 



435 



numerus iVoVo^ designat differentlam quadratorum angulorum C TP 
& C Tp applicatam ad quadratum anguli minoris C TP, seu (quod 
perinde est) differentiam quadratorum temporum 27^^- 7^- 43' & 29^- 
12^- 44^ applicatam ad quadratum temporis 2"]^' f"- 43^ 

Igitur cum a designet syzygiam lunse & C ipsius quadraturam, 
proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturae 
orbis lunae in syzygiis ad ejusdem curvaturam in quadraturis, quam 
supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio C 7" ad A T, 
duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad 
A Tx C T applicati iiunt 2062,79 C Tqq—2i^i()6() N x C T cub, 
+ 368676 Nx^ rxCr^+ 36342 ^ r^xCr^-362047 Nx 
y^ 7"^x C 7^+2191371 N x^ 7" ^2^3. + 4051,4 ATqq—o. Hic 
pro terminorum A T 8l C 7"semisumma N scribo i, & pro eorundem 
semidifferentia ponendo x, fit C T= i -\-x, & A T= i —x: quibus in 
aequatione scriptis, & sequatione prodeunte resoluta, obtinetur x 
sequalis 0,00719, & inde semidiameter CT fit 1,00719, & semi- 
diameter A T 0,99281, qui numeri sunt ut 7oA- & 692T quam prox- 
ime. Est igitur distantia lunae a terra in syzygiis ad ipsius distan- 
tiam in quadraturis (seposita scilicet eccentricitatis consideratione) ut 
69^: ad 702T, vel numeris rotundis ut 69 ad 70. 

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA X. 

Ifivenire variationem Iu7icb. 

Oritur haec inaequalitas partim ex forma elliptica orbis lunaris, 
partim ex inaequalitate momentorum areae, quam luna radio ad terram 
ducto describit. Si luna P in ellipsi DBCA circa terram in centro 
ellipseos quiescentem moveretur, & radio TP ad terram ducto de- 
scriberet aream C TP tempori proportionalem ; esset autem ellipseos 
semidiameter maxima C T ad semidiametrum minimam TA ut 
70 ad 69 : foret tangens anguli C TP ad tangentem anguli motus 
medii a quadratura C computati, ut ellipseos semidiameter 7^^ ad 
ejusdem semidiametrum TC sgu 69 ad 70. Debet autem descriptlo 
are^ CTP/m progressu lun^ a quadratura ad syzygiam, ea ratione 
accelerari, ut ejus momentum in syzygia lun^ sit ad ejus momentum 
in quadratura ut 11073 ad 10973, utque excessus momenti in loco 
quovis intermedio P supra momentum in quadratura sit ut quadra- 



43^ 



DE MUNDI SYSTEMATE 



S0 



tum sinus anguli C TP. Id quod satis accurate fiet, si tangens 

anguli C T P diminuatur in subduplicata ratione numeri 10973 ^d 

numerum 11073, id est, in ratione numeri 68,6877 ^^ numerum 69. 

Quo pacto tangens anguli C TP jam erit ad tangentem motus medii 

ut 68,6877 ad 70, & angulus C TP in octantibus, ubi motus medius 

est ^S^""' invenietur 44^'- 27^ 2W qui 

subductus de angulo motus medii 

45^''- relinquit variationem maximam 

32' 32". Hsec ita se haberent si 

luna, pergendo a quadratura ad syzy- 

giam, describeret angulum C T A 

graduum tantum nonaginta. Verum 

ob motum terrae, quo sol in conse- 

quentia motu apparente transfertur, 

luna, priusquam solem assequitur, de- 

scribit angulum CTa angulo recto 

majorem in ratione temporis revolu- d 

tionis lunaris synodicse ad tempus re- 

volutionis periodicae, id est, in ratione 

29^- 12^- 44' ad 27*^- 7^- 43'. Et hoc 

pacto anguli omnes circa centrum T 

dilatantur in eadem ratione, & variatio maxima, quae secus esset 32'] 

32", jam aucta in eadem ratione fit 35' 10' 

Haec est ejus magnitudo in mediocri distantia solis a terra^^^neg- 
lectis differentiis quae a curvatura orbis magni majorique solis actionej 
in lunam falcatam & novam quam in gibbosam & plenam oriri 
possint. In aliis distantiis solis a terra variatio maxima est in ratione 
quae componitur ex duplicata ratione temporis revolutionis synodicae 
lunaris (dato anni tempore) directe & triplicata ratione distantiae solis 
a terra inverse. Ideoque in apogaeo solis variatio maxima est 33' 
14'', & in ejus perigaeo 37' i \'\ si modo eccentricitas solis sit ad orbis 
magni semidiametrum transversam ut i6tl ad 1000. 

Hactenus variationem investigavimus in orbe non eccentrico, in 
quo utique luna in octantibus suis semper est in mediocri sua dis- 
tantia a terra. Si luna propter eccentricitatem suam magis vel 
minus distat a terra quam si locaretur in hoc orbe, variatio paulo 
major esse potest vel paulo minor quam pro regula hic allata : sed 




LIBER TERTIUS. 



437 



excessum vel defectum ab astronomls per phaenomena determinandum 
relinquo. 

PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XI. 

Invenire motMm horarium nodorum lunce in orbe circulari. 

Designet S solem, T^terram, P lunam, NPn orbem lunse, Npn 
vestigium orbis in plano ecliptlcae ; N, n nodos, n TNm llneam 
nodorum infinite productam; P I , P A' perpendicula demlssa in llneas 
S T, Q q; P p perpendiculum demissum in planum eclipticse ; A B 
syzygias lunae in plano eclipticae ; A Z perpendiculum in llneam 




nodorum Nn ; Q,q quadraturas lunae in plano eclipticae, BapK per- 
pendiculum In lineam Q q quadraturls interjacentem. Vis solis ad 
perturbandum niotum lunae (per prop. xxv) duplex est, aitera Imeae 
LMm schemate propositionls IlHus, altera line^ ^^ T proportlonaHs. 
Et kma vi priore In terram, posteriore in solem secundum Hneam 



438 



DE MUNDI SYSTEMATE 



rectae S T ?i terra ad solem diictae parallelam trahltur. Vis prior L M 
agit secundum planum orbis lunaris, & propterea situm plani nil 
mutat. . Haec igitur negligenda est. Vis posterior M T qua planum 
orbis lunaris perturbatur eadem est cum vi 3 P KvA 3 ^ ^. Et haec 
vis (per prop. xxv) est ad vim qua luna in circulo circa terram quies- 
centem tempore suo periodico uniformiter revolvi posset, ut 3 / 7" ad 
radium circuli multipHcatum per numerum 178,725, sive ut/7^ad 
radium multiphcatum per 59,575. Caeterum in hoc calculo, & eo 







omni qui sequitur, considero lineas omnes a luna ad solem ductas 
tanquam parallelas lineae quae a terra ad solem ducitur, propterea quod 
inclinatio tantum fere minuit effectus omnes in aHquibus casibus, 
quantum auget in aHis ; & nodorum motus mediocres quaerimus, 
neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum red- 
derent. 

Designet jam P M arcum, quem luna dato tempore quam minimo 
describit, 81 M L lineolam cujus dimidium luna, impellente vi prae- 
fata 2>^^y eodem tempore describere posset JunganturPZ, MP^ 



LIBER TERTIUS. 439 

& producantur ese ad ;;/ & /, ubi secent planum eclipticse ; inque Tm 

demittatur perpendiculum P H. Et quoniam recta M L parallela 

est plano eclipticse, ideoque cum recta ml quse in plano illo jacet 

concurrere non potest, & tamen jacent hae rectse in plano communi 

LMPml; parallelae erunt hae rectae, & propterea similia erunt tri- 

angula L M P, l m P, Jam cum M P msit in plano orbis, in quo luna 

in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per orbis 

illius nodos N, n ductam. Et quoniam vis qua dimidium lineolae L M 

generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, generaret 

lineam illam totam ; & efficeret ut luna moveretur in arcu, cujus 

chorda esset L P, atque ideo transferret lunam de plano MP m T m 

planum L P IT; motus angularis nodorum a vi illa genitus aequalis 

erit angulo m Tl. Est autem ml 2idmP ut ML ad MP, ideoque, 

cum MP ob datum tempus data sit, est m l ut rectangulum ML x mP, 

id est, ut rectangulum I TxmP. Et angulus m Tl, si modo angulus 

_ , . ml _ LTxPm .. ,, , 
Tm / rectus sit, est ut -j^ — , & propterea ut ^i , id est (obpro- 

L TxPH 
portionales Tm &mP, TP & P Lf) ut jrp — » ideoque ob da- 

tam T P, ut L TxPLL. Quod si angulus Tm/ seu STN obliquus 
sit, erit angulus m Tl adhuc minor in ratione sinus anguli 6^ TN 
ad radium, seu A Z 2A A T Est igitur velocitas nodorum ut 
L TxP LLxAZ, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum 
TPL,PTN8iSTN. 

Si anguli illi, nodis in quadraturis & luna in syzygia existentibus, 
recti sint, lineola m l abibit in infinitum, & angulus m Tl evadet an- 
gulo mP l aequalis. Hoc autem in casu angulus mP l est ad angu- 
lum P TM, quem luna eodem tempore motu suo apparente circa terram 
describit, ut i ad 59,575. Nam angulus mP l aequalis est angulo 
L P M, id est, angulo deflexionis lunae a recto tramite, quem sola vis 
praefata solaris 3 / 7", si tum cessaret lunae gravitas, dato illo tempore 
generare posset; & angulus P TM aequalis est angulo deflexionis 
lunae a recto tramite, quem vis illa, qua luna in orbe suo retinetur, 
si tum cessaret vis solaris 3 L T, eodem tempore generaret. Et hae 
vires, ut supra diximus, sunt ad invicem ut i ad 59,575- Ergo cum 
motus medius horarius lunae respectu fixarum sit 32' 56'^ 27 I2^'''', 
motus horarius nodi in hoc casu erit 33'' 10''^ 33"^' I2''-. Aliis 



440 



DE MUNDI SYSTEMATE 



'^ ^O^" ..w. 



autem in casibus motus iste horarius erit ad 2)1)' io" 2)V^' i2''- ut 
contentum sub sinubus angulorum trium TP I,P TN & STN 
(seu distantiarum lunae a quadratura, lunae a nodo & nodi a sole) ad 
cubum radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in 
negativum deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus 
regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. 
Unde fit ut nodi progrediantur quoties luna inter quadraturam alteru- 
tram & nodum quadraturse proximum versatur. Aliis in casibus 
regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum singulis 
mensibus feruntur in antecedentia. 

Corol. I. Hinc si a dati arcus quam minimi P J/terminis P 8i M 
ad lineam quadraturas jungentem Q q demittantur perpendicula P K, 
M k, eademque producantur donec secent lineam nodorum N n m 
D&Lci; erit motus horarius nodorum ut area J/P Z^ rt" & quadratum 
linese A Z conjunctim. Sunto enim P K, P H&lA Z pr^dicti tres 



O- 




sinus ; nempe P K sinus distantiae lunae a quadratura, P H sinus 
distantiae lunae a nodo, &, A Z sinus distantiae nodi a sole : & erit 
velocitas nodi ut contentum P KxP HxA Z, Est autem P T ad 
P K wt PM ^dKk, ideoque ob datas P T&PM est Kk ipsi PK 
proportionalis. Est & ^ T^ ad P Z^ ut ^ Z ad P H, & propterea 
PH rectangulo PDxAZ proportionalis. Et conjunctis rationibus 
PKxP H est ut contentum Kk xPJDxAZ, & PKxPHx A Z 
ut KkxPBx AZ qu. id est ut area P DdM &AZ qu. conjunctim 
Q.E.D. 



LIBER TERTIUS. 

441 

Corol. 2. In data quavls nodorum posltlone, motus horarlus 
medlocrls est semlssls motus horarll In syzyglls lunae, Ideoque est 
ad 16'' 35'^^ i6^^- 36^- utquadratum slnus dlstantlae nodorum asyzyglls 
ad quadratum radll, slve ut A Z qti. 2iA A T qtc, Nam sl luna 
unlforml cum motu perambulet semlclrculum Q A q summa omnium 
arearum P DdM, quo tempore luna perglt a g ad ^, erlt area 
QMdE quae ad circuli tangentem Q E termlnatur; & quo tempore 
luna attlnglt punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam 
llnea P D descrlblt, dein luna pergente ab n ad q, llnea P D cadet 
extra clrculum, & aream ;^^^ ad clrcull tangentem qe termlnatam 
descrlbet ; quse, quonlam nodi prius regredlebantur, jam vero pro- 
gredluntur, subducl debet de area prlore, & cum aequaHs slt areae 
QEN, relinquet semicirculum N Q A n, Igitur summa omnlum 
arearum P D dM quo tempore luna semlclrculum descrlblt est area 
semlclrculi ; & summa omnium quo tempore luna clrculum descrlblt 
est area circuli totlus. At area PDdM, ubi luna versatur in 
syzyglis, est rectangulum sub arcu P M 8l radio P T ; & summa 
omnlum hulc aequallum arearum, quo tempore luna clrculum descrlblt, 
est rectangulum sub circumferentla tota & radio circuli ; & hoc rec- 
tangulum, cum sit sequale duobus clrcuHs, duplo majus est quam 
rectangulum prius. Proinde nodi ea cum velocitate unlformlter 
contlnuata. quam habent in syzygiis kmaribus spatium duplo majus 
descrlberent quam revera descrlbunt ; & propterea motus medlocrls 
quocum, si uniformlter contlnuaretur, spatlum a se inaequablll cum 
motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem 
habent in syzyglis lunae. Unde cum motus horarius maxlmus, si 
nodi in quadraturls versantur, sit 33'' \d" i'^^- \2^', motus mediocris 
horarius in hoc casu erlt \6" 35''^ i6'''- 36''-. Et cum motus horarius 
nodorum semper sit mX. A Z q u. & area P DdM conjunctim, & prop- 
terea motus horarius nodorum in syzygils lunae ut A Z qu. & area 
P DdM conjunctlm, id est (ob datam aream P DdM in syzygiis 
descriptam) ut ^ Z ^ u. erlt etlam motus medlocris wt A Z qu. atque 
ideo hic motus, ubi nodi extra quadraturas versantur, erit ad 16" 
Zf' i6^^- 36^- \xtAZqu.2idATqu.Q.E.D. 



442 



DE MUNDI SYSTEMATE 



PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XII. 

Iiive7iire motzim horarium nodorum Imice in orbe elliptico. 

Designet Qpmaq elllpsin, axe majore Qq, minore ab descrip- 
tam, Q A q B circulum circumscriptum, T terram in utriusque centro 
communi, 6^ solem, p lunam in ellipsi motam, & p m arcum quem 
data temporis particula quam minima describit, N &l n nodos linea 




iV;^ junctos, /A^S: w/5perpendicula in axem g^demissa & hinc 
inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & line^ nodorum 
in D & d. Et si luna, radio ad terram ducto, aream describat tem- 
pori proportionalem, erit motus horarius nodi in ellipsi ut area 
p D dm & A Z q conjunctim. 



LIBER TERTIUS, .,^ 

Nam si /*/^tangat circulum in P & producta occurrat T N m. F, 

8ip/ tangat ellipsin in/ & producta occurrat eidem TJV m/, con- 

veniant autem hae tangentes in axe TQ a.d V; & si ML designet 

spatium quod luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum 

PM, urgente & impellente vi praedicta 3 /T seu ^PA', motu 

transverso describere posset, & ml designet spatium quod luna in 

ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 / Z seu Z P K, 

describere posset ; & producantur LP 81 Ip donec occurrant plano 

eclipticae in 6^ 8l g ; Sl jungantur FG 81 /g, quarum FG producta 

s&c^t p/pg & TQ in c, e & P respective, &/^ producta secet TQ 

in r. Quoniam vis 3 / Tscn 3 P /^ in circulo est ad vim 3 / T^seu 

3p Kin ellipsi, ut P K 2A p K, seu A T 2A a T ; erit spatium \^Z 

vi priore genitum ad spatium ml vi posteriore genitum, ut P K 2A 

p K, id est, ob similes figuras P YKp & FY R c, ut FR ad cR. Est 

autem ML Sid FG (ob similia triangula PLM, PGF)ut PZ ad 

P G, hoc est (ob parallelas Lk, P K, G R) \it p l ^.d p e, id est (ob 

similia triangula, plm, cpe) ut /m ad c e; & inverse ut L Mest ad /m, 

seu FR ad cR, ita est FG Sid ce. Et propterea si/"^ esset ad ^ ^ ut 

/Ysid cY/id est, ut/r adcR (hoc est, ut/r ad FR & FR ad cR 

conjunctim, id est, ut/Tsid FT & FG ad ce conjunctim) quoniam 

ratio FG 2id ce utrinque ablata reHnquit rationes /g ad FG 8c /T 

ad F T, forety^ ad FG ut /Tsid F T; atque ideo anguli, quos FG 

81 /g subtenderent ad terram T, aequarentur intef se. Sed anguH iHi 

(per ea quae in praecedente propositione exposuimus) sunt motus no- 

dorum, quo tempore luna in circulo arcum P M, in eHipsi arcum 

/ m percurrit : & propterea motus nodorum in circulo & eUipsi 

aequarentur inter se. Haec ita se haberent, si modo/g esset ad ^^ ut 

ceYs fY 
/Y ad cY, id est, si /g aequaHs esset ^. Verum ob simiHa 

c X 

triangula /^/, cep, est /^ 2A ce ut /p ad cp ; ideoque/^ aequaHs 

est ^^ ^-'^ ; & propterea angulus, quem /g revera subtendit, est ad 
cp 

angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est, motus nodorum in 

c e y. f ff 
eHipsi ad motum nodorum in circulo, ut haec /g seu — ad pri- 

orem/^ seu ""^^^^ , id est, ut/p x ^Fad/Fx cp, seu// ad/F& 

C X 



444 



DE MUNDI SYSTEMATE 



cY 2A cp, hoc est, ^\ph ipsi TN parallela occurrat FP in h, ut Fh 
ad FY & FY ad FP ; hoc est, ut Fh ad /^P seu D i) ad Z^P, 
ideoque ut area Dpmd^A aream D P M d. Et propterea, cum (per 
corol. I prop. xxx) area posterior 8l A Z q conjunctim proportionaHa 
sint motui horario nodorum in circulo, erunt area prior & A Z q con- 
junctim proportionaHa motui horario nodorum in elHpsi. Q, E. P. 



i 

B 


C/y"k 






K ^V\ 


L /^ -/^ 


/ \ \ 


/yii/n 
a 


1 i' l 







Corol. Quare cum, in data nodorum positione, summa omnium 
liYQdiVum p D d m, quo tempore luna pergit a quadratura ad locum 
quemvis m, sit area 77zp Q E d, quse ad eHipseos tangentem Q E ter- 
minatur ; & summa omnium arearum iHarum, in revolutione integra, 
sit area eHipseos totius: motus mediocris nodorum in eHipsi erit 
ad motum mediocrem nodorum in circulo, ut ehipsis ad circulum ; 



LIBER TERTIUS. 

445 

id est, ut Ta ad TA, seu 69 ad 70. Et propterea, cum (per corol 
2 prop. xxx) motus mediocris horarius nodorum in circulo sit ad 
16" y^'" 16- 36- ut ^ Z qu. 2id A T qu, si capiatur angulus 16^^ 
21-3-^ 30V. ad angulum 16" 35- 16^- 36- ut 69 ad 70, erit motus 
mediocris horarius nodorum in ellipsi ad \6" 21''' 3^^- 30^- ut A Z o 
ad A Tq; hoc est, ut quadratum sinus distanti^ nodi a sole ad qua- 
dratum radii. 

Caeterum luna, radio ad terram ducto, aream velocius describit in 
syzygiis quam in quadraturis, & eo nomine tempus in syzygiis con- 
trahitur, in quadraturis producitur ; & una cum tempore motus 
nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areae in 
quadraturis lunse ad ejus momentum in syzygiis ut 10973 ad 11073, 
& propterea momentum mediocre in octantibus est ad excessum in 
syzygiis, defectumque in quadraturis, ut numerorum semisumma 
11023 ad eorundem semidifferentiam 50. Unde cum tempus lun^ 
in singuHs orbis particulis sequaHbus sit reciproce ut ipsius velocitas, 
erit tempus mediocre in octantibus ad excessum temporis in qua- 
draturis, ac defectum in syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 
ad 50 quam proxime. Pergendo autem a quadraturis ad syzygiis, 
invenio quod excessus momentorum areae in locis singulis, supra 
momentum minimum in quadraturis, sit ut quadratum sinus distanti^ 
lunse a quadraturis quam proxime ; & propterea differentia inter 
momentum in loco quocunque & momentum mediocre in octantibus 
est ut differentia inter quadratum sinus distantiae lunae a quadraturis 
& quadratum sinus graduum 45, seu semissem quadrati radii ; & 
incrementum temporis in locis singulis inter octantes & quadraturas, 
& decrementum ejus inter octantes & syzygias, est in eadem ratione. 
Motus autem nodorum, quo tempore luna percurrit singulas orbis 
particulas aequales, acceleratur vel retardatur in dupHcata ratione 
temporis. Est enim motus iste, dum luna percurrit P M (caeteris 
paribus) ut J/Z, 81 M L est in dupHcata ratione temporis. Quare 
motus nodorum in syzygiis, eo tempore confectus quo luna datas 
orbis particulas percurrit, diminuitur in dupHcata ratione numeri 
11073 ^^ numerum 11023 ; estque decrementum ad motum reH*quum 
ut 100 ad 10973, ^^ motum vero totum ut 100 ad 11073 quam 
proxime. Decrementum autem in locis inter octantes & syzygias, 
& incrementum in locis inter octantes & quadraturas, est quam 



446 ^^ MUNDI SYSTEMATE 

proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum 
totum in syzygiis & differentia inter quadratum sinus distantiae lunae 
a quadratura & semissem quadrati radii ad semissem quadrati radii 
conjunctim. Unde si nodi in quadraturis versentur, & capiantur loca 
duo aequaliter ab octante hinc inde distantia, & alia duo a syzygia & 
quadratura iisdem intervalHs distantia, deque decrementis motuum 
in locis duobus inter syzygiam & octantem subducantur incrementa 
motuum in locis reliquis duobus, quae sunt inter octantem & quadra- 
turam ; decrementum reliquum aequale erit decremento in syzygia : 
uti rationem ineunti facile constabit. Proindeque decrementum 
mediocre, quod de nodorum motu mediocri subduci debet, est pars 
quarta decrementi in syzygia. Motus totus horarius nodorum in 
syzygiis, ubi luna radio ad terram ducto aream tempori propor- 
tionalem describere supponebatur, erat ^i'^" /^2'" f^, Et decremen- 
tum motus nodorum, quo tempore luna jam velocior describit idem 
spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; ideoque 
decrementum ilkid est i"]'" \i'''- i r, cujus pars quarta 4'^^ 2^^^' ^S''* 
motui horario mediocri superius invento \6'' 21''' 3'''- ^o''- subducta 
rehnquit \6" \6"' 37'^- 42"^ motum mediocrem horariam correctum. 

Si nodi versantur extra quadraturas, & spectentur loca bina a 
syzygiis hinc inde aequaliter distantia ; summa motuum nodorum, ubi 
luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi luna in iisdem 
locis & nodi in quadraturis versantur, ut A Z ^u, 2id A T qu, Et 
decrementa motuum, a causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem 
ut ipsi motus, ideoque motus reHqui erunt ad invicem ut -^ Z ^ ^. ad 
A T gu. 81 motus mediocres ut motus reliqui. Est itaque motus 
mediocris horarius correctus, in dato quocunque nodorum situ, ad \6" 
j^/// ^^iv. ^^y. ^|. jj^ ^ qu.^d A T qtc; id est, ut quadratum sinus 
distantiae nodorum a syzygiis ad quadratum radii. 



LIBER TERTIUS. 447 

PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XIII. 

Invetiire motum medium nodorum lunce, 

Motus medlus annuus est summa motuum omnium horariorum 
mediocrium In anno. Concipe nodum versarl in N, & slngulis horis 
completis retrahi In locum suum prlorem ut non obstante motu suo 
proprio datum semper servet situm ad stellas fixas. Interea vero 
solem S, per motum terrae, progredl a nodo & cursum annuum 
apparentem unlformiter complere. Slt autem A a arcus datus quam 
mlnlmus, quem recta T S 2A solem semper ducta, Intersectione sui & 
circuH N An, dato tempore quam mlnimo describlt : & motus 
horarlus medlocrls (per jam ostensa) erlt ut A Z q, Id est (ob pro- 
portlonales A Z, ZY) ut rectangulum sub A Z da Z Y, hoc est, ut 




area A Z Y a. Et summa omnlum horarlorum motuum medlocrium 
ab Inltlo, ut summa omnlum arearum a Y Z A, id est, ut area N A Z. 
Est autem maxima A Z Y a sequaHs rectangulo sub arcu Aa^ radlo 
clrculi; & propterea summa omnium rectangulorum In clrculo toto 
ad summam totldem maximorum, ut area circuH totius ad rectangu- 
lum sub circumferentia tota & radlo, Id est, ut i ad 2. Motus 
autem horarius rectangulo maxlmo respondens erat \6" i(i'" zT' 
42^-. Et hlc motus, anno toto sidereo dlerum 365 hor. 6 mln. 9 fit 
39^- 38' -]" ^d'\ Ideoque hujus dimidium i^^""' 49^ 3^' 55^'^ ^st 



448 



DE MUNDI SYSTEMATE 



motus medius nodorum circulo toti respondens. Et motus no- 
dorum, quo tempore sol pergit ab A^ad ^, est ad iq^""- 49' -^' 55''' 
ut area N A Z 2A circulum totum. 

Haec ita se habent ex hypothesi, quod nodus horis singuHs in 
locum priorem retrahitur, sic ut sol anno toto completo ad nodum 
eundem redeat a quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum 
nodi fit ut sol citius ad nodum revertatur, & computanda jam est 
abbreviatio temporis. Cum sol anno toto conficiat 360 gradus, & 
nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39^- 38' "]" 50^^^ 
seu 39,6355 gradus; & motus mediocris nodi in loco quovis A^sit ad 
ipsius motum mediocrem in quadraturis suis, ut ^ Z^ ad A Tq: 
erit motus soHs ad motum nodi in N, ut 360 A Tq ad 39,6355 A Zq ; 
id est, ut 9,0827667 A T q 2id A Zq, Unde si circuH totius circumfe- 




rentia NAn dividatur in particulas sequales A a, tempus quo sol 
percurrat particulam A a, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo 
percurrit eandem particulam, si circulus una cum nodis circa centrum 
T revolvatur, reciproce ut 9.0827667 A Tq ad 9.0827667 A Tq 
^-AZq, Nam tempus est reciproce ut velocitas qua particula per- 
curritur, & haec velocitas est summa velocitatum soHs & nodi. Igitur 
si tempus, quo sol sine motu nodi percurreret arcum N A, exponatur 
per sectorem N T A, & particula temporis quo percurreret arcum 
quam minimum A a, exponatur per sectoris particulam A Ta; & (per- 
pendiculo a Y m N 71 demisso) si in ^ Z capiatur dZy ejus lon- 



LIBER TERTIUS. 449 

gltudlnis ut sit rectangulum dZ m Z Y 2A sectorls particulam A Ta 
ut A Z q ad 9,0827646 A Tq + A Z q, id est, ut sit d Z 2.^\ A Z wt 
A Tq ad 9,0827646 A Tq + A Z q ; rectangulum dZ in Z Fdesig- 
nabit decrementum temporis ex motu nodi oriundum, tempore toto 
quo arcus Aa percurritur. Et si punctum d tangit curvam N dG n, 
area curvilinea N dZ erit decrementum totum, quo tempore arcus 
totus N A percurritur; & propterea excessus sectoris NAT supra 
aream Nd Z erit tempus illud totum. Et quoniam motus nodi tem- 
pore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area A a YZ 
diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur In ^ Z longitudo 
eZ, quse sit ad longitudinem AZ \xt AZq 3id 9,0827646 A Tq + AZq, 
Sic enim rectangulum ^Z inZKerit ad aream AZYa ut decre- 
mentum temporis, quo arcus A a percurritur, ad tempus totum quo 
percurreretur, si nodus quiesceret : & propterea rectangulum illud 
respondebit decremento motus nodi. Et si punctum e tangat curvam 
NeFn, area tota NeZ, quae summa est omnium decrementorum, 
respondebit decremento toti quo tempore arcus A N percurritur ; 
& area reliqua N Ae respondebit motui reliquo, qui verus est nodi 
motus quo tempore arcus totus NA per solis & nodi conjunctos 
motus percurritur. Jam vero area semicirculi est ad aream figurse 
N eF7i, per methodum serierum infinitarum quaesitam, ut 793 ad 
60 quamproxlme. Motus autem qui respondet circulo toti erat 
19^' 49' Z" 55''' & propterea motus, qui ^gm^ NeFn duplicatae 
respondet, est i^- 29' 58'^ 2'". Qui de motu priore subductus re- 
linquit \^^' 19' ^" 53''' motum totum nodi respectu fixarum inter 
sui Ipsius conjunctiones cum sole ; & hic motus de solis motu annuo 
graduum 360 subductus, reHnquit 34i^''' 40' 54'' i" motum solis inter 
easdem conjunctlones. Iste autem motus est ad motum annuum 
360^"^- ut nodi motus jam inventus i^^" 19' ^' ^z'" ad ipsius motum 
annuum, qui propterea erit i^^-"- 18' i'' 23'''. Hic est motus medius 
nodorum in anno sidereo. Idem per tabulas astronomicas est 19^' 
21' 21'' ^d", Differentia minor est parte trecenteslma motus totius, 
& ab orbis lunaris eccentricitate & inclinatione ad planum eclipticae 
oriri videtur. Per eccentricitatem orbis motus nodorum nimis accele- 
ratur, & per ejus incHnationem vicissim retardatur aHquantulum & ad 
justam velocitatem reducitur. 

2 F 



4SO 



DE MUNDI SYSTEMATE 



PROPOSITIO XXXIII. PROBLEMA XIV. 

Invenire motum vertcm nodorum luncB, 

In tempore quod est ut area N T A—N d Z (in fig, prceced.) 
motus iste est ut area N A e, Sc inde datur. Verum ob nimiam 
calculi difficultatem prsestat sequentem problematis constructionem 
adhibere. Centro C, intervallo quovis C D, describatur circulus 
B EFD. Producatur Z^C ad ^, ut ^itAB^L^AC ut motus medius 
ad semissem motus veri mediocris, ubi nodi sunt in quadraturis, id est, 
ut iQT- i8^ i" 27,''' ad 19^- 49' 3'^ K^f\ atque ideo i? C ad ^ C ut 
motuum differentia 0^-31^ 2'' 32''^, ad motum posteriorem 19^- 49' 3'' 
55''' hoc est, ut I ad 38117; dein per punctum D ducatur infinita 
Gg, quae tangat circulum in Z^; & si capiatur angulus BCE vel 
B C F aequalis duplae distantiae solis a loco nodi, per motum medium 
invento; & agatur y^ ^ vel ^ T^ secans perpendiculum D G m G ; 
& capiatur angulus qui sit ad motum totum nodi inter ipsius syzygias 
(id est, ad 9^- 11' 3^^) ut tangens D G ad circuli BED circumfer- 
entiam totam; atque angulus iste (pro quo angulus DAG usurpari 




potest) ad motum medium nodorum addatur ubi nodi transeunt a 
quadraturis ad syzygias, & ab eodem motu medio subducatur ubi 
transeunt a syzygiis ad quadraturas ; habebitur eorum motus verus. 
Nam motus verus sic inventus congruet quam proxime cum motu 
vero qui prodit exponendo tempus per aream N TA — NdZ & 
motum nodi per aream NAe; ut rem perpendenti & computa-i 
tiones instituenti constabit. Haec est aequatio semestris motus 



LIBER TERTIUS. 451 

nodorum. Est & aequatio menstrua, sed quae ad Inventionem latltu- 
dinls lunae mlnlme necessarla est. Nam cum varlatlo Incllnationls 
orbis lunaris ad planum ecllptlcae duplici Inaequalltatl obnoxla slt, 
alteri semestrl, alterl autem menstruae ; hujus menstrua inaequalltas & 
sequatlo menstrua nodorum ita se mutuo contemperant & corrlgunt, ut 
ambae In determlnanda latltudine lunae negllgl possint 

Corol. Ex hac & praecedente propositlone llquet quod nodl in 
syzyglls suls quiescunt, in quadraturls autem regredluntur motu 
horario 16^^ \^"' 26'^ . Et quod aequatio motus nodorum in octan- 
tibus sit i^- 30'. Quae omnia cum phaenomenis ccelestibus probe 
quadrant. 

Scholmm. 

Alla ratione motum nodorum y. Machin Astron. Prof. Gresham. 
& Hen. Pemberton M.D. seorsum invenerunt. Hujus methodi 
mentio quaedam aHbi facta est. Et utriusque chartae, quas vidi, duas 
propositiones continebant & inter se in utrlsque congruebant. Char- 
tam vero D. Machin, cum prior in manus meas venerit, hic adjungam. 

De Motu Nodorum LuNiE. 
PROPOSITIO I. 

*' Motus solis meditis a nodo definiticr per meditcm proportionale 
^^ geometricum inter motum ipsius solis medium & motum illum medio- 
*^ crem quo sol celerrime recedit a nodo in quadraturis. 

**Sit T locus ubl terra, N 7t Hnea nodorum kmae ad tempus 
*' quodvis datum, K TM hulc ad rectos angulos ducta, TA recta 
*' circum centrum revolvens ea cum velocltate angulari qua sol & nodus 
" a se invicem recedunt, ita ut angulus inter rectam quiescentem N n 
" & revolventem T A semper fiat aequahs dlstantlae locorum soHs & 
*' nodl. Jam sl recta quaevis TK dividatur in partes TS & SK quae 
*' sint ut motus soHs horarlus medius ad motum horarium medlocrem 
** nodl in quadraturls, & ponatur recta TT/medla proportlonaHs inter 
'' partem TS & totam TK, h^c recta inter reHquas proportionaHs erit 
" motui medio soHs a nodo. 



452 



DE MUNDI SYSTEMATE 



'' Describatur enim circulus N KnM centro T & radio T K, 
eodemque centro & semiaxibus T H &i T N describatur ellipsis 
N H 11 L, 8l in tempore quo sol a nodo recedit per arcum N a, si 
ducatur recta Tda, area sectoris N Ta exponet summam motuum 
nodi & solis in eodem tempore. Sit igitur arcus a A quam minimus 
quem recta Tda prsefata lege revolvens in datd temporis particula 
uniformiter describit, & sector quam minimus TA a erit ut summa 
velocitatum qua sol & nodus tum temporis seorsim feruntur. Solis 
autem velocitas fere uniformis est, utpote cujus parva inaequalitas 




vix ullam inducit in medio nodorum motu varietatem. Altera 
pars hujus summae, nempe velocitas nodi in mediocri sua quan- 
titate, augetur in recessu a syzygiis in duplicata ratione sinus 
distantiae ejus a sole per Corol. Prop. 31 Lib. 3^' Princip. & 
cum maxima est in quadraturis ad solem in Ky eandem rationem, 
obtinet ad solis velocitatem ac ea quam habet S K ?id TS hod 
est ut (differentia quadratorum ex T K 8c TH vel) rectangulum 
K H M 2.A r/ir quadratum. Sed ellipsis NBH dividit secto- 
rem A Ta summae harum duarum velocitatum exponentem in 
duas partes ABba & BTb ipsis velocitatibus proportionales. 
Producatur enim B T 2id circulum in ft & a puncto B demitta- 



LIBER TERTIUS. 4^3 

' tur ad axem majorem perpendicularis B G, quse utrinque producta 
^ occurrat circulo in punctis F 81 f; 8>l quoniam spatium A B ba est 
' ad sectorem T B b vX rectangulum A B ^ ad B T quadratum 
' (rectangulum enim illud sequatur differentiae quadratorum ex TA 
' & TB ob rectam A ^ aequaliter & inaequaliter sectam in 7" & B), 
' haec igitur ratio ubi spatium A B ba maximum est in K eadem 
' erit ac ratio rectanguli K H M 2id H T quadratum. Sed maxima 
' nodi mediocris velocitas erat ad solis velocitatem in hac ratione. 

* Igitur in quadraturis sector A Ta dividitur in partes velocitatibus 

* proportionales. Et quoniam rectang. K H M est zA H T quadr. ut 
' FBf 2A BG quad. & rectangulum AB^ aequatur rectangulo FBf 
' erit igitur areola A B b a ubi maxima est ad reHquum sectorem 
' TBb, ut rectang. ABp 2id BG quadr. Sed ratio harum areolarum 

* semper erat ut A B fi rectang. ad ^ 2" quadratum ; & propterea 
' areola A B ba in loco A minor est simili areola in quadraturis in 
' duplicata ratione B G ad B T^ hoc est, in duplicata ratione sinus 
' distantiae solis a nodo. Et proinde summa omnium areolarum 

* ABba nempe spatium ABN erit ut motus nodi in tempore quo sol 
'digreditur a nodo per arcum N A. Et spatium rehquum nempe 
' sector elHpticus N TB erit ut motus soHs medius in eodem tempore. 

* Et propterea quoniam annuus motus nodi medius is est qui fit in 
^tempore quo sol periodum suam absolverit, motus nodi medius a 
' sole erit ad motum ipsius soHs medium, ut area circuH ad aream 
' eHipseos, hoc est, ut recta TK ad rectam T H mediam sciHcet 
' proportionalem inter TK & TS ; vel quod eodem redit ut media 

* proportionaHs T H 2A rectam TS, 

PROPOSITIO II. 
^^ Dato motti medio nodofum lunce invenire motttm verum. 

"Sit angulus A distantia soHs a loco nodi medio, sive motus 
"medius soHs a nodo. Tum si capiatur angulus B cujus tangens 
" sit ad tangentem anguH A ut TH ad TK, hoc est, in subdupHcata 
"■ ratione motus mediocris horarii soHs ad motum mediocrem hora- 
"rium soHs a nodo in quadraturis versante ; erit idem angulus B 
'' distantia soHs a loco nodi vero. Nam jungatur F T & ex demon- 



454 



DE MUNDI SYSTEMATE 



*' stratione propositionis superioris erit angulus F T N distantia solis 
" a loco nodi medio, angulus autem A T N distantia a loco vero, & 
'' tanorentes horum ancrulorum sunt inter se ut TK ad T H. 

o o 

" Corol. Hinc angulus FTA est aequatio nodorum lunae, sinusque 
** hujus anguli ubi maximus est in octantibus est ad radium wX, K H 
" ad TK-\- T H. Sinus autem hujus sequationis in loco quovis ah*o 
" A est ad sinum maximum, ut sinus summae angulorum FTN -\- A TN 
** ad radium : hoc est fere ut sinus duplae distantiae soHs a loco nodi 
*' medio (nempe 2 F TN) ad radium. 

Scholmm. 

**Si motus nodorum mediocris horarius in quadraturis sit 16'' 
" \(>" 37''' \2^ hoc est in anno toto sidereo 39° 38' "]" ^o'" erit 
'' TH ^A TKm subduphcata ratione numeri 9,0827646 ad numerum 
" 10,0827646, hoc est ut 18,6524761 ad 19,6524761. Et propterea 
^' T H 2id H K \xt 18,6524761 ad i, hoc est, ut motus solis in anno 
** sidereo ad motum nodi medium 19° 18' i^^ 23^'^f. 

"At si motus medius nodorum Lunae in 20 annis JuHanis sit 
** 386"^ 50' 15^^ sicut ex observationibus in theoria kmae adhibitis 
** deducitur : motus medius nodorum in anno sidereo erit 19° 20' 31^' 
" 58'^^ Et TH erit ad HK ut ^^o^"-- ad 19° 20' 31'' 58''' hoc^est 
" ut 18,61214 ad I. . Unde motus mediocris horarius nodorum in quad- 
" raturis evadet 16^' 18'^^ 48'^ Et eequatio nodorum maxima in 
'^octantibus 1° 29' 57' 



,// }i 



PROPOSITIO XXXIV. PROBLEMA XV. 

Invenire variationem horariam inclinationis orbis lunaris ad plantim 

eclipticcs. 

Designent A & a syzygias ; Q & ^ quadraturas ; N & u nodos ; 
P locum lunae in orbe suo ; p vestigium loci iHius in plano ecHpticae ; 
& m T/ motum momentaneum nodorum ut supra. Et si ad Hneam 
Tm demittatur perpendicukim P G, jungatur p G, & producatur ea 
donec occurrat T/ in ^, & jungatur etiam Pg: erit angulus P Gp 
incHnatio orbis lunaris ad planum ecHpticae, ubi luna versatur in P ; 
& angukis P^^P incHnatio ejusdem post momentum temporis com- 



LIBER TERTIUS. 



455 



pletum; Ideoque angulus GPg variatio momentanea inclinatlonls. 
Est autem hic angulus GPg ad angulum GTg ut TG 2id PG 8l 
P p a.d P G conjunctim. Et propterea si pro momento temporis 
substituatur hora ; cum angulus G Tg (per prop. xxx) sit ad angulum 




33 



// iq/// ^;^^- ut / Tx P G X A Z 2Ld A T cicb. erlt angulus GPg (seu 



incHnationis horaria variatio) ad angulum 33'' 10' 

Q.E.L 



y^TGx^TidA Tcub. 



33- ut ITxAZ 



PG 



Haec ita se habent ex hypothesi quod luna in orbe circulari 
uniformiter gyratur. Ouod si orbis ille elHptlcus sit, motus mediocris 
nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti 
supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam 
incHnationis variatio. 



456 DE MVNDI SYSTEMATE 

Corol. I. Si ad Nn erigatur perpendiculum TF, sitque / J/ motus 
horarius lunse in plano eclipticse ; & perpendicula / K, M k in Q T 
demissa & utrinque producta occurrant TT in I/ 8i /i : erit / 7" ad 
A TutKk ad Mp, & TG ad Hp ut TZ ad A T, ideoque / Tx 

7 Cr sequale ^~- , hoc est, aequale arese Hp Mh ductse 

TZ 
in rationem -jtf^ * & propterea incHnationis variatio horaria ad n" 

\d" 33'^ ut Hp Mh ducta mAZy. ^^ x -^ ad ^ T cuL 

CoroL 2. Ideoque si terra & nodi singulis horis completis 

retraherentur a locis suis novis, & in loca priora in instanti semper 

reducerenter, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus* 

maneret ; tota inclinationis variatio tempore mensis illius foret ad 

2^-^' \o"' 33'^ ut aggregatum omnium arearum Hp M h, in 

revolutione puncti / genitarum, & sub signis propriis + & — conjunc- 

P p 
tarum, ductum in ^ Z x T Z x \^ ad Mp xAT cub, id est, ut 

Pp 

circulus totus QAqa ductus in A Zx TZ x -^— ad Mp xAT cub. 

P Cr 

Pp 

hoc est ut circumferentia Q A qa ducta in A Zx TZ x ad 2 Mp^ 

xA T quad. 

CoroL 3. Proinde in dato nodorum situ variatio mediocris horariaJ 
ex qua per mensem uniformiter continuata variatio illa menstruaj 

generari posset, est ad 33'' \o'" 33'^ ut AZx TZx-—^ Sid 2 A Tq,\ 

P Cr 

A Z X TZ 

sive ut Pp X ^ ^ • ad P G^ X 4-^ r, id est (cum Pp sit ad P 

A Z X T Z 

ut sinus inclinationis praedictae ad radium, & — ^ sit ad 4 A 

■s" ^ 1 

ut sinus duplicati anguli A Tn ad radium quadruplicatum) ut "\ 

inclinationis ejusdem sinus ductus in sinum duplicatae distantiae | 

nodorum a sole ad quadruplum quadratum radii. 

CoroL 4. Quoniam inclinationis horaria variatio, ubi nodi in 

quadraturis versantur, est (per hanc propositionem) ad angulum 33^' 



LIBER TERTIUS. .^y 

lo''' it VitlTxAZxTGx^ 2.dA T cub, id est ut ^^^ ^^ 

PG \A T 

X -^ ad 2 y^ 7^; hoc est, ut sinus duplicatae distantiae lunae a qua- 
P G 

P i) 

draturis ductus in — ^ ad radium duplicatum : summa omnium varia- 
P G 

tionum horariarum, quo tempore luna in hoc situ nodorum transit a 

quadratura ad syzygiam (id est spatio horarum 177!) erit ad sum- 

mam totidem angulorum 33'^ \o"' 33'^ seu 5878'', ut summa omnium 

sinuum dupHcatae distantiae lunae a quadraturis ducta in — 2 ad 

summam totidem diametrorum ; hoc est, ut diameter ducta in -^ ad 

circumferentiam ; id est, si incHnatio sit 5^- i^ ut 7 x 10000 ad 22, seu 
278 ad loooo. Proindeque variatio tota, ex summa omnium horari- 
arum variationum tempore praedicto conflata, est 163'^ seu 2' 43'^ 



PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA XVI. 

Dato tempore invenire inclinationem orbis lunaris ad planum 

eclipticcB. 

Sit A D sinus incHnationis maximae, 81 A B sinus inclinationis 
minimae. Bisecetur ^5* Z^ in C, & centro C intervallo B C describatur 
circulus i5 6^ Z^. In ^ C capiatur C^ in ea ratione ^.d E B quam 



A)- 




EB habet ad 2 ^^ : et si dato tempore constituatur angulus AEG 
^quahs duphcatae distantiae nodorum a quadraturis, & ad ^ Z^ de- 
mittatur perpendiculum GH: erit A H sinws inclinationis quaesitae. 



458 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Nam GEq cequale est GHq + HEq = B H D-^ HEq = H BD + 
HEq-BHq = HBD^BEq-2 BHxBE=BEq+\2 ECx 
BH=2 ECxAB -h 2 ECxBH=2 ECxAH Ideoque cum 
2 E C detur est GEq ut A H, Designet jam A Eg duplicatam 
distantiam nodorum a quadraturis post datum aliquod momentum 
temporis completum, & arcus Gg ob datum angulum GEg erit 



Ah 




ut distantia G E. Est autem H h ad Gg ut G H ^d G C, 8i prop- 
terea H k est ut contentum G H x G g, seu G H x G E ; id est, utj 

^^x GEqs^u — X A H, id est, ut A H & sinus anguli A E G^ 
G E G E 

conjunctim. Igitur si A H in casu aliquo sit 'sinus inclinationis, 

augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis per Corol. 

3 Propositionis superioris, & propterea sinui illi aequalis sempei 

manebit. Sed A H, ubi punctum G incidit in punctum alterutrui 

B vel D^ huic sinui aequalis est, & propterea eidem semper sequalis 

manet. Q. E. D. 

In hac demonstratione supposui augulum B E G, qui est duplicata 

distantia nodorum a quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes 

insequalitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum 

BEG rectum esse & in hoc casu Gg esse augmentum horarium 

duplae distantiae nodorum & soHs ab invicem ; & incHnationis vari- 

atio horaria in eodem casu (per Corol. 3 Prop. novissimae) erit ad 

33^^ 10''^ 33^^ ut contentum sub incHnationis sinu A H 81 sinuanguH 

recti B E G, qui est dupHcata distantia nodorum a sole, ad quad- 

ruplum quadratum radii ; id est, ut mediocris incHnationis sinus A H 

ad radium quadrupHcatum ; hoc est (cum incHnatio iHa mediocris 

sit quasi 5^- 8^^) ut ejus sinus 896 ad radium quadrupHcatum 

40000, sive ut 224 ad loooo. Est autem variatio tota, sinuum dif- 



LIBER TERTIUS. . --. 

ferentiae B D respondens, ad varlationem illam horariam ut dlameter 
B D 2id arcum Gg ; id est, ut diameter B D 2A semiclrcumferenti- 
3.m B G D 81 tempus horarum 2079x0, quo nodus pergit a quadra- 
turls ad syzygias, ad horam unam conjunctim ; hoc est, ut 7 ad 
II & 2079117 ad I. Ouare si rationes omnes conjungantur, fiet 
variatio tota B D 2id 33'' 10''' 33^^ ut 224x7x20791^ ad 1 10000, 
id est, ut 29645 ad looo, & inde variatio illa B D prodibit 16' 

23"i 

Haec est inclinationis variatio maxima quatenus locus lunce in orbe 
suo non consideratur. Nam inclinatio, si nodi in syzygiis versantur, 
nil mutatur ex vario situ lunae. At si nodi in quadraturis consistunt, 
inclinatio mlnor est ubi luna versatur in syzygiis, quam ubi ea ver- 
satur in quadraturis, excessu 2' 43''; uti in propositionis superio- 
ris Corollario quarto indlcavimus. Et hujus excessus dimidio 1' 
21^^!^ variatio tota mediocris B D m quadraturis lunarlbus dimi- 
nuta fit 1 5' 2'^ in ipsius autem syzygiis aucta fit 1 7' 45'^ Si luna 
igitur in syzygiis constituatur, variatio tota in transitu nodorum a 
quadraturis ad syzygias erit i f 45'^ : ideoque si inclinatio^ ubi 
nodi in syzygiis versantur, sit 5^''' 1 7' 20'' ; eadem, ubi nodi sunt 
in quadraturis & luna in syzgyiis erit ^^^' 59' 35'^ Atque haec ita 
se habere confirmatur ex observatlonibus. 

Si jam desideretur orbis inclinatio illa, ubi luna In syzyglis & nodl 
ubivis versantur; fiat A B 2id A D vlX, slnus graduum 4 59' 35'' 
ad sinum graduum 5 i f 20'', & capiatur angulus A E G aequaHs 
dupHcatae distantiae nodorum a quadraturis ; & erit A H sinus incli- 
nationls quaesitae. Huic orbis incHnationi aequaHs est ejusdem incH- 
natio, ubi luna distat 90^'- a nodis. In aHIs lunae locis InaequaHtas 
menstrua, quam incHnationis varlatio admittit, in calculo latitudinls 
lunae compensatur, & quodammodo toHItur per inaequaHtatem men- 
struam motus nodorum (ut supra dlximus) ideoque in calculo lati- 
tudinis inius negHgi potest. 

Scholmm, 

Hisce motuum lunarium computationlbus ostendere volul, quod 
motus lunares per theoriam gravitatis a causis suis computari pos- 
sint. Per eandem theoriam Inveni praeterea quod aequatlo annua 



4 6o DE MUNDI S YSTEMA TE 

medii motus lunae oriatur a varia dilatatione orbis lunae per vim solis 
juxta Corol. 6 Prop. lxvi Lib. I. Haec vis in perigseo solis major 
est, & orbem lunae dilatat; in apogaeo ejus minor est, & orbem 
illum contrahi permittit. In orbe dilatato luna tardius revolvitur, in 
contracto citius ; & aequatio annua, per quam haec inaequahtas com- 
pensatur, in apogaeo & perigaeo sohs nulla est, in mediocri sohs a 
terra distantia ad ii' 50'^ circiter ascendit, in ahis locis aequationi 
centri sohs proportionahs est ; & additur medio motui kmae ubi terra 
pergit ab apheho suo ad perihehum^ & in opposita orbis parte sub- 
ducitur. Assumendo radium orbis magni 1000 & eccentricitatem 
terrae \6\ haec aequatio, ubi maxima est, per theoriam gravitatis 
prodiit 11' 49^'. Sed eccentricitas terrae paulo major esse videtur, 
& aucta eccentricitate haec aequatio augeri debet in eadem ratione. 
Sit eccentricitas 16H, & aequatio maxima erit 11' 51'^ 

Inveni etiam quod in periheho terrae, propter majorem vim sohs, 
apogaeum & nodi lunae velocius moventur quam in apheho ejus, 
idque in triphcata ratione distantiae terrae a sole inverse. Et inde 
oriuntur aequationes annuae horum motuum aequationi centri sohs 
proportionales. Motus autem sohs est in duphcata ratione distantiae 
terrae a sole inverse, & maxima centri aequatio, quam haec inaequah- 
tas generat, est i^* 56^ 20'' praedictae sohs eccentricitati i6i4 con- 
gruens. Quod si motus sohs esset in triphcata ratione distantiae 
inverse, haec inaequahtas generaret aequationem maximam 2^''- 54' 30''. 
Et propterea aequationes maximae, quas inaequahtates motuum apo- 
gaei & nodorum lunae generant, sunt ad 2^- 54' 30^^ ut motus medius 
diurnus apogaei & motus medius diurnus nodorum lunae sunt ad 
motum medium diurnum sohs. Unde prodit aequatio maxima 
medii motus apogaei 19' 43'^, & aequatio maxima medii motus 
nodorum 9' 24''. Additur vero aequatio prior & subducitur posteri- 
or, ubi terra pergit a periheho suo ad aphehum : & contrarium fit 
in opposita orbis parte. 

Per theoriam gravitatis constitit etiam quod actio sohs in lunam 
paulo major sit, ubi transversa diameter orbis lunaris transit per 
solem, quam ubi eadem ad rectos est angulos cum hnea terram & 
solem jungente : & propterea orbis lunaris paulo major est in priore 
casu quam in posteriore. Et hinc oritur aha aequatio motus medii 



LIBER TERTIUS. .^j 

lunaris, pendens a situ apog^I lunae ad solem, quse quldem maxlma 
est cum apogaeum lunae versatur in octante cum sole ; & nulla cum 
illud ad quadraturas vel syzyglas pervenit : & motui medlo addltur 
in transltu apogaei lunae a solls quadratura ad syzyglam, & subducltur 
In transitu apogaei a syzygia ad quadraturam. Haec aequatlo, quam 
semestrem vocabo, in octantibus apogaei, quando maxlma est, 
ascendit ad 3^ 45^' circlter, quantum ex phaenomenls colllgere potul. 
Haec est ejus quantitas In medlocri solls distantla a terra. Augetur 
vero ac dlminuitur in trlplicata ratlone dlstantlae solis Inverse, Ideoque 
in maxima solls dlstantia est 3' 34'^ & in minima 3' 56" quamproxime: 
ubi vero apogaeum lunae sltum est extra octantes, evadlt minor; 
estque ad aequatlonem maximam, ut sinus duplae distantlae apogaei 
lunae a proxima syzygia vel quadratura ad radium. 

Per eandem gravltatls theorlam actlo solis in lunam paulo major 
est ubi linea recta per nodos lunae ducta transit per solem, quam ubi 
llnea illa ad rectos est angulos cum recta solem ac terram jungente. 
Et inde oritur alia medii motus lunarls aequatlo, quam semestrem 
secundam vocabo, quaeque maxima est ubi nodi in solls octantlbus 
versantur, & evanescit ubi sunt in syzygiis vel quadraturls, & In allis 
nodorum posltlonibus proportlonalls est sinui duplae distantiae nodi 
alterutrlus a proxlma syzygla aut quadratura : addltur vero medlo 
motul lunae, si sol distat a nodo sibi proximo in antecedentla, 
subducltur si in consequentia, & in octantlbus, ubi maxima est, 
ascendlt ad 47'^ in medlocri solls dlstantla a terra, uti ex theorla 
gravltatis colligo. In aliis solis dlstantlls haec aequatio maxlma in 
octantlbus nodorum est reclproce ut cubus dlstantiae solls a terra, 
ideoque in perigaeo solls ad 49'^ in apogaeo ejus ad 45'' clrclter 
ascendit. 

Per eandem gravitatis theorlam apogaeum lunae progredltur quam 
maxlme ubi vel cum sole conjungitur vel eldem opponltur, & 
regredltur ubi cum sole quadraturam faclt. Et eccentrlcltas fit 
maxima in priore casu & mlnima in posteriore per Corol. 7, 8 & 9 
Prop. Lxvi Lib I. Et hae inaequalitates per eadem Corollarla per- 
magn^ sunt, & sequationem prlnclpalem apogaei generant, quam 
semestrem vocabo. Et aequatlo maxlma semestris est i2^'- 18' clrclter, 
quantum ex observationibus colligere potui. Horroxms noster lunam 



462 



DE MUNDl SYSTEMATE 



in ellipsi circum terram, in ejus umbilico inferiore constitutam, revolvi 
primus statuit. Halleitis centrum ellipseos in epicyclo locavit, cujus 
centrum uniformiter revolvitur circum terram. Et ex motu in 
epicyclo oriuntur inaequalitates jam dictse in progressu & regressu 
apogaei & quantitate eccentricitatis. Dividi intelligatur distantia 
mediocris lunse a terra in partes 1 00000, & referat T terram 81 T C 
eccentricitatem mediocrem lunse partium 5505. Producatur 7"C ad 
By ut sit CjB sinus sequationis maximae semestris 12^"- 18^ ad radium 
T Cj & circulus B DA centro C intervallo C B descriptus erit 
epicyclus ille in quo centrum orbis lunaris locatur & secundum ordinem 
literarum B D A revolvitur. Capiatur angulus B C D sequalis duplo 
argumento annuo, seu duplae distantise veri loci solis ab apogaeo 
lunse semel aequato, & erit CTD sequatio semestris apogsei lunse 




& TD eccentricitas orbis ejus in apogseum secundo sequatum 
tendens. Habitis autem lunae motu medio & apogaeo & 

eccentricitate, ut & orbis axe majore partium 200000 ; ex his eruetur 
verus lunae locus in orbe & distantia ejus a terra, idque per methodos 
notissimas. 

In perihelio terrae, propter majorem vim solis, centrum orbis lunae 
velocius movetur circum centrum C quam in apheHo, idque in 
triplicata ratione distantiae terrae a sole inverse. Ob sequationem 
centri soHs in argumento annuo comprehensam, centrum orbis lunse 
velocius movetur in epicyclo B DA m dupHcata ratione distantise 
terrse a sole inverse. Ut idem adhuc velocius moveatur in ratione 
simpHci distantiae inverse ; ab orbis centro D agatur recta D E ver- 
sus apogaeum lunae, seu rectae TC paraHela, & capiatur angulus EDF 
sequaHs excessui argumenti annui praedicti supra distantiam apogaei 
lunae a perigaeo soHs in consequentia ; vel quod perinde est capiatur 



LIBER TERTIUS. 



463 



angulus CZ^i^sequalis complemento anomallse verse solls ad gradus 
360. 'E.X. s\t D F 2A D C \xt dupla eccentrlcitas orbls magni ad dis- 
tantlam medlocrem solls a terra & motus medlus dlurnus solls ab 
apogaeo lunae ad motum medium diurnum solls ab apogaeo proprlo 
conjunctlm, Id est, ut 33^ ad 1000 & 52' 2"]" \6'" ad 59^ 8'^ \o"' 
conjunctlm, sive ut 3 ad 100. Et conclpe centrum orbls lunse locari 
in puncto /%*& In eplcyclo, cujus centrum est D & radius DF, Interea 
revolvl dum punctum D progredltur in clrcumferentia circull DABD. 
Hac enim ratione velocltas, qua centrum orbls lunae in linea quadam 
curva circum centrum C descrlpta movebltur, erlt reclproce ut cubus 
dlstantlae solls a terra quamproxlme, ut oportet. 

Computatlo motus hujus difficills est, sed facillor reddetur per 
approxlmatlonem sequentem. Si distantia mediocrls lunae a terra 
slt partium 1 00000, & eccentricitas TC sit partium 5505 ut supra : 
recta C^ vel CD invenletur partlum 1172^, & recta D F partium 
35y. Et haec recta ad distantiam TC subtendit angulum ad terram 
quem translatlo centrl orbls a loco D ad locum /^generat in motu 
centri hujus : & eadem recta dupllcata in sltu parallelo ad distantlam 
superloris umbillci orbis lunae a terra subtendit eundem angulum, 
quem utlque translatlo illa generat in motu umbillcl, & ad distantlam 
lunae a terra subtendlt angulum quem eadem translatlo generat in 
motu hmae, qulque propterea aequatio centri secunda dlcl potest. Et 
haec aequatio, In mediocri lunae distantia a terra,. est ut sinus anguli, 
quem recta illa Z^ /^ cum recta a puncto i^ ad lunam ducta contlnet 
quamproxime, &ubi maxima est evadit 2' 2^'\ Angulus autem quem 
recta D F 8c recta a puncto F ad lunam ducta comprehendunt in- 
venltur vel subducendo anguhim F D F ah anomaHa medla lunae, vel 
addendo distantlam lunae a sole ad distantiam apogaei lunae ab apogaeo 
soHs. Et ut radius est ad sinum anguH slc Inventi, ita 2' 25^^ sunt ad 
aequationem centri secundam, addendam si summa illa sit minor 
semiclrculo, subducendam si major. SIc habebltur ejus longitudo in 
ipsis luminarium syzygils. 

Cum atmosphaera terrae ad usque altitudinem mllllarium 35 vel 40 
refrlngat lucem solls, & refrlngendo spargat eandem in umbram terrae, 
& spargendo lucem In confinlo umbrae dilatet umbram : ad dlametrum 
umbrae, quae per parallaxlm prodit, addo mlnutum unum primum in 
ecllpsibus lunae, vel minutum unum cum trlente. 



464 



DE MUJSIDI SYSTEMATE 



Theoria vero lunae primo in syzygiis, deinde in quadraturis, & 
ultimo in octantibus per phaenomena examinari & stabiHri debet. Et 
opus hocce aggressurus motus medios soHs & lunae ad tempus meridi- 
anum in observatorio regio Grenoviceiisi, die ultimo mensis Decembris 
anni 1 700 st. vet. non incommode sequentes adhibebit : nempe 
motum medium soHs YS ^o^'- 43^ \o'\ & apogsei ejus ss 7^"' 44' 30'^ & 
motum medium lunze ::::: i^^'- 21' oo'^ & apogaei ejus K 8^- 20' oo'^ 
& nodi ascendentis 51 '^l^'' i^ 20'' \ & differentiam meridianorum 
observatorii hujus & observatorii regii Parisiensis o^°''* 9™"- 20^^*"-. 
Motus autem medii lunae & apogaei ejus nondum satis accurate 
habentur. 



PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XVII. 

Invenire vim solis ad mare movendnm. 

SoHs vis M L seu P T, in quadraturis kmaribus, ad perturbandos 
motus lunares erat (per Prop. xxv hujus) ad vim gravitatis apud 
nos, ut I ad 638092,6. Et vis T M—L M seu 2 P K m syzygiis 
lunaribus est duplo major. Hae autem vires, si descendatur ad super- 
ficiem terrae, diminuuntur in ratione distantiarum a centro terrae, id 
est, in ratione 60J ad i ; ideoque vis prior in superficie terrae est 
ad vim gravitatis ut i ad 38604600. Hac vi mare deprimitur in 
locis, quae 90 gradibus distant a sole. Vi altera, qu^ duplo major 
est, mare elevatur & sub sole & in regione soH opposita. Summa 




virium est ad vim gravitatis ut i ad 12868200. Et quoniam vis ea- 
dem eundem ciet motum, sive ea deprimat aquam in regionibus qu^ 



LIBER TERT2US. 



465 



90 gradibus distant a sole, slve elevet eandem in regionibus sub sole 
& soli oppositis, haec summa erit tota solis vis ad mare agitandum ; 
& eundem habebit effectum, ac si tota in regionibus sub sole & soli 
opposltis mare elevaret, In reglonibus autem quae 90 gradibus dlstant 
a sole nil ageret. 

Hsec est vis soHs ad mare clendum in loco quovls dato, ubl sol 
tam in vertice loci versatur quam In medlocrl sua distantia a terra. 
In ahls soHs positlonibus vls ad mare attollendum est ut slnus versus 
duplse altltudlnls solis supra horizontem loci dlrecte & cubus distantlae 
solis a terra inverse. 

CoroL Cum vis centrlfuga partium terrae a diurno terrae motu 
oriunda, quae est ad vlm gravltatls ut i ad 289, efficiat ut altltudo 
aquae sub aequatore superet ejus altltudlnem sub polls mensura pedum 
Parisiensium 85472, ut supra in prop. xix ; vls solarls de qua egimus, 
cum sit ad vlm gravit^tis ut i ad 12868200, atque Ideo ad vlm illam 
centrlfugam ut 289 ad 12868200 seu i ad 44527, efficiet ut altltudo 
aquae in regionlbus sub sole & soll oppositls superet altitudinem ejus 
in locis, quae 90 gradlbus distant a sole, mensura tantum pedis unlus 
Parisiensis & digltorum undeclm cum trlcesima parte digltl. Est 
enlm haec mensura ad mensuram pedum 85472 ut i ad 44527. 



PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XVIII. 

Invenire vim luncB ad m^re movendum. 

Vis lunae ad mare movendum colllgenda est ex ejus proportione ad 
vim solis, & haec proportlo colligenda est ex proportione motuum 
maris, qul ab hls vlrlbus oriuntur. Ante ostlum fluvll Avonce ad 
lapldem tertium infra Bristoliam tempore verno & autumnall totus 
aquae ascensus In conjunctlone & opposltlone lumlnarium, observante 
Samuele Sturmio, est pedum plus mlnus 45, In quadraturis autem 
est pedum tantum 25. Altitudo prior ex summa vlrlum, posterior ex 
earundem dlfferentia oritur. Solis igitur & lunae in aequatore ver- 
santium & mediocrlter a terra dlstantlum sunto vires S & L, & erit 
L + S ad L — S ut 45 ad 25, seu 9 ad 5. 

2 G 



466 



DE MUNDI SYSTEMATE 



In portu Plyrmithi aestus maris ex observatione Samtcelis Colepressi 
ad pedes plus minus sexdecim altitudine mediocri attollitur, ac tem- 
pore verno & autumnali altitudo aestus in syzygiis superare potest 
altitudinem ejus in quadraturis pedibus plus septem vel octo. Si 
maxima harum altitudinum differentia sit pedum novem, erit L + S 
ad L — S ut 2ol ad iil seu 41 ad 23. Quae proportio satis congruit 
cum priore. Ob magnitudinem sestus in portu Bristolice observa- 
tionibus Sturmii magis fidendum esse videtur, ideoque donec aliquid 
certius constiterit proportionem 9 ad 5 usurpabimus. 

Caeterum ob aquarum reciprocos motus aestus maximi non inci- 
dunt in ipsas luminarium syzygias, sed sunt tertii a syzygiis ut dictum 
fuit, seu proxime sequuntur tertium lunae post syzygias appulsum ad 
meridianum loci, vel potius (ut a Sturmio notatur) sunt tertii post 
diem novilunii vel plenilunii, seu post horam a novilunio vel pleni- 
lunio plus minus duodecimam, ideoque incidunt in horam a novilunio 
vel plenilunio plus minus quadragesimam tertiam. Incidunt vero in 
hoc portu in horam septimam circiter ab appulsu lunae ad meridianum 
loci ; ideoque proxime sequuntur appulsum lunae ad meridianum, 
ubi luna distat a sole vel ab oppositione soHs gradibus plus minus 
octodecim vel novemdecim in consequentia. ^stas & hyems 
maxime vigent, non in ipsis solstitiis, sed ubi sol distat a solstitiis 
decima circiter parte totius circuitus, seu gradibus plus minus 36 
vel 37. Et simihter maximus aestus maris oritur ab appulsu lunae 
ad meridianum loci, ubi luna distat a sole decima circiter parte motus 
totius ab aestu ad aestum. Sit distantia illa graduum plus minus 18J. 
Et vis solis in hac distantia lunae a syzygiis & quadraturis minor 
erit ad augendum & ad minuendum motum maris avi lunae oriundum, 
quam in ipsis syzygiis & quadraturis, in ratione radii ad sinum com- 
plementi distantiae hujus duplicatae seu anguli graduum 37, hoc est, 
in ratione looooooo ad 7986355. Ideoque in analogia superiore pro 
S scribi debet 0,7986355 S. 

Sed & vis lunae in quadraturis, ob declinationem lunae ab aequa- 
tore, diminui debet. Nam luna in quadraturis, vel potius in gradu 
18 J post quadraturas, in declinatione graduum plus minus 22 13^ 
versatur. Et luminaris ab aequatore declinantis vis ad mare mo- 



LIBER TERTIUS. 467 

vendum dlminultur In duplicata ratlone sinus complementl declinatlonis 
quamproxlme. Et propterea vis lunse In his quadraturls est tan- 
tum 0,8570327 L. Est Igitur ^ + 0,79863558 ad 0,8570327^ — 
0,79863558 ut 9 ad 5. 

Praeterea diametrl orbls, in quo luna slne eccentricitate moverl 
deberet, sunt ad invicem ut 69 ad 70 ; ideoque dlstantia lunae a 
terra in syzyglis est ad distantiam ejus in quadraturls ut 69 ad 70, 
cseterls parlbus. Et distantiae ejus in gradu 18I asyzyglls, ubi aestus 
maxlmus generatur, & in gradu 18J a quadraturls, ubi aestus minlmus 
generatur, sunt ad mediocrem ejus distantlam ut 69,098747 & 
69>897345 ad 69!^. Vires autem lunae ad mare movendum sunt In 
trlpllcata ratlone distantlarum inverse, ideoque vires in maxima & 
mlnima harum dlstantiarum sunt ad vim in medlocri distantla ut 
0,9830427 & 1,017522 ad I. Unde fit 1,017522^ +0,7986355 8 
ad 0,9830427x0,8570327 L — 0,7986355 8 ut 9 ad 5. Et 8 ad L ut 
I ad 4,4815. Itaque cum vis solis slt ad vlm gravltatls ut i ad 
12868200, vls lunae erit ad vim gravitatis ut i ad 2871400. 

Corol. I. Cum aqua vi solis agitata ascendat ad altitudinem pedls 
unius & undecim dlgltorum cum trlceslma parte dlgiti, eadem vi 
lunae ascendet ad altitudlnem octo pedum & dlgltorum 7A, & vi 
utraque ad altitudlnem pedum decem cum semisse, & ubi luna est 
in perigaeo ad altltudinem pedum duodeclm cum semisse & ultra, 
praesertim ubi aestus ventis spirantlbus adjuvatur. Tanta autem vls 
ad omnes maris motus excltandos abunde sufficit, & quantitati 
motuum probe respondet Nam in maribus quae ab oriente in 
occidentem late patent, uti in mari Pacifico & marls Atlantici & 
^thiopici partibus extra tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pe- 
dum sex, novem, duodecim vel quindecim. In mari autem Pacifico, 
quod profundius est & latius patet, aestus dicuntur esse majores quam 
in Atlantico & ^thiopico. Etenim ut plenus sit aestus latitudo marls 
ab orlente in occidentem non minor esse debet quam graduum 
nonaglnta. In mari ^thiopico ascensus aquae intra tropicos minor est 
quam in zonls temperatls propter angustlam marls inter Africam & 
australem partem AniericcB. In medlo mari aqua neqult ascendere, 
nisl ad littus utrumque & orlentale & occldentale slmul descendat : 



468 



DE MUNDI SYSTEMATE 



cum tamen vicibus alternis ad littora illa in maribus nostris angustis 
descendere debeat. Ea de causa fluxus & refluxus in insulis, quse 
a littoribus longissime absunt, perexiguus esset solet. In portubus 
quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca vadosa ad sinus 
alternis vicibus implendos & evacuandos influere & eflluere cogitur, 
fluxus & refluxus debent esse solito majores, uti ad Plymuthtim 
& pontem Chepstowce in Anglia ; ad montes S. MichcElis & urbem 
Abrincattcorum (vulgo Avranches) in Nor^nannia ; ad Cambaiatjz & 
Pegu in India orientali. His in locis mare, magna cum velocitate 
accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit 
ad multa millaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi 
potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40, vel 50 
& amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum & vadosorum, 
uti Magellanici & ejus quo Anglia circundatur. ^stus in hujusmodi 
portubus & fretis per impetum cursus & recursus supra modum 
augetur. Ad littora vero quae descensu praecipiti ad mare profundum 
& apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi & remeandi 
attolli & subsidere potest, magnitudo sestus respondet viribus solis & 
lunse. 

Corol. 2. Cum vis lunse ad mare movendum sit ad vim gravitatis 
ut I ad 2871400, perspicuum est quod vis illa sit longe minor quam 
quae vel in experimentis psndulorum vel in staticis aut hydrostaticis 
quibuscunque sentiri possit. In aestu solo marino haec vis sensibilem 
edit eflectum. 

Corol. 3. Quoniam vis lunae ad mare movendum est ad solis vim 
consimilem ut 4,4815 ad i, & vires illae (per corol. 14 prop. lxvi 
lib. i) sunt ut densitates corporum lunae & solis & cubi diametrorum 
apparentium conjunctim ; densitas lunae erit ad densitatem solis 
ut 4,4815 ad i directe & cubus diametri lunae ad cubum diametri 
soHs inverse : id est (cum diametri mediocres apparentes lunae & 
soHs sint 31' i6''y & 32' 12'') ut 4891 ad 1000. Densitas autem 
solis erat ad densitatem terrae ut 1000 ad 4000; & propterea densitas 
lunae est ad densitatem terrae ut 4891 ad 4000 seu 11 ad 9. Est 
igitur corpus lunae densius & magis terrestre quam terra nostra. 



LIBER TERTIUS, 469 

CoroL 4. Et cum vera diameter lunae ex observationlbus astrono- 
micis sit ad veram diametrum terrse ut 100 ad 365 ; erit massa lunae 
ad massam terrse ut i ad 39,788. 

CoroL 5. Et gravitas acceleratrix in superficie lunae erit quasi 
triplo minor quam gravitas acceleratrix in superficie terrae. 

CoroL 6. Et distantia centri lunae a centro terrae erit ad distantiam 
centri lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae, ut 40,788 
ad 39,788. 

CoroL 7. Et mediocris distantia centri lunae a centro terrae in 
octantibus lunae erit semidiametrorum maximarum terrae 60I quam- 
proxime. Nam terrae semidiameter maxima fuit pedum Parisiensium 
19658600, & mediocris distantia centrorum terrae & lunae, ex hujus- 
modi semidiametris 60I constans, aequalis est pjedibus 1 187379440. 
Et haec distantia (per corollarium superius) est ad distantiam centri 
lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae ut 40,788 ad 39,788 : 
ideoque distantia posterior est pedum 11 58268534. Et cum luna 
revolvatur, respectu fixarum, diebus 2 7 horis 7 & minutis primis 43I ; 
sinus versus anguli, quem luna tempore minuti unius primi descri- 
bit, est 12 75 2 341, existente radio 1000,000000,000000. Et ut radius 
est ad hunc sinum versum, ita sunt pedes 1 158268534 ad pedes 
14,7706353. Luna igitur vi illa, qua retinetur in orbe, cadendo in 
terram tempore minuti unius primi describet pedes 14,7706353. Et 
augendo hanc vim in ratione 178?^ ad 177!^ habebitur vis tota 
gravitatis in orbe lunae per Corol. Prop. iii. Et hac vi luna cadendo 
tempore minuti unius primi describet pedes 14,8538067. Et ad 
sexagesimam partem distantiae lunae a centro terrae, id est ad dis- 
tantiam pedum 197896573 a centro terrae, corpus grave tempore 
minuti unius secundi cadendo describet etiam pedes 14,8538067. 
Ideoque ad distantiam pedum 196 15800, qui sunt terrae semidiameter 
mediocris, grave cadendo describet pedes 15,11175, seu pedes 15 
dig. I & lin. 4tt. Hic erit descensus corporum in latitudine gra- 
duum 45. Et per tabulam praecedentem in prop. xx descriptam 
descensus erit paulo major in latitudine LtcteticB Parisiorttm existente 
excessu quasi § partium lineae. Gravia igitur per hoc computum 
in latitudine LuteticB cadendo in vacuo describent tempore unius 
secundi pedes Parisienses 1 5 dig. i & lin. ^H circiter. Et si gravi- 



. 70 ^^ MUNDI SYSTEMATE 

tas minuatur auferendo vim centrifugam, quae oritur a motu diurno 
terrse in illa latitudine, gravia ibi cadendo describent tempore mi- 
nuti unius secundi pedes 15 dig. i & lin. \\. Et hac velocitate 
gravia cadere in latitudine Lutetice supra ostensum est ad prop. iv 

& XIX. 

CoroL 8. Distantia mediocris centrorum terrse & lunae in syzy- 
giis lunae est sexaginta semidiametrorum maximarum terrse, dempta 
tricesima parte semidiametri circiter. Et in quadraturis lunse dis- 
tantia mediocris eorundem centrorum est 60I semidiametrorum 
terrse. Nam hae duae distantiae sunt ad distantiam mediocrem lunae 
in octantibus ut 69 & 70 ad 69} per prop. xxviii. 

Corol. 9. Distantia mediocris centrorum terrae & lunae in syzygiis 
lunae est sexaginta semidiametrorum mediocrium terrae cum decima 
parte semidiametri. Et in quadraturis lunae distantia mediocris 
eorundem centrorum est sexaginta & unius semidiametrorum medio- 
crium terrae, dempta tricesima parte semidiametri. 

Corol. 10. In syzygiis lunae parallaxis ejus horizontalis mediocris 
in latitudinibus graduum o, 30, 38, 45, 52, 60, 90, est 57' 20", 
5/ i6^ 57' H^ 5/ 12^ 57' lo'^ 57' 8^ 57' a!' respective. 

In his computationibus attractionem magneticam terrae non con- 
sideravi, cujus utique quantitas perparva est & ignoratur. Siquando 
vero haec attractio investigari poterit, & mensurae graduum in meridi- 
ano, ac longitudines pendulorum isochronorum in diversis parallelis, 
legesque motuum maris, & parallaxis lunae cum diametris apparen- 
tibus solis & lunae ex phaenomenis accuratius determinatae fuerint : 
licebit calculum hunc omnem accuratius repetere. 

PROPOSITIO XXXVIII. PROBLEMA XIX. 

Invenire figuram corporis luncs. 

Si corpus lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis terrae ad 
fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum esset ad vim 
lunae, qua mare nostrum in partibus & sub luna & lunae oppositis 
attollitur, ut gravitas acceleratrix lunae in terram ad gravitatem ac- 
celeratricem terrae in lunam & diameter lunae ad diametrum terrae 



LIBER TERTIUS. 



471 



conjunctim; id est, ut 39,788 ad i & 100 ad 365 conjunctim, seu 
1081 ad 100. Unde cum mare nostrum vi lunae attollatur ad pedes 
81, fluidum lunare vi terrae attolli deberet ad pedes 93. Eaque de 
causa figura lunae sphserois esset, cujus maxima diameter producta 
transiret per centrum terrse & superaret diametros perpendiculares 
excessu pedum 186. Talem igitur figuram luna affectat, eamque sub 
initio induere debuit. Q. E. I. 

Corol. Inde vero fit ut eadem semper lunae facies in terram obver- 
tatur. In alio enim situ corpus lunare quiescere non potest, sed ad 
hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes, ob par- 
vitatem virium agitantium, essent longe tardissimae : adeo ut facies 
illa, quae terram semper respicere deberet, possit alterum orbis lunaris 
umbilicum (ob rationem in prop. xvii allatam) respicere, neque statim 
abinde retrahi & in terram converti. 



LEMMA I. 

Si A P E p terram designet uniformiter densam, ceiitroque C & 
polis P, p dr^ csquatore A E delineatam ; & si centro C radio C P 
describi intelligatur sphcBra P a p e ; ^^V autem Q R ptafttcm, cui recta a 
centro solis ad centrum terrcs ducta normaliter ifisistit ; & terrcB totius 
exterioris PapAPepE, quce sphcFra modo descripta altior est, par- 
ticulce singulcB conentur recedere hinc inde a plano O R, sitque conatus 
particulcB cujusque ut ejusdem distantia a plano : dico primo, quod 
tota particularum onmium in cequatoris circulo A E, extra globum 
7miformiter per totum circuitum in morem annuli dispositartimy vis & 
efficacia ad terram circimt ce7itrum ejus rotandam sit ad totam par- 
ticularum totidem in csquatoris pzmcto A, quod a plano Q R maxime 
distat, consistentium vim & efficaciam ad terram consimili motu circu- 
lari circtcm centrum ejus movendamy ut unum ad duo. Et motus iste 
circutaris circum axem^ in commimi sectione ceqtiatoris & pla7ii Q R 
jace7ite7n^ peragetur. 



4/2 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Nam centro K diametro I L describatur semicirculus I N L K, 
Dividi intelligatur semicircumferentia I N L in partes innumeras 
aequales, & a partibus singulis N ad diametrum I L demittantur sinus 
N M. Et summa quadratorum ex sinibus omnibus N M sequalis 
erit summae quadratorum ex sinibus K M, & summa utraque aequalis 
erit summae quadratorum ex totidem semidiametris K N ; ideoque 
summa quadratorum ex omnibus N M ^nt duplo minor quam summa 
auadratorum ex totidem semidiametris K N. 





Jam dividatur perimeter circuli ^ ^ in particulas totidem ^quales, 
& ab earum unaquaque F ad planum Q R demittatur perpendiculum 
/^6^, ut & a puncto A perpendiculum A H. Et vis, qua particula F 
recedit a plano Q R, erit ut perpendiculum illud FG per hypo- 
thesin, & haec vis ducta in distantiam C G erit efficacia particulae F 
ad terram circum centrum ejus convertendam. Ideoque efficacia 
particulae in loco F erit ad efficaciam particulae in loco A ut 
FGxGC^dAHyiH C, hoc est, ut FCg^d A Cq; & propterea 
efficacia tota particularum omnium in locis suis F erit ad efficaciam 
particularum totidem in loco A ut summa omnium FCq ad summam 
totidem A Cq, hoc est (per jam demonstrata) ut unum ad duo 
Q.E.D. 

Et quoniam particulae agunt recedendo perpendiculariter a plano 
Q R, idque aequaliter ab utraque parte hujus plani : eadem conver- 



LIBER TERTIUS, 



473 



tent circumferentiam circuli aequatoris, eique inhaerentem terram, 
circum axem tam in plano illo Q R quam in plano sequatoris 
jacentem. 

LEMMA II. 

lisdem positis : dico secundo quod vis & efficacia tota particularum 
om7tium extra globum undique sitarum ad terram circum cuxem eufidem 
rotandam sit ad vim totam particularum totidem, in csquatoris circulo 
A E uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum, 
ad terram consimili motu circulari move^tdam, ut duo ad quinque. 

Sit enim IK circulus quilibet minor sequatori AE parallelus, 
sintque Z, / particulae duae quaevis aequales in hoc circulo extra globum 
P ape sitae. Et si in planum Q /?, quod radio in solem ducto 
perpendiculare est, demittantur perpendicula L M, Im: vires totae, 
quibus particulae illae fugiunt planum Q Ry proportionales enmt 
perpendiculis illis LM, Im, Sit autem recta Z/ plano Pape parallela 




& bisecetur eadem in X, & per punctum X agatur JVn, quae parallela 
sit plano Q R & perpendicuHs L M, Im occurrat in N ac n, & in 
planum Q R demittatur perpendiculum XY. Et particularum L 8l l 
vires contrariae ad terram in contrarias partes rotandam sunt ut 
LMxMC &Ll7nxmQ hoc est, utLNxMC-{^NMxMC8i In 



474 



DE MUNDI SYSTEMATE 



xmC—nmxmQsew LNxMC+ NM x MC SiLNxmC— NM 
xmC : & harum differentia LNxM^n — N Mx M C+ m C est vis 
particularum ambarum simul sumptarum ad terram rotandam. Hujus 
differentise pars affirmativa LNxMm seu 2 LNxNX est ad 
particularum duarum ejusdem magnitudinis in A consistentium vim 
2 A HxHCyVX LXq ad ACq, Et pars negativa NMx MC+mC 
seu 2 X VxC Y 3A particularum earundem in A consistentium vim 




2 A HxH C, ut CX q ad A Cq. Ac proinde partium differentia, 
id est, particularum duarum L 81 l simul sumptarum vis ad terram 
rotandam est ad vim particularum duanim iisdem aequalium & in loco 
A consistentium ad terram itidem rotandam, ut LXq—CXq ad ACq. 
Sed si circuli /isf circumferentia I K dividatur in particulas innume- 
ras aequales Z, erunt omnes L X q ^id totidem I X q ut i 2id 2 (per 
lem. i) atque ad totidem A Cq, ut I Xq Sid 2 A Cq ; & totidem 
CXq ad totidem A C q vX 2 CXq ad 2 A C q. Quare vires 
conjunctae particularum omnium in circuitu circuli I K sunt ad vires 
conjunctas particularum totidem in loco A, ut I Xq—^CXq ad 
2ACq: & propterea (per lem. i) ad vires conjunctas particularum 
totidem in circuitu circuli A E, ut I Xq—2 CXq ad A Cq. 

Jam vero si sphaerse diameter Pp dividatur in partes innumeras 
aequales, quibus insistant circuli totidem I K, materia in perimetro 
circuli cujusque IK erit ut IXq: ideoque vis materiae illius ad terram 



LIBER TERTIUS. 475 

rotandam erit \it I X q in I X q—2 C X q. Et vis materlae ejusdem, 
si in circuli A E perimetro consisteret, esset vX I X q ya A C q. Et 
propterea vis particularum omnium materise totius, extra globum in 
perimetris circulorum omnium consistentis, est ad vim particularum 
totidem in perimetro circuli maximi A E consistentis, ut omnia I X q 
in I X q—2 CXq ad totidem/X^ in A Cq, hoc est, ut omniay^ Cq 
— C X q in A Cq—2> CX q^A totidem A Cq—C X q inA C q, id est, 
ut omnia A Cqq—^ A Cqx CX q-\-2) CX qq ad totidem A Cq q — 
A C q X C X q, hoc est, ut tota quantitas fluens, cujus fluxio est A Cqq 
— 4 A Cqx CXq-\-2> CXqq, ad totam quantitatem fluentem, cujus 
fluxio est A Cqq — A Cqx CX q ; ac proinde per methodum fluxio- 
num, ut A Cqqx CX—i A Cqx C X cud-{-i CX qc ad A Cq qx 
CX—iA CqxCX cub, id est, si pro CX scribatur tota Cp vel 
A C,vXt% A Cqc 2A% A Cq c, hoc est, ut duo ad quinque. Q, E. D. 



LEMMA III. 

lisdem positis : dico tertio quod motus terrce totius circu7n axemjam 
a7ite descriptum, ex motibus partictdarum omtmcm compositus^ erit ad 
motimi a7i7iuli prcEdicti circum cucem eundem in ratione, qucs componittir 
ex ratione materics in terra ad materiam in annulo & ratione trium 
quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque ad duo quadrata 
ex dia^netro ; id est, hi ratione materice ad materiam & numeri 
925275 ad mimerum 1 000000. 

Est enim motus cyHndri circum axem suum immotum revolventis 
ad motum sphserae inscriptse & simul revolventis, ut quseHbet quatuor 
sequaHa quadrata ad tres ex circuHs sibi inscriptis : & motus cyHndri 
ad motum annuH tenuissimi, sphseram & cyHndrum ad communem 
eorum contactum ambientis, ut duplum materise in cyHndro ad triplum 
materise in annulo ; & annuH motus iste circum axem cyHndri unifor- 
miter continuatus ad ejusdem motum uniformem circum diametrum 
propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuH 
ad duplum diametri. 



476 



DE MUNDI SYSTEMATE 



H YPOTHESIS I I 



Si annulus prcsdidus, terra omni reliqua stcblata^ soltis in orbe 
terrcB motu annuo circa solem ferretur^ & interea circa axem stmm^ 
ad planum eclipticce in angulo gradmim 23-J inclinattmt^ motu diurno 
revolveretur : idemforet motus ptmctorum cequinoctialium, sive afznulus 
istefluidus essety sive is ex materia rigida & fir^na constaret, 

PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XX. 
Invenire prcBcessionem c^quinoctiorum, 

Motus mediocris horarius nodorum lunae in orbe circulari, ubi 
nodi sunt in quadraturis, erat 16^^ 35'^' 16''' 36'', & hujus dimidium 
g// j^/// ^giv jgv (^ rationes supra explicatas) est motus medius 
horarius nodorum in tali orbe ; fitque anno toto sidereo 20^- 11' 46'^ 
Quoniam igitur nodi lunae in tali orbe conficerent annuatim 20^* 11' 
46^' in antecedentia ; & si plures essent lunse motus nodorum cujusque 
(per corol. 16 prop. lxvi Hb. i) forent ut tempora periodica; si luna 
spatio diei siderei juxta superficiem terrae revolveretur, motus annuus 
nodorum foret ad 20^- 11^46^^ ut dies sidereus horarum 23 56' ad 
tempus periodicum lunae dierum 27 hor. 7 43^; id est, ut 1436 ad 
39343. Et par est ratio nodorum annuli lunarum terram ambientis ; 
sive lunae illae se mutuo non contingant, sive liquescant & in annulum 
continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat & inflexibilis 
reddatur. 

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiae 
aequalis sit terrae omni P ap A P ep E quae globo Pape superior est ; 
(Vid. fig. pag, 474) & quoniam globus iste est ad terram illam supe- 
riorem ut a Cqu. ad A Cqu. — a C qu. id est (cum terrae semidiameter 
minor P C vAaC sit ad semidiametrum majorem y^ C ut 229 ad 230) 
ut 52441 ad459; si annulus iste terram secundum aequatorem cin- 
geret & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus 
annuli esset ad motum globi interioris (per hujus lem. iii) ut 459 ad 
52441 & loooooo ad 925275 conjunctlm, hoc est, ut 4590 ad 485223 ; 
ideoque motus annuli esset atd summam motuum annuli ac globi, ut 
4590 ad 489813. Unde si annulus globo adhaereat, & motum suum. 



LIBER TERTIUS. 



477 



quo ipslus nodi seu puncta aequinoctialla regrediuntur, cum globo 
communlcet : motus qui restablt in annulo erit ad ipsius motum 
prlorem, ut 4590 ad 489813; & propterea motus punctorum aequi- 
noctiallum dlmlnuetur in eadem ratlone. Erlt Igitur motus annuus 
punctorum sequlnoctlallum corporls ex annulo & globo compositi 
ad motum 20^''' 11' 46'^ ut 1436 ad 39343 & 4590 ad 489813 
conjunctlm, id est, ut 100 ad 292369. Vlres autem quibus nodi 
lunarum (ut supra explicui) atque ideo quibus puncta aequinoctialla 
annuli regrediuntur (id est vlres 3/7^ injig.pag. 437 & 438) sunt 
in singulis partlculis ut distantiae particularum a plano Q Ry 81 his 
viribus partlculae illae planum fugiunt ; & propterea (per lem. 11) si 
materla annuli per totam globi superficiem in morem figurae P ap 
A P ep E ad superlorem illam terrae partem constltuendam sparge- 
retur, vis & efficacia tota partlcularum omnium ad terram circa 
quamvis aequatoris diametrum rotandam, atque ideo ad movenda 
puncta aequinoctlalia, evaderet minor quam prius in ratlone 2 ad 5. 
Ideoque annuus aequinoctiorum regressus jam esset ad 20^* i \' 46'^ 
ut 10 ad 73092 : ac prolnde fieret 9'' ^(i'" 50'^ 

Caeterum hic motus ob inclinationem plani aequatoris ad planum 
ecllpticae minuendus est, idque in ratione sinus 91706 (qui sinus est 
complementi graduum 23!) ad radlum 1 00000. Qua ratione motus 
iste jam fiet 9" "]'" 20'\ Haec est annua praecessio aequinoctiorum 
a vi solis oriunda. 

Vis autem lunae ad mare movendum erat ad vim solls ut 4,48 1 5 
ad I circiter. Et vis lunae ad aequinoctia movenda est ad vim solis 
in eadem proportione. Indeque prodit annua aequinoctiorum prae- 
cessio a vi lunae oriunda 40'' ^2'" 52'^ ac tota praecesslo annua 
a vi utraque oriunda 50''' 00'^^ I2^\ Et hlc motus cum phaenomenis 
congruit. Nam praecessio aequinoctiorum ex observationibus astroni- 
mlcis est annuatlm minutorum secundorum plus minus qulnquaginta. 

Si altitudo terrae ad aequatorem superet altitudlnem ejus ad polos 
mllllaribus plurlbus quam 1 7J, materia ejus rarlor erit ad circum- 
ferentlam quam ad centrum : & praecessio aequinoctiorum ob alti- 
tudinem illam augeri, ob raritatem diminui debet. 

Descripsimus jam systema solis, terrae, lunae, & planetarum : 
superest ut de cometls nonnulla adjiciantur. 



478 DE MUNDI SYSTEMATE 

LEMMA IV. 
Cometas esse luna stcperiores & in regione planetarzcm versari. 

Ut defectus parallaxeos diurnae extulit cometas supra regiones 
sublunares, sic ex parallaxi annua convincitur eorum descensus in 
regiones planetarum. Nam cometae, qui progrediuntur secundum 
ordinem signorum, sunt omnes sub exitu apparitionis aut solito 
tardiores aut retrogradi si terra est inter ipsos & solem ; at justo 
celeriores si terra vergit ad oppositionem. Et contra, qui pergunt 
contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis si 
terra versatur inter ipsos & solem ; & justo tardiores vel retrogradi 
si terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maxime ex motu 
terrae in vario ipsius situ, perinde ut fit in planetis, qui pro motu 
terrae vel conspirante vel contrario nunc retrogradi sunt, nunc 
tardius progredi videntur, nunc vero celerius. Si terra pergit ad 
eandem partem cum cometa, & motu angulari circa solem tanto 
celerius fertur, ut recta per terram & cometam perpetuo ducta con- 
vergat ad partes ultra cometam, cometa e terra spectatus ob motum 
suum tardiorem apparet esse retrogradus; sin terra tardius fertur, 




motus cometae (detracto motu terrae) fit saltem tardior. At si terra 
pergit in contrarias partes, cometa exinde velocior apparet. Ex 
acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia 
cometae in hunc modum colHgitur. Sunto "vQA, "V Q B, '? Q C 
observatae tres longitudines cometae sub initio motus, sitque ^ Q F 



LIBER TERTIUS. 479 

longitudo ultlmo observata, ubi cometa videri desinit. Agatur recta 
ABC, cujus partes AB.BC rectls Q A 81 Q B, Q B 81 Q C inter- 
jectae slnt ad invlcem ut tempora inter observatlones tres prlmas. 
Producatur ^ C ad 6^, ut slt ^ 6^ ad A B ut tempus inter observa- 
tionem primam & ultimam ad tempus Inter observationem prlmam & 
secundam, & jungatur Q G. Et si cometa moveretur unlformlter in 
llnea recta, atque terra vel qulesceret, vel etlam in llnea recta unlformi 
cum motu progrederetur ; foret angulus 'V Q G longitudo cometse 
tempore observationis ultlmae. Angulus igitur FQ G, qui longitudi- 
num dlfferentla est, oritur ab insequalltate motuum cometae ac terrae. 
Hic autem angulus, si terra & cometa In contrarlas partes moventur, 
addltur angulo 'C Q G, 81 sic motum apparentem cometae veloclorem 
reddit : sln cometa pergit in easdem partes cum terra, eidem subdu- 
citur, motumque cometae vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum ; 
uti modo exposui. Oritur igitur hic angulus praeclpue ex motu 
terrae, & idcirco pro parallaxi cometae merlto habendus est, neglecto 
videHcet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod a cometae 
motu inaequabili in orbe proprlo orlri possit. Distantia vero cometae 




ex hac parallaxi sic colligitur. Designet 6^ solem, ac T orbem mag- 
num, a locum terrae in observatione prlma, c locum terrae in observa- 



480 D^ MUNDI SYSTEMATE 

tione tertia, T locum terrae in observatione ultima, & 7" '■p lineam 
rectam versus principium arietis ductam. Sumatur angulus ^v T V 
aequalis angulo ^ Q F, hoc est, sequalis, longitudini cometae ubi 
terra versatur in T Jungatur ac, &i producatur ea ad g, ut sit ag 
2id ac ut A G 2id A C, & erit g locus quem terra tempore observa- 
tionis ultimae, motu in recta ac uniformiter continuato, attingeret 




Ideoque si ducatur^fp ipsi T^ parallela, & capiatur angulus ^gV 
angulo ^ Q G aequalis, erit hic angulus ^ g V aequalis longitudini 
cometae e loco g spectati ; & angulus T V g parallaxis erit, quae oritur 
a translatione terrae de loco g in locum T: ac proinde V locus erit 
cometae in plano eclipticae. Hic autem locus V orbe Jcfvis inferior 
esse solet. 

Idem colligitur ex curvatura viae cometarum. Pergunt haec cor- 
pora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius ; 
at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa, quae a parallaxi 
oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, 
deflectere solent ab his circulis, & quoties terra movetur in unam 
partem, abire in partem contrariam. Oritur haec deflexio maxime 
ex parallaxi, propterea quod respondet motui terrae ; & insignis ejus 
quantitas, meo computo, collocavit disparentes cometas satis longe 



LIBER TERTIUS. 



481 



infrajovem. Unde consequens est quod in perigaeis & periheliis, 
ubi propius adsunt, descendunt ssepius infra orbes martis & inferi- 
orum planetarum. 

Confirmatur etiam propinquitas cometarum ex luce capitum. Nam 
corporis ccelestis a sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis 
diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiae : in duplicata 
ratione videlicet ob auctam corporis distantiam a sole, & in alia 
duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si 
detur & lucis quantitas & apparens diameter cometae dabitur dis- 
tantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam planetae in ratione 
diametri ad diametrum directe & ratione subduplicata lucis ad lucem 
inverse. Sic minima capillitii cometae anni 1682 diameter, per tubum 
opticum sexdecim pedum a Flamstedio observata & micrometro 
mensurata, aequabat 2' o" \ nucleus autem seu stella in medio 
capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, ideoque 
lata erat tantum ii''vel 12", Luce vero & claritate capitis super- 
abat caput cometae anni 1680, stellasque primae vel secundae magni- 
tudinis aemulabatur. Ponamus saturnum cum annulo suo quasi 
quadruplo lucidiorem fuisse : & quoniam lux annuli propemodum 
aequabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 
2\" ideoque lux globi & annuH conjunctim aequaret lucem globi 
cujus diameter esset 30'', erit distantia cometae ad distantiam saturni 
ut I ad J df inverse & 12'' ad y^" directe, id est, ut 24 ad 30 
seu 4 ad 5. Rursus cometa anni 1665 mense aprih, ut auctor est 
Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum 
saturnum, ratione coloris videlicet longe vividioris. Ouippe luci- 
dior erat hic cometa altero illo, qui in fine anni praecedentis appa- 
ruerat, & cum stellis primae magnitudinis conferebatur. Latitudo 
capilHtii erat quasi 6', at nucleus cum planetis ope tubi optici 
coHatus plane minor erat jove, & nunc minor corpore intermedio 
saturni, nunc ipsi aequaHs judicabatur. Porro cum diameter capil- 
Htii cometarum raro superet 8^ vel 12', diameter vero nuclei seu 
steHae centraHs sit quasi decima vel forte decima quinta pars diame- 
tri capiHitii, patet steHas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis 
magnitudinis cum planetis. Unde cum kix earum cum luce saturni 
non raro conferri possit eamque aHquando superet, manifestum 

2 H 



482 



DE MUNDI SYSTEMATE 



est quod cometae omnes in perlhellls vel infra saturnum collocandi 
slnt vel non longe supra. Errant igltur toto coelo, qui cometas 
in reglonem fixarum prope ablegant : qua certe ratione non magis 
illustrarl deberent a sole nostro, quam planetae, qul hlc sunt, Illustran- 
tur a stelHs fixls. 

Haec dlsputavimus non conslderando obscurationem cometarum 
per fumum Illum maxime copiosum & crassum, quo caput circun- 
datur, quasl per nubem obtuse semper lucens. Nam quanto obscu- 
rius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad solem accedat 
necesse est, ut copia lucis a se reflexae planetas aemuletur. Inde 
verislmlle fit cometas longe infra sphaeram saturni descendere, uti 
ex parallaxi probavimus. Idem vero quam maxime confirmatur ex 
caudls. Hae vel ex reflexlone fumi sparsi per aethera vel ex luce 
capltis orluntur. Prlore casu minuenda est distantia cometarum, ne 
fumus a caplte semper ortus per spatla nimis ampla IncredlblH cum 
velocltate & expanslone propagetur. In posteriore referenda est 
lux omnls tam caudae quam capIlHtii ad nucleum capltis. Igitur si 
conclplamus lucem hanc omnem congregari & intra dlscum nuclei 
coarctari, nucleus IHe jam certe, quotles caudam maximam & fulgen- 
tisslmam emlttlt, jovem ipsum splendore suo multum superabit. 
Mlnore igitur cum dlametro apparente plus lucis emlttens, multo 
magis illustrabitur a sole, ideoque erit soli multo proplor. Ouinetiam 
capita sub sole delitescentla, & caudas cum maximas tum fulgentis- 
simas instar trablum ignitarum nonnunquam emlttentla, eodem ar- 
gumento infra orbem veneris collocari debent. Nam lux illa omnis 
si in stellam congregari supponatur, ipsam venerem ne dlcam veneres 
plures conjunctas quandoque superaret. 

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu 
cometarum a terra solem versus, ac decrescente in eorum recessu a 
sole versus terram. Sic enim cometa posterlor anni 1665 (obser- 
vante Hevelio) ex quo consplci coeplt remittebat semper de motu 
suo apparente, ideoque praeterierat perigaeum ; splendor vero capitis 
nihilomlnus indles crescebat, usque dum cometa radlls solarlbus 
obtectus desllt apparere. Cometa anni 1683 (observante eodem 
Hevelio) in fine mensls julii, ubi primum conspectus est, tardlssime 
movebatur, minuta prlma 40 vel 45 circiter singulis diebus In orbe 



LIBER TERTIUS. 483 

suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo 
augebatur usque ad Sept. 4, quando evasit graduum quasi quinque. 
Igitur toto hoc tempore cometa ad terram appropinquabat. Id quod 
etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur : quippe 
quam Heveliics reperit Atcg. 6 esse tantum 6' ^" inclusa coma, at 
Sept. 2 esse 9' f. Caput igitur initio longe minus apparuit quam 
in fine motus, at initio tamen in vicinia solis longe lucidius extitit 
quam circa finem, ut refert idem Hevelms. Proinde toto hoc 
tempore, ob recessum ipsius a sole, quoad lumen decrevit, non 
obstante accessu ad terram. Cometa anni 1618 circa medium mensis 
Decenibris & iste anni 1680 circa finem ejusdem mensis celerrime 
movebantur, ideoque tunc erant in perig^is. Verum splendor 
maximus capitum contigit ante duas fere septimanas, ubi modo 
exierant de radiis solaribus ; & splendor maximus caudarum paulo 
ante in majore vicinitate soHs. Caput cometae prioris, juxta observa- 
tiones Cysati, Decemb. i majus videbatur stelHs primae magnitudinis, 
& Decemb. 16 (jam in perigseo existens) magnitudine parum, 
splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. yan. 7 Keplerus 
de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis Decemb. 
conspectum & a Flamstedio observatum est caput comet^ posterioris 
in distantia novem graduum a sole ; id quod stellse tertiae magnitudi- 
nis vix concessum fuisset. Decemb. 15 & 17 apparuit idem ut stella 
tertiee magnitudinis, diminutum utique splendore nubium juxta solem 
occidentem. Decemb. 26 velocissime motus, inque perigseo pro- 
pemodum existens, cedebat ori pegasi, stellae tertiae magnitudinis. 
Jan. 3 apparebat ut stella quartae, Jan. 9 ut stella quintae, Jan. 
13 ob splendorem lunae crescentis disparuit. Jan. 25 vix aequabat 
stellas magnitudinis septimae. Si sumantur aequalia a perigaeo hinc 
inde tempora, capita quae temporibus ilHs in longinquis regionibus 
posita, ob ^quales a terra distantias, aequaHter lucere debuissent, in 
plaga soHs maxime splenduere, ex altera perigaei parte evanuere. 
Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna 
soHs & comet^ vicinitas in situ priore. Nam lux cometarum regularis 
esse solet & maxima apparere, ubi capita velocissime moventur atque 
ideo sunt in perig^is ; nisi quatenus ea major est in vicinia soHs. 



484 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Corol. I. Splendent igitiir cometse luce solis a se reflexa. 

Corol, 2. Ex dictis etiam intelligitur cur cometse tantopere fre- 
quentant regionem solis. Si cernerentur in regionibus longe ultra 
saturnum, deberent saepius apparere in partibus soli oppositis. Forent 
enim terrae viciniores, qui in his partibus versarentur; & sol 
interpositus obscuraret caeteros. Verum percurrendo historias 
cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt 
in hemisphaerio solem versus quam in hemisphaerio opposito, praeter 
aHos proculdubio non paucos quos lux solaris obtexit. Nimirum 
in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo 
illustrantur a sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, 
quam sint ipso jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo 
circa solem descripti pars longe major sita est a latere terrae, quod 
solem respicit; inque parte illa majore cometae, soli ut plurimum 
viciniores, magis illuminari solent. 

CoroL 3. Hinc etiam manifestum est, quod cceli resistentia 
destituuntur. Nam cometae vias obliquas & nonnunquam cursui 
planetarum contrarias secuti moventur omnifariam liberrime, & 
motus suos, etiam contra cursum planetarum, diutissime conservant. 
Fallor ni genus planetarum sint & motu perpetuo in orbem redeant. 
Nam quod scriptores aliqui meteora esse volunt, argumentum 
a capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere 
videtur. Capita cometarum atmosphaeris ingentibus cinguntur; & 
atmosphaerae inferne densiores esse debent. Unde nubes sunt, non 
ipsa cometarum corpora, in quibus mutationes illae visuntur. Sic 
terra si e planetis spectaretur luce nubium suarum proculdubio 
splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic 
cingula jovis in nubibus planetae illius formata sunt, quae situm mutant 
inter se, & firmum jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. 
Et multo magis corpora cometarum sub atmosphaeris & profundioribus 
& crassioribus abscondi debent. 



LIBER TERTIUS. 485 



PROPOSITIO XL. THEOREMA XX. 

Cometas i7i sectio7iibtts conicis timbilicos in centro solis habentibus 
moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales 
describere, 

Patet per corol. i prop. xiii libri primi collatum cum prop. viii, 
XII & XIII libri tertii. 

Corol. I. Hinc si cometae in orbem redeunt, orbes erunt ellipses 
& tempora periodica erunt ad tempora periodica planetarum in axium 
principalium ratione sesquiplicata. Ideoque cometse maxima ex parte 
supra planetas versantes & eo nomine orbes axibus majoribus descri- 
bentes tardius revolventur. Ut si axis orbis cometae sit quadruplo 
major axe. orbis saturni, tempus revolutionis cometae erit ad tempus 
revolutionis saturni, id est ad annos 30, ut \J\ (seu 8) ad i, ideoque 
erit annorum 240. 

Corol. 2. Orbes autem erunt parabolis adeo finitimi, ut eorum vice 
parabolae sine erroribus sensibilibus adhiberi possint. 

CoroL 3. Et propterea (per corol. 7 prop. xvi lib. i) velocitas 
cometae omnis erit semper ad velocitatem planetae cujusvis circa 
solem in circulo revolventis in subduplicata ratione duplae distantiae 
planetae a centro solis ad distantiam cometae a centro solis quam- 
proxime. Ponamus radium orbis magni, seu ellipseos in qua terra 
revolvitur, semidiametrum maximam esse partium 1 00000000 : & 
terra motu suo diurno mediocri describet partes 17202 12, & motu 
horario partes 71675I-. Ideoque cometa in eadem telluris a sole 
distantia mediocri ea cum velocitate quae sit ad velocitatem telluris ut 
^2 ad i describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario 
partes 101364I. In majoribus autem vel minoribus distantiis motus 
tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium 
in subduplicata ratione distantiarum reciproce, ideoque datur. 

Corol. 4. Unde si latus rectum parabolae quadruplo majus sit radio 
orbis magni & quadratum radii illius ponatur esse partium 1 00000000 
area quam cometa radio ad solem ducto singulis diebus describit erit 



486 



DE MUNDI SYSTEMATE 



partium 1216373!^, & singulis horis area illa erit partium 50682 J. Sin 
latus rectum majus sit vel minus in ratione quavis, erit area diurna & 
horaria major vel minor in eadem ratione subduplicata. 



L E M M A V. 

Invenire lineam curvam generis parabolici^ qtue per data qtiotctcnqtie 

puncta transibit. 

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam 
quamvis positione datam H N demitte perpendicula quotcunque A H, 
BI, CK,DL,EM,FN, 

Cas, I. Si punctorum H^ /, K^ Z, M, N sequalia sunt intervalla 
HI, I Kj K L, &c. collige perpendiculorum A H, B I, C K, &c. 
dififerentias primas b, ib, 3^, ^b, ^b, &c, secundas ^, 2c, 3^, 4^, &c. 
tertias d, 2d, 2,d, &c. id est, ita ut sit A H—BI=b, BI—CK=2b, 
CK^DL = ib, DL^EM=A,b,--EM^FN=^b, &c. dein ^- 



\ 



2b 3b 4b 5b 



2 c 



3c 4c 




d 2 d 3 d 

e 26 

f 



2<5=:r, &c. & sic pergatur ad differentiam ultimam, quae hic est / 
Deinde erecta quacunque perpendiculari, i? 6^, qu^ fuerit ordinatim 
appHcata ad curvam quaesitam : ut inveniatur hujus longitudo, pone 
intervalla H I, I K, KL,LM, &c. unitates esse, & dic A H=a, 
— HS=p, \p m — IS=q, iq m-hSK=r, ir in + S L=s, is in 
-\-SM=t; pergendo videhcet ad usque penultimum perpendiculum 
ME, & prseponendo signa negativa terminis H S, I S, &c. qui 



LIBER TERTIUS. 487 

jacent ad partes puncti kS versus A, & signa affirmativa terminis SK, 

SL, &c, qui jacent ad alteras partes puncti vS'. Et signis probe 

observatis, erit /^ S=a + dp-hc^ + dr + es +/^, &c. 

Cas. 2. Quod si punctorum //, /, K, L, &c. inaequalia sint inter- 

valla HL, I K, &c. collige perpendiculorum A H, BL C K, &c. 

differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas <5, 2 ^, 3 b, 

^b, ^b ; secundas per intervalla bina divisas r, 2 ^, 3 r, 4 c, &c. tertias 

per intervalla terna divisas ^ 2 ^, 3 d, &c. quartas per intervalla 

quaterna divisas e, 2e, &c. & sic deinceps ; id est, ita ut sit b = 

AH-BI , BI-CK , C K-DL ^ ,. b - 2 b ^ 

-_^^,.^ = ^^,3^ = — ^7->&c. dem.= -^^ 

2b-zb lb-\b _ ^ , c-2 c 2 c- zc 

2.= -^^, 3^ = ^^^^>&c.postea^=-^^, 2 d= ^^^ , 

&c. Inventis differentiis, dic A H=a,-HS=p, p m-IS=q, q 
\xi^-SK=r, rxxi^-SL^s.s 'm-\-SM=t; pergendo scilicet ad usque 
perpendiculum penultimum M E, & erit ordinatim applicata 7? kS= 
a + bp-\-cq-\-dr+es-\-/t, 8^c, 

Corol. Hinc arese curvarum omnium inveniri possunt quamproxi- 
me. Nam si curvse cujusvis quadrandae inveniantur puncta aliquot, 
& parabola per eadem duci intelligatur : erit area parabolae hujus 
eadem quamproxime cum area curvae illius quadrandae. Potest 
autem parabola per methodos notissimas semper quadrari Geome- 
trice. 

LEMM A VI. 

Ex observatis aliquot locis cornetce invenire locum ejus ad tempus 
qtcodvis intermedium datum. 

Designent HI, I K, K L, L M tempora inter observationes (in 
fig. prcsccd.) HA, I B, K C, LD, ME observatas quinque longi- 
tudines cometae, HS tempus datum inter observationem primam & 
longitudinem quaesitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci 
intelligatur curva regularis A B C D E, & per lemma superius 
inveniatur ejus ordinatim applicata R S, erit 7? 6^ longitudo quaesita. 

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur 
latitudo ad tempus datum. 



488 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Si longitudinum observatarum parvse sint differentiae, puta gradu- 
um tantum 4 vel 5 sufifecerint observationes tres vel quatuor ad 
inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint 
differentiae, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque 
adhiberi. 



L E M M A VII. 

Per datum punctum P dtccere rectam Ihieam B C, cujus partes 
P B, P C, rectis duabus positione datis A B, A C adscisscs, datam 
habeant rationem ad invicem. 



A puncto illo P ad rectarum alteru- 
tram A B ducatur recta quaevis P D, 8i 
producatur eadem versus rectam alteram 
A C usque ad E, ut sit P E ^d P D in 
data illa ratione. Ipsi A D parallela sit 
EC; & si agatur CPB, erit P C ad 
PB ut PE ad PD, Q,E,E 




LE M M A VIII. 

Sit A B Cparabota umbilicum habens S. Chorda A C bisecta in 



/-?.. 




I abscinddtur segmentum A B C I, cujus diameter sit l fi & vertex m. 



LIBER TERTIUS. 489 

In\ pL producta capiatur m O cBqualis dimidio ipsitis I m. Jtmgatur 
O S, & producatur ea ad ^, ut sit S ^ ccqtcalis 2 S O. Et si cometa B 
moveatur in arcu C B A, <S^ agatur ^ B secans A C m E : dico quod 
punctum E abscindet de cJiorda A C segmenttifn A E tempori propor- 
tionale quamproxime. 

Jungatur enim E O secans arcum parabolicum ^ ^ C in K, & 
agatur /x X^ quse tangat eundem arcum in vertice u & actse E O 
occurrat mX ; 81 erit area curvilinea AEXjjlA ad aream curvilineam 
A C YiJt. A ut A E 2id A C. Ideoque cum triangulum A S E sit ad 
triangulum A S C m eadem ratione, erit area tota A S EX inA ad 
aream totam A S C Y ij^ A ut A E 2id A C. Cum autem ^ O sit ad 
S O ut ^ ad i 8c E O 3.d X O in eadem ratione, erit SX ipsi E B 
parallela : & propterea si jungatur B X erit triangulum S E B 
triangulo X E B sequale. Unde si ad aream A S E X fi A addatur 
triangulum EX B, & de summa auferatur triangulum S E B, manebit 
area A S B X ijl A areae A SEX fiA sequalis, atque ideo ad aream 
ASCYiJ.AutAE2idAC Sed arese A SBXfiA sequalis est 
area A S B Y im A quamproxime, & hsec area A S B Y fi A est ad 
aream ASCYjJiA, ut tempus descripti arcus^^ ad tempus descripti 
arcus totius A C Ideoque ^ ^ est ad ^ C in ratione temporum 
quamproxime. Q. E. D. 

Corol. Ubi punctum B incidit in parabolse verticem /x, est -^ ^ ad 
A Cm ratione temporum accurate. 

Scholium. 

Si jungatur m ^ secans ^4 C in ^, & in ea capiatur l^n, quse sit ad 
IJ. B ut ly M I 2id 16 M ijl: acta B n secabit chordam A C m ratione 
temporum magis accurate quam prius. Jaceat autem punctum n ultra 
punctum ^, si punctum B magis distat a vertice principali parabolse 
quam punctum m ; & citra, si minus distat ab eodem vertice. 



490 



DE MUND2 SYSTEMATE 



LE M M A IX. 



A I C 
Rect^ I /x (2^ M M df longittcdo csqtcantur inter se. 

4 6> 
Nam 4 ^'ai est latus rectum parabolae pertinens ad verticem /i. 



LE M M A X. 

Si producattir S jm adN & T, ut fiN sit pars tertia ipsius m I, df 
S P sit ad SN ut S N ad S fi, cometa, qico tempore describit arcum 
A juL C, si progrederetur ea semper ctcm velocitate quam habet in alii- 
tudine ipsi S P cBquali, describeret longitudinem c£qualem chordcs A C. 

Nam si cometa velocitate, quam habet in m, eodem tempore pro- 
grederetur uniformiter in recta, quae parabolam tangit in ytt ; area, 
quam radio ad punctum 6" ducto describeret, sequalis esset arese 
parabolicae A S C in. Ideoque contentum sub longitudine in tangente 
descripta & longitudine S ^jl esset ad contentum sub longitudinibus 
A C & SMy ut area A SCin ad triangulum A S C, id est, ut S N 




ad SM, Quare A C est ad longitudinem in tangente descriptam, 
ut ^'m ad S//. Cum autem velocitas cometae in altitudine S P sit 
(per corol. 6 prop. xvi lib. i) ad ejus velocitatem in altitudine 6^^ 
in subduplicata ratione SP Sid S fi inverse, id est, in ratione S fi Sid 
S N': longitudo hac velocitate eodem tempore descripta erit ad lon- 



LIBER TERTIUS. 49 1 

gitudinem in tangente descriptam, ut vS/x ad SN. Igitur AC & lon- 
gitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in 
tangente descriptam in eadem ratione, sequantur inter se. Q. E. D. 

CoroL Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine 
^^ + 1 /^^ eodem tempore describeret chordam A C quamproxime. 

LE M M A X I. 

Si cometa mottc onini privatus de altittidine S N seu S /i + H M 
demitteretur, ut caderet in solem, & ea semper vi tmiformiter con- 
tinuata urgeretur i^i solem, qua urgetur sub initio ; idem semisse 
temporis, quo in orbe suo describat arcum A C, descensu suo describeret 
spatium longitudini I m ceqtcale. 

Nam cometa, quo tempore describat arcum parabolicum A C, 

eodem tempore ea cum velocitate, quam habet in altitudine SP (per 

lemma novissimum) describet chordam A C, ideoque (per corol. 7 

prop. XVI Hb. i) eodem tempore in circulo, cujus semidiameter esset 

S P, vi gravitatis suae revolvendo describeret arcum, cujus longitudo 

esset ad arcus parabolici chordam A C in subdupHcata ratione 

unitatis ad binarium. Et propterea eo cum pondere, quod habet in 

solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in solem, descri- 

beret semisse temporis illius (per corol. 9 prop. iv lib. i) spatium 

^quale quadrato semissis chordae illius appHcato ad quadruplum 

A I Q 
altitudinis SP, id est, spatium — — ^. Unde cum pondus cometse m 

solem in altitudine S N %\X. ad ipsius pondus in solem in altitudine 
SP.mX. SP ad S^\ cometa pondere quod habet in altitudine SN 

Alq ., 
eodem tempore, in solem cadendo, descnbit spatmm , id est, 

spatium longitudini /m vel M tx aequale. Q.E.D. 



492 DE MUNDI S YSTEMA TE 



PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXI. 

CometcB inparabola moti trajedoriam ex datis tribus observationibus 

determinare. 

Problema hocce longe difficillimum multimode aggressus, com- 
posui problemata quaedam in libro primo, quae ad ejus solutionem 
spectant. Postea solutionem sequentem paulo simpliciorem excogi- 
tavi. 

Seligantur tres observationes aequalibus temporum intervallis ab 
invicem quamproxime distantes. Sit autem temporis intervallum 
illud, ubi cometa tardius movetur, paulo majus altero, ita videlicet ut 
temporum differentia sit ad summam temporum, ut summa temporum 
ad dies plus minus sexcentos ; vel ut punctum E (in fig. lem. viii) 



ir- 



^/ 



incidat in punctum M quamproxime, & inde aberret versus / potius 
quam versus A. Si tales observationes non praesto sint, inveniendus 
est novus cometae locus per lemma sextum. 



LIBER TERTIUS. 493 

Designent .S' solem, T, t, t tria loca terrse In orbe magno, T A 
t B, T C observatas tres longitudlnes cometae, V tempus inter 
observatlonem prlmam & secundam, W tempus Inter secundam ac 
tertiam, X longltudlnem, quam cometa toto Illo tempore ea cum 
velocltate, quam habet in mediocrl telluris a sole distantla, descrl- 
bere posset, quseque (per corol. 3 prop. xl llb. iii) Invenienda est, 
81 t V perpendiculum In chordam Tt. In observata longltudine 
media t B sumatur utcunque punctum B pro loco cometae In plano 
eclipticae, & inde versus solem 6^ ducatur linea B E, quae slt ad 
saglttam t V, ut contentum sub SB 81 S t quad. ad cubum hypote- 
nusae triangull rectanguh*, cujus latera sunt SB & tangens latltudinls 
cometae in observatione secunda ad radium t B. Et per punctum 
B agatur (per hujus lem. vii) recta A E C, cujus partes A E, E C, 
ad rectas TA & r C termlnatae, slnt ad invlcem ut tempora V & IV: 
& erunt A & C loca cometae In plano ecHptlcae in observatlone prl- 
ma ac tertla quamproxlme, sl modo B slt locus ejus recte assumptus 
In observatione secunda. 

Ad A C blsectam In / erige perpendlculum /t. Per punctum B 
age occultam Bt ipsi A Cparallelam. Junge occultam ^'/secantem 
A Cin X, & comple parallelogrammum z/Xh-. Cape /o- sequalem 
3/X, & per solem kS age occultam a- ^ aequalem sScr-i-^zX. Et 
deletls jam Hterls A, E, C^ /y a. puncto B versus punctum ^ duc 
occultam novam B Ey quse sit ad priorem ^ ^ in dupHcata ratione 
dlstantlae ^ 6^ ad quantitatem S ^-\-\ A. Et per punctum E iterum 
duc rectam A E C eadem lege ac prlus, id est, ita ut ejus partes A E 
8l E C sint ad invlcem ut tempora inter observatlones V 8l W. Et 
erunt A & C loca cometae magls accurate. 

Ad A C blsectam In / erlgantur perpendlcula A Af, C N, / O, 
quorum AM & CN sint tangentes latitudinum In observatlone prima 
ac tertia ad radlos TA 8ltC. Jungatur MN secans /O In O. Con- 
stituatur rectangulum //X/z ut prius. \n / A producta caplatur 
/ D aequaHs S ix -\- ^ i\. Delnde in M N versus N capiatur 
M P, quae slt ad longitudinem supra inventam X in subdu- 
pHcata ratione medlocris dlstantlae teHurls a sole (seu semldlame- 
trl orbls magnl) ad distantiam O D. SI punctum P incidat In 
punctum N ; erunt A, B, C trla loca comet^, per quae orbls ejus In 



494 ^^ MVNDI SYSTEMATE 

plano ecllpticse describi debet. Sin punctum P non incidat in 
punctum N ; in recta A C capiatur C G ipsi N P sequalis, ita ut 
puncta (? & P ad easdem partes rectae N C jaceant. 

Eadem methodo, qua puncta E, A, C, Gy ex assumpto puncto B 
inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis d & ^ 
puncta nova e, a, c, g, & e, a, k, y. Deinde si per G, g, y ducatur 
circumferentia circuli Ggy, secans rectam r C in Z: erit Z locus 
cometae in plano eclipticae. Et si in A C, ac, a k capiantur A F, 
af, a (p ipsis C G, c g, k y respective sequales, & per puncta F, f, 



^" 
C^--.. 




- «, 



<^ ducatur circumferentia circuli Ff^^, secans rectam ^ 7" in X ; 
erit punctum X alius cometae locus in plano eclipticae. Ad puncta 
X 8i Z erigantur tangentes latitudinum cometae ad radios T X & 
rZ ; & habebuntur loca duo cometae in orbe proprio. Denique 
(per prop. xix lib. i) umbiHco 6" per loca illa duo describatur 
parabola, & haec erit trajectoria cometae. Q.E.I. 

Constructionis hujus demonstratio ex lemmatibus consequitur : 
quippe cum recta A C secetur in E in ratione temporum per lemma 
VII, ut oportet per lem. viii \ &l B E per lem. xi sit pars rectae 
B S vel .^ ^ in plano eclipticae arcui A B C &l chordae A E C inter- 
jecta ; & MP (per corol. lem. x) longitudo sit chordae arcus, quem 



LIBER TERTIUS. 



495 



cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam de- 
scribere debet, ideoque ipsi M N sequalis fuerit, si modo B sit verus 
cometae locus in plano eclipticae. 

Caeterum puncta B, b, /3 rion quaelibet, sed vero proxima eligere 
convenit. Si angulus A Q t/m quo vestigium orbis in plano eclipticse 
descriptum secat rectam / B, prseterpropter innotescat ; in angulo illo 
ducenda erit recta occulta A C, quse sit ad # 7"t in subduplicata 
ratione S Q 2A S t. Et agendo rectam S E B, cujus pars EB 
aequetur longitudini V t, determinabitur punctum B quod prima vice 
usurpare licet. Tum recta A C deleta & secundum prsecedentem 
constructionem iterum ducta, & inventa insuper longitudine M P ; in 
t B capiatur punctum b, ea lege, ut si T A, t C s^ mutuo secuerint in 
K, sit distantia V b Sid distantiam VB, in ratione composita ex 
ratione MP 2id MJV & ratione subduplicata S B 2id S b. Et eadem 
methodo inveniendum erit punctum tertium ^ si modo operationem 
tertio repetere lubet. Sed hac methodo operationes duse ut plurimum 
suffecerint. Nam si distantia B b perexigua obvenerit ; postquam 
inventa sunt puncta E,/& G, g, actse rectse E/ 81 6^^ secabunt TA 
& T C in punctis qusesitis X &, Z. 

Exemplum. 

Proponatur cometa anni 1680. Hujus motum a Elamstedio obser- 
vatum & ex observationibus computatum, atque ab Halleio ex iisdem 
observationibus correctum, tabula sequens exhibet. 



496 



DE MUNDI SYSTEMATE 





























Cometcc. 


1 






Tem 


. appar. 


Teni. venim. 


Long. Solis. 




Longitudo. 




Lat. bor. 


h. 


/ 


h. 


/ 


// 





/ 


// 







/ 


// 





/ // 


1680 Dec. 


12 


4 


46 


4 


46 





n I 


51 


23 


A 


6 


32 


30 


8 


28 




21 


6 


32i 


6 


36 


59 


II 


6 


44 


"♦TN 


5 


8 


12 


21 


42 13 




24 


6 


12 


6 


17 


52 


14 


9 


26 




18 


49 


23 


25 


23 5 




26 


5 


14 


5 


20 


44 


16 


9 


22 




28 


24 


13 


27 


52 




29 


7 


55 


8 


3 


2 


19 


19 


43 


K 


13 


10 


41 


28 


9 58 




30 


8 


2 


8 


10 


26 


20 


21 


9 




17 


3« 


20 


28 


II 53 


1681 Jan. 


5 


5 


51 


6 


I 


3^ 


26 


22 


18 


T 


8 


48 


53 


26 


15 7 




9 


6 


49 


7 





53 


:::^ 


29 


2 




18 


44 


4 


24 


II 56 




10 


5 


54 


6 


6 


10 


I 


27 


43 




20 


40 


50 


23 


43 52 




13 


6 


56 


7 


8 


55 


4 


33 


20 




25 


59 


48 


22 


17 28 




25 


7 


44 


7 


5« 


42 


16 


45 


36 


b 


9 


35 





17 


56 30 




30 


8 


7 


8 


21 


53 


21 


49 


5« 




13 


19 


51 


16 


42 r8 


Feb. 


2 


6 


20 


6 


34 


51 


24 


46 


59 




15 


13 


53 


16 


4 I 




5 


6 


50 


7 


4 


41 


27 


49 


51 




16 


59 


6 


15 


27 3 



His adde observationes quasdam e nostris. 



1681 Feb. 25 

27 

Mar. T 

2 

5 
7 
9 


Tem. 


appar. 


Cometce Longitudo. 


CometiZ Lat. bor. 


h. 

8 

8 
II 

8 
II 

9 
8 


30 
15 


30 
30 
30 


/ // 
b 26 18 35 

27 4 30 

27 52 42 

28 12 48 

29 18 

n 4 

43 4 


12 46 46 
12 36 12 
12 23 40 
12 19 38 
12 3 16 
TT 57 

II 45 52 



Hae observationes telescopio septupedali, & micrometro filisque 
in foco telescopii locatis peractae sunt : quibus instrumentis & posi- 
tiones fixarum inter se & positiones cometse ad fixas determinavimus. 
Designet A stellam quartae magnitudinis in sinistro calcaneo Persei 
(Bayero o) B stellam sequentem tertiae magnitudinis in sinistro pede 
(Bayero ^ & C stellam sextae magnitudinis (Bayero 71) in talo ejus- 
dem pedis, ac D, E, F, G, H, /, K, Z, M, N, (9, Z, a, A 7, ^ stellas 
alias minores in eodem pede. Sintque p, P, Q, R, S^ T, V, Xy 



LIBER TERTIUS. 



497 



loca cometse In observationibus supra descriptis : & existente distantia 
A B partium Soi^, erat A C partium 52^, B C 58I, A D 57^^, B D 
82A, CD 21%, AE 291, CE 57J, i^^49-, ^/273^, ^/521, CI 
36A, Z>/ 53A>^^ 381,^7^43,^^^31!, FK 29, FB 23, /^C 













^<D 














N 


•J^c 






-■ 


p 








* 








«< 










s-s 


•; 


K 


0* 








L 


M 










±<L 


. C.;X 




T 


^s 






1 


1 


''■>\ 


Y 


















*s 






#K 













ZehAH i%\,DH sol, BN 46A, CN 31^ BL 45A, iV^Z 31I 
/^6^ erat ad 77/ ut 7 ad 6 & producta transibat inter stellas D &. E, 
sic ut distantia stellae D ab hac recta esset \ C D. L M erat ad ZiV 
ut 2 ad 9, & producta transibat per stellam H. His determinabantur 
positiones fixarum inter se. 

Tandem Poimdms noster iterum observavit positiones harum 
fixarum inter se, & earum longitudines & latitudines in tabulam 
sequentem retulit. 



Fixariim 


Longitudines 


Za/. boreal. 




/ // 





/ // 


A 


6 26 41 50 


12 


8 36 


B 


28 40 23 


I^ 


17 54 


C 


27 58 30 


12 


40 25 


E 


26 27 17 


12 


52 7 


F 


28 28 37 


II 


52 22 


G 


26 56 8 


12 


4 58 


H 


27 II 45 


12 


2 I 


I 


27 25 2 


II 


53 II 


K 


27 42 7 


II 


53 26 



Fixarum 


Longitudines 


Lat. boreal. 




/ // 





/ // 


L 


tt 29 33 34 


12 


7 48 


M 


29 18 54 


12 


7 20 


N 


28 48 29 


12 


31 9 


Z 


29 44 48 




57 13 


a 


29 52 3 




55 48 


/? 


n 8 23 




48 56 


7 


40 10 




55 18 


8 


I 3 20 




30 42 



Positiones vero cometse ad has fixas observabam ut sequitur. 
Die veneris Feb. 25 st. vet. hor. 8i p.m. cometae in p existentis 
distantia a stella E erat minor quam A, A E, major quam \ A Ey 

21 



498 ^^^ MUNDI SYSTEMArE 

ideoque sequalis A A E proxime ; & angulus A p E nonnihil obtusus 
erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur 2A p E perpendiculum 
ab A, distantia cometae a perpendiculo illo erat \ p E. 

Eadem nocte hora 9J, cometae in P existentis distantia a stella E 

erat major quam — A E, minor quam — A E, ideoque aequaHs — 
A\ 5t 4I 

A E, seu i^ A E quamproxime. A perpendiculo autem a stella A 
ad rectam P E demisso distantia cometae erat -J P E. 

Die soHs Eed. 27 hor. 8t p.m. cometae in Q existentis distantia a 
stella O aequabat distantiam stellarum O & //, Sz recta Q O producta 
transibat inter stellas K & B. Positionem hujus rectae ob nubes 
intervenientes magis accurate definire non potui. 

Die martis Mart. i hor. 11 p.m. cometa in R existens stelHs K 

6 C accurate interjacebat, & rectae C R K pars C R paulo major erat 
quam \ C K, &l paulo minor quam \ C K-^^ C R, ideoque aequaHs 
\ CK+^CRs^xxHCK. 

Die mercurii Mart. 2 hor. 8 p.m. cometae existentis in 6^ distantia 
a steHa C erat i EC quamproxime. Distantia steHae E a recta C S 
producta erat «V E C ; & distantia steHae B ab eadem recta erat 
quintuplo major quam distantia steHae E. Item recta A^^' producta 
transibat inter steHas H & 1^ quintuplo vel sextuplo propior existens 
steHae H quam steHae /. 

Die saturni Mart. 5 hor. iij p.m. cometa existente in T, recta 
y^ T^aequaHs erat \ M L, & recta L T producta transibat inter B & 
E, quadruplo vel quintuplo propior E quam B, auferens 3. B E 
quintam vel sextam ejus partem versus E Et M T producta tran- 
sibat extra spatium ^/^ad partes steHae B, quadruplo propior existens 
steHae B quam steHae E. Erat M steHa perexigua quae per telesco- 
pium .videri vix potuit & L steHa major quasi magnitudinis octavae. 

Die lunae Mart. 7 hor. g\ p.m. cometa existente in F, recta F a 
producta transibat inter B & E, auferens sl B E versus Et\ B E, & 
erat ad rectam Vfi ut 5 ad 4. Et distantia cometae a recta a fi erat 

Die mercurii Mart. 9 hora 8^ p.m. cometa existente in X, recta 

7 X aequah's erat \yS,8i perpendiculum demissum a steHa S ad rectam 
y X erat I 7 ^. 

Eadem nocte hora 12, cometa existente in K, recta 7 V aequaHs 



LIBER TERTIUS. 499 

erat \ y^, aut paulo minor, puta tV 7 ^, & perpendiculum demissum a 
stella ^ ad rectam 7 Kaequalis erat i 7 (^ vel t 7 «^ circiter. Sed cometa 
ob viciniam horizontis cerni vix potuit, nec locus ejus tam distincte 
ac in praecedentibus definiri. 

Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum & 
computationes derivabam longitudines & latitudines cometae, & Poun- 
dius noster ex correctis fixarum locis loca cometse correxit, & loca 
correcta habentur supra. Micrometro parum affabre constructo usus 
sum, sed longitudinum tamen & latitudinum errores (quatenus ex 
observationibus nostris oriantur) minutum unum primum vix superant. 
Cometa autem ( juxta observationes nostras) in fine motus sui nota- 
biliter deflectere ccepit boream versus a parallelo quem in fine mensis 
Februarii tenuerat. 

Jam ad orbem cometse determinandum ; selegi ex observationibus 
hactenus descriptis tres, quas Flamstedius habuit Dec, 21, Jan. 5, & 
Jan. 25. Ex his inveni St partium 9842,1 81 V t partium 455, 
quales loooo sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem 
primam assumendo t B partium 5657, inveni S B 9747, B E prima 
vice 412, S ^i 9503, A 413 : B E secunda vice 421, O D 10186, X 
8528,4 MP 8450, AfN 8475, N P 25. Unde ad operationem 
secundam collegi distantiam td 5640. Et per hanc operationem 
inveni tandem distantias T X 4775 & t Z 11322. Ex quibus orbem 
definiendo, inveni nodos ejus descendentem in- ss & ascendentem in 
y^ i^' 53'; incHnationem plani ejus ad planum eclipticae ^i^""- 20'^; 
verticem ejus (seu perihehum cometae) distare a nodo 8^''- 38', & esse 
in^^^^"- 43' cum latitudine australi y^' 34'; & ejus latus rectum esse 
236,8, areamque radio ad solem ducto singuh's diebus descriptam 
93585, quadrato semidiametri orbis magni posito 100000000; come- 
tam vero in hoc orbe secundum seriem signorum processisse, & 
Decemb. Z^- &• 4' p.m. in vertice orbis seu periheHo fuisse. Haec 
omnia per scalam partium aequaHum & chordas angulorum ex tabula 
sinuum naturaHum coHectas determinavi graphice ; construendo 
schema satis amplum, in quo videHcet semidiameter orbis magni 
(partium 10000) aequaHs esset digitis 16^ pedis Anglicani. 

Tandem, ut constaret an cometa in orbe sic invento vere move- 
retur, coHegi per operationes partim arithmeticas partim graphicas 
loca cometae in hoc orbe ad observationum qiiarundam tempora : uti 
in tabula sequente videre licet. 



500 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Dec. 12 

29 
Feb. 5 
Mar. 5 


Distimt. 

Comet. a 

Sole 


Long. Colled. 


Lat. Collect. 


Z^;/^. Obs. 


Lat. Obs. 


Differ. 
Long. 


^^r- 


2792 

8403 

16669 

21737 


gr. , 

n 6 32 

K T3 13I 
ti 17 
29 19I 


gr. 

8 18.V 
28 
15 29t 
12 4 


n 6 34 

K 13 iif 

» 16 591- 

29 20« 


gr- / 
8 26 

28 lO^l^ 

15 27I 

12 3l 


+ I 
+ 2 

— I 


-lorj 

rt 



Postea vero Hallems noster orbltam per calculum arlthmetlcum 
accuratlus determlnavlt, quam per descrlptlones llnearum fierl llcult ; 
& retlnult quldem locum nodorum In ss & i^ i^' 53', & Incllnati- 
onem planl prbltae ad ecllptlcam 6i^' 20' i, ut & tempus perlhelii 
cometae Decemb. 8"^ o''- 4' : dlstantlam vero perihelii a nodo ascen- 
dente in orbita cometai mensuratam invenit esse 9^- 20^ & latus 
rectum parabolae esse 2430 partium existente mediocri soHs a terra 
dlstantia partlum 1 00000. Et ex his datls, calculo Itldem arlthmetlco 
accurate instituto, loca cometse ad observationum tempora computavit, 
ut sequltur. 









Disiantia 














Errores in 




Tempus verum 


CometcB a O 


Long. comp. 


Lat. comp. 


Long. 


Lat. 




d. 


h. 




gr. 




gr. 


/ 


// 


/ 




/ 


// 


Dec. 


12 


4 46 


28028 


YS 6 


29 25 


8 


26 


fior. 


-3 


S 


— 2 







21 


6 37 


61076 


>♦♦♦» 5 


6 30 


21 


43 


20 


— I 


42 


+ 1 


7 




24 


6 18 


70008 


18 


48 20 


25 


22 


40 


— I 


3 


— 


25 




26 


5 21 


75576 


28 


22 45 


27 


I 


36 


— I 


28 


+ 


44 




29 


« 3 


84021 


K13 


12 40 


28 


10 


10 


+ 1 


59 


+ 


12 




30 


8 10 


86661 


17 


40 5 


28 


II 


20 


+ 1 


45 


— 


33 


Jan. 


5 


6 li 


IOI440 


V 8 


49 49 


26 


15 


15 


+ 


56 


+ 


8 




9 


7 


I 10959 


18 


44 36 


24 


12 


54 


+ 


32 


+ 


58 




lO 


6 6 


IT3162 


20 


41 


23 


44 


10 


+ 


10 


+ 


18 




13 


7 9 


120000 


26 


21 


22 


17 


30 


+ 


33 


+ 


2 




25 


7 59 


145370 


« 9 


33 40 


17 


57 


55 


— I 


20 


+ 1 


25 




30 


8 22 


155303 


13 


17 41 


16 


42 


7 


— 2 


10 


— 


II 


Feb. 


2 


6 35 


160951 


15 


11 II 


16 


4 


15 


— 2 


42 


+ 


14 




5 


7 a\ 


166686 


16 


58 25 


15 


29 


13 


— 


41 


+ 2 


10 




25 


8 41 


202570 


26 


15 46 


12 


48 





— 2 


49 


+ 1 


14 


Mar. 5 


II 39 


216205 


29 


18 35 


12 


5 


40 


+ 


35 


+ 2 


24 



Apparult etlam hic cometa mense Nove^nbri praecedente & Co- 
burgi In Saxonia a D"°- Gottfried Kh^ch observatus est diebus mensis 
hujus quarto, sexto & undecimo, stylo veteri ; & ex positionibus 



LIBER TERTIUS. 501 

ejus ad proximas stellas fixas ope telescopli nunc blpedalis nunc 
decempedalis satis accurate observatls, ac differentia Ipngitudlnum 
Cobiu^gi & Londini graduum undecim & locis fixarum a Ponndio 
nostro observatis, Halleins noster loca cometae determinavit ut 
sequitur. 

Novem. 3^- 17^* 2', ternpore apparente Londini, cometa erat in 
^ 29^- 51' cum lat. bor. i^- 17' 45'^ 

Novem. ^^' 15^' 58' cometa erat in nj 3^- 23' cum lat. bor. i^- 6'. 

Nove7n. \o^' i6^- 31' cometa aequaliter distabat a stellis leonis o- ac 
T Bayero ; nondum vero attigit rectam easdem jungentem, sed parum 
abfuit ab ea. In stellarum catalogo Flamstediano cr tunc habuit ^ 
i^^'- 15' cum lat. bor. i^- 41' fere, r vero ttj 17^- 3J, cum lat. austr. 
o^- 34'. Et medium punctum inter has stellas fuit W 15^' 39'^, cum 
lat. bor. o^- 33^. Sit distantia cometae a recta illa 10' vel 12' circiter, 
& differentia longitudinum cometae & puncti illlus medii erit 7', & 
differentia latltudinum 7'^, circiter. Et inde cometa erat in n}^ 15^- 
32' cum lat. bor. 26' circiter. 

Observatlo prima ex situ cometae ad parvas quasdam fixas abunde 
satis accurata fuit. Secunda etiam satis accurata fuit. In tertla, quae 
minus accurata fult, error minutonim sex vel septem subesse potuit, 
& vix major. Longitudo vero cometae in observatione prima, quae 
caeteris accuratlor fuit, In orbe praedicto parabolico computata erat 
51 29^- 30' 22'', latitudo borealis i^- 25' f' 8i distantia ejus a sole 

1 15546. 

Porro Halleitcs observando quod cometa Insignis intervallo anno- 
rum 575 quater apparulsset, scilicet mense Septembri post caedem 
Jnlii CcBsaris, anno Christi 531 Lainpadio & Oreste Coss., anno 
Christi 1106 mense Februario, & sub finem annl 1680, idque cum 
cauda longa & insigni (praeterquam quod sub mortem Ccssaris cauda 
ob incommodam telluris positionem minus apparuisset) quaesivit 
orbem elllpticum cujus axis major esset partium 1382957, existente 
mediocri distantia telluris a sole partium loooo : in quo orbe utique 
cometa annis 575 revolvl possit Et ponendo nodum ascendentem 
in QZ5 2^^- 2'; inclinationem planl orbis ad planum ecllptlcae ^i^""- 6' 48''; 
perlhelium cometae in hoc plano t ^^^" 44' 25''; tempus aequatum 
perihelii Decem. "j^- 23^- 9'; distantiam perihelii a nodo ascendente in 



502 



DE MUNDI SYSTEMATE 



plano eclipticae g''- 17' 35"^ & axem conjugatum 18481,2 : computavit 
motum cometae in hoc orbe elliptico. Loca autem ejus tam ex obser- 
vationibus deiucta quam in hoc orbe computata exhibentur in tabula 
sequente. , 



Tempus venim 


Louo^. obs. 


Za^. Bor. 


Lont^ 


-•. CO.'/l/>. 


Lat. comp. 


Errorcs in 
































Long. 


Lat. 


d. 
Nav. 3 


h. 
16 


47 


^?9 


51 





gr. 


17 


45 


^?9 


51 


22 


gr. 

I 


/ 
17 


3iB 


^ 


-0 22 


/ // 
— 13 


5 


15 


37 


W 3 


23 





I 


6 





TIJ 3 


24 


32 


I 


6 


9 


- 


-I 32 


-fo 9 


10 


16 


18 


15 


32 








27 





15 


33 


2 





■25 


7 


H 


-I 2 


— I 53 


16 


17 













• 




:^ 8 


16 


45 





53 


7A 






18 


21 


34 














18 


52 


15 


I 


26 


54 






20 


17 

















28 


10 


36 


I 


53 


35 






23 


17 


5 














'^13 


22 


42 


2 


29 









Dec. 12 


4 


46 


n 6 


32 


30 


8 


28 





n 6 


31 


20 


8 


29 


66 


— I 10 


-f I 6 


21 


6 


37 


V**. C 


8 


12 


21 


42 


13 


::^ 5 


6 


14 


21 


44 


42 


-i 58 


-1-2 29 


24 


6 


18 


^18 


49 


23 


25 


23 


5 


^18 


47 


30 


25 


23 


35 


-I 53 


-f 30 


26 


• 5 


21 


28 


24 


13 


27 





52 


28 


21 


42 


^^ 


2 


I 


-2 31 


+ 1 9 


29 


8 


3 


yi^3 


10 


41 


28 


9 


58 


KI3 


II 


14- 


28 


10 


38 


+ 33 


+ 40 


30 


8 


10 


17 


38 


20 


28 


II 


53 


17 


38 


27 


28 


II 


37 


+ 7 


— 16 


>«. 5 


6 


14 


T 8 


48 


53 


26 


15 


7 


T 8 


48 


51 


26 


14 


57 


— 2 


— 10 


9 


7 


I 


18 


44 


4 


24 


II 


56 


18 


43 


51 


24 


12 


17 


-0 13 


-f 21 


10 


6 


6 


20 


40 


5° 


23 


43 


3? 


20 


40 


^2 


23 


43 


25 


— 27 


— 7 • 


13 


7 


9 


25 


59 


48 


22 


17 


28 


26 





8 


22 


16 


32 


-f 20 


— 56 


25 


7 


59 


« 9 


35 





17 


56 


3° 


b 9 


H 


II 


17 


56 


6 


— 49 


— 24 


30 


8 


22 


13 


19 


51 


16 


42 


18 


13 


18 


28 


16 


40 


5 


-I 23 


— 2 13 


/>^. 2 


6 


35 


15 


13 


53 


16 


4 


I 


15 


II 


59 


16 


2 


7 


-I 54 


- I 54 


5 


7 


4^ 


16 


59 


6 


15 


27 


3 


16 


59 


17 


15 


27 





-fo II 


— 3 


25 


8 


41 


26 


18 


35 


12 


46 


46 


26 


16 


59 


12 


45 


22 


-I 36 


— I 24 


il/flr. I 


II 


10 


27 


52 


42 


12 


23 


40 


27 


51 


47 


12 


22 


28 


-0 55 


— I 12 


5 


11 


39 


29 


18 





12 


3 


16 


T.^9 


20 


II 


12 


2 


50 


+ 2 II 


— 26 


9 


8 


38 





43 


* 


II 


45 


52 


n 


42 


43 


II 


45 


35 


— 21 


— 17 



Obsefvationes cometae hujus a principio ad finem non minus 
congruunt cum motu cometae in orbe jam descripto, quam motus 
planetarum congruere solent cum eorum theoriis, & congruendo 
probant unum & eundem fuisse cometam, qui toto hoc tempore 
apparuit, ejusque orbem hic recte definitum fuisse. 

In tabula praecedente omisimus observationes diebus Novenibris 
16, 18, 20 & 23 ut minus accuratas. Nam cometa his etiam tem- 
poribus observatus fuit. Ponthcmcs utique & socii, Novem. 17 st. 
vet. hora sexta matutina Romce, id est, hora 5 10' Londini, fihs ad 
fixas applicatis, cometam observarunt in =^ 8^- 30' cum latitudine 
austrah o^- 40' Extant eorum observationes in tractatu, quem Pon- 



LIBER TERTIUS. 



503 



thcBus de hoc cometa in lucem edidit. Cellms, qiii aderat & observa- 
tiones suas in epistola ad D. Cassimcm misit, cometam eadem hora 
vidit in ^ S^""- 30' cum latitudine australi o^^^^o'. Eadem hora Galle- 
tius Avenioni (id est, hora matutina 5 42' Londini) cometam vidit in 
^ S^''- sine latitudine. Cometa autem per theoriam jam fuit in =^ S^"- 
16' 45'' cum latitudine austraH o^- 53' 7''. 

Nov. 18 hora matutina 6 30' Romcs (id est, hora 5 40' Londini) 
Ponthcsus cometam vidit in ^ i^^''- 30' cum latitudine australi i^- 20'. 
Cellius in ^ 13^- 30' cum latitudine australi i^"- oo^ Galletius autem 
hora matutina 5 30' Avenioni cometam vidit in ^ 13^ 00', cum 
latitudine austraU i^- oo^ Et R. P. Ango in academia Flexiensi 
apud Gallos hora quinta matutina (id est, hora 5 9^ Londini) come- 
tam vidit in medio inter stellas duas parvas, quarum una media est 
trium in recta Hnea in Virginis austraH manu, Bayero \|^, & altera est 
extrema alse Bayero 0. Unde cometa tunc fuit in ^ 12^'- 46' cum 
latitudine austraH 50'. Eodem die Boslo7iicB in Nova-Anglia in 
latitudine 42I graduum, hora quinta matutina, (id est Londini hora 
matutina 9 44') cometa visus est prope ^ 14^-, cum latitudine australi 
i^- 30^ uti a cl. Halleio accepi. 

Nov. 19 hora mat. 4^ Cantabrigice cometa (observante juvene 
quodam) distabat a Spica n quasi 2^' boreazephyrum versus. Erat 
autem Spica in ^ \cf- 23' 47'' cum lat austr. 2^'- \' 59''. Eodem die 
hor. 5 mat. Bostonicp, in N ova-Anglia com^tdi distabat a Spica W gradu 
uno, differentia latitudinum existente 40'. Eodem die in insula 
Jamaica cometa distabat a Spica intervaHo quasi gradus unius. 
Eodem die D. Arthtirus Storer ad fluvium Patuxent prope Hunt- 
ing-Creek in Maryla^id m confinio Virginics m lat. 38!^-, hora quinta 
matutina (id est, hora lo^ Londifti) cometam vidit supra Spicam nj, & 
cum Spica propemodum conjunctum, existente distantia inter eosdem 
quasi ^- Et ex his observationibus inter se coHatis coHigo quod 
hora 9 44' Londi7ti cometa erat in — 1 8^ 50' cum latitudine austraH 
i^""- 25' circiter. Cometa autem per theoriam jam erat in ^ i8^- 52' 
15'' cum latitudine austraH i^'' 26' 54''. 

Nov. 20 D. Montenarus astronomiae professor Paduensis hora 
sexta matutina Venetiis (id est, hora 5 10' Londini) cometam vidit in 
^ 23^- cum latitudine austraH i^""- 30'. Eodem die Bostonice distabat 



504 ^^ MUNDI SYSTEMATE 

cometa a Spica nj' ^^'- longitudinis in orientem, ideoque erat in ^ 2 3^''- 
24' circiter. 

Nov. 21 Poiithceus 81 socii hor. mat. yi cometam observarunt in 
=^ ^y^""- 5o'.cum latitudine australi i^'- i6^ Celliits in =^ 28^-, A^igo hora 
quinta matutina in ^ 27^* 45', Montenarus in ^ 27^-51. Eodem 
die in insula Jamaica cometa visus est prope principium Scorpii, 
eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id est, ^^*"- 2', 
Eodem die ad horam quintam matutinam Ballasorce in India Orien- 
tali, (id est ad horam noctis praecedentis 1 1 20' Londini) capta est 
distantia cometa^ a Spica W 7^* 35' in orientem. In linea recta erat 
inter Spicam & Lancem, ideoque versabatur in ^ 26^"- 58' cum lat. 
australi i^- 11' circiter; & post horas 5 & 40' (ad horam sciHcet 
quintam matutinam Lojidifti) erat in =^ 28^''- i2^cumlat. austr. i^*" 16'. 
Per theoriam vero cometa jam erat in =2= 28^- 10' 36^^, cum latitudine 
austraH i^"- 53' 35'^ 

Nov. 22 Cometa visus est a Mo7itenaro in v\^ 2^^.33'. Bostonice 
autem in Nova-Anglia apparuit, in n\ ^s»-- circiter eadem fere cum 
latitudine ac prius, id est, i^""- 30^ Eodem die ad horam quintam 
matutinam Ballasorce cometa observebatur in \\ i^""- 50^ ; ideoque ad 
horam quintam matutinam Lo7idini cometa erit in n\^ 3^' 5' circiter. 
Eodem die Londini hora mat. 6i Hookiics noster cometam vidit in ir^^ 
3^- 30' circiter, idque in Hnea recta quae transit per Spicam Virginis & 
Cor Leonis, non exacte quidem, sed a Hnea iHa paululum deflectentem 
ad . boream. Montenarus itidem notavit quod Hnea a cometa per 
Spicam ducta hoc die"& sequentibus transibat per australe latus Cordis 
Leonis, interposito perparvo intervaHo inter*Cor Leonis & hanc Hneam. 
Linea recta per Cor Leonis & Spicam Virginis transiens ecHpticam 
secuit in nj ^g'^- 46'; in angulo 2^' 51'. Et si cometa locatus fuisset 
in hac Hnea in tt|^ ^^^- ejus latitudo fuisset 2^- 26'. Sed cum cometa 
consentientibus Hookio & Mo7ite7iaro nonnihil distaret ab hac Hnea 
boream versus, latitudo ejus fuit paulo minor. Die 20 ex observatione 
Mo7itenari latitudo ejus propemodum aequabat latitudinem Spicse nj, 
eratque i^^^ 30' circiter, & consentientibus Hookio, Mo7ite7iaro & A7igo7ie 
perpetuo augebatur, ideoque jam sensibiliter major erat quam i^- 30'. 
Inter limites autem jam constitutos 2^"- 26' & i^"- 30' magnitudine 
mediocri latitudo erit i^ 58' circiter. Cauda cometse, consentien- 
tibus Hookio & Mo7ttena7'o, dirigebatur ad Spicam nj, declinans ali- 



LIBER TERTIUS. 



505 



quantiilum a stella ista, juxta Hookium in austrum, juxta Mo7itenartim 
jn boream ; ideoque declinatio illa vix fuit sensibilis, & cauda aequa- 
tori fere parallela existens aliquantulum deflectebatur ab oppositione 
solis boream versus. 

Nov. 23 st. vet. hora quinta matutina Noriburgi (id est hora 4I 
Londini) D. Zimmerman cometam vidit in n|^ 8^- 8^ cum latitudine 
australi- 2^' 31', captis sciHcet ejus distantiis a stellis fixis. 

Nov. 24 ante ortum soHs cometa visus est a Montenaro in 1T|^ 
12^- 52', ad boreale latus rectae quse per Cor Leonis & Spicam Virgi- 
nis ducebatur, ideoque latitudinem habuit paulo minorem quam 
2^- 38'. Haec latitudo, uti diximus, ex observationibus Montenari, 
Angonis & Hookii perpetuo augebatur ; ideoque jam paulo major 
erat quam i^''- 58'; & magnitudine mediocri, sine notabili errore, 
statui potest 2^- 18'. Latitudinem Ponthcstis & G alletius ]2im decre- 
visse volunt, & Cellius & observator in Nova Anglia eandem fere 
magnitudinem retinuisse, scilicet gradus unius vel unius cum semisse. 
Crassiores sunt observationes Pofithcei 8c Cellii, ese praesertim quae 
per azimuthos & altitudines capiebantur, ut & eae Galletii: melio- 
res sunt eae quae per positiones cometae ad fixas a Montenaro, Hookio, 
Angone & observatore in Nova Anglia, 8c nonnunquam a Ponthcso 
& Cellio sunt factae. Eodem die ad horam quintam matutinam 
Ballasorce cometa observabatur in R, 1 1^- 45' ; ideoque ad horam 
quintam matutinam Londini erat in n\^ 13^- circiter. Per theoriam 
vero cometa jam erat in n]^ 13^- 22' 42'^ 

Nov. 25 ante ortum soHs Montenarus cometam observavit in tt|^ 
17!^ circiter. Et Cettius observavit eodem tempore quod cometa 
erat in Hnea recta inter steHam lucidam in dextro femore Virginis & 
lancem australem Librae, & haec recta secat viam cometae in tt|^ i 8^^^- 36^ 
Per theoriam vero cometa jam erat in tt\^ i 8i^' circiter. 

Congruunt igitur hae observationes cum theoria quatenus con- 
gruunt inter se, & congruendo probant unum & eundem fuisse 
cometam, qui toto tempore a quarto die Novembris ad usque 
nonum Martii apparuit. Trajectoria cometae hujus bis secuit plan- 
um ecHpticae, & propterea non fuit rectiHnea. EcHpticam secuit non 
in oppositis coeH partibus, sed in fine Virginis & principio Capricorni, 
intervaHo graduum 98 circiter ; ideoque cursus cometae plurimum de- 



5o6 



DE MUNDI SYSTEMATE 



flectebatiir a circulo maxlmo. Nam & mense Nove^nbri cursus ejus 
trlbus saltem gradlbus ab ecllptlca In austrum decllnabat, & postea 
mense Decembri gradlbus 29 vergebat ab ecllptlca In septentrlonem, 
partlbus duabus orbltae, In qulbus cometa tendebat in solem & 
redlbat a sole, angulo apparente graduum plus trlglnta ab invicem 
decllnantibus, ut observavit Montenarus. Pergebat hic cometa per 
slgna novem, a Leonis sclllcet ultlmo gradu ad prlnclplum Gemlnorum, 
praeter signum Leonls, per quod pergebat antequam viderl coepit ; 
& nulla alia extat theorla, qua cometa tantam ccell partem motu 
regulari percurrat. Motus ejus fuit maxime inaequablHs. Nam clrca 
dlem vigesimum Novembris descripslt gradus clrclter quinque singulis 
dlebus; deln motu retardato inter Novemb. 26 & Decemb. 12, spatlo 
scllicet dlerum quindecim cum semlsse, descrlpsit gradus tantum 40 ; 
postea vero motu iterum accelerato descripslt gradus fere quinque 
singuHs dlebus, antequam motus iterum retardari coepit. Et the- 
oria, quae motui tam inaequabili per maximam coeH partem probe 
respondet, quaeque easdem observat leges cum theoria planetarum, & 
cum accuratis observatlonibus astronomicls accurate congruit, non 
potest non esse vera. 

Caeterum trajectoriam quam cometa descrlp^it, & caudam veram 




quam singuHs in locis projecit, visum est annexo schemate in plano 
trajectoriae deHneatas exhibere : ubl A B C denotat trajectoriam 
cometae, D solem, D E trajectoriae axem, D F Hneam nodorum, 



LIBER TERTIUS. 



507 



GH intersectionem sphaerae orbis magni cum plano trajectoriae, / 
locum cometse Nov. 4 Ann. 1680, K locum ejusdem. A^(^z/. 11, Z, 
locum Nov. 19, M locum Dec. 12, N locum Dec. 21, O locum Dec. 
29, P locum ya7i. 5 sequent., Q locum ^an. 25, 7? locum Fed. 5, S 
locum Fed. 25, T^locum Mar. 5, & Flocum Mar. 9. Observationes 
vero sequentes in cauda definienda adhibui. 

Nov. 4 & 6 cauda nondum apparuit. Nov. 1 1 cauda jam coepta 
non nisi semissem gradus unius longa tubo decempedali visa fuit. 
Nov. 17 cauda gradus amplius quindecim longa Ponthcso apparuit. 
Nov. 18 cauda ^o^''- longa, solique directe opposita in Nova-Anglia 
cernebatur, & protendebatur usque ad stellam <^, quae tunc erat 
in W 9^'"' 54'. Nov. 19 in Mary-land cauda visa fuit gradus 15 
vel 20 longa. Dec. 10 cauda (observante Flamstedio) transibat per 
medium distantiae inter caudam serpentis Ophiuchi & stellam S in 
Aquilae austraii ala, & desinebat prope stellas A^ o), d in tabuHs Bayeri. 
Terminus igitur erat in YS 19^*, cum latitudine boreali 34t^- circiter. 
Dec. II cauda surgebat ad usque caput Sagittae (Bayero a, /3,) 
desinens in YS 2^^^- 43', cum latitudine boreaH 38^'"- 34'. Dec. 12 
cauda transibat per medium Sagittae, nec longe ultra protendebatur, 
desinens in :;::: 4^'-, cum latitudine boreaH 42!^- circiter. InteUigenda 
sunt haec de longitudine caudae clarioris. Nam luce obscuriore, in 
coelo forsan magis sereno, cauda Dec. 12 hora 5 40^ Romce (ob- 
servante PonthcEo) supra Cygni uropygium ad gradus 10 sese extuHt ; 
atque ab hac steHa ejus latus ad occasum & boream min. 45 destitit. 
Lata autem erat cauda his diebus gradus 3, juxta terminum supe- 
riorem, ideoque medium ejus distabat a steHa iHa 2^''' 1 5' austrum 
versus, & terminus superior erat in K 22^'-, cum latitudine boreaH 
6i^'. Et hinc longa erat cauda 70^- circiter. Dec. 21 eadem sur- 
gebat fere ad cathedram Cassiopeice, aequaHter distans a /3 & Schedir, 
& distantiam ab utraque distantiae earum ab invicem aequalem habens, 
ideoque desinens in T 24^''-, cum latitudine 47i^''". Dec. 29 cauda 
tangebat Scheat sitam ad sinistram, & intervaUum steHarum duarum 
in pede boreaH Andromedcs accurate complebat, & longa erat 54^' ; 
ideoque desinebat in « 19^*, cum latitudine 35^-. Jan, 5 cauda 
tetigit steHam ir in pectore A^idromedce ad latus ejus dextrum, & 
steHam /* in ejus cingulo ad latus sinistrum ; & (juxta observationes 



^oS DE MUNDI SYSTEMATE 

nostras) longa erat 40^'- ; curva autem erat & convexo latere spectabat 
ad austrum. Cum clrculo per solem & caput cometae transeunte 
angulum confecit graduum 4 juxta caput cometae ; at juxta terminum 
alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 graduum 
& chorda caudae cum circulo illo continebat angulum graduum 
octo. yan. 13 cauda luce satis sensibili terminabatur inter 
Alamech & Algol, & luce tenuissima desinebat e regione stellae k in 
latere Persei. Distantia termini caudae a circulo solem & cometam 
jungente erat 3^- 50^ & inclinatio chordae caudae ad circulum illum 
%^\ yan. 25 & 26 cauda luce tenui micabat ad longitudinem 
graduum 6 vel 7 ; & nocte una & altera sequente ubi coelum valde 
serenum erat, luce tenuissima & segerrime sensibili attingebat 
longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem 
ejus axis ad lucidam in humero orientali Aurigae accurate, ideoque 
declinabat ab oppositione soHs boream versus in angulo graduum 
decem. Denique Feb. 10 caudam ocuHs armatis aspexi gradus duos 
longam. Nam lux praedicta tenuior per vitra non apparuit. 
PonthcEus autem Feb. 7 se caudam ad longitudinem graduum 12 
vidisse scribit. Feb. 25 & deinceps cometa sine cauda apparuit. 

Orbem jam descriptum spectanti & reHqua cometae hujus 
phaenomena in animo revolventi haud difficulter constabit, quod 
corpora cometarum sunt soHda, compacta, fixa ac durabiHa ad instar 
corporum planetarum. Nam si nihil aHud essent quam vapores vel 
exhalationes terrae, solis & planetarum, cometa hicce in transitu suo 
per viciniam solis statim dissipari debuisset. Est enim calor solis ut 
radiorum densitas, hoc est, reciproce ut quadratum distantiae locorum 
a sole. Ideoque cum distantia cometae a centro soHs Decemb. 8 ubi 
in perihelio versabatur esset ad distantiam terrae a centro solis ut 6 
ad 1000 circiter, calor solis apud cometam eo tempore erat ad 
calorem solis aestivi apud nos ut 1 000000 ad 36, seu 28000 ad i. Sed 
calor aquae ebullientis est quasi triplo major quam calor quem terra 
arida concipit ad aestivum solem, ut expertus sum : & calor ferri 
candentis (si recte conjector) quasi triplo vel quadruplo major quam 
calor aquae ebullientis ; ideoque calor, quem terra arida apud cometam 
in perihelio versantem ex radiis solaribus concipere posset, quasi 
2000 vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore 



LIBER TERTIUS. 509 

vapores & exhalationes omnlsque materia volatilis statim consumi 
ac dissipari debuissent. 

Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad solem con- 
cepit, & calorem illum diutissime conservare potest. Nam globus 
ferri candentis digitum unum latus calorem suum omnem spatio 
hor^ unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem major 
calorem diutius conservaret in ratione diametri, propterea quod 
superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrige- 
ratur) in illa ratione minor est pro quantitate materiae suae calidae 
inckisse. Ideoque globus ferri candentis huic terrse aequalis, id est, 
pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem & idcirco annis 
50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio caloris, ob 
causas latentes, augeatur in minore ratione quam ea diametri : & 
optarim rationem veram per experimenta investigari. 

Porro notandum est quod cometa mense Decembri, ubi ad solem 
modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & splendidiorem 
quam antea mense Novembri, ubi periheHum nondum attigerat. Et 
universahter caudae omnes maximae & fulofentissimae e cometis ori- 
untur statim post transitum eorum per regionem solis. Conduclt 
igitur calefactio cometae ad magnltudinem caudae. Et Inde colHgere 
videor quod cauda nlhll aHud slt quam vapor longe tenulsslmus, 
quem caput seu nucleus cometae per calorem suum emittlt. 

Caeterum de cometarum caudls triplex es.t oplnlo ; eas vel jubar 
esse soHs per transluclda cometarum caplta propagatum, vel oriri 
ex refractlone lucis in progressu Ipslus a caplte cometae in terram, 
vel denique nubem esse seu vaporem a caplte cometae jugiter surgen- 
tem & abeuntem In partes a sole aversas. Opinio prima eorum est 
qul nondum Imbutl sunt scientia rerum optlcarum. Nam jubar soHs 
In cublculo tenebroso non cernitur, nisl quatenus lux reflectltur e 
pulverum & fumorum partlcuHs .per aerem semper voHtantibus : 
ideoque in aere fumis crassioribus infecto splendidlus est & sensum 
fortlus ferit ; In aere clarlore tenuius est & aegrlus sentltur : in cce- 
Hs autem sine materia reflectente nuHum esse potest. Lux non cer- 
nitur quatenus In jubare est, sed quatenus Inde reflectltur ad oculos 
nostros. Nam vlsio non fit nlsi per radios qui In oculos impingunt. 
Requirltur Igltur materia aHqua reflectens in regione caudae, ne 



5 I o ^^ MUNDI S YSTEMA TE 

coelum totum luce solis illustratum uniformiter splendeat. Opinio 
secunda multis premitur difficultatibus. Caudae nunquam variegan- 
tur coloribus : qui tamen refractionum solent esse comites insepara- 
biles. Lux fixarum & planetarum distincte ad nos transmissa 
demonstrat medium cceleste nulla vi refractiva pollere. Nam quod 
dicitur fixas ab j^gypiiis comatas nonnunquam visas fuisse, id, 
quoniam rarissime contingit, ascribendum est nubium refractioni 
fortuitse. Fixarum quoque radiatio & scintillatio ad refractiones tum 
oculorum tum aeris tremuli referendae sunt : quippe quse admotis 
oculo telescopiis evanescunt. Aeris & ascendentium vaporum tremore 
fit, ut radii facile de angusto pupillae spatio per vices detorqueantur, 
de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde est quod 
scintillatio in priori casu generetur, in posteriore autem cesset : & 
cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis 
per ccelos sine omni refractione sensibili. Nequis contendat quod 
caudae non soleant videri in cometis, cum eorum lux non est satis 
fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos 
movendos, & propterea caudas fixarum non cerni : sciendum est 
quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus 
telescopiis, nec tamen caudse cernuntur. Planetarum quoque lux 
copiosior est, caudae vero nullae : cometae autem saepe caudatissimi 
sunt, ubi capitum lux tenuis est & valde obtusa. Sic enim cometa 
anni 1680, mense Deceynbri, quo tempore caput luce sua vix aequa- 
bat stellas secundae magnitudinis, caudam emittebat splendore nota- 
bili usque ad gradus 40, 50, 60 vel 70 longitudinis & ultra : postca 
Jan. 27 Sz: 28 caput apparebat ut stella septimae tantum magnitudi- 
nis, cauda vero luce quidem pertenui sed satis sensibili longa 
erat 6 vel 7 gradus, & luce obscurissima, quae cerni vix posset, 
porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra : ut supra 
dictum est. Sed & Feb, 9 & 10 ubi caput nudis oculis videri desierat, 
caudam gradus duos longam per telescopium contemplatus sum. 
Porro si cauda oriretur ex refractione materiae coelestis, & pro figura 
coelorum defiecteretur de solis oppositione, deberet deflexio illa in 
iisdem coeli regionibus in eandem semper partem fleri. Atqui cometa 
anni 1680 Decemb. 28 hora 81^ p.m. Z^;/^/>2^ versabatur in K 8^- 41^ 
cum latitudine boreali 28^'- 6', sole existente in YS i8^'- 26'. Et co- 



LIBER TERTIUS. 



511 



meta annl 1577 Dec. 29 versabatur in K 8^- 41' cum latitudine boreali 
^S^"' 40' sole etiam existente in v^ i8^'- 26' circiter. Utroque in casu 
terra versabatur in eodem loco, & cometa apparebat in eadem cceli 
parte : in priori tamen casu cauda cometse (ex meis & aliorum 
observationibus) declinabat angulo graduum 4^ ab oppositione solis 
aquilonem versus ; in posteriore vero (ex observationibus Tychonis) 
declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata coelorum 
refractione superest ut phaenomena caudarum ex materia aliqua lucem' 
reflectente deriventur. 

Caudas autem a capitibus oriri & in regiones a sole aversas 
ascendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis 
orbium cometarum per solem transeuntibus jacentes deviant ab 
oppositione solis in eas semper partes, quas capita in orbibus illis 
progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto 
apparent in partibus a sole directe aversis ; digrediente autem specta- 
tore de his planis, deviatio paulatim sentitur, & indies apparet major. 
Quod deviatio caeteris paribus minor est ubi cauda obHquior est ad 
orbem cometae, ut & ubi caput cometae ad solem propius accedit ; 
praesertim si spectetur deviationis angulus juxta caput cometae. Prae- 
terea quod caudae non deviantes apparent rectae, deviantes autem 
incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, & 
magis sensibiHs ubi cauda caeteris paribus longior est : nam in brevi- 
oribus curvatura aegre animadvertitur. Quod deviationis angulus 
minor est juxta caput cometae, major juxta caudae extremitatem 
alteram, atque ideo quod cauda convexo sui latere partes respicit a 
quibus fit deviatio, quaeque in recta sunt linea a sole per caput 
cometae in infinitum ducta. Et quod caudae quae proHxiores sunt 
& latiores, & luce vegetiore mlcant, sint ad latera convexa paulo 
splendldlores & Hmite minus indistincto terminatae quam ad concava. 
Pendent igitur phaenomena caudae a motu capltls, non autem a regione 
coeH in qua caput consplcltur ; & propterea non fiunt per refractionem 
coelorum, sed a capite suppedltante materiam orluntur. Etenlm ut 
in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora, idque 
vel perpendlculariter si corpus quiescat, vel obHque si corpus move- 
atur in latus : ita in coeHs, ubi corpora gravitant in solem, fumi & 
vapores ascendere debent a sole (uti jam dlctum est) & superiora 



-j2 DE MUNDI SYSTEMATE 

vel recta petere, si corpus fumans quiescit; vel oblique, si corpus 
progrediendo loca semper deserit a quibus superiores vaporis partes 
ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis 
velocior est : nimirum in vicinia solis & juxta corpus fumans. Ex 
obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna : & quia 
vapor in columnae latere prsecedente paulo recentior est, ideo etiam 
is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius re-. 
flectet, & limite minus indistincto terminabitur. De caudarum 
agitationibus subitaneis & incertis, deque earum figuris irregularibus, 
quas nonnulli quandoque describunt, hic nihil adjicio ; propterea quod 
vel a mutationibus aeris nostri & motibus nubium caudas aliqua ex 
parte obscuraiitium oriantur; vel forte a partibus viae lacteae, quse 
cum caudis praetereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes 
spectari. 

Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufficiant, ex 
cometarum atmosphaeris oriri posse, inteUigetur ex raritate aeris 
nostri. Nam aer juxta superficiem terrae spatium occupat quasi 850 
partibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris columna 
cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aquae columna 
pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad summitatem 
atmosphaerae assurgens aequat pondere suo columnam aquae pedes 33 
altam circiter ; & propterea si columnae totius aereae pars inferior 
pedum 850 altitudinis dematur, pars reHqua superior aequabit pon- 
dere suo columnam aquae altam pedes 32, Inde vero (per regulam 
multis experimentis confirmatam, quod compressio aeris sit ut pon- 
dus atmosphaerae incumbentis, quodque gravitas sit reciproce ut 
quadratum distantiae locorum a centro terrae) computationem per 
corol. prop. xxii lib. 11 ineundo, inveni quod aer, si ascendatur a 
superficie terrae ad altitudinem semidiametri unius terrestris, rarior 
sit quam apud nos in ratione longe majori, quam spatii omnis infra 
orbem saturni ad globum diametro digiti unius descriptum. Ideoque 
globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate quam habe- 
ret in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret omnes plane- 
tarum regiones usque ad sphaeram saturni & longe ultra. Proinde 
cum aer adhuc altior in immensum rarescat; & coma seu atmo- 
sphaera cometae, ascendendo ab illius centro, quasi decuplo altior sit 



LIBER TERTIUS. 513 

quam superficles nuclei, deinde cauda adhuc altlus ascendat, debebit 
cauda esse quam rarlssima. Et quamvis ob longe crasslorem come- 
tarum atmosphaeram, magnamque corporum gravltationem solem 
versus, & gravitatlonem particularum aeris & vaporum in se mutuo, 
fien possit ut aer In spatils ccelestlbus inque cometarum caudls 
non adeo rarescat ; perexiguam tamen quantitatem aerls & vaporum 
ad omnla Illa caudarum phsenomena abunde sufficere, ex hac com- 
putatlone persplcuum est. Nam & caudarum inslgnls rarltas col- 
Hgltur ex astrls per eas translucentibus. Atmosphaera terrestrls luce 
solls splendens crassltudine sua paucorum mllHarium & astra omnia 
& ipsam lunam obscurat & extlngult penitus : per immensam vero 
caudarum crassitudlnem, luce parlter solari IHustratam, astra mlnima 
sine claritatis detrlmento translucere noscuntur. Neque major esse 
solet caudarum plurlmarum splendor, quam aerls nostrl in tenebroso 
cubiculo latltudine dlglti unius duorumve lucem soHs In jubare reflec- 
tentls. 

Quo temporis spatlo vapor a capite ad terminum caudae ascendit, 
cognosci fere potest ducendo rectam a termino caudse ad solem, & 
notando locum ubl recta IHa trajectoriam secat. Nam vapor in 
termlno caudae, si recta ascendat :a sole, ascendere ccepit a capite, 
quo tempore caput erat in loco Intersectlonls. At vapor non recta 
ascendit a sole, sed motum- cometae, quem ante ascensum suum 
habebat, retlnendo & cum motu ascensus sul eundem componendo 
ascendlt obHque. Unde verior erlt problematis solutlo, ut recta IHa, 
quae orbem secat, paraHela slt longltudinl caudae, vel potlus (ob motum 
curvIHneum cometae) ut eadem a Hnea caudae dlvergat. Hoc pacto 
inveni quod vapor, qui erat In termlno caudae yan. 25, ascendere 
coeperat a caplte ante Dec. 1 1, ideoque ascensu suo toto dies plus 45 
consumpserat. At cauda IHa omnis quae Dec. 10 apparuit ascenderat 
spatio dierum IHorum duorum, qul a tempore perlheHI cometae elapsi 
fuerant. Vapor igitur sub inltio In vlclnia soHs celerrime ascen- 
debat, & postea cum motu per gravltatem suam semper retardato 
ascendere pergebat ; & ascendendo augebat longitudlnem caudae : 
cauda autem, quamdiu apparuit, ex vapore fere omni constabat, qui 
a tempore periheHI ascenderat ; & vapor, qul primus ascendlt & 
termlnum caudae composuit, non prlus evanult quam ob nimiam suam 
tam a sole iHustrante quam ab ocuHs nostris distantiam vlderi desilt. 

2 K 



514 



DE MUNDI SYSTEMATE 



Unde etiam caudae cometarum allorum, quae breves sunt, non ascen- 
dunt motu celerl & perpetuo a capitlbus & mox evanescunt, sed sunt 
permanentes vaporum & exhalationum columnce, a capitlbus lentlssimo 
multorum , dlerum motu propagatse, quae, participando motum illum 
capitum quem habuere sub initio, per coelos una cum capitlbus moveri 
pergunt. Et hinc rursus colllgitur spatla ccelestia vi resistendi des- 
titui ; utpote in qulbus non sokim soHda planetarum & cometarum 
corpora, sed etlam rarlsslml caudarum vapores motus suos veloclssi- 
mos Hberrime peragunt ac diutlssime conservant. 

Ascensum caudarum ex atmosphaerls capitum & progressum in 
partes a sole aversas Keplerus ascribit actioni radlorum lucls materiam 
caudae secum raplentlum. Et auram longe tenuissimam in spatiis 
Hberrimls actloni radlorum cedere non est a ratione prorsus aHenum, 
non obstante quod substantiae crassae impeditissimls in regionlbus 
nostrls a radiis soHs sensibiHter propeHI nequeant. AHus particulas 
tam leves quam graves dari posse existimat, & materiam caudarum 
levitare, perque levitatem suam a sole ascendere. Cum autem 
gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus, ideoque 
servata quantitate materlae intendi & remltti nequeat, susplcor ascen- 
sum iHum ex rarefactione materiae caudarum potius oriri. Ascendit 
fumus in camlno impulsu aeris cui innatat. Aer IHe per calorem 
rarefactus ascendit ob diminutam suam gravitatem specificam, & 
fumum impHcatum rapit secum. Quidni cauda cometae ad eundem 
modum ascenderit a sole ? Nam radli solares non agitant media, qu^ 
permeant, nisl in reflexlone & refractione. Partlculae reflectentes 
ea actlone calefactae calefacient auram aetheream cui impHcantur. 
nia calore sibi communicato rarefiet, & ob dlminutam ea raritate gra- 
vltatem suam specificam, qua prius tendebat in solem, ascendet & 
secum rapiet particulas reflectentes ex qulbus cauda componitur : Ad 
ascensum vaporum conduclt etiam, quod hi gyrantur circa solem & 
ea actlone conantur a sole recedere, at soHs atmosphaera & materia 
coelorum vel plane quiescit, vel motu solo quem a soHs rotatione 
acceperit tardlus gyratur. Hae sunt causae ascensus caudarum in 
vicinia soHs, ubi orbes curviores sunt, & cometae intra densiorem 
& ea ratione graviorem soh*s atmosphaeram consistunt, & caudas 
quam longissimas mox emittunt. Nam caudae, quae tunc nascuntur, 
conservando motum suum & interea versus solem gravitando, mo- 



LIBER TERTIUS. 515 

vebuntur clrca solem in ellipsibus pro more capitum, & per motum 
illum capita semper comitabuntur & iis liberrime adhserebunt. 
Gravitas enim vaporum in solem non magis efficiet ut caudae postea 
decidant a capitlbus solem versus, quam gravitas capitum efficere 
possit, ut haec decidant a caudis. Communi gravitate vel simul In 
solem cadent, vel slmul in ascensu suo retardabuntur ; ideoque 
gravitas illa non Impedlt, quo minus caudae & capita positionem 
quamcunque ad invicem a causis jam descriptls, aut ahls quibuscunque 
facinime acciplant & postea llberrime servent. 

Caudse igltur, quae in cometarum periheHIs nascuntur, in reglones 
longlnquas cum eorum capitibus abibunt, & vel Inde post longam 
annorum serlem cum Ilsdem ad nos redibunt, vel potius Ibi rarefactae 
paulatim evanescent. Nam postea In descensu capitum ad solem 
caudae novae breviusculae lento motu a capltibus propagarl debebunt, 
& sublnde in perlhelils cometarum Illorum, qui ad usque atmosphaeram 
solis descendunt, in immensum augerl. Vapor enim In spatlis 
Illls liberrimis perpetuo raresclt ac dilatatur. Qua ratione fit ut 
cauda omnis ad extremltatem superlorem latior sit quam juxta caput 
cometae. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum 
diffundi tandem & spargi per ccelos universos, deinde paulatlm in 
planetas per gravitatem suam attrahl, & cum eorum atmosphaeris 
miscerl rationl consentaneum videtur. Nam quemadmodum marla ad 
constitutionem terrae hujus omnino requiruntur, idque ut ex ils per 
calorem solls vapores copiose satis excltentur, qul vel In nubes coactl 
decidant In pluvils, & terram omnem ad procreationem vegetablHum 
irrigent & nutrlant ; vel In frlgidis montium verticlbus condensati 
(ut aliqul cum ratione philosophantur) decurrant in fontes & 
flumlna : sic ad conservationem marium & humorum in planetls 
requiri vldentur cometae, ex quorum exhalationibus & vaporibus 
condensatis qulcquld liquoris per vegetationem & putrefactionem 
consumitur & in terram aridam convertitur contlnuo supplerl & refici 
possit. Nam vegetablHa omnia ex Hquoribus omnino crescunt, dem 
magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt, & Hmus 
ex Hquoribus putrefactls perpetuo decidit. Hinc moles terrae aridae 
indies augetur, & Hquores, nisi aHunde augmentum sumerent, 
perpetuo decrescere deberent ac tandem deficere. Porro suspicor 
spiritum IHum, qui aeris nostrl pars minima est sed subtilissima & 



5i6 



DE MVNDI SYSTEMATE 



optima & ad rerum omnium vitam requiritur, ex cometis praecipue 
venire. 

Atmosphaerae cometarum in descensu eorem in solem excurrendo 
in caudas diminuuntur, & (ea certe in parte quae solem respicit) 
angustiores redduntur : & vicissim in recessu eorum a sole, ubi jam 
minus excurrunt in caudas, ampliantur ; si modo phaenomena eorum 
Heveliics recte notavit. Minim^ autem apparent, ubi capita jam 
modo ad solem calefacta in caudas maximas & fulgentissimas abiere, 
& nuclei fumo forsan crassiore & nigriore in atmosphaerarum partibus 
infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus 
crassior & nigrior esse solet. Sic caput cometae, de quo egimus, 
in aequahbus a sole ac terra distantiis obscurius apparuit post 
perihehum suum quam antea. Mense enim Decembri cum stellis 
tertiae magnitudinis conferri solebat, at mense Novembri cum stellis 
primae & secundae. Et qui utrumque viderant, majorem describunt 
cometam priorem. Nam juveni cuidam Cantabrigiensi, Novem, 19, 
cometa hicce kice sua quantumvis plumbea & obtusa aequabat Spicam 
Virginis, & clarius micabat quam postea. Et Mo7itenaro Nov. 
20 st. vet. cometa apparebat major stelHs primae magnitudinis, 
existente cauda duorum graduum longitudinis. Et D. Storer Hteris, 
quae in manus nostras incidere, scripsit caput ejus mense Decembri^ 
ubi caudam maximam & fulgentissimam emittebat, parvum esse & 
magnitudine visibiH longe cedere cometae, qui mense Novembri ante 
soHs ortum apparuerat. Cujus rei rationem esse conjectabatur, 
quod materia capitis sub initio copiosior esset, & paulatim consu- 
meretur. 

Eodem spectare videtur, quod capita cometarum aHorum, qui cau- 
das maximas & fulgentissimas emiserunt, apparuerint subobscura & 
exigua. Nam anno 1668 Mart. 5 st. nov. hora septima vespertina 
R. P. Valentinus Estarzcins, Brasilice agens, cometam vidit horizonti 
proximum ad occasum soHs brumalem, capite minimo & vix conspicuo, 
cauda vero supra modum fulgente, ut stantes in Httore speciem 
ejus e mari reflexam facile cernerent. Speciem utique habebat 
trabis splendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in austrum 
vergens, & horizonti fere paraHela. Tantus autem splendor 
tres solum dies durabat, subinde notabiHter decrescens ; & interea 
decrescente splendore aucta est magnitudine cauda. Unde etiam in 



LIBER TERTIUS. 517 

Ltcsitania quartam fere coeli partem (id est, gradus 45) occupasse 
dicitur ab occidente in orientem splendore cum insigni protensa ; 
nec tamen tota apparuit, capite semper in his regionibus infra 
horizontem dehtescente. Ex incremento caudae & decremento 
splendoris manifestum est, quod caput a sole recessit, eique proxi- 
mum fuit sub initio, pro more cometse anni 1680. Et in chronico 
Saxonico simiHs legitur cometa anni 1106, cujus stella erat parva 
& obscicra (ut ille anni 1 680) sed splendor qtci ex ea exivit valde 
clartcs & qtcasi ingens trabs ad orientem & aquilonem tendebat^ ut 
habet etiam Hevelius ex Simeone Dtcnelmensi Monacho. Apparuit 
initio mensis Februarii, ac deinceps circa vesperam, ad occasum 
soHs brumalem. Inde vero & ex situ caudae colHgitur caput fuisse 
soH vicinum. A sole, inquit Matthceics Parisiensis, distabat qicasi 
cubito uno, ab hora tertia [rectius sexta] usqtce ad horam iionam 
radium ex se longum emittens. TaHs etiam erat ardentissimus iHe 
cometa ab Aristotele descriptus Hb. i. Meteor. 6, cicjtcs capict pri- 
mo die non conspecticm est, eo quod ante solcm vel saltem stcb radiis 
solaribus occidisset, sequente vero die qicantum potuit vistcm est. Nam 
quam minima fieri potest distantia solem reliqtcit, & mox occtcbuit. 
Ob nimitcm ardorem [caudse sciHcet] nondtcm apparebat capitis spar- 
stcs ignis, sed procedente te^npore (ait Aristoteles) cicm [cauda] jam 
minus flagraret, reddita est [capiti] cometce sua facies. Et splendorem 
sutcm ad te^^tiam usqice coeli partem [id est, ad 6o^''-] extendit. 
Apparicit aictem tempore hyberno [an. 4. olymp. 101] cSf ascendens 
icsqtce ad cingtclum Orionis ibi evanuit. Cometa iHe anni 16 18, qui 
e radiis solaribus caudatissimus emersit, steHas primse magnitudinis 
^quare vel paulo superare videbatur, sed majores apparuere cometse 
non pauci, qui caudas breviores habuere. Horum aHqui Jovem, aHi 
Venerem vel etiam lunam sequasse traduntur. 

Diximus cometas esse genus planetarum in orbibus valde eccentri- 
cis circa solem revolventium. Et quemadmodum e planetis non 
caudatis minores esse solent, qui in orbibus minoribus & soH propio- 
ribus gyrantur, sic etiam cometas, qui in periheHis suis ad solem 
propius accedunt, ut plurimum minores esse, ne solem attractione 
sua nimis agitent, rationi consentaneum videtur. Orbium vero 
transversas diametros & revolutionum tempora periodica, ex coHatione 
cometarum in iisdem orbibus post longa temporum intervalla rede- 



5 1 8 DE MUNDI S YSTEMA TE 

untlum, determinanda relinquo. Interea huic negotio propositio 
sequens lumen accendere potest. 

PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXII. 
Inventam cometce trajectoriam corrigere, 

Operatio i. Assumatur positio plani trajectoriae, per propositi- 
onem superiorem inventa ; & seligantur tria loca cometae obser- 
vationibus accuratissimis definita & ab invicem quam maxime 
distantia ; sitque A tempus inter primam & secundam, ac B tempus 
inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in 
perigeeo versari convenit, vel saltem non longe a perigaeo abesse. Ex 
his locis apparentibus inveniantur, per operationes trigonometricas, 
loca tria vera cometae in assumpto illo plano trajectoriae. Deinde per 
loca illa inventa, circa centrum soHs ceu umbiHcum, per operatio- 
nes arithmeticas ope prop. xxi lib. i institutas, describatur sectio 
conica : & ejus areae, radiis a sole ad loca inventa ductis terminatse, 
sunto D & E ; nempe D area inter observationem primam & secun- 
dam, & E area inter secundam ac tertiam. Sitque T tempus totum, 
quo area tota D -f- E velocitate cometae per prop. xvi lib. i inventa 
describi debet. 

Oper. 2. Augeatur longitudo nodorum plani trajectoriae, additis ad 
longitudinem illam 20' vel 30^ quae dicantur P ; & servetur plani 
illius inclinatio ad planum eclipticae. Deinde ex praedictis tribus 
cometae locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera, 
ut supra : deinde etiam orbis per loca illa transiens, & ejusdem 
areae du^ inter observationes descriptae quae sint d 8l e, nec non 
tempus totum t quo area tota d-\-e describi debeat. 

Oper. 3. Servetur longitudo nodorum in operatione prima, & 
augeatur inclinatio plani trajectoriae ad planum eclipticae, additis ad 
inclinationem illam 20' vel 30', quae dicantur Q. Deinde ex obser- 
vatis praedictis tribus cometae locis apparentibus inveniantur in hoc 
novo plano loca tria vera, orbisque per loca illa transiens, ut & 
ejusdem areae duae inter observationes descriptae quae sint S & e, & 
tempus totum t quo area tota S-i-e describi debeat. 



LIBER TERTIUS. 519 

Jam sit C ad i ut A ad B, & G ad i ut D ad E, &^ ad i ut ^ 
ad ^, & 7 ad I ut ^ ad e ; sitque S tempus verum inter observationem 
primam ac tertiam ; & signis + & — probe observatis quaerantur 
numeri rn & n ea lege, ut sit 2 G-2 C-mQ^ — mg-^nO — ny, 
& 2 T — 2 S cequale m T — m t -\^ nT — nr. Et si in operatione 
prima I designet inclinationem plani trajectoriae ad planum eclip- 
tic^e & K longitudinem nodi alterutrius, erit \ + nQ vera inclinatio 
plani trajectoriae ad planum eclipticse & K + mP vera longitudo 
nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quan- 
titates R, r & jo designent latera recta trajectoriae, & quantitates 

i. i i eiusdem latera transversa respective : erit R-^-mr—^n R 

+ ;^p - ;.R verum latus rectum, & l ^ ,,, / „ ^, l + ^ x - ;^ L 
verum latus transversum trajectori^e quam cometa describit. Dato 
autem latere transverso datur etiam tempus periodicum cometae. 

O. E. I. 

'^ C^terum cometarum revolventium tempora periodica & orbium 
latera transversa haud satis accurate determinabuntur, nisi per col- 
lationem cometarum inter se, qui diversis temporibus apparent. Si 
plures comet^, post ^qualia temporum intervalla, eundem orbem 
descripsisse reperiantur, concludendum erit hos omnes esse unum & 
eundem cometam, in eodem orbe revolventem. Et tum demum ex 
revolutionum temporibus dabuntur orbium latera transversa, & ex his 
lateribus determinabuntur orbes elHptici. 

In hunc finem computandae sunt igitur cometarum plurium trajec- 
tori^, ex hypothesi quod sint paraboHca:. Nam hujusmodi trajectoriae 
cum phsnomenis semper congruent quamproxime. Id hquet, non 
tantum ex trajectoria parabohca cometae anni 1680, quam cum obser- 
vationibus supra contuh, sed etiam ex ea cometae iUius insignis, qui 
annis 1664 & 1665 apparuit & ab Hevelio observatus fuit. Is ex 
observationibus suis longitudines & latitudines hujus cometae com- 
putavit, sed minus accurate. Ex iisdem observationibus Hallems 
noster loca comet^ hujus denuo computavit, & tum demum ex locis 
sic inventis trajectoriam comet^ determinavit. Invenit autem ejus 
nodum ascendentem in n 21- 13' 55", inchnationem orbit^ ad 
planum echpticae 21^- 18' 40^ distantiam perihehi a nodo m orbita 



520 



DE MUNDI SYSTEMATE 



49^^- 2f io'\ 



Perihelium in ^ 8*^''- 40' ^d' cum latitudine austrina 



heliocentrica i^^'- \' \^" . Cometam in periheHo Novem. 2^- 1 1^- 52' 
p.m. tempore aequato Londmi, vel i^*"- %' Gedani, stylo veteri, & latus 
rectum parabolae 410286, existente mediocri terrse a sole distantia 
1 00000. Quam probe loca cometae in hoc orbe computata congruunt 
cum observationibus, patebit ex tabula sequente ab Halleio supputata. 



Temp. Appar. 
Gedaniy st. vet. 


Observata Cometcc distantia. 


Loca obse)-vata. 


Loca compu- 
tata in Orbe. 


3'- 


Decemb. y 

i8h- 29J 


a Corde Leonis 
a Spica Virginis 


gr. / // gr. , ,, 

46 24 20 Long. i^ 7 I 
22 52 10 Lat. aust. 21 39 


gr. , // 

:i^ 7 I 29 

21 38 50 


4 


18 i-J- 


a Corde Leonis 
a Spica Virginis 


46 2 45 
23 52 40 


Long. =2z 16 15 
Lat. aust. 22 24 


rii: 6 16 5 
22 24 


7 


17 48 


a Corde Leonis 
a Spica Virginis 


44 48 
27 56 40 


Long. =2= 3 6 
Lat. aust. 25 22 


— 3 7 33 
25 21 40 


17 


14 43 


a Corde Leonis 

ab Hum. Orionis dext. 


53 15 15 

45 43 30 


Long. ^ 2 56 
Lat. aust. 49 25 


51 2 56 
49 25 


19 


9 25 


a Procyone 

a Liicid. Mandib. Ceti 


35 13 50 
52 56 


Long. n 20 40 30 
Lat. aust. 45 48 


1128 43 
45 46 


20 


9 53J 


a Procyone 

a Lucid. Mandib. Ceti 


40 49 
40 4 


Long. n 13 3 
Lat. aust. 39 54 


n 13 5 

39 53 


21 


9 9i 


ab Hum. dext. Orionis 
a Lucid. Mandib. Ceti 


26 21 25 
29 28 


Long. El 2 16 
Lat. aust. 33 41 


Q 2 18 30 
33 39 40 


22 


9 


ab Hum. dext. Orionis 
a Lucid. Mandib. Ceti 


29 47 
20 29 30 


Long. b 24 24 
Lat. aust. 2745 


«24 27 
27 46 


26 


7 58 


a Lucida Arietis 
ab Aldebaran 


23 20 
26 44 


Long. b 9 
Lat. aust. 12 36 


tt 9 2 28 
12 34 13 


27 


6 45 


a Lucida Arietis 
ab Aldebaran 


20 45 
28 10 


Long. b 7 5 40 
Lat. aust. 10 23 


« 7 8 45 
10 23 13 


28 


7 39 


a Lucida Arietis 
a Palilicio 


18 29 
29 37 


Long. « 5 24 45 
Lat. aust. 8 22 50 


« 5 27 52 
8 23 37 


31 


6 45 


a Cing. Androm. 
a Palilicio 


30 48 10 
32 53 30 


Long. b 2 7 40 
Lat. aust. 413 


a 2 8 20 
4 16 25 


yan. 1665. 

7 7 37y 


a Cing. Androm. 
a Palilicio 


25 II 
37 12 25 


Long. T 28 24 47 
Lat. bor. 54 


T28 24 
53 


13 


7 


a Capite Androm. 
a Palilicio 


28 7 to 
38 55 20 


Long. T 27 6 54 
Lat. bor. 3 6 50 


T27 6 39 
3 7 40 


24 


7 29 


a Cing. Androm. 
a Palilicio 


20 32 15 
40 5 


Long. T 26 29 15 
Lat. bor. 5 25 50 


^26 28 50 
5 26 


7 


Feb. 

8 37 




Long. T 27 4 46 
Lat. bor. 7 3 29 


T27 24 55 
7 3 15 


22 


8 46 




Long. T 28 29 46 
Lat. bor. 8 12 36 


T28 29 58 
8 10 25 


I 


Mar. 

8 16 




Long. T 29 18 15 
Lat. bor. 8 36 26 


T29 18 20 
8 36 12 


7 


8 37 




Long. b 2 48 
Lat. bor. 8 56 30 


t< 2 42 
8 56 56 



LIBER TERTIUS. 



521 



Mense Febrtiario anni ineuntls 1665 stella prima Arietis, quam In 
sequentibus vocabo 7, erat in t 28^- 30' 15^' cum latitudine boreali 
^^gr. g/ ^g/^^ Secunda Arietis erat in T 2<f'- if 18'' cum latitudine 
boreali 8^''- 28' i6'\ Et stella quaedam alia septimae magnitudinis, 
quam vocabo A, erat in ff» 28^- 24^ 45'' cum latitudine boreali 
8^''- 28' 2>2>''' Cometa vero Fed. y^- 7' 30'' Parisiis (id est /^^^. 
yd. g/ ^^n Q^^ajii) st. vet. triangulum constituebat cum stellis 
illis y 8l A rectangulum ad 7. Et distantia cometae a stella 7 sequalls 
erat dlstantiae stellarum 7 & A, \d est i^""- 19' 46'' in clrculo magno, 
atque Ideo ea erat i^"- 20' 26'^ In parallelo latitudinis stellae 7. 
Quare si de longitudine stellae 7 detrahatur longltudo i^- 20' 26^', 
manebit longltudo cometae ff» 2 7^''' 9^ 49'^ Atczoictius ex hac 
sua observatlone cometam posult In rp 27^* o^ circiter. Et ex 
schemate, quo Hookitcs motum ejus deHneavit, is jam erat In 
n;* 26^- 59' 24^^ Ratlone mediocri posul eundem In T 2 7^''- 4' Afi" . 
Ex eadem observatione Atczoictiics latltudinem cometae jam posult 
7^- & 4' vel 5' boream versus. Eandem rectius posuisset 7^- 3^ 29^', 
existente sclllcet differentla latltudlnum cometae & stellae 7 aequall 
dlfferentiae longitudlnum stellarum y & A. 

Feb. 2 2*^- 7^- 30' Lo7idiniy id est Feb. 22"^- 8^- 46' Gedani, distantla 
cometae a stella A, juxta observatlonem Hookii a selpso In schemate 
delineatam, ut & juxta observationes Atczoictii a Petito in schemate 
deHneatas, erat pars quinta dlstantiae Inter steHam A & primam arietls, 
seu 15' 57^^ Et distantia cometae a Hnea jungente steHam A & 
prlmam Arletis erat pars quarta ejusdem partls quintae, Id est 4^ 
Ideoque cometa erat in T 28^' 29^ 46'^ cum lat. bor. 8^''- 12^ 36^^ 

Mart. i^- "f- o' Londini, Id est Mai^t. i^- 8^- 16' Gedani, cometa 
observatus fuit prope secundam Arletis, existente distantla Inter 
eosdem ad distantiam Inter prlmam & secundam Arletls, hoc est ad 
i^'' 33') ut 4 ad 45 secundum Hookitcm, vel ut 2 ad 23 secundum 
Gottignies. Unde distantla cometae a secunda Arietis erat 8' \6" 
secundum Hookitcm, vel 8' ^" secundum Gottignies, vel ratione 
mediocri 8' 10'''. Cometa vero secundum Gottignies jam modo 
praetergressus fuerat secundam Arletls quasl spatlo quartae vel quintae 
partls Itineris uno dle confectl, Id est i' 35^^ circlter (quocum 
satis consentlt Aiczotctius) vel paulo minorem secundum Hookitcm, 
puta i\ Ouare sl ad longitudlnem primae Arletis addatur i\ & ad 



522 



DE MUNDl SYSTEMATE 



latltudlnem ejus 8' \o'\ habebltur longitudo cometae t ^g^""- i8', & 
latltudo borealis S^'- 36' 26". 

Mart. ^^- 7^' 30' Parisiis (Id est Mart. 'j^- &' 37' Gedani) ex 
observatlonibus AiizotUii distantla cometae a secunda Arietis aequalis 
erat distantlae secundae Arietis a stella A, id est 52' 29'^ Et 
differentia longitudlnum cometse & secundae Arietis erat 45' vel 46', 
vel ratione mediocri 45' yo" . Ideoque cometa erat in ^ o^- 2' 48^^ 
Ex schemate observatlonum Auzoutii, quod Petitus construxit, 
Hevelius deduxit latltudinem cometae 8^- 54^ Sed sculptor vlam 
cometae sub finem motus ejus irregulariter incurvavit, & Hevelius in 
schemate observatlonum Auzoutii a se constructo incurvatlonem 
irregularem correxit, & sic latitudlnem cometae fecit esse 8^''- 55' 
2fl' . Et Irregularltatem paulo magls corrigendo, latitudo evadere 
potest 8^- 56', vel 8^" 57'. 

VIsus etiam fult hlc cometa Martii dle 9, & tunc locari debult 
in b o^""' 18', cum lat. bor. 9^" 3'!^ clrciter. 

Apparult hlc cometa menses tres slgnaque fere sex descripsit & 
uno dle gradus fere viginti confecit. Cursus ejus a clrculo maximo 
plurlmum deflexit, in boream incurvatus ; & motus ejus sub finem 
ex retrogrado factus est dlrectus. Et non obstante cursu tam 
insoHto, theorla a princlpio ad finem cum observatlonlbus non minus 
accurate congruit, quam theoriae planetarum cum eorum observa- 
tionlbus congruere solent, ut Inspicienti tabulam patebit. Subducenda 
tamen sunt minuta duo prima circiter, ubi cometa veloclssimus 
fuit ; id quod fiet auferendo duodecim minuta secunda ab angulo 
inter nodum ascendentem & periheHum, seu constltuendo angulum 
illum 49^''- 27^ 18'^ Cometae utriusque (& hujus & superlorls*) 
parallaxls annua Insignls fult, & inde demonstratur motus annuus 
terrae in orbe magno. 

Confirmatur etiam theoria per motum cometae, qui apparuit anno 
1683. Hic fuit retrogradus in orbe, cujus planum cum plano ecHptlcae 
angulum fere rectum continebat. Hujus nodus ascendens (compu- 
tante Halleio) erat in ttj 23^''- 23^; incHnatlo orbltee ad ecHpticam 83^- 
ii^; periheHum in n 25^'- 29' 30'^; distantla periheHa a sole 56020, 
exlstente radlo orbis magni 1 00000 & tempore periheHi Jtclii 2^' 3^* 
50'. Loca autem cometae in hoc orbe ab Halleio computata, & cum 
locis a Flanistedio observatls coHata, exhlbentur in tabula sequente. 



LIBER TERTIUS. 



523 



1683 


r nrif^ .^/)//c 


CometiS 


Lat. Bor. 


Cojnetcv 


Lat. Bor. 


Differ. 


Differ. 


Tejnp. Mquat. 




Long. CojHp. 


Comp. 


Long. Obs. 


Obseru. 


Long. 


Lat. 


d. h. , 


gr. / // 


gr- / // 


gr. , // 


gr- / // 


gr. / // 




/ ^^ 


M 13 12 55 


^ I 2 30 


2513 5 42 


2928 13 


22313 6 42 


29 28 20 


+ 1 


+0 7 


15 11 15 


2 53 12 


II 37 48 


2934 


II 39 43 


293450 


+ 155 


+0 50 


17 10 20 


4 45 45 


10 7 6 


293330 


10 8 40 


2934 


+ 1 34 


+0 30 


23 13 40 


10 38 21 


5 10 27 


28 51 42 


5 II 30 


285028 


+ 1 3 


— I 14 


25 14 5 


12 35 28 


3 27 53 


24 24 47 


3 27 


28 23 40 


—053 


— I 7 


31 942 


18 9 22 


n27 55 3 


26 22 52 


n27 5424 


26 22 25 


—039 


— 27 


31 1455 


18 21 53 


27 41 7 


26 16 57 


27 41 8 


26 14 50 


+0 I 


—2 7 


Aug. 2 14 56 


20 17 16 


25 2932 


25 16 19 


25 28 46 


25 17 28 


—0 46 


+ 1 9 


4 10 49 


22 2 50 


23 18 20 


24 1049 


23 16 55 


24 12 19 


-I 25 


+ 1 30 


6 10 9 


23 56 45 


20 42 23 


2247 5 


20 40 32 


2249 5 


-I 51 


4-2 


9 10 26 


26 50 52 


16 7 57 


20 637 


16 5 55 


20 6 10 


— 2 2 


— 27 


15 14 i 


^ 2 47 13 


3 3048 


II 37 33 


3 26 18 


II 32 I 


—430 


-5 32 


16 15 10 


348 2 


043 7 


93416 


041 55 


93413 


— I 12 


— 3 


18 15 44 


5 45 33 


«2452 53 


5 II 15 

Austr. 


b 24 49 5 


5 911 

Austr. 


-348 


—2 4 


22 1444 


9 35 49 


II 7 14 


5 1653 


II 7 12 


5 i6'5o 


—0 2 


—0 3 


23 15 52 


10 36 48 


7 2 18 


817 9 


7 I 17 


8 16 41 


— I I 


—0 28 


26 16 2 


; 13 31 10 


T2445 31 


1638 


T 24 44 


16 38 20 


—I 31 


+0 20 



Confirmatur etlam theoria per motum cometae retrogradi, qui 
apparuit anno 1682. Hujus nodus ascendens (computante Halleio) 
erat in i5 21^'' 16' 30''. Inclinatio orbitse ad planum eclipticse i;^'"' 
56' o". Perihelium in ::::: 2^'- 52' 50'^ Distantia periheHa a sole 
58328, existente radio orbis magni 1 00000. Et tempus aequatum 
perihelii Sept. ^- f"- 39^ Loca vero ex observationlbus Flamstedii 
computata, & cum locls per theorlam computatis collata, exhlbentur 
In tabula sequente. 



1682 


Locus Solis. 


Cometce 


Lat. Bor. 


Cometa 


Lat. Bor. 


Differ. 


Differ. 


Temp. Appar. 


Long. Comp. 


Comp. 


Long. ' Obs. 


Obsej^v. 


Long. 


Lat. 


d. h. / 


gr. / // 


gr. / // 


gr. / // 


gr. / // 


gr. / // 


/ // 


1 // 


Aug. 19 16 38 


nj 7 7 


R18 14 28 


25 50 7 


51t8 1440 


25 49 55 


— 12 


-f 12 


20 15 38 


7 55 52 


24 46 23 


26 14 42 


24 46 22